Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema

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1 Quadratische Funktionen 1 1.) Zeige, dass die Funktion in der Form f() = a 2 + b +c geschrieben werden kann und gebe a, b und c an. a) f() = ( -5) ( +7) b) f() = ( -1) ( +1) c) f() = 3 ( - 4) 2.) Wie heißen die Nullstellen der Funktionen a) bis c)? Quadratische Funktionen 1 1.) Ausmultiplizieren a) f() = = ; a = 1 und b = 2 und c = -35 b) f() = = 2 1 ; a = 1 und b = 0 und c = -1 c) f() = ; a = 3 und b = -12 und c = 0 2.) Nullstellen a) 1 = 5 und 2 = - 7 b) 1 = 1 und 2 = - 1 c) 1 = 0 und 2 = 4

2 Quadratische Funktionen 2 Skizziere den Graphen einer quadratischen Funktion mit a) zwei Nullstellen, b) einer Nullstelle, c) keiner Nullstelle, d) zwei Nullstellen und einem Scheitelpunkt S(/y) mit > 0 und y < 0, e) keiner Nullstelle und einem Scheitelpunkt S(/y) mit > 0 und y < 0. Quadratische Funktionen 2 a) grüner Graph b) roter Graph c) blauer Graph d) oranger Graph e) Graph in lila

3 Quadratische Funktionen 3 Gebe die Funktionsvorschriften zu den folgenden Graphen an! Quadratische Funktionen 3 1. Reihe von links nach rechts: f() = -2-1 ; f() = 2 ; f() = - ; 2. Reihe von links nach rechts: f() = ; f() = ; f() = (-1) (-3)

4 Quadratische Funktionen 4 Sicherheitsabstand Für die Berechnung des Sicherheitsabstands gibt es verschiedene Faustregel: a) Sehr bekannt ist die einfache Regel Abstand in Metern gleich halber Tacho. b) In der Fahrschule lernt man eine eaktere Formel zur theoretischen Berechnung des Sicherheitsabstandes, der dem Anhalteweg entspricht. Der Anhalteweg y in Metern hängt von der gefahrenen Geschwindigkeit in km/h ab und wird mit y = berechnet. Erstellen Sie zu beiden Formeln eine Wertetabelle und zeichnen Sie die Graphen in dasselbe Koordinatensystem. Was fällt beim Vergleich beider Graphen auf? Quadratische Funktionen 4 Sicherheitsabstand in m Der 2. Graph liegt oberhalb des 1. Je größer v, desto größer der Unterschied bei den Sicherheitsabständen. Der Anhalteweg nimmt bei hohen Geschwindigkeiten nicht linear, sondern quadratisch zu. v in km/h

5 Quadratische Funktionen 5 Die Flughöhe eines Golfballes kann in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion h(t) mit h(t) = -8t t h in Metern und t in Sekunden modelliert werden. a) Zeichnen Sie den Graphen ohne oder mit dem GTR. b) Berechnen Sie, wie lange der Flug dauert. c) Kann man dem Graph entnehmen, wie weit der Ball fliegt? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Bestimmen Sie rechnerisch die maimale Flughöhe des Golfballes. Quadratische Funktionen 5 a) Individuelle b) Nullstellen berechnen : h(t) = -8t t = 0 t 1= 0 v -8t + 16 = 0 Der Golfball ist 2 Sekunden in der Luft. t 1= 0 v t 2= 2 c) Über die Flugweite lässt sich aus dem Graphen nichts ablesen. d) Maimale Höhe: Scheitelpunkt bestimmen durch Umwandeln in Scheitelpunktform oder wie im Folgenden. Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen (Symmetriegründe), er hat also die Koordinate = 1, womit y = = 8. Die maimale Höhe des Balls liegt also bei 8 m.

6 Änderungen untersuchen 1 (aus Lambacher Schweizer, Vertiefungskurs 2, S. 30) Änderungen untersuchen 1

7 Änderungen untersuchen 2 aus Lambacher Schweizer, Vertiefungskurs 2, S. 30) 2

8 Änderungen untersuchen 3 (aus Lambacher Schweizer, Vertiefungskurs 2, S. 31) Änderungen untersuchen 3

9 Änderungen untersuchen 4 (aus Lambacher Schweizer, Vertiefungskurs 2, S. 31) Änderungen untersuchen 4

10 Änderungen untersuchen 5 (Aus Lambacher Schweizer, Vertiefungskurs 2 S.24) Änderungen untersuchen 5

