Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen

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1 Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen Vorrangregeln Die Rechnungsarten zweiter Stufe haben Vorrang vor den Rechnungsarten erster Stufe. Man sagt: "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" Treten in einer Rechnung Rechnungsarten erster und zweiter Stufe sowie Klammern auf, so sind auszuführen: zuerst die Rechnungen in den Klammern dann die Rechnungsarten zweiter Stufe zuletzt die Rechnungsarten erster Stufe 1

2 Multiplizieren mit Dezimalzahlen Eine Dezimalzahl wird mit 10, 100, multipliziert, indem man den Stellenwert jeder ihrer Ziffern um 1, 2, 3... Stellen erhöht. Das geschieht dadurch, daß man das Komma um 1, 2, 3... Stellen nach rechts setzt. Beim Multiplizieren mit Dezimalzahlen rechnet man so, als ob die Faktoren natürliche Zahlen wären; im Ergebnis setzt man so viele Dezimalstellen, wie beide Faktoren zusammen aufweisen. 0, = 0, ,001 = 23,1 100 = 0,053 0,07 = 0,1 0,1 = 2,54 0,9 = 0,01 0,01 = 30,6 2,3004 = Division mit Dezimalzahlen Eine Dezimalzahl wird durch 10, 100, dividiert, indem man den Stellenwert jeder ihrer Ziffern um 1, 2, 3... Stellen erniedrigt. Das geschieht dadurch, daß man das Komma um 1, 2, 3... Stellen nach links setzt. Für das Dividieren durch eine Dezimalzahl verwendet man die Tatsache, daß der Wert des Quotienten gleich bleibt, wenn Dividend und Divisor mit der selben Zahl multipliziert werden. Beispiel: 23,567 : 54,1 = 235,67 : 541 (hier wurden Dividend und Divisor mit 10 multipliziert) 0, : 6,2 = 0, : 0,19 = 8,5184 : 0,0022 = 0, : 0,044 = Beispiel: Ein Flugzeug steigt 7,65 m/s. In wie vielen Sekunden erreicht es eine Flughöhe von m? Beispiel: Eine Schneeflocke ist aus Schneekristallen zusammengesetzt. Ein Schneekristall besteht aus 0,005g Eis. Wieviele Schneekristalle sind in 1 g Schnee enthalten? Ein Teilbereich (eine "Teilmenge") der Dezimalzahlen sind die ganzen Zahlen. Wir werden sie jetzt näher kennenlernen und die Rechenregeln später auch bei den positiven und negativen Dezimalzahlen anwenden. 2

3 Die ganzen Zahlen Z Jeder natürlichen Zahl 1,2,3,... wird auf der Zahlengeraden ein Punkt zugeordnet: Bilden Sie nun die Subtraktionen 3-2, 3-3, 3-4, 3-5 und tragen Sie den für die Differenz erhaltenen Punkt auf der Zahlengeraden ein. Sie erhalten dabei "negative Zahlen". Die Bezeichnungen für die Zahlenmengen lauten: Z - = {..., -3, -2, -1 } Z + = { +1, +2, +3,...} Z = {..,-2, -1, 0, +1, +2,...} "negative ganze Zahlen" "positive ganze Zahlen" "Menge der ganzen Zahlen" Plus- und Minuszeichen haben doppelte Bedeutung! als Rechenzeichen zur Kennzeichnung der Addition bzw. Subtraktion als Vorzeichen zur Kennzeichnung, ob es sich um eine positive oder negative Zahl handelt. Die Vorzeichen + und - heißen entgegengesetzte Vorzeichen. Zahl Gegenzahl +a -a -a +a Statt +1, +2, +3,... schreibt man einfacher 1,2,3,... "Absoluter Betrag" oder kurz "Betrag" einer Zahl : Der Betrag einer Zahl ist die Entfernung des Bildpunktes vom Nullpunkt. + 2 = 2 ; 3 = 3 ; 0 = 0 3

