1. Allgemeine Grundlagen Quantenmechanik

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Carsten Esser
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1 1. Allgemeine Grundlagen 1.3. Quantenmechanik

2 Klassische Mechanik vs Quantenmechanik Klassische (Newton sche) Mechanik klassischer harmonischer Oszillator Quantenmechanik quantenmechanischer harmonischer Oszillator angeregte Zustände Energie E = 1 / 2 kx 2 Grundzustand Auslenkung Energie ist kontinuierlich Energie ist quantisiert (Planck) Licht ist quantisiert (Photon, Einstein) E = hν; ν = c / λ Aufenthaltswahrscheinlichkeit 2 E: Energie h: Planck sches Wirkungsquantum ( Js) ν: Frequenz c: Lichtgeschwindigkeit ( m/s) λ: Wellenlänge

3 Max Planck ( ) Quantenmechanik Nobelpreis in Physik: 1918 Quantisierung der Energie Albert Einstein ( ) Nobelpreis in Physik: 1921 Photoelektrischer Effekt Niels Henrik David Bohr ( ) 3 Nobelpreis in Physik: 1922 Struktur der Atome und von Atomen ausgehende Strahlung

4 Bohr sche Postulate Bohr sche Postulate zum Atomaufbau Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn entsprechend den Gesetzen der Klassischen Physik Bewegung erfolgt strahlungslos. Beim Übergang von einem stationären Zustand in einen anderen (niedrigerer Energie) wird ein Photon der Energie hν emittiert. 4

5 Effekte bei der Wechselwirkung Photon - Atom (Eine Auswahl) Angeregte Zustände Grundzustand hν elastische Streuung hν hν Fluoreszenz hν 1 hν 2 hν 3 inelastische Streuung Photoeffekt emittiertes Elektron hν hν 1 hν Resonanzabsorption Compton-Streuung emittiertes Elektron hν hν hν hν 1 5

6 Es gab eine Zeit, als die Zeitungen schrieben, dass nur zwölf Menschen die Relativitätstheorie verstehen. Ich bezweifle, dass es jemals solch eine Zeit gab. Es mag eine Zeit gegeben haben, als dies nur ein Mensch tat nämlich bevor er seinen Artikel schrieb. Aber danach, als die Leute begonnen hatten, den Artikel zu lesen, verstanden viel Menschen die Relativitätstheorie in der einen oder anderen Weise sicher mehr als zwölf. Andererseits, denke ich, kann man sicher sagen, dass niemand die Quantenmechanik versteht. R. Feynman,

7 2. Magnetresonanztomographie (MRT, MRI) 2.1. Allgemeine Bemerkungen

8 Überblick MRI / MRT Kernspintomographie + Magnetresonanz Wasserstoff ist das häufigste Element und besitzt den einfachsten Kern (Proton) MRI benutzt zur Bildgebung die magnetischen Eigenschaften des Wasserstoffkerns Vorteil: - Wasserstoff ist elementarer Bestandteil von Wasser und Fett und damit das häufigste Element im menschlichen körper - es ist der für die MR empfindlichste Bestandteil im Körper Was macht die Wasserstoffkerne für die MRI nutzbar? - Spin (reine quantenmechanische Eigenschaft) - MR-Bildgebung nutzt kollektives Verhalten der Spins aus (nicht der einzelnen Spins) 8

9 Geschichte der MRI / MRT Bloch Purcell NMR 1946 Entdeckung der Kernmagnetischen Resonanz (Nuclear Magnetic Resonance = NMR) 1952 Nobelpreis Bloch/Purcell bis heute: NMR wird zu einer der wichtigsten (chemischen) Analyse-Methode weiterentwickelt MRI Lauterbur Ernst Mansfield 1973 Lauterbur: Backprojection 1975 Ernst: Nuclear Magnetic Resonance Fourier Transform Spectroscopy 1977 Mansfield: Echo-Planar Imaging (EPI) 1991 Nobelpreis Ernst 2003 Nobelpreis Lauterbur/Mansfield 9

10 10 Lauterbur, Nature 242, 1973

11 Allgemeine Bemerkungen Allgemeine in der MRI gebräuchliche Notation der drei Raumrichtungen (kartesisches Koordinatensystem) Die z-achse entspricht der Richtung des statischen Magnetfeldes B 0 Die Ebene orthogonal zu den Feldlinien ist die xy-ebene z B 0 y x xy-ebene 11

12 Allgemeine Bemerkungen Koordinatensystem (Konvention) 12

13 Nomenklatur zum Atomaufbau Atom Elektronenhülle (Elektronen) Kern Anzahl der Protonen im Kern: Z (= Zahl der Elektronen für nichtionisiertes Atom) = Kernladungsoder Ordnungszahl Proton Neutron Nukleonen Anzahl der Neutronen im Kern: N N ~ Z für leichte Kerne N > Z für schwere Kerne Massenzahl A = Z + N A Nuklide X Z Nuklide mit gleicher Kernladungszahl Z, aber verschiedener Massenzahl A: Isotope 1 H (Proton), 2 H (Deuterium), 3 H (Tritium) 11 C (PET), 12 C, 13 C, 14 C (Radiokarbonmethode) 13