11 Änderungen untersuchen 6 Bedeutung der Ableitung im Sachzusammenhang (Aus Lambacher Schweizer, Vertiefungskurs 2 S.24) Änderungen untersuchen 6

12 Änderungen untersuchen 7 Bedeutung der Ableitung im Sachzusammenhang (Aus Lambacher Schweizer, Vertiefungskurs 2 S.24) Änderungen untersuchen 7

13 Änderungen untersuchen 8 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 8

14 Änderungen untersuchen 9 7 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 9

15

16 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 1 Gegeben ist die Funktion f() = -0, a) Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung von f. b) Untersuche den Graphen von f auf Symmetrie und das Verhalten für ±, Nullstellen und Etrempunkte. c) Fertige eine Skizze vom Graph von f an. d) Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle = -1 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 1 a) f ()= -o,5 + 2 ; f ()= -0,5 ; f () = 0 b) Da der Funktionsterm von f sowohl gerade als auch ungerade Potenzen enthält, ist der Graph von f weder achsensymmetrisch zur y- Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Für geht f() gegen - ; für - geht f() gegen -. Nullstellen: 1= ,54 ; 2 = ,46 Hochpunkt: (4/3) c) d) Tangentengleichung: f (-1) = 2,5 ; -3,25 = 2,5 (-1) + b b = -0,75 ; y= 2,5 0,75

17 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 2 Gegeben ist die Funktion f() = (-6) 2. a) Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung von f. b) Untersuche den Graphen von f auf Symmetrie und das Verhalten für ±, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Etrempunkte und Wendepunkte. c) Fertige eine Skizze vom Graph von f an. d) Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle = 1,5. Untersuchung ganzrationaler Funktionen 2 f() = (-6) 2 = a) f ()= ; f ()= 6 24 ; f () = 6 b) Da der Funktionsterm von f sowohl gerade als auch ungerade Potenzen enthält, ist der Graph von f weder achsensymmetrisch zur y- Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Für geht f() gegen + ; für - geht f() gegen -. y- Achsenschnittpunkt : = 0 f() =0 Nullstellen: 1= 0 und 2 = 6 Etremstellen: f ()= = = 0 1/2= 4± = 4 ± 2 1= 2 und 2 = 6; f (2)= -12<0 HP bei 1= 2 f (6) = 12 >0 TP bei 2 = 6 Wendestelle: f () = = 0 W = 4 ; f (4) = 6 0 WP(4/16) d) Tangentengleichung: Steigung der Tangente f (1,5) = 6,75; 30,375 = 6,75 1,5 + b b = 20,25 t: y = 6, ,25

18 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 3 Gegeben ist die Funktion f() = a) Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung von f. b) Untersuche den Graphen von f auf Symmetrie und das Verhalten für ±, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Etrempunkte und Wendepunkte. c) Fertige eine Skizze vom Graph von f an. d) Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle = 0 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 3 f() = a) f () = 0,5 2 0,5 3 ; f () = 0,5; f ()= 1 b) Da der Funktionsterm von f sowohl gerade als auch ungerade Potenzen enthält, ist der Graph von f weder achsensymmetrisch zur y- Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Für geht f() gegen + ; für - geht f() gegen -. y- Achsenschnittpunkt : = 0 f() = -3 Nullstellen: f()= = 0 ( )= 0 1 = 0 oder = 0 1 = ,06 oder 2 = ,56 16 Etrempunkte: f () = 0 0,5 2 0,5 3 = = 0 1/2= 0,5 ± 0, = 0,5± 2,5 1= 3 oder 2= -2; f (3) = 2,5 >0 TP bei 1= 3 ; f (-2) = -2,5 < 0 HP bei 2= -2 Wendepunkte: f () = 0 f () = 0,5 = 0 W = 0,5 ; f (0,5) = 1 0 WP( 0,5/ ) Tangentengleichung: f (0) = -3 ; 0 = b b = 0 y = -3

