R. Brinkmann Seite Anwendungen der Exponentialfunktion

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1 R. Brinkmann Seite 6..2 Aufstellen der Funktionsgleichung : Anwendungen der Eponentialfunktion Coli Bakterien verrichten ihre Arbeit im menschlichen Darm. Sie vermehren sich durch Zellteilung. Unter günstigen Bedingungen teilen sie sich alle 2 Minuten. Für diesen Vorgang stellen wir eine Wertetabelle auf und zeichnen den Graphen. Dabei steht die Variable für die Zeit in Minuten. Die Variable y gibt die Anzahl der Bakterien an. = Minuten y = Bakterienzahl Nun besteht die Aufgabe darin, den funktionalen Zusammenhang in Form einer Funktionsgleichung f() zu bestimmen. Alle 2 Minuten verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wir müssen also die vorhandene Anzahl nach jeweils 2 Minuten mit 2 multiplizieren. Wir machen folgenden Ansatz: f = 2 f Dabei ist f() die Anzahl der Bakterien und die Zahl der Minuten. Bei dieser Funktionsgleichung würde sich die Bakterienzahl jede Minute verdoppeln. Durch Überlegung gelangen wir zu folgender Funktionsgleichung, die den Sachverhalt richtig beschreibt: f = Probe: = f() = 2 = ; = 2 f(2) = 2 = 2 ; = 4 f(4) = 2 = 4 Vermehrungen, wie wir sie gerade betrachtet haben, werden als eponentielles Wachstum bezeichnