3 Elektrische und magnetische Felder

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1 3 Elektische und magnetische Felde Ein aum, in dem Käfte auf Köpe einwiken, wid Kaftfeld genannt. Solche Felde können veschiedene sachen haben: Gavitationsfeld: Elektisches Feld: Magnetisches Feld: Massen uhende elektische Ladungen Bewegte elektische Ladungen (elektische Stöme) Bei zeitliche Ändeung sind elektisches und magnetisches Feld miteinande veknüpft. Die Übetagung und mwandlung elektische und magnetische Enegie sind auf die Wikung elektomagnetische Felde zuückzufühen. 3. Das elektische Feld 3.. Kaftwikung im elektischen Feld Im uhenden elektischen Feld wid auf geladene Köpe eine Kaft ausgeübt. Die Kaft hängt dabei von de Göße de Ladung und vom Ot ab. oulomb entdeckte, dass fü die Kaftwikung zwischen zwei Punktladungen im bstand gilt: Q Q F ~ e Bei Einfühung de Popotionalitätskonstanten ε egibt sich: (3.) Q Q F 4πε e (3.) Positive Ladungen stoßen sich mit de Kaft F in ichtung des bstands ab, negative Ladungen ziehen sich mit de Kaft F in ichtung des bstands an. Wenn nun eine de beiden Ladungen als sache des elektischen Feldes gedeutet wid, kann die Kaft auf die andee Ladung duch einen elektischen Feldstäkevekto beschieben weden: F Q E (3.3) Duch Bewegung eine Ladung und Messung de Kaft wid das Feld bestimmt. Das E-Feld hat an jede Stelle des aumes eine ichtung (Vektofeld). Es wid duch Feldlinien dagestellt (ichtung von + nach ). Elektische Feldlinien haben ihen spung (Quelle) und ih Ende (Senke) in elektischen Ladungen. ufgund diese Eigenschaft ist das elektostatische Feld ein Quellenfeld. Die Feldliniendichte in de Dastellung ist ein Maß fü die Intensität des Feldes (Feldstäke). Die Tangente an die Feldlinien gibt die Kaftichtung an. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-

2 Die E-Feldlinien stehen senkecht auf den Leiten und sind von + nach geichtet. Die Linien konstanten Potentials (Äquipotentiallinien, gestichelt) stehen senkecht auf den Feldlinien. Von einem beliebigen Punkt eine esten zu eine zweiten Äquipotentiallinie wid imme dieselbe Spannung gemessen. Bild 3. Feldlinien zwischen paallelen zylindischen Leiten Beispiel : Elektisches Feld zweie entgegengesetzt mit den jeweiligen Ladungen Q geladene Kugeln mit dem Duchmesse d im bstand a: Das vom linken Leite im bstand x vom spung veusachte Feld im aum außehalb des Leites betägt: E Q 4πε e Q 4πε ( x + y ) 3 x y (3.4) Das vom echten Leite im bstand x a vom spung veusachte Feld im aum außehalb des Leites betägt: E + Q 4πε + e 4πε Q ( x a) + y ) 3 x y a Das Gesamtfeld im feien aum ehält man duch Übelageung: (3.5) E E + E + (3.6) Zwischen zwei beliebigen Punkten und des E-Feldes existiet eine Spannung. Diese Spannung ist vom Weg von nach unabhängig (wibelfeies Feld). E dl ϕ ϕ (3.7) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-

3 Fotsetzung von Beispiel : Emittlung de Spannung zwischen den Obeflächen de Kugeln. De einfachste Integationsweg ist die x-chse: E x y Q 4πε x Q 4 ( x a) πε ( ) a x ax a (3.8) d a 4Q a E x y dx πε d Fü d<<a ehält man: ( a d ) ( 3a d) (3.9) 4Q 3πεa (3.) Komplexee Feldveläufe weden heute meist mit Hilfe numeische Feldbeechnung behandelt. Im Sondefall eines homogenen Feldes veeinfacht sich die Gleichung (3.7) zu de beeits aus Kapitel bekannten Fomulieung E l. Ladungen sind in Leiten fei beweglich. Sie weden solange veschoben, bis keine tangentiale Kaftkomponente an de Leiteobefläche meh auftitt. Dahe sind die Obeflächen metallische Leite Äquipotentialflächen, auf denen die E-Feldlinien senkecht stehen. Im Inneen ideale Leite ist das E-Feld Null. Dies gilt auch fü Hohläume in Leiten (Faaday sche Käfig). Dies hat einige paktische uswikungen: Ein uto ist ein Faadaysche Käfig. Dahe ist man im Fahzeuginnen vo Blitzen geschützt. Die Funktion von Mobiltelefonen ist in Stahlbetonbauweken meist eingeschänkt. De Faadaysche Käfig funktioniet nu, wenn im Innen des Hohlaums keine Ladungsanhäufungen aufteten! Bild 3. Feldfeiheit im Innen eines elektischen Leites (Faadaysche Käfig) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-3

4 3.. Kondensato Ein Kondensato besteht aus zwei entgegengesetzt geladenen Leiteobeflächen, die voneinande isoliet sind. Die Geometie ist beliebig. Duch nlegen eine Spannung weden Ladungstäge an den Leiteobeflächen gespeichet. Mit Hilfe von Expeimenten kann nachgewiesen weden, dass die Ladung de Spannung popotional ist. Die Popotionalitätskonstante wid Kapazität genannt: Q (3.) Fomelzeichen: Einheit: [] F (Faad) Das Schaltzeichen fü einen Kondensato besteht aus zwei paallelen Linien. Bild 3.3 Schaltzeichen fü einen Kondensato Fotsetzung zu Beispiel : Kapazität zwischen zwei Kugeln im bstand a (Näheung fü d<<a): Q 3π ε a 4 (3.) Die Göße de Kapazität ist nu von de Geometie und dem Mateial abhängig. m einfachsten ist de Fall des Plattenkondensatos zu betachten. Diese besteht aus zwei leitenden Platten (Elektoden) de Fläche, die sich im bstand l gegenübestehen. Zwischen den Elektoden wid eine Spannung angelegt. Leite l E Leite Bild 3.4 ufbau eines Plattenkondensatos Es zeigt sich, dass die Kapazität des Kondensatos popotional de Fläche de Elektoden und umgekeht popotional ihem bstand ist. ε l (3.3) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-4

5 Die Popotionalitätskonstante ε wid Dielektizitätskonstante genannt. Bei unteschiedlichen Isolatoen im Feld zwischen den Elektoden weden unteschiedliche Kapazitäten gemessen. Dahe ist ε eine Mateialkonstante. Sie wid meist als Podukt aus de absoluten Dielektizitätskonstante im Vakuum ε und eine mateialspezifischen elativen Dielektizitätskonstante ε angegeben: ε ε (3.4) ε Dielektikum Dielektizitätskonstante ε Luft 3. Öl,..,6. Wasse 8 unpolae Kunststoffe (PE,PTFE)...,5 4. polae Kunststoffe (PV), Papie 4 luminiumoxid l O ,5 Duchschlagsfeldstäke E D [kvm - ] Kondensatokeamik ND Kondensatokeamik ND (BaTiO 3 ) Tabelle 3. Dielektizitätskonstante und Duchschlagfeldstäke wichtige Dielektika. Fü Kondensatoen wuden veschiedene Baufomen entwickelt. Meist weden Wickel (zylindisch) ode Stapel (quadefömig) vewendet. Bild 3.5 a) Kondensato in Wickelbauweise b) Kondensato in Stapelbauweise De Mateialabhängigkeit de Ladung wid duch Einfühung eine weiteen Feldgöße echnung getagen, die elektische Veschiebungsdichte genannt wid: D ε E Fomelzeichen: Einheit: [D] sm - D (3.5) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-5