19 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 4 Gegeben ist die Funktion f() = a) Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung von f. b) Untersuche den Graphen von f auf Symmetrie und das Verhalten für ±, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Etrempunkte und Wendepunkte. c) Fertige eine Skizze vom Graph von f an. d) Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle = 1 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 4 f() = ; f () = ,5 2 ; f () = 0,5 2 ; f () = 1 b) Da der Funktionsterm von f sowohl gerade als auch ungerade Potenzen enthält, ist der Graph von f weder achsensymmetrisch zur y- Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Für geht f() gegen + ; für - geht f() gegen + y- Achsenschnittpunkt : = 0 f() = 0; Nullstellen: f()= 0 = 0 oder = 0 = 4 Etrempunkte: f () = ,5 2 = 0 2 ( 1 6 0,5 ) = 0 1 = 0 oder 2= 3; f (0) = 0 (Untersuchung auf Sattelpunkt) ; f (3) = 1,5 > 0 TP bei 2= 3 TP(3/ ) ; Wendepunkte: f () = 0 f () = 0,5 2 = = 0 (- 2) = 0 W1 = 0 oder W2 = 2 ; f (0) = -1 WP bei W1 = 0 : f (2) = 1 > 0 WP(2/ ) Tangentengleichung: f (1) = ; -0,125 = b 5 24 = b y =

20 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 5a Untersuchung ganzrationaler Funktionen 5a a) Schnittpunkte f() = 0 0, = 0 (0, )= 0 mit der - Achse : 1 = 0 oder 0, = = 0 2/3= -2 ± Schnittpunktemit der y- Achse für = 0: y = 0 b) Etrempunkte: Notwendige Bedingung f () = 0 1, = 0 2 0,45 oder 3-4, = 0 1/2 = -8 6 ± ,2 oder 2-2,9 Hinreichende Bedingung : f () 0 f (0,2) = 3 0,2 + 4> 0 TP bei = 0,2 f (-2,9) = 3 (-2,9) + 4 < 0 HP bei = -2,9 y- Koordinate von TP: f(0,2) = -0,1 TP(0,2/-0,1) y- Koordinate von HP: f(-2,9) = 7,5 HP (-2,9/7,5)

21 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 6a Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f() = (Vergleichsklausur 2014) a) Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des lokalen Hochpunktes und die Koordinaten des lokalen Tiefpunktes des Graphen der Funktion f. b) (1) Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f an der Stelle 0= (2) Zeichnen Sie diese Tangente t in die Abbildung ein. (3) Die Tangente t bildet zusammen mit den beiden Achsen des Koordinatensystems ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Berechnen Sie auch den Umfang des Dreiecks. Untersuchung ganzrationaler Funktionen 6a a) f ()= Mit der notwendigen Bedingung f () = 0 ergeben sich aus = 0 die beiden en 1 = 1 und 2 = 3. Da zusätzlich f (0) = 3 > 0, f (2) = -1 < 0 und f (4) = 3 > 0 gelten, liegt an der Stelle 1 = 1 ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f von + nach und an der Stelle 2 = 3 ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f von nach + vor. 1 ist also eine lokale Maimalstelle und 3 eine lokale Minimalstelle von f. Alternativ: Verwendung der zweiten Ableitung beim hinreichenden Kriterium: f () = 2 4 ; f (1) = -2 < 0 HP und f (3) = 2 > 0 TP Da außerdem f(1) = 16/3 und f(3) = 4 gelten, besitzt der Graph von f den lokalen Hochpunkt H(1 / 16 )und den lokalen Tiefpunkt T( 3 / 4). b) (1) Gleichung der Tangente t: y = m + b f (0) = 3 und f(0) = 4; 4 = b b = 4 Damit ist die Gleichung der Tangente t: y =

22 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 6b Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f() = (Vergleichsklausur 2014) c) Der Graph der Funktion f wird nacheinander zwei Transformationen unterzogen. Dadurch ergibt sich der Graph einer Funktion g, für die Folgendes gil: 1. Die Stellen = 2 und = 4 sind Etremstellen von g. 2. Die -Achse ist eine Tangente an den Graphen von g. Geben Sie begründet eine mögliche Funktionsgleichung von g an. [Hinweis: Hier ist keine Rechnung erforderlich.] d) Die Funktion wird nun als Ableitungsfunktion einer Funktion F betrachtet. An der Nullstelle von f besitzt der Graph von F entweder einen lokalen Hochpunkt oder einen lokalen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt. Entscheiden Sie begründet, welche dieser drei Möglichkeiten hier vorliegt. e) Ein Schüler versucht den Funktionsterm von f als ein Produkt darzustellen und wählt dazu den Ansatz f() = (+1) q(), wobei q eine quadratische Funktion ist. Begründen Sie, dass eine solche Darstellung nicht möglich ist. Untersuchung ganzrationaler Funktionen 6b

23 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 5b Untersuchung ganzrationaler Funktionen 5b

24 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 5c Untersuchung ganzrationaler Funktionen 5c

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