K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

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1 K2 MATHEMATIK KLAUSUR Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max Punkte Notenpunkte PT P. (max Punkte WT Ana a b Summe P. (max Punkte WT Geo a b c S Summe P. (max Punkte GTR und Formelsammlung dürfen erst nach Abgabe des Pflichtteils abgeholt werden. 1

2 Pflichtteil (1 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x = e 1 x cos(3x (2 Zeigen Sie, dass F (x = x ln(x x eine Stammfunktion von f(x = ln(x ist, und berechnen Sie das Integral e (3 Lösen Sie die Gleichung im Intervall x [0; π]. 1 ln(x dx (sin(2x 2 = 1 (4 Beschreiben Sie, wie das Schaubild der Funktion g(x = cos(2x + 1 aus demjenigen von f(x = cos x hervorgeht. (5 Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Geben Sie an, ob folgende Aussagen wahr, falsch bzw. unentscheidbar sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung. a Die Funktion f ist für 1 x 0 streng monoton wachsend. b Das Schaubild von f hat im dargestellten Bereich genau drei Extrempunkte. c Das Schaubild von f hat im dargestellten Bereich genau drei Wendepunkte. d 1 0 f (x dx > 1. e f (0 = 0

3 (6 Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden ( 2 ( ( 20 4 x = + r und x = + s ( und geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene an, in der beide Geraden liegen. (7 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x 1 + 4x 2 x 3 = 18 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 10 5x 1 7x 2 2x 3 = 23 (8 Ein Glücksrad mit 5 gleich großen Sektoren (rot, gelb, grün, blau und weiß wird drei mal gedreht. a Mit welcher Wahrscheinlichkeit dreht man 3 Mal rot oder 3 Mal weiß? b Mit welcher Wahrscheinlichkeit dreht man mindestens zwei Mal die gleiche Farbe?

4 Analysis Unter bestimmten Bedingungen kommt es in Teichen zu einem unerwünschten Wachstum von Blaualgen. Ein Hersteller für Teichpflegeprodukte entwickelt Wirkstoffe, um Blaualgen zu bekämpfen. a Die Konzentration von Blaualgen nach einmaliger Zufuhr eines Wirkstoffs kann beschrieben werden durch die Funktion f mit f(t = 7 4t e 0,3t + 0, 05t; 0 t 20 (t in Tagen seit Wirkstoffzufuhr, f(t in Gramm pro Liter. Bestimmen Sie die minimale Konzentration der Blaualgen. Nach welcher Zeit wird wieder die anfängliche Konzentration erreicht? Wann nimmt die Konzentration der Blaualgen am stärksten zu? Bestimmen Sie die mittlere Konzentration der Blaualgen in den ersten 20 Tagen. b Bei einem anderen Wirkstoff wird untersucht, welchen Effekt verschiedene Dosierungen haben. Die jeweilige Konzentration der Blaualgen nach Zufuhr des Wirkstoffs soll hierbei beschrieben werden durch die Funktion g a mit g a (t = 9 ate 0,25t ; a > 0, 0 t 20 (t in Tagen seit Wirkstoffzufuhr, g a (t in Gramm pro Liter. Skizzieren Sie die Graphen von g 2 und g 4. Der Graph jeder Funktion g a besitzt einen Tiefpunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten. Untersuchen Sie, ob jede Funktion g a für die Modellierung einer Blaualgenkonzentration geeignet ist.