6 Die Veschiebungsdichte D bescheibt anschaulich die Dichte de Ladungstäge auf de Elektodenobefläche. Fü die gesamte Ladung Q auf de beteffenden Fläche gilt: Q D d 3... Kapazitätsbeechnung an Beispielen (3.6) Fü gewisse nwendungsfälle stebt man in de Paxis nodnungen mit möglichst goße Kapazität an. Sinn diese nodnungen ist, dass man bei elativ kleine Spannung eine möglichst goße Ladungsmenge speichen kann. Eine Vogehensweise zu Beechnung von Kapazitäten wid nachfolgend anhand einige paktische Beispiele vedeutlicht. Beispiel : De Plattenkondensato Die nodnung eines Plattenkondensatos wude beeits im Bild 3.4 gezeigt. Nachfolgend wid nu de homogene feldbehaftete aum mit de Dielektizitätszahl ε zwischen den Platten betachtet (Bild 3.6): l Q - Q E, D ε Hüllfläche Bild 3.6 Feld zwischen den Platten eines Plattenkondensatos und Hüllfläche um eine Platte zu Bestimmung de dielektischen Veschiebungsdichte D Die Betachtung de Hüllfläche gemäß Bild 3.6 um die Platte mit de Fläche liefet: Q D d D (3.7) Mit de dielektischen Veschiebungsdichte D egibt sich fü die elektische Feldstäke E: E D ε (3.8) Fü die Spannung zwischen den Platten und egibt sich gemäß Gleichung (3.7): D E dl E l l ε (3.9) us (3.7) und (3.9) egibt sich mit de Definitionsgleichung (3.) fü die Kapazität: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-6

7 Q D D l ε ε l ε ε l (3.) Beispiel : De Kugelkondensato Ein Kugelkondensato besteht aus sich zwei konzentisch umschließenden Kugelflächen mit den adien i und a, welche aus leitfähigem Mateial bestehen. Zwischen diesen leitfähigen Kugelschalen wid eine Spannung angelegt, woaufhin sich auf den Flächen elektische Ladungen anhäufen und sich die elektischen Feldlinien ausbilden. uf de inneen Kugel mit dem adius i befinde sich die Ladungsmenge + Q, auf de äußeen Kugel mit dem adius a befinde sich die entspechende gegengesetzte Ladungsmenge Q. In Bild 3.7 ist dies schematisch dagestellt: a i E,D, ε Bild 3.7 Schnitt duch einen Kugelkondensato mit angedeutetem Feldlinienvelauf Wid nun im feldbehafteten aum zwischen i und a im bstand eine vituelle Kugelfläche betachtet, so lässt sich nach Gleichung (3.7) die Stäke de dielektischen Veschiebung D beechnen. Es gilt fü das kugelsymmetische Feld: Q D d D D 4 π Fü den Betag de elektischen Feldstäke folgt damit: (3.) D Q E ε 4 π ε (3.) Fü die Spannung zwischen den Kugelschalen egibt sich gemäß Gleichung (3.7): a a π ε π ε a Q Q E d d 4 4 i i i d Q 4 π ε a i Q 4 π ε a i (3.3) Wiedeum egibt sich mit de Definitionsgleichung (3.) fü die Kapazität: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-7

8 Q 4 i π ε a 4 π ε a a i i (3.4) Beispiel 3: Kapazität eines Kugelkondensatos mit dem adius im feien aum. De Kondensato tage die Ladung Q. us Symmetiegünden genügt die Beechnung de adialen Feldkomponenten (die tangentialen Komponenten sind Null): D Q 4π (3.5) E D ε Die Spannung zwischen de Obefläche und einem unendlich entfenten Punkt betägt: Q 4πε Q d 4π ε Damit folgt fü die Kapazität eine metallischen Kugel im feien aum: Q 4π ε (3.6) (3.7) (3.8) Das selbe Egebnis ehält man auch aus Gleichung (3.4), wenn man den Genzübegang fü a ausfüht und den Innenadius i setzt. Beispiel 4: Kapazität eines Koaxialkabels In elektischen Schaltungen ode bei Messungen müssen in manchen Fällen die Leitungskapazitäten de Leitungen beücksichtigt weden. Ein häufig vewendete Kabeltyp ist das Koaxialkabel. Eine schematische Dastellung ist in Bild 3.8 angegeben. De feldbehaftete aum befindet sich zwischen dem Innenleite und dem ußenleite. Innenleite E, D,ε ußenleite Bild 3.8 Pinzipielle ufbau eines Koaxialkabels. De Feldaum befindet sich zwischen Innen- und ußenleite bteilung Elektische Enegiewandlung 3-8

9 Fü ein Leitungsstück de Länge L lässt sich fü eine gedachte Hüllfläche mit dem adius um den Innenleite mit i a de Betag de dielektischen Veschiebung D des adialsymmetischen Feldes wie folgt bestimmen: Q D d D D π L Fü die Spannung zwischen de inneen und de äußeen Zylindemantelfläche ehält man: (3.9) a a Q E d π ε d L i i Q π ε L Q a a [ ln() ] π ε ln i L i (3.3) us de Definitionsgleichung fü die Kapazität ehält man aus den vohegehenden Beziehungen fü die Kapazität de Koaxialleitung mit de Länge L: Q π ε L a ln i (3.3) us den voausgegangenen Beispielen wid die pinzipielle allgemeine Beechnungsweise eine Kapazität deutlich. Die Schitte lassen sich wie folgt zusammenfassen: Q D d E D ε l Q E dl f (Q) mit D f (Ot) 3..3 Stöme und Spannungen am Kondensato Fü die Pfeilung de Spannung und des Stomes am Kondensato wid folgende Zuodnung angenommen: (3.3) (3.33) (3.34) (3.35) u i Bild 3.9 Pfeilung des Stomes und de Spannung am Kondensato bteilung Elektische Enegiewandlung 3-9

10 Eine Ändeung des Ladezustands eines Kondensatos geht mit eine Spannungsändeung einhe. q ( t) u( t) (3.36) Bei eine zeitlichen Veändeung des Ladezustands fließt ein Stom im Kondensato: ( t) i dq ( t) du( t) (3.37) Die voausgehende Gleichung ist das Gundgesetz fü den Kondensato (Kondensatogleichung). n den Elektoden des Kondensatos sammeln sich Ladungen. Im Dielektikum selbst fließt kein Stom. Die Spannung am Kondensato kann sich nicht spungfömig änden, da dazu ein unendliche Stom notwendig wäe Laden und Entladen eines Kondensatos m einen Kondensato auf eine Spannung aufzuladen, muss e übe einen in eihe geschalteten Widestand an die Quelle angeschlossen weden. Im folgenden Beispiel ist de Kondensato fü Zeiten t < ungeladen. Zu Zeit t wid de Schalte S geschlossen. S t u i u Bild 3. Esatzschaltbild fü den Ladevogang eines Kondensatos Die Maschenegel liefet: u (t) u (t) (3.38) + Fü den Widestand gilt das ohmsche Gesetz: u (t) i (t) (3.39) De Kondensato folgt de Kondensatogleichung: i du (t) (t) Einsetzen von (3.4) in (3.39) und in (3.38) liefet die Diffeentialgleichung: (3.4) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-