4 Die Ordnung der ganzen Zahlen 1 < 2 < 3... Von zwei verschiedenen ganzen Zahlen liegt auf der Zahlengeraden der Bildpunkt der kleineren Zahl links vom Bildpunkt der größeren Zahl...-2 < -1 < 0 < 1 < 2... Tragen Sie auf der Zahlengeraden die Bilder für folgende ganze Zahlen und Dezimalzahlen ein: -3; -5; -7; 4; 6; -3,5; 4,8; -6,2 Wie lauten die eingezeichneten Dezimalzahlen A bis H? Die Addition Addition von Zahlen gleicher Vorzeichen Zwei (ganze) Zahlen mit gleichen Vorzeichen werden addiert, indem man ihre Beträge addiert und der Summe das gemeinsame Vorzeichen gibt. ( + a ) + ( + b ) = + ( a + b ) ( - a ) + ( - b ) = - ( a + b ) ( + 3 ) + ( + 7 ) = + ( ) = ( + 10 ) = 10 ( - 4 ) + ( - 8 ) = - ( ) = ( - 12 ) =

5 Addition von Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen Zwei (ganze) Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem man vom größeren Betrag den kleineren Betrag subtrahiert und dieser Differenz das Vorzeichen derjenigen Zahl gibt, die den größeren Betrag hat. (+ a ) + ( - b ) = + ( a - b ) Fall a > b: Fall b > a : ( + a ) + ( - b ) = - ( b - a ) ( - a ) + ( + b ) = - ( a - b ) ( - a ) + ( + b ) = + ( b - a ) ( + 7 ) + ( - 3 ) = + ( 7-3 ) = ( + 4 ) = 4 ( - 9 ) + ( + 5 ) = - ( 9-5 ) = ( - 4 ) = - 4 ( + 3 ) + ( - 9 ) = - ( 9-3 ) = ( - 6 ) = - 6 ( - 4 ) + ( + 9 ) = + ( 9-4 ) = ( + 5 ) = 5 Bemerkung: ( + a ) + ( - a ) = 0 (Die Summe aus ihrer Zahl und ihrer Gegenzahl ist Null). Vereinfachte Durchführung der Addition durch Weglassen von Klammern: a + ( + b ) = a + b a + ( - b ) = a - b - a + ( + b ) = - a + b - a + ( - b ) = - a - b Wird bei der Addition einer Zahl die Klammer weggelassen, so wird das Vorzeichen innerhalb der Klammer zum Rechenzeichen. Kommutativgesetz a + b = b + a und Assoziativgesetz a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ) gelten für die Addition! 5

6 Zum Kommutativgesetz ( - 5 ) + ( + 8 ) = = 3 ( + 8 ) + ( - 5 ) = 8-5 = 3 ( - 6 ) + ( + 4 ) = = - 2 ( + 4 ) + ( - 6 ) = 4-6 = - 2 ( - 7 ) + ( - 5 ) = = - 12 ( - 5 ) + ( - 7 ) = = - 12 Beispiele Zum Assoziativgesetz ( - 5 ) + ( - 2 ) + ( - 6 ) [(-5)+(-2 )]+(-6) = = (-7)+(-6) = = - 13 (-5)+[(-2)+(-6) = = (-5)+(-8) = = - 13 Übungsaufgaben: (+14)+(+5) = (-6)+[(+5)+(-12)] = (+21)+(-12) = [(-10)+(+2)]+(+7) = (-15)+(-4) = [(-17)+(-31)]+[(+57)+(-9)]= (-21)+(+12) = (+3)+(-8) +(-2) = (+7)+(-9) = (-12) + (-4)+(-5) = (-17)+(+20) = (-34) + (+24) + (-3) + (+2) = (+12) + (+14) + ( -25) + (-5) = (-35) + (-12) + (+3) + (-5) = ( 6) + ( + 6) = ( 8) ( + 2) ( 7) = (-2) + (+5) + (-8) + (-2) + (+6) + (-9) = Die Subtraktion Das Subtrahieren einer (ganzen) Zahl führt zum selben Ergebnis wie das Addieren ihrer Gegenzahl a - b = a + ( - b ) ( + 9 ) - ( + 3 ) = ( + 9 ) + ( - 3 ) = ( + 6 ) = 6 (+ 5 ) - ( - 8 ) = ( + 5 ) + ( + 8 ) = ( + 13 ) = 13 ( - 3 ) - ( + 9 ) = ( - 3 ) + ( - 9 ) = ( - 12 ) = - 12 ( - 7 ) - ( - 4 ) = ( - 7 ) + ( + 4 ) = (- 3 ) = - 3 ( + 5 ) - ( + 5 ) = ( + 5 ) + ( - 5 ) = 0 ( - 5 ) - ( - 5 ) = ( - 5 ) + ( + 5 ) = 0 Das Addieren einer (ganzen) Zahl führt zum selben Ergebnis wie 6