5 Geometrie Zwei Flugzeuge fliegen mit konstanter Geschwindigkeit auf einem geradlinigen Kurs. Die erste Maschine, ein Passagierflugzeug, befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 in A( , 6 min später in B( , 4. Das zweite Flugzeug, ein Transportflugzeug, befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 in C( und nach 6 min in D( , 6; dabei sind alle Koordinatenangaben in km. a Geben Sie Gleichungen für die Flugbahnen der beiden Flugzeuge an, und bestimmen Sie deren Geschwindigkeiten in km/h. Wo befindet sich das Transportflugzeug nach 3 min? Zeigen Sie, dass die beiden Flugzeuge sich auf Kollisionskurs befinden, und bestimmen Sie die Flughöhe, in der die Kollision stattfinden würde. Woran kann man erkennen, welches Flugzeug sich im Steigflug befindet? Unter welchem Winkel treffen die Flugzeuge aufeinander? b Das Antikollisionssystem warnt die beiden Piloten vor der Gefahr. Zum Zeitpunkt t = 6 min korrigieren beide Flugzeuge ihren Kurs. ( Das 336 Passagierflugzeug fliegt den Kurs mit dem Richtungsvektor 172,. und das Transportflugzeug den Kurs mit dem Richtungsvektor Weisen Sie nach, dass es zu keiner Kollision kommt. ( ,4 c Damit zwei Flugzeuge in einem sicheren Abstand aneinander vorbeifliegen, muss ein Mindestabstand von 3000 m eingehalten werden. Überprüfen Sie, ob die beiden Flugzeuge diesen Mindestabstand besitzen. Stochastik. Ein Limonaden-Abfüllbetrieb verwendet Pfandflaschen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Flasche nicht mehr verwendbar ist, beträgt 1 %. a Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 1000 Flaschen mindestens 30 nicht mehr verwendbare Flaschen sind? b Eine vorhandene Reinigungsanlage muss überholt werden, falls der Anteil der Flaschen, die wegen verbliebener Schmutzreste nicht mehr verwendbar sind, den Wert von 0,3 % übersteigt. Die Reinigungsfirma behauptet, dass dies der Fall ist. Bestimme den Ablehnungsbereich dieser Hypothese bei einer Stichprobe mit 1200 Flaschen bei einem Signifikanzniveau von 5 %.

6 (1 Produktregel: Lösungen Pflichtteil f(x = e 1 x cos(3x f (x = e 1 x cos(3x 3e 1 x sin(3x (2 Wir müssen F (x = f(x zeigen: F (x = ln(x + x 1 1 = ln x = f(x. x Also wird e ln(x dx = x ln(x x e = e ln(e e (ln(1 1 = (3 Wurzelziehen ergibt sin(2x = ±1. (4 sin(2x = 1 ergibt x 1 = π 4 ; sin(2x = 1 ergibt x 1 = 3π 4. Funktion cos(x cos(x cos(2x cos(2x + 1 Spiegeln an y-achse Stauchung mit Faktor 2 Richtung x-achse Verschiebung um 1 Richtung pos. y-achse (5 adie Funktion f ist für 1 x 0 streng monoton wachsend. Falsch: In diesem Intervall ist f (x < 0. b Das Schaubild von f hat im dargestellten Bereich genau drei Extrempunkte. Falsch: das Schaubild von f besitzt hier nur zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. c Das Schaubild von f hat im dargestellten Bereich genau drei Wendepunkte. Richtig, da das Schaubild von f drei Extrema besitzt. d 1 0 f (x dx > 1. Falsch: wegen f (x < 0 im Intervall [0; 1] ist das Integral negativ.

7 e f (0 = Richtig, weil das Schaubild von f in x = 0 eine waagrechte Tangente besitzt. (6 Offenbar sind die Geraden parallel. Test auf Gleichheit durch Punktprobe: ( 20 3 = ( r 3 ( liefert oben r = 1, in der Mitte r = 6. Also sind die Geraden 7 nicht gleich. Parameterform der Ebene: x = + r ( ( s ( Kreuzproukt ( 2 ( 2 ( = 4, ( 32 also z.b. n = und damit E : 3x 1 +2x 2 x 3 = d. Einsetzen 1 von (2 0 3 liefert d = 3, also E : 3x 1 + 2x 2 x 3 = 3. (7 x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 4. (8 Ein Glücksrad mit 5 gleich großen Sektoren (rot, gelb, grün, blau und weiß wird drei mal gedreht. a p(rrr + p(www = ( ( = b Gegenereignis: drei verschiedene Farben; p = =