11 du (t) + u c (t) (3.4) Neben de Diffeentialgleichung ist zu Lösung eine andbedingung, d. h. ein feste Wet fü einen vogegebenen Zeitpunkt, efodelich: s. o. u () Diffeentialgleichungen sind i.. nicht geschlossen lösba (s. Volesung Mathematik). In vielen einfachen Fällen aus Natu- und Ingenieuwissenschaften existieen geschlossene Lösungen. Hie füht de nsatz übe eine Exponentialfunktion zum Efolg: u τ ( t) α e + α t (3.4) t ( t) α τ du (3.43) e τ Einsetzen egibt: t t α τ τ e + α e τ + α Die zeitabhängigen Teme müssen in Summe Null egeben, da const. Ist. α τ τ e + α e τ t t τ De zeitunabhängige Tem muss dann egeben: (3.44) (3.45) α (3.46) Mit de andbedingung folgt: τ ( ) + α e α u u ( t) e t (3.47) (3.48) i ( t) e t (3.49) Das Podukt ist chaakteistisch fü den zeitlichen blauf de ufladung. Es hat die Dimension eine Zeit und wid als Zeitkonstante des Stomkeises τ bezeichnet. τ (3.5) De zeitliche Velauf von Stom und Spannung beim Laden eines Kondensatos sieht wie folgt aus: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-

12 Wete fü den beechneten Velauf: V kω µf τ s Bild 3. Zeitliche Velauf des Stomes und de Spannung am Kondensato wähend des Ladevoganges Eine genauee Betachtung des Vehaltens zu bestimmten Zeitpunkten liefet die folgenden Ekenntnisse: Zeit Kondensato wikt wie u i t Kuzschluss u ( ) t τ t Leelaufvehalten u ( ) u e ( ) i ( τ ) ( τ ) i i ( ) e Tabelle 3. Vehalten des Kondensatos zu bestimmten ausgezeichneten Zeitpunkten Beim Entladen wid die eihenschaltung aus Widestand und Kondensato übe einen Schalte kuzgeschlossen. Zu Zeit t < ist de Kondensato auf die Spannung aufgeladen. Zu Zeit t wid de Schalte S geschlossen. S t u i u Bild 3. Esatzschaltbild fü den Entladevogang eines Kondensatos bteilung Elektische Enegiewandlung 3-

13 Wie beim Laden wid die Diffeentialgleichung des Systems aufgestellt: du (t) + u c (t) Mit de andbedingung: u () folgt: u (t) e t e t τ (3.5) (3.5) i (t) e t e t τ (3.53) De zeitliche Velauf von Stom und Spannung beim Entladen eines Kondensatos sieht wie folgt aus: Wete fü den beechneten Velauf: V kω µf τ s Bild 3.3 Zeitliche Velauf des Stomes und de Spannung am Kondensato wähend des Entladevogangs (beachte: negative Wete de Stomachse!) Hinweis: Bei Schaltungen mit k Kondensatoen muss po Kondensato i eine Exponentialfunktion angesetzt weden: t t u i.. τk τk ( t) α k e + α k e + + α (3.54) Mit Hilfe von Laplace- ode Fouie-Tansfomation kann das lineae Diffeentialgleichungssystem dann in ein lineaes Gleichungssystem übefüht weden, Lösung dann wie lineae Gleichungssystem wie in Kapitel Schaltungen von Kondensatoen Paallelschaltung: alle Kondensatoen haben dieselbe Spannung. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-3

14 ν e Bild 3.4 Paallelschaltung aus ν Kondensatoen (links) und entspechende Esatzschaltung mit de Esatzkapazität e (echts) Q k (3.55) k Die Esatzkapazität e beechnet sich als Summe de Einzelkapazitäten. Q e k k eihenschaltung: alle Kondensatoen haben dieselbe Ladung: (3.56) e ν Bild 3.5 eihenschaltung aus ν Kondensatoen (links) und entspechende Esatzschaltung mit de Esatzkapazität e (echts) k Q k (3.57) (3.58) Q e k k 3..6 Enegie des elektischen Feldes im Kondensato Zu Zeit t sei de Kondensato lee. E wid geladen; i und u sind die Momentanwete des Stomes und de Spannung zu Zeit t. Dabei wid dem Kondensato die Enegie W zugefüht: W u (t) i (t) (3.59) Nun gilt abe wie oben: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-4

15 i du (t) (t) Einsetzen des Stoms in (3.59) egibt: (3.6) W u (t) du Diese Enegie kann bei Entladung vollständig entnommen weden. (3.6) 3..7 Enegiedichte des elektischen Feldes Die Enegiedichte ist die auf das Volumen bezogene Enegie. m Beispiel des Plattenkondensatos kann sie einfach beechnet weden. Dessen Kapazität betägt (s.o.): ε ε l Die Enegiedichte egibt sich dann zu: (3.6) W V V ε ε l l ε ε l l D E ε ε E (3.63) Es ist nachweisba, dass diese Gleichung auch fü inhomogene Felde veallgemeinet weden daf. Die Gesamtenegie folgt dann duch Integation de Enegiedichte übe das Volumen: W V ε E d V (3.64) 3. Das magnetische Feld 3.. llgemeines Neben den Käften auf uhende elektische Ladungen wid eine zweite t von Käften auf bewegte Ladungen beobachtet. Das veusachende Feld wid als magnetisches Feld bezeichnet. Magnetische Felde entstehen entwede duch Stöme ode duch Pemanentmagnete. Die Wikung von Pemanentmagneten wid heute so eklät, dass jedes um einen tomken otieende Elekton einen elektischen Stom dastellt. In den meisten Mateialien kompensieen sich die Wikungen de Elektonen nach außen. Bei Pemanentmagneten jedoch entsteht ein äußees Feld, indem eine Übezahl von Elektonen in eine Ebene in de gleichen ichtung otiet. Die nziehungskaft von Pemanentmagneten auf Eisen gab dem Magnetismus seinen Namen, da das Phänomen estmals in de ntike in de magnetiteichen egion Magnesia (Giechenland) beobachtet wude. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-5

16 3.. Gößen im magnetischen Feld 3... Magnetische Feldstäke und magnetische Spannung Wenn ein Stabmagnet (z. B. eine Kompassnadel) in die Nähe eines langen stomduchflossenen Leites gebacht wid, kann Folgendes beobachtet weden: Eine Kaft stellt den Magneten imme so, dass seine Magnetisieung tangential zu einem gedachten Keis um den Leite weist. Die Kaft auf den Magneten ist popotional dem Stom I und umgekeht popotional dem bstand des Magneten von de Mittellinie des Leites. Magnet N S H I Bild 6 Magnetfeld eines stomduchflossenen Leites und usichtung eines Stabmagneten im feldbehafteten aum Fü die Dastellung wid folgende Symbolik vewendet: Keuz: Stom fließt in die Zeichenebene Punkt: Stom fließt aus de Zeichenebene ufgund diese Beobachtungen wid magnetische Feldstäke H definiet als Quotient aus dem veusachenden Stom und de Länge de Feldlinie: I H π Fomelzeichen: H Einheit: [H] m - I eϕ π H π I ( x + y ) x y (3.65) Die magnetische Feldstäke H ist eine vektoielle Göße. Bei einem langen geaden Leite velaufen die Feldlinien keisfömig um den Leite. Das magnetische Feld weist geschlossene Feldlinien auf. nschaulich bilden die Feldlinien Wibel um Gebiete mit elektischem Stomfluss. Das Magnetfeld wid dahe auch als Wibelfeld bezeichnet und weist im Gegensatz zum elektischen Feld keine Quellen auf. Die ichtung de Feldlinien: wid duch die Kokenzieheegel festgelegt: Eine in ichtung des Stomes eingedehte echtsschaube gibt duch ihen Dehsinn die ichtung des Magnetfeldes an. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-6