7 das Subtrahieren ihrer Gegenzahl a + b = a - ( - b ) Beispiel: (+7) + (+3) = (+7) - (-3) = 10 Vereinfachte Durchführung der Subtraktion durch Weglassen von Klammern: a - ( + b ) = a - b a - ( - b ) = a + b - a - ( + b ) = - a - b - a - ( - b ) = - a + b Wird bei der Subtraktion einer Zahl die Klammer weggelassen, so wird das entgegengesetzte Vorzeichen innerhalb der Klammer zum Rechenzeichen Kommutativgesetz und Assoziativgesetz 2 - ( 4-3 ) ( 2-4 ) - 3 gelten nicht für die Subtraktion! ( + 9 ) - ( + 3 ) = 9-3 = 6 ( + 5 ) - ( - 8 ) = = 13 ( - 3 ) - ( + 9 ) = = - 12 ( - 7 ) - ( - 4 ) = = - 3 ( + 5 ) - ( + 5 ) = 5-5 = 0 ( - 5 ) - ( - 5 ) = = 0 Übungsaufgaben: (+14) - (+5) = (-6) - [(+5) - (-12)] = (+21) - (-12) = [(-10) - (+2)] - (+7) = (-15) - (-4) = [(-17) - (-31)] - [(+57) - (-9)]= (-21) - (+12) = (+3) - (-8) - (-2) = (+7) - (-9) = (-12) - (-4)+(-5) = (-17) - (+20) = (-34) - (+24) - (-3) - (+2) = (+12) (+14) - ( -25) - (-5) = (-35) - (-12) - (+3) - (-5) = = ( ) ( ) ( 9) 12 ( + 3) 7 ( 6) = (-2) - (+5) - (-8) - (-2) - (+6) - (-9) = 7

8 Achtung: Wenn Sie die Glieder der Differenz umstellen wollen, verwenden Sie diese Formel: a - b = - b + a Beispiel: Additionen und Subtraktionen zusammenfassen = = = (6+5+3) - ( ) = = = = - 8 Beispiel: (- 6) + ( + 3 ) - ( - 8 ) - ( + 2 ) + ( - 1 ) - ( + 4 ) - ( - 6 ) - ( + 9 ) + ( + 8 ) - ( + 1 ) = = = ( ) - ( ) = = 3 Die Multiplikation Man bildet das Produkt der Beträge der beiden Zahlen. Dieses Produkt erhält das Vorzeichen +, wenn beide Faktoren gleiches Vorzeichen haben. das Vorzeichen -, wenn beide Faktoren verschiedene Vorzeichen haben. ( + a ) ( + b ) = + ( a b ) ( + a ) ( - b ) = - ( a b ) ( - a ) ( - b ) = + ( a b ) ( - a ) ( + b ) = - ( a b ) ( + ) ( + ) = + ( + ) ( - ) = - ( - ) ( - ) = + ( - ) ( + ) = - Spezialfälle (+a) (+1) = +a (+a) (-1) = -a (+a) 0 = 0 (-a) (+1) = -a (-a) (-1) = +a (-a) 0 = 0 Die Multiplikation ist kommutativ und assoziativ! 8