14 Drehimpuls linearer Impuls Drehimpuls bei Dreh- (Rotations-)bewegungen a. Bahndrehimpuls L z.b. Teilchen auf einer Kreisbahn mit Radius r und Winkelgeschwindigkeit ω: Bahndrehimpuls = Impuls x Radius b. Eigendrehimpuls S z.b. Rotation der Erde um die Sonne z.b. Rotation der Erde um eigene Achse 14

15 Drehimpuls Translation Rotation (Drehbewegung) Impuls Kraft p = mv F = dp/dt Drehimpuls Drehmoment L = r x p M = dl/dt = r x F Bahndrehimpuls L Eigendrehimpuls / Spin S Gesamtdrehimpuls Quantisierung des Spins: Elektronen, Protonen, Neutronen: Spinquantenzahl = ½ ( Spin- ½ -Teilchen ) Spinpaarung: niedrigster Energiezustand von zwei Elektronen (Protonen, Neutronen): antiparalleler Spin Gesamtspin = 0 Der Gesamt-Drehimpuls eines Atomkerns wird bestimmt durch den Spin der ungepaarten Neutronen und Protonen sowie durch den Bahndrehimpuls der Neutronen und Protonen Kernspin I 15

16 Magnetisches Dipolmoment rotierender Ladungen Stabmagnet rotierende Ladung Eine rotierende Ladung erzeugt ein magnetisches Dipolfeld, das dem eines Stabmagneten entspricht. Elektron, Proton, Neutron (u.a.) besitzen einen Eigendrehimpuls: Spin. Sie verhalten sich so, als ob sie sich in ständiger Rotation befinden würden. Das magnetische (Dipol-)Moment ist ein Maß für die Stärke einer magnetischen Quelle. Atomkerne mit ungerader Anzahl an Protonen oder Neutronen besitzen ebenfalls einen Spin. Da sie eine Ladung aufweisen, besitzen sie gleichzeitig ein magnetisches Moment. 16

17 Magnetisches Dipolmoment rotierender Ladungen Das magnetische Moment des Kerns µ hängt vom Kernspin I ab. Wenn der Kern keinen Spin hat (I = 0), dann hat er auch kein magnetisches Dipolmoment. Kernmagnetisches Moment: µ = γħi γ : gyromagnetisches Verhältnis (charakteristische Konstante für ein Atom) Für Kerne mit gerader Protonenanzahl und gerader Neutronenanzahl ist der Kernspin gleich null. Die Nukleonen schließen sich demnach in Paaren so zusammen, dass sich ihre Drehimpulse zu null addieren. Kerne ohne Dipolmoment sind in der NMR nicht detektierbar. Wasserstoff-Kern: ein Proton, kein Neutron, Kernspin I = ½ 17

18 Spinpräzession Klassische Physik - Mechanischer Kreisel im Gravitationsfeld der Erde Quantenphysik Kernspin in einem statischen Magnetfeld Präzession / Spinpräzession 18 In: Hendrix, A. Magnete, Spins und Resonanzen; Siemens AG (2003); Medical Solutions

19 Richtungsquantisierung des Drehimpulses Orientierung eines Spin-½-Kerns in einem externen Magnetfeld Kein externes Magnetfeld Zufällige Orientierung der Spins Wasserstoff-Kern in externem Magnetfeld Es existieren nur zwei mögliche Ausrichtungen für Nukleonen mit Kernspin ½ (Quantisierung) B spin-up spin-down keine exakte Ausrichtung mit dem Magnetfeld möglich beide Ausrichtungen sind mit unterschiedlichen Energiezuständen verbunden Die Orientierung spin-up (parallel zu B) hat die niedrigere Energie, spin-down (antiparallel zu B) die größere. 19

20 Allgemeine Bemerkungen B = 0 B > 0 Der Spin-Überschuss (im spin-up -Zustand) hängt von mehreren Faktoren ab: Er wächst mit der Protonendichte (Zahl der Protonen in einer Volumeneinheit = Voxel) Er wächst mit der Stärke des äußeren Magnetfeldes Er sinkt mit der Temperatur Beispiel: Voxel mit 1 mm Kantenlänge (1mm 3 = 1µl Wasser) enthält ca Protonen In B = 1T gibt es 6 ppm Überschuß-Spins; das entspricht 400 Billionen ( ) Protonen 20 In: Hendrix, A. Magnete, Spins und Resonanzen; Siemens AG (2003); Medical Solutions

21 Allgemeine Bemerkungen a) Welches Magnetfeld liefert die notwendige Netto-Magnetisierung? Statisches Magnetfeld B 0 Magnetisierung Energieaufspaltung Spinpräzession, Larmor-Frequenz b) Welches Magnetfeld sorgt für eine (kurzzeitige) Umbesetzung der Energie- Niveaus? Hochfrequenzfeld (rf-feld) B 1 Resonanzabsorption T 1 - und T 2 -Relaxation c) Welche Magnetfelder ermöglichen die räumliche Lokalisation der Hirnaktivität? Gradientenfelder G x, G y, G z Schichtselektion Phasenkodierung Ortskodierung 21

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