17 3... Magnetische Induktion (magnetische Flussdichte) Die Einfühung eine weiteen magnetischen Feldgöße ist efodelich, weil Mateialien einen Einfluss auf das Vehalten des magnetischen Feldes haben. Z.B. vestäkt Eisen die Kaftwikung im magnetischen Feld. Die zweite magnetische Feldgöße wid magnetische Induktion (ode magnetische Flussdichte) B genannt. Sie ist, wie auch die magnetische Feldstäke, ein Vekto und steht paallel zu magnetische Feldstäke. Fomelzeichen: Einheit: B [B] Vsm - T (Tesla) Manchmal wid noch die alte Einheit G (Gauß) angegeben: T 4 G Wie auch beim elektischen Feld sind die beiden magnetischen Feldgößen übe eine Mateialgleichung miteinande veknüpft. B µ H (3.66) Die Mateialkonstante µ wid Pemeabilität (ode Induktionskonstante) genannt. uch hie efolgt paktischeweise eine ufteilung in die absolute Pemeabilität im Vakuum µ und in eine mateialabhängige elative Pemeabilität µ. µ µ (3.67) µ Die absolute Pemeabilität betägt: µ 4π 7 Vs m,56 6 Vs m (3.68) In Luft und den meisten andeen Mateialien ist µ. In feomagnetischen Mateialien kann µ eheblich gößee Wete (...) annehmen. Die Göße von µ hängt stak von de magnetischen Induktion ab. Feomagnetische Mateialien sind z. B. die Elemente Eisen, Nickel und Kobalt Makoskopische Bescheibung magnetische Felde Das bishe beschiebene Feld eines Linienleites ist stak inhomogen und dahe technisch schwieig zu nutzen. Dahe soll nun eine nodnung vogestellt weden, die ein (in Teilbeeichen) homogenes magnetisches Feld ezeugen kann. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-7

18 Feld eine Spule l Bild 3.7 Vom Stom duchflossene Spule (Dahtwindungen) und magnetisches Feldbild Feststellung aus Expeiment: Im Innen de Spule ist Feld göße als duch I zu vemuten. Feld ist im Innen de Spule nahezu konstant. Ekläung duch Übelageung de einzelnen Windungen: H ~ w I Dazu wid ein Daht wie eine Schaubenfede aufgewickelt. Wenn die Länge l de Spule deutlich göße ist als de Duchmesse, bildet sich im Innen des Zylindes ein homogenes magnetisches Feld aus. l Da es sich beim magnetischen Feld nach wie vo um ein Wibelfeld handelt, schließen sich die Feldlinien außehalb de Spule in einem inhomogenen Feldanteil. Die magnetische Feldstäke H im Innen des Zylindes betägt: w I H l mit w: Windungszahl de Spule (3.69) Duchflutung (magnetische Spannung) Die magnetische Feldstäke steht senkecht auf de Ebene, die die Stomichtung angibt. sache des magnetischen Feldes ist die Summenwikung des Stoms in allen Windungen. Sie wid auch als magnetische Duchflutung Θ bezeichnet: Θ w I (3.7) In de älteen Liteatu wid fü die Duchflutung oft die Bezeichnung mpèewindungen benutzt. Die Duchflutung hat im magnetischen Feld dieselbe Bedeutung wie die Spannung im elektischen Feld. Die magnetische Feldstäke steht imme senkecht auf den sie veusachenden Stom (exakt fomuliet: auf dem Stomdichtevekto). Die die Feldstäke ezeugende Duchflutung entlang eines Weges betägt: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-8

19 Θ H d s Im Falle eines geschlossenen Weges ist die magnetische Spannung gleich de Summe de eingeschlossenen Stöme. Duch geschickte Wahl des Integationswegs wid nun nachgewiesen, dass das ußenfeld eine langen Spule keinen Beitag zu Gesamtduchflutung liefet: (3.7) l Bild 3.8 Queschnitt duch eine Spule und veschiedene magnetische mlaufwege uf dem geschlossenen mlaufweg gilt: H ds H ds + 3 H ds + Fü die einzelnen Teme gilt: Fü die einzelnen Teme gilt: H ds H l 3 H ds, da H s 4 H ds 3, da H ( ) H ds, da H s H ds + 4 H ds w I (3.7) (3.73) Somit bleibt: H l w I (3.74) H l w I Im allgemeinen Fall können mehee unabhängige Stöme ein gemeinsames Magnetfeld veusachen: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-9

20 Bild 3.9 Duch mehee Stöme veusachtes Magnetfeld H ds I (3.75) Die Stomsumme kann duch das Integal de Stomdichte übe de vom Integationsweg eingeschlossenen Fläche ausgedückt weden: Θ H ds S d (3.76) Gleichung (3.76) wid als Duchflutungsgesetz bzw. als. Maxwellsche Gleichung in Integalfom bezeichnet Magnetische Fluss De magnetische Fluss Φ bescheibt die Summe de magnetischen Induktionslinien, die senkecht duch eine Fläche teten. In einem homogenen B-Feld (ezeugt z. B. eine langen) Spule gilt fü eine ebene Fläche (Hinweis: Flächenvekto steht senkecht auf eine Fläche!): Φ B cos ( B, ) B (3.77) Bild 3. Magnetische Fluss duch die geichtete Fläche Fomelzeichen: Φ Einheit: [Φ] Vs Wb (Webe) Manchmal wid noch die alte Einheit M (Maxwell) angegeben Vs ^ 8 M bteilung Elektische Enegiewandlung 3-

21 Im Innenaum de Spule egibt sich fü den gesamten Fluss (Fläche steht senkecht auf den Induktionslinien): Φ B B π (3.78) Im allgemeinen Fall nicht homogene Felde gilt folgende Definition des Flusses: Φ B d (3.79) Magnetfeld eines geaden stomduchflossenen Leites m nfang de Behandlung magnetische Felde wude beeits qualitativ auf das ußenfeld ein es geaden stomduchflossenen Leites eingegangen. Nun soll das Feld im Innen- und ußenaum des Leites beechnet weden. ϕ SS z const. z HH ϕ () Bild 3. In z-ichtung vom Stom I duchflossene Leite Im Innenaum des Leites ( < ) gilt mit de Stomdichte S S z I π I (3.8) H hat nu eine Komponente in ichtung de Winkelkoodinate ϕ: H H ϕ. De Weg entlang de Winkelkoodinate betägt: s ϕ ds ϕ dϕ (3.8) ϕ π Hds H ϕ dϕ H ϕ π (3.8) π π d πd (3.83) π S d I S πd (3.84) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-

22 I e π H ϕ ϕ (3.85) Im ußenaum wid de gesamte Leitestom umschlossen: H ds H π S d I I H π (3.86) (3.87) (3.88) Im nachfolgenden Bild sind die Feldveläufe im Innenaum des Leites und im ußenaum um den Leite dagestellt. Bild 3. Feldvelauf im Innen und im ußenaum eines stomduchflossenen Leites Beispiel: Koaxialkabel mit, und 3. Innenbeeich wie Einzelleite. Von bis 3 gilt: S π I ( 3 ) (3.89) d d π S d I π π ( ) d I 3 3 (3.9) (3.9) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-

23 H I 3 (3.9) H I π 3 fü fü fü fü < < < 3 3 (3.93) 3..4 Magnetische Wekstoffe Gundsätzliche ntescheidung: diamagnetisch: µ < paamagnetisch: µ > feomagnetisch: µ >> Vehalten De elative Pemeabilität nimmt in einigen Stoffen Wete µ >> (bis.) an. Technisch bedeutend sind vo allem die Elemente Eisen, Nickel, Kobalt und deen Legieungen. Diese Stoffe weden als feomagnetisch bezeichnet. Die elative Pemeabilität diese Stoffe hängt von de magnetischen Induktion ab. Obehalb von etwa T vehalten sich die meisten Feomagnetika wie Luft. Die elative Pemeabilität hängt ebenfalls von de Tempeatu ab. So ist z.b. Gadolinium nu untehalb von 9 feomagnetisch (Nutzung in Tempeatusensoen). Die elative Pemeabilität von feomagnetischen Stoffen ist nichtlinea und hängt von de Vogeschichte ab. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-3

24 B in T,5 Sättigung Tansfomatoblech Gusseisen B µ H H in /m Bild 3.3 Magnetisieungskennlinien von Tafoblech und von Gusseisen Diese bhängigkeit wid in de Paxis in "Magnetisieungskuven" angegeben Hysteese, emanenz, Koezitivkaft Das nachfolgende Bild zeigt eine nodnung zu Messung de Eigenschaften feomagnetische Wekstoffe. Eine Spule mit meheen Windungen wid um einen feomagnetischen Ken geschlungen. ufgund de hohen Pemeabilität des feomagnetischen Wekstoffs wid das Magnetfeld paktisch vollständig in diesem Wekstoff velaufen. B µ H Bild 3.4 nodnung (magnetische Keis) zu Bestimmung des Zusammenhangs zwischen magnetische Induktion B und magnetische Feldstäke H, B f(h) Bei estmalige Beaufschlagung eines feomagnetischen Stoffes mit einem Feld steigt B in bhängigkeit von H entspechend de Kuve a, de sog. Neukuve. Wenn nun die Feldstäke zuückgenommen wid (z.b. duch usschalten des Stoms), bleibt eine estinduktion zuück, die sogenannte emanenzinduktion. m die Induktion wiede auf Null zu bingen, ist ein Gegenfeld notwendig, dessen Stäke als Koezitivfeldstäke bezeichnet wid. Duch mehfaches Duchlaufen des Zyklus in beide ichtungen entsteht die Hysteeseschleife. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-4

25 Bild 3.5 Hysteesekuve sache fü dieses Vehalten ist eine eibung beim mklappen de Elementamagnete. Beim Duchlaufen de Hysteeseschleife wid eine spezifische Enegie vebaucht, die de eingeschlossenen Fläche entspicht. Das Vehalten feomagnetische Wekstoffe kann veeinfacht wie folgt eklät weden: B unmagnetisiet B < B teilweise magnetisiet (Feldvestäkung) B > B voll magnetisiet (Sättigung) Bild 3.6 Ekläung des magnetischen Vehaltens von Feomagnetika Das vom Magnetisieungsstom ezeugte H-Feld ichtet die "Elementamagnete" (atomae ingstöme) imme stäke paallel zu H aus. Daduch wächst die Induktion B (mklappen von Elementamagneten). Wenn alle Elementamagnete ausgeichtet sind, kann keine Steigeung meh efolgen. Es titt eine Sättigung ein. Typische Wete fü die Sättigungsinduktion betagen,5.. T in technisch elevanten Wekstoffen. De höchste gemessene Wet betägt 3,67 T (Dysposium bei Tempeatuen unte K). bteilung Elektische Enegiewandlung 3-5

26 Hatmagnetische Wekstoffe Wekstoffe mit hohe Koezitivfeldstäke weden als magnetisch hat bezeichnet. Sie haben im Idealfall eine echteckige Hysteeseschleife. Deatige Wekstoffe weden als Pemanentmagnete in Haftmagneten, Elektomotoen, Elektoakustik und magnetischen Speichen eingesetzt. Maximal eeichbae Sättigungsinduktionen B liegen bei,5 T. Die Koezitivfeldstäken eeichen bis.5. m -. Bild 3.7 Hysteesekuve eines magnetisch haten Wekstoffs Stähle (V) Oxide (Magnetit: Fe 3 O 4, homdioxid O : geinge emanenz fü Speicheung) Sintewekstoffe Feite (kostengünstiges Mateial fü Kleinmotoen) Seltenedmagnete (Smo, NdFeB: hohe emanenz fü Motoen, Lautspeche) Weichmagnetische Wekstoffe Wekstoffe mit eine kleinen Fläche de Hysteeseschleife weden als magnetisch weich bezeichnet. Ihe Kennlinie ist im Idealfall eine Geade. Sie weden zu Fühung des magnetischen Flusses in elektischen Maschinen, Tansfomatoen, ktoen und Magnetköpfen eingesetzt. Bild 3.8 Hysteesekuve eines magnetisch weichen Wekstoffs bteilung Elektische Enegiewandlung 3-6

27 eineisen Siliziumeisen (Fe +,4 3% Si: geinge Veluste bei Netzfequenz und hohe Sättigung) Kobalt-Eisen (bis,43 T Sättigungsinduktion bei aumtempeatu) Nickel-Eisen (µ bis einige.: Mumetall) mophe Wekstoffe (geinge Veluste bei hohen Fequenzen) nmagnetische Wekstoffe In vielen nwendungen ist es ewünscht, unmagnetische Wekstoffe in de Konstuktion zu vewenden. Dafü eignet sich als besondes festes Mateial neben Ne-Metallen auch ustenit- Stahl (µ.. ) De magnetische Keis ls magnetische Keise bezeichnet man nodnungen zu kontollieten Fühung magnetische Feldlinien. Entspechend den bisheigen usfühungen bilden diese sich in einem geschlossenen Keis aus. Zu Fühung weden hauptsächlich feomagnetische Mateialien (im allgemeinen Spachgebauch Eisen ) vewendet, die anwendungsbedingt von Luftspalten untebochen sein können. Die Linien de magnetischen Induktion velaufen übewiegend im Eisen. Das Bild zeigt einen einfachen magnetischen Keis mit eine um den -fömigen Eisenken gewickelten Spule, zwei Luftspalten und einem beweglichen nke. Zu Beechnung wid die veeinfachende Voaussetzung getoffen: Die Induktionen im Eisen und im Luftspalt sind paktisch homogen. Spule Joch Idealisiete magnetische Induktionslinien (homogenes Feld) Pole Luftspalt nke Bild 3.9 Einfache magnetische Keis mit zwei Luftspalten us dem Duchflutungsgesetz folgt: Θ H Fe l Fe + H δ lδ w I (3.94) De magnetische Fluss ist in allen bschnitten gleich: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-7

28 Φ BFe Fe B (3.95) Θ µ Fe l Fe Fe δ + µ δ δ lδ δ Φ (3.96) Die inneen Teme sind fomal aufgebaut wie die Bestimmungsgleichung fü den elektischen Widestand. Dahe wid ein magnetische Widestand definiet: m l µ (3.97) Magnetische Keise können wie elektische Keise vezweigt sein. Hie sind das Ohmsche und die Kichhoff schen Gesetze anwendba. Beispiel : Deischenkeldossel (nwendung in Dehstomschaltungen) Φ J J Φ Φ 3 Φ Φ 3 J J Θ Θ Θ 3 S S S3 S S S3 Φ J3 J4 Θ Θ Θ 3 J3 J4 Bild 3.3 Deischenkeldossel Bei weitem Luftspalt und fü bschätzungen kann de Beitag de Eisenwege venachlässigt weden. ufgund des nichtlineaen Vehaltens de Eisenwege efolgt die paktische Beechnung von magnetischen Keisen gaphisch ode numeisch (siehe Übungen). In unvezweigten magnetischen Keisen wid unte de nnahme eines homogenen und konstanten magnetischen Flusses abschnittsweise de magnetische Widestand beechnet und entspechend dem Duchflutungsgesetz duch Summieen die notwendige Duchflutung beechnet. us Θ k l (3.98) k Φ µ k k folgt duch Einsetzen de Mateialkennlinie µ f Φ ( B) f die Kennlinie des magnetischen Keises (3.99) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-8