9 Beispiele zur Kommutativität zur Assoziativität ( + 3 ) (- 4 ) = - 12 ( + 2 ) ( - 3 ) ( - 5 ) ( - 4 ) (+ 3 ) = -12 [(+2) (-3)] (-5) = = (-6) (-5) = = +30 (+2) [(-3) (-5)] = = (+2) (+15) = = +30 Übungsaufgaben: (+4) (-6)= (+7) [(-2) (-3)]= (-7) (-5)= [(-2) (-8)] (-3)= 0 (-4)= (-2) (-5) (-3) (+9)= (-712) (-1)= [(-5) (+3) (-2)] (-1) (+4)= Die Division Erinnerung: bei der Division a : b = c heißt a der Dividend, b der Divisor und c der Quotient. Man dividiert den Betrag des Dividenden durch den Betrag des ( von Null verschiedenen ) Divisors. das Vorzeichen +, wenn Dividend und Divisor gleiche Vorzeichen haben Der Quotient erhält das Vorzeichen -, wenn Dividend und Divisor verschiedene Vorzeichen haben. ( + a ) : ( + b ) = + ( a : b ) ( + a ) : ( - b ) = - ( a : b ) ( - a ) : ( - b ) = + ( a : b ) ( - a ) : ( + b ) = - ( a : b ) ( + ) : ( + ) = + ( + ) : ( - ) = - ( - ) : ( - ) = + ( - ) : ( + ) = - Spezialfälle: (+a) : (+1) = +a (+a) : (-1) = -a 0 : (+a) = 0 (-a) : (+1) = -a (-a) : (-1) = +a 0 : (-a) = 0 Die Division ist nicht kommutativ und auch nicht assoziativ! 9

10 Beispiel zur "Kommutativität" zur "Assoziativität" 12 : 6 6 : : 6 : 2 2 0,5 (12 : 6) : 2 = = 2 : 2 = = 1 12 : ( 6 : 2 ) = = 12 : 3 = = Die Division durch Null ist ausgeschlossen. 12 : 0 Übungsaufgaben: (+28) : (+7) = (-40) : (-8) = (-42) : (+6) = (-9) : (-9) = (-16) : (+16) = (+36) : (+9) = (+28) : (-14) = (+51) : (-17) = 64 : (+4) = (-64) : + 4 = 64 : (-4) = (-64) : 4 = Verbindung der vier Grundrechnungsarten Vorrangregeln: Die Rechnungsarten zweiter Stufe (, :) haben Vorrang vor den Rechnungsarten erster Stufe (+, -). Treten in einer Rechnung Rechnungsarten erster und zweiter Stufe sowie Klammern auf, so sind auszuführen: zuerst die Rechnungsarten in den Klammern, dann die Rechnungsarten zweiter Stufe, zuletzt die Rechnungsarten erster Stufe. Beispiel 1: (-3) (-5) - (+6) (-9) + (-37) - (+8) = = 15 - (-54) = = = = 24 Beispiel 2: 9 (+2) + (-3) 17 = = = =

11 Beispiel 3: [(-7) + (-4) (-8)] [(-1) (+5) (-11) - (-6)] = = [ ] [55 + 6] = = 1525 Übungsaufgaben (+2) (-3) + (-5) (+4) - (-6) (-7) = 4 (-5) + 6 (-7) - 8 (+2) = (-2) (-3) - (+5) (-4) + (+6) (-7) = (-8) 4-2 (+3) -7 (-6) = (+9) (-11) - (+13) (-7) - (-12) (-8) = (+12) : (-4) + (-8) - (-20) : (-5) = (-6) (+5) (-2) - (+3) (+4) (-8) = (-14) : (-2) - (+9) (-3) - (+22) = (+3) (-2) - (+4) (-3) (+2) - [(+24) : (-3) - (-36) : (+9)] = (-1) (+2) - [(-48) : (+12) - (+5) (-4) (-1) - (-63) : (-9) ] = 11

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