8 Analysis a minimale Konzentration: Minimum von f(t liefert GTR: t = 3, 2, f(3, 2 = 2, 26. Die minimale Konzentration beträgt 2,26 g/l. anfängliche Konzentration wieder erreicht: f(t = f(0 = 7 GTR: t = 14,6 Die anfängliche Konzentration wird nach 14,6 Tagen wieder erreicht. stärkste Zunahme: Maximum von f (t. GTR: t = 6,7 Die Konzentration nimmt nach 6,7 Tagen am stärksten zu. mittlere Konzentration: m = 1 20 f(t dt GTR: m = 106,3 20 = 5, 3 Die durchschnittliche Konzentration beträgt 5,3 g/l. b Tiefpunkt von g a : g a(t = 0, 25ate 0,25t ae 0,25t = ae 0,25t (0, 25t 1. g a(t = 0 liefert wegen ae 0,25t 0 dass 0, 25t 1 = 0 und somit t = 4 ist. g a (4 = 9 4ae 1 = 9 4 a e, also ist der Tiefpunkt T (4 9 4 a e. Da negative Konzentrationen nicht sinnvoll sind, darf a nicht größer als 9 e = 6,116 werden. 4

9 a F 1 : x = F 2 : x = ( ( ( 84 + t ( 72 + t ,4., Hier bedeutet t die Zeit in 6 min Geometrie v 1 = s t = , 4 2 = 16,1 km/min, also v km/h. v 2 = s t = , 4 2 = 12,6 km/min, also v km/h. Nach drei Minuten (t = 1 ist das Transportflugzeug in P ( , 8, 2 weil ist. ( ( = 12 2 ( ,8 Kollisionskurs: schneiden (gleicher Parameter. ( ( t 48 = + t 8 0,4 ( liefert t = 5, was 30 Minuten entspricht. ( x 3 = 8 + 0, 4 5 = 10 ergibt, dass die Flughöhe dann 10 km beträgt. Das Verkehrsflugzeug steigt, weil die x 3 -Koordinate seines Richtungsvektors positiv ist; entsprechend sinkt das Transportflugzeug. Winkel α: cos α = ( ,4 ( ( ( b Die neuen Flugbahnen sind = 0, 67, also α 48. F 1 : x = F 2 : x = ( ,4 ( ,6 ( t t ( ,4 Kollision: schneiden mit gleichem Parameter t = t, t = t, 8, 4 0, 4t = 11, 6 + 0, 4t,.

10 Dies führt auf t = 1, t = 36 und t = 8; die Flugzeuge kollidieren also 31 nicht. c Abstand der beiden Flugzeuge ist d(t = P Q = (48t ( t 2 + (3, 2 + 0, 8t 2. Minimum von d(t liefert (GTR t = 1, 1 und d = 8.6, d.h. der Mindestabstand beträgt 8,6 km. Stochastik. a X = Anzahl der nicht mehr verwendbaren Flaschen n = 1000, p = 0, 01; p(x 30 = 1 p(x 29 = : die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 20 Millionstel %. b Nullhypothese: H 0 : p 0, 003, X = Anzahl der nicht mehr verwendbaren Flaschen. Ablehnungsbereich X k. GTR: Y 1 = binomcdf(1000,0.003,x. k p 0 0, , 1987 Die Hypothese wird abgelehnt, wenn mindestens eine Flasche nicht mehr verwendbar ist. Ist die Behauptung p 0, 003, so wird als Nullhypothese in der Regel H 0 : p 0, 003 gewählt. In diesem Fall erhält man p(x k 0, 05, also 1 p(x k 1 0, 05. GTR: k p 7 0, , 031 Die Hypothese wird abgelehnt, wenn 8 oder mehr Flaschen nicht mehr verwendbar sind.

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