29 ( Φ) Θ f (3.) Beispiel : Scheung (gaphisches Vefahen zu Emittlung de Kennlinie von nichtlineaen magnetischen Keisen) Gundgedanke: Sättigungskennlinie des Eisens liegt vo (einfache Keis mit Weicheisen und Luftspalt). H l + H Fe l Θ (3.) H δ δ Fe Θ l Fe H Fe δ l l δ Fe De Schnittpunkt diese Geadengleichung mit de Kennlinie egibt den beitspunkt: (3.) Bild 3.3 Konstuktion des beitspunktes Folgen: Lineaisieung de Kennlinie des Keises; ehöhte Magnetisieungsbedaf Paktische Beechnung: Iteative Emittlung de beitskennlinie mit pogammiebaem echne ode FE-Feldbeechnung Enegie des magnetischen Feldes Beim ufbau eines magnetischen Feldes wid die Enegie W m in dieses Feld gespeichet: W m V H BdH Nu bei konstantem µ (z.b. in Luft) kann de usduck veeinfacht weden: (3.3) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-9

30 W m H µ H B H B V BdH V µ HdH V V V µ H In nalogie zum elektischen Feld kann auch eine Enegiedichte definiet weden: (3.4) W V B H (3.5) Beispiel: Luftspalt in einem Eisenkeis: B T, µ,56 µh/m: W/V 4 kj m -3 ist göße als elektische Enegiedichte Beechnung von Käften im Magnetfeld Wie beeits bei de Einfühung dagestellt, veusachen magnetische Felde eine Kaftwikung. Nun sollen solche Käfte beechnet weden Beechnung von Käften aus de Enegie Im Folgenden wid ein geneell gültiges Vefahen anhand eines Elektomagneten mit Joch, Luftspalt und nke beschieben. Das Vefahen nutzt die magnetische Enegie. Die Kaft in eine vogegebene ichtung entspicht de Enegieändeung po Wegeinheit, bzw. die Kaft ist die bleitung de gespeicheten Enegie nach dem Weg. Die Methode wid vituelle Veschiebung genannt. δ Bild 3.3 usschnitt aus einem magnetischen Keis mit Luftspalt ls Beispiel wid ein Eisenkeis mit Luftspalt gewählt. Das Eisen sei magnetisch ideal leitend. Damit wid H Fe. lso ist die gesamte magnetische Enegie im Luftspalt gespeichet. Sie betägt: W m mit µ H δ δ: Luftspaltlänge und : Luftspaltfläche (3.6) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-3

31 Nun kann H bestimmt weden: w I H δ Damit folgt fü die Enegie: (3.7) W m µ w I δ δ µ δ ( w I) Wenn nun de nke um das kleine Stück δ veschoben wid, egibt sich fü die Kaft: F m W δ m µ δ µ ( w I) B µ w I δ µ (3.8) (3.9) Wenn man Zahlenwete in den letzten Tem einsetzt, ehält man einen usduck fü die maximale Zugspannung, die man mit Elektomagneten eeichen kann (mit B T): F π 7 N m N 3 mm Technische nwendungen fü Joch-nke-nziehung findet man z. B. bei Elektomagneten (Hubmagnete), elektomagnetischen elais, magnetischen Kupplungen und ufspannplatten (die Mehzahl de Elektomotoen funktioniet nach einem andeen Pinzip!). Deatige Käfte teten auch im Inneen vom Eisen auf. Daauf sind Magnetostiktion (Längenändeungen unte Feldeinfluss) und Geäusche von Tansfomatokenen zuückzufühen Kaft auf stomfühende Leite im Magnetfeld Einige Magnetfelde bilden sich ohne Eisen fei im aum aus. uch hie titt eine Kaftwikung auf. ls Beispiel wid ein stomfühende Leite de Länge l gewählt, de sich in einem homogenen Magnetfeld befindet. Die ichtung des Leites ist senkecht zum homogenen Feld. uch de Leite ezeugt ein Magnetfeld, das sich dem homogenen Feld übelaget (s. Bild). bteilung Elektische Enegiewandlung 3-3

32 Bild 3.33 Stomduchflossene Leite im Magnetfeld und Übelageung de beiden Felde uf de linken Seite wid das Eigenfeld des Leites geschwächt, auf de echten Seite hingegen vestäkt. Damit entsteht links eine niedigee Enegiedichte als echts. De Leite efäht eine Kaft in ichtung auf die niedigee Enegiedichte. Expeimentell wid festgestellt, dass die Kaft dem Stom I, de Länge des Leites l und de Induktion im homogenen Feld B popotional ist. Es ist also: F I l B (3.) Die Wikung de Kaft folgt dabei de echte-hand-egel : De Daumen gibt die Kaftichtung an, de Zeigefinge die Stomichtung und de Mittelfinge die Feldichtung. Wenn nun de Leite gedeht wid und nicht meh senkecht zum Feld steht, wid festgestellt, dass die Kaft auch vom Winkel zwischen Leiteichtung und Feldichtung abhängt. Sie ist maximal bei 9 und wid bei zu Null. Dahe lautet die Gleichung in vektoielle Scheibweise: ( l B) F I (3.) Ode ( ( l,b) ) F I l B sin (3.) Die Kaft zeigt senkecht zu duch l und B aufgespannten Ebene. De Stom selbst ist eine skalae Göße. Die ichtung des Vektos wid ausschließlich duch die Länge des Leites bestimmt. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-3

33 Es soll nun beechnet weden, wie goß die Kaft zweie paallele stomduchflossene Leite aufeinande ist. Bild 3.34 Paallele stomduchflossene Leite De Stom I im Leite ezeugt an de Stelle des Leites im bstand a die Induktion: B I ( ) µ I π µ I a I a π Da die Induktion senkecht auf de ichtung des Stoms im Leite steht, kann die Kaft einfach beechnet weden: F µ I I l π a (3.3) (3.4) Wenn man nun die Länge und den bstand de Leite mit jeweils m festlegt, so weden zu Ezielung eine Kaft von, µn in jedem Leite benötigt (Definition de Einheit ). Weden die Leite entgegengesetzt vom Stom duchflossen, entsteht eine abstoßende Kaft, bei gleichsinnigem Stom eine anziehende Kaft. Hinweis: Zwischen stomfühenden Kabeln entstehen Käfte. Die Kabel müssen dahe abgestützt weden. Beispiele:.Halleffekt B F el I h F mag Bild 3.35 Halleffekt bteilung Elektische Enegiewandlung 3-33

34 Ein magnetisches Feld duchsetzt einen Leite. uf die Ladungstäge wid eine magnetische Kaft senkecht zu Stomflussichtung ausgeübt. Diese Kaft lenkt die Ladungstäge ab. Elektonen weden im Beispiel nach unten abgelenkt, d.h. Ladungsanhäufung am unteen and des Leites. Damit entsteht eine Hallspannung h ~ B I. Vewendung zu Messzwecken (Magnetfeld, beühungslose Stommessung, bstandssensoen mit zusätzlichem Pemanentmagneten).. Kaftwikung auf eine bestomte Spule (po Windung): Spule F M F B Bild 3.36 Kaft auf stomduchflossene Windung in einem Magnetfeld Kaft auf jeden de Leite im bstand a ist: F B I l (3.5) Bei angegebene Winkelposition: M F a B I l a I B Spule Bei Veändeung de Winkelposition um α: (3.6) M I B Spule cosα (3.7) 3. Dehspulinstument (Stommessung) Weicheisen Spialfede Dehspule Bild 3.37 Pinzip eines Dehspulmessweks Pemanentmagnet bteilung Elektische Enegiewandlung 3-34

35 Mit MB I und αm c folgt α~i, d.h. de Winkel α ist popotional dem Stom I. 4. Lautspeche: Memban Fede Tauchspule ahmen ingmagnet Weichmagnetische Flussfühung Bild 3.38 Lautspeche 5. Elektomoto (Pinzip): Weicheisen Spulen Pemanent- ode Elektomagnet Bild 3.39 Pinzip eines Dehspulmessweks bteilung Elektische Enegiewandlung 3-35

36 3.3 Zeitlich veändeliche magnetische Felde 3.3. Induktionsgesetz In einem magnetischen Feld befindet sich eine offene Leiteschleife (siehe Bild 3.4). Bild 3.4 Offene Leiteschleife im magnetischen Feld In einem magnetischen Feld befindet sich eine offene Leiteschleife. Expeimentell wid Folgendes festgestellt: Bei eine zeitlichen Ändeung von B entsteht eine Spannung i zwischen den Enden de Leiteschleife. Die Spannung hängt von de Ändeungsgeschwindigkeit von B ab: u i db ~ Bei eine Ändeung de von B duchsetzten Fläche duch Bewegung de Schleife entsteht ebenfalls eine Spannung i. Die Spannung ist popotional de Ändeungsgeschwindigkeit de Fläche : d i ~ Bei eine Dehung de Leiteschleife entsteht auch eine Spannung i. Die Spannung ist hie popotional zu de Ändeungsgeschwindigkeit des Winkels zwischen Leitefläche und B-Feld: i d cos( ( B,) Die Spannung hängt offensichtlich von de Ändeung des Flusses duch die Leiteschleife ab. Es egibt sich: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-36

37 u i dφ (3.8) Diese Zusammenhang wid Induktionsgesetz genannt. E kann duch das Einfühen vektoielle Feldgößen veallgemeinet weden: E ds d B d (3.9) Gleichung (3.9) wid als Induktionsgesetz ode. Maxwellsche Gleichung in Integalfom bezeichnet. Das Linienintegal de elektischen Feldstäke entlang eine Leiteschleife ist gleich de zeitlichen Ändeung des von de Leiteschleife umandeten Flächenintegals de magnetischen Induktion. uf dem Induktionsgesetz beuht die Wikung des Geneatos. Eine Leiteschleife otiet in einem magnetischen Feld (siehe Bild 3.4). B i Bild 3.4 In einem Magnetfeld otieende Leiteschleife Es entsteht eine an den Klemmen abgeifbae Spannung, die sich zeitlich sinusfömig ändet: ui - d Φ d t - d d t ( B, ) π n B sin( π n t) (3.) (B cos Das Fomelzeichen n steht fü die Dehzahl de Leiteschleife Bewegung eine Leiteschleife im konstanten Magnetfeld Das Induktionsgesetz kann duch das Gleichgewicht zwischen magnetischen und elektischen Käften eklät weden. Dazu wid in einem Gedankenexpeiment eine Leiteschleife in ein homogenes magnetisches Feld hineinbewegt (Bild 3.4 links). Physikalisch ist dies gleichbedeutend mit einem Leite, de auf Kontaktschienen duch das Feld bewegt wid (Bild 3.4 echts). bteilung Elektische Enegiewandlung 3-37

38 Bild 3.4 In ein Magnetfeld hineingeschobene (bewegte) Leiteschleife Wenn diese Leite in einem Magnetfeld bewegt wid, so wid auf die beweglichen Elektonen eine Kaft ausgeübt. Diese betägt: F m Q (3.) ( v B) Diese Kaft bewegt die im Leitestab enthaltenen Ladungen vom Ende zum Ende des Leites mit de Länge l. Es entsteht nach Gleichung (3.) eine elektische Feldstäke im Leite, die wiedeum eine elektische Kaft hevouft: F el Q E (3.) Ein Gleichsetzen de beiden Käfte nach Gleichung (3.) und (3.) egibt: E v B (3.3) Duch Integation de Gleichung (3.3) übe die Länge de Schleife egibt das Induktionsgesetz: u i ds d dφ ( v B) dl dl B B d links: Spatpodukt; Vetauschen > Vozeichenwechsel Selbstinduktion (3.4) De von de Leiteschleife ezeugte Fluss hängt vom Stom und von de Geometie de Schleife ab. Fü eine lange Spule gilt wie beeits in Kapitel betachtet: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-38

39 Bild 3.43 Magnetische Fluss eine langen Spule H w I l (3.5) B µ H (3.6) Φ B π (3.7) Jede Windung de Spule ist mit dem Fluss Φ vekettet. Die gesamte Spule kann dahe als eihenschaltung von w Windungen betachtet weden. Dahe wid die Göße de Flussvekettung Ψ definiet: Ψ w Φ w π µ l I (3.8) Die Popotionalitätskonstante zwischen Flussvekettung und Stom wid als Induktivität L bezeichnet. us Gleichung (3.8) folgt somit: π L w µ l (3.9) u L i L L Bild 3.44 Schaltsymbol de Induktivität L mit Stom- und Spannungszählpfeilen Fomelzeichen: L Einheit: [L] H Vs - m - In den bisheigen Betachtungen wuden die Flussändeungen von außen ezeugt. Jede Spule ezeugt jedoch ein eigenes Magnetfeld. Dieses induziet wiedeum eine Spannung in de Spule. Diese egibt sich zu: bteilung Elektische Enegiewandlung 3-39

40 u L dψ L di (3.3) Gleichung (3.3) stellt das wichtige Gundgesetz fü das Bauelement L da (analog zum ohmschen Gesetz beim Widestand )! Die Spannung u i wid als Selbstinduktionsspannung bezeichnet. Das Vozeichen ist gegenübe de von außen induzieten Spannung umgekeht, da nun das Vebauchezählpfeilsystem angewendet wid. Wenn an diese Spannung nun ein Vebauche angeschlossen wid, wikt de duch die induziete Spannung getiebene Stom im gesamten Keis so, dass dessen Magnetfeld de Flussändeung entgegenwikt. Diese Effekt wid als Lenzsche egel bezeichnet: Induziete Spannungen und Stöme haben eine solche ichtung, dass sie de sache ihe Entstehung entgegenwiken, d.h. die Flussändeung zu vehinden vesuchen. Eine stomduchflossene Spule wikt als Enegiespeiche. Die im Feld eine langen Spule gespeichete Enegie betägt: W m B V H db π H B l π w I µ w I l l l L I (3.3) De usduck fü die magnetische Enegie eine Spule gilt unabhängig von de Fom de Spule. π l L µ w w m (3.3) Magnetische Kopplung, ideale Tansfomato Bishe wuden Spulen als einzelne Bauelemente betachtet. Es ist jedoch möglich, zwei Spulen in eine äumliche Nachbaschaft zu bingen. Die magnetischen Felde übelagen sich dann. ls Tansfomato bezeichnet man eine nodnung aus mindestens zwei magnetisch gekoppelten Spulen. ls einfaches Beispiel ist hie eine nodnung von zwei Spulen mit den Windungszahlen w und w auf einem Eisenken gezeichnet (Bild 3.45). Tansfomatoen weden meist zu Enegieübetagung eingesetzt. Dahe fließt de Stom in eine Spule hinein (Pimäspule, Index ) und aus de zweiten hinaus (Sekundäspule, Index ). bteilung Elektische Enegiewandlung 3-4

41 i Pimäseite u i u i i Sekundäseite Φ Bild 3.45 Zwei magnetisch gekoppelte Spulen. Pinzip des Tansfomatos De Tansfomato wid als ideal bezeichnet, wenn: keine Steuflüsse aufteten, d.h. de magnetische Fluss duch Spule ist gleich dem Fluss duch Spule (Φ Φ Φ ) keine Kupfeveluste aufteten ( ), d.h. widestandslose Daht keine Eisenveluste aufteten de Eisenkeis ideal magnetisch leitet (µ Fe ). Die folgenden Betachtungen gelten zunächst fü ein endliches µ Fe. Das Vehalten fü unendlich leitfähiges Eisen egibt sich aus dem Genzübegang µ Fe. Die Induktivität L de esten Spule kann aus den Mateial- und Geometiedaten des Eisenkens beechnet weden (siehe Gleichung (3.9)): L w µ Fe l Fe Fe (3.33) nalog gilt fü die zweite Spule: L w µ Fe l Fe Fe (3.34) Beide Spule sind magnetisch miteinande gekoppelt. De gesamte magnetische Fluss wid aus de Summenwikung beide Spulen ezeugt: Φ ( t) Ψ w ( t) Ψ ( t) L i ( t) L i ( t) w w w (3.35) Wenn die Stöme zeitlich veändelich sind entstehen entspechend Gleichung (3.3) auch Induktionsspannungen in den beiden Spulen: d d ( t) Ψ ( t) w Φ ( t) L i ( t) L i ( t) u i w d w d (3.36) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-4

42 d d ( t) Ψ ( t) w Φ ( t) L i ( t) L i ( t) u i w w d d (3.37) Mit Φ Φ folgt fü die Spannungen duch Division de Gleichung (3.36) duch Gleichung (3.37): u u i i ( t) w ( t) w (3.38) Bei zeitliche Veändeung de Stöme entspicht das Vehältnis de Spannungen dem Vehältnis de Windungszahlen. Im tivialen Fall von Gleichstömen sind beide Spannungen Null. Einsetzen von (3.37) in (3.38) egibt: w w w w d d ( t) L i ( t) L i ( t) u i (3.39) Duch Einsetzen von (.76) und (.77) in (.79) ode (.8) ehält man fü den Genzübegang µ FE zunächst das Vehältnis de bleitungen de Stöme. Dieses entspicht bis auf eine Konstante auch dem Vehältnis de Stöme: i i ( t) + w ( t) + w (3.4) Das Vehältnis de zeitlich veändelichen nteile de Stöme entspicht dem umgekehten Vehältnis de Windungszahlen. Gleichstöme sind voneinande unabhängig. Tansfomatoen weden in de Wechselstomtechnik eingesetzt. bteilung Elektische Enegiewandlung 3-4

43 3.3.5 Ein- und usschaltvogänge an Induktivitäten Ein Stom kann sich in eine Spule nicht spungatig änden, da dazu eine unendlich hohe Spannung und Leistung notwendig wäe (siehe Gleichung (3.3)). In allen ealen Schaltungen efolgt dahe eine eihenschaltung eine Spule mit einem Widestand (z.b. de ohmsche Widestand de Spule selbst) Einschalten eine ealen Spule Im folgenden Beispiel ist die Spule L fü t stomlos. Zu Zeit t wid de Schalte S geschlossen. S t u u L i L L Bild 3.46 Esatzschaltbild zu Beechnung des Einschaltvogangs eine Induktivität L Die Maschenegel liefet fü t : u (t) u (t) (3.4) + L Fü den Widestand gilt das ohmsche Gesetz: u (t) i (t) (3.4) L Die Spule unteliegt de Selbstinduktion, d.h. es gilt das Gundgesetz entspechend Gleichung (3.3): u L di L (t) (t) L (3.43) Einsetzen de voausgegangenen Gleichungen liefet die Diffeentialgleichung zu Beechnung des Einschaltvogangs de Spule: i L d i L (t) (t) + L d t (3.44) Mit de andbedingung i L () (stomlose Spule zu Beginn) folgt die Lösung fü den zeitlichen Velauf des Spulenstoms (siehe Kapitel 3..4): i L (t) e t L e t τ (3.45) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-43

44 us dem Egebnis (3.45) folgt duch Einsetzen in (3.43) de zeitliche Velauf de Spulenspannung: u L (t) e t L e t τ (3.46) De Quotient L/ ist chaakteistisch fü den zeitlichen blauf des Stomaufbaus. E hat die Dimension eine Zeit und wid als Zeitkonstante τ des Stomkeises bezeichnet. L τ [τ] Vs/. Ω Vs. /V. s (3.47) Bild 3.47 zeigt die zeitlichen Veläufe de Spulenspannung und des Spulenstoms fü t. Wete fü den beechneten Velauf: V,5Ω L H τ s Bild 3.47 Zeitliche Veläufe des Spulenstoms und de Spulenspannung beim Einschaltvogang de Induktivität fü t uch hie lassen sich fü bestimmte ausgezeichnete Zeitpunkte einige wichtige Feststellungen übe die Wikungsweise de Spule zusammenfassen: Zeit Spule wikt wie u L (t) i L (t) t Leelauf ( ) t τ t Kuzschluss u L ( ) u L i L ( ) u L e τ e ( τ ) ( ) i L ( ) i Tabelle 3.3 Vehalten de Spule zu bestimmten ausgezeichneten Zeitpunkten bteilung Elektische Enegiewandlung 3-44

45 usschalten eine ealen Spule Mit dem in Bild 3.48 dagestellte Esatzschaltbild kann de usschaltvogang eine Spule untesucht weden. t S S t u u L i L L Bild 3.48 Esatzschaltbild zu Beechnung des usschaltvogangs eine Spule De Schalte S sei lange Zeit geschlossen gewesen, sodass de stationäe Zustand voliegt, d.h. in de Spule fließt de stationäe Spulenstom. Diese kann mit (3.45) beechnet weden, indem man den Genzwet fü t beechnet. Es egibt sich fü den Spulenstom zum Zeitpunkt Null (nfangsbedingung) de Betachtung des usschaltvogangs: ( ) i L (3.48) Nun soll de Stom in de Spule abgeschaltet weden. Dazu wid in einem Gedankenexpeiment zunächst S geöffnet. Es gilt: d i L (t) u L (t) L d t (3.49) Da de Stom nun keine Möglichkeit meh hat um weitefließen zu können, müsste die Spannung an de Spule unendlich weden, da di L (t)/ im usschaltzeitpunkt unendlich goß wüde. In ealen nwendungen wüde dies zum elektischen Duchschlag des Schaltes und zu usbildung eines Lichtbogens, de die Enegie de Spule aufnimmt, fühen. Damit dies nicht passieen kann, wid zum Zeitpunkt t zeitgleich zum öffnen des Schaltes S de Schalte S geschlossen. Damit kann de Stom im kuzgeschlossenen Keis weitefließen. Die zugehöige Diffeentialgleichung lautet: i L (t) + d i L (t) L d t (3.5) Mit de obigen nfangsbedingung (3.48) fü den Stom egibt sich de zeitliche Velauf fü den Stom und die Spannung an de Spule fü den usschaltvogang zu (siehe Kapitel 3..4): i L (t) e t L e t τ (3.5) bteilung Elektische Enegiewandlung 3-45

46 u L (t) e t τ (3.5) Im nachfolgenden Bild 3.49 sind die zeitlichen Veläufe von Stom und Spannung fü den usschaltvogang de Spule dagestellt. Wete fü den beechneten Velauf: V,5Ω L H τ s Bild 3.49 Zeitliche Veläufe des Spulenstoms und de Spulenspannung beim usschaltvogang fü t. (Beachte negative Wete auf de Spannungsachse) Beispiel: Zündspule u, i i i i i u u u Bat u, i S u i Schließen S Öffnen S Bild 3.5 Funktionspinzip eine Zündspule sowie Veläufe von Spannung und Stom Kondensato übe Kontakt S eduziet Spannung an S Schalte: heute Tansisto Zündzeitpunktvestellung: fühe Fliehkaft, heute elektonisches Motosteuegeät bteilung Elektische Enegiewandlung 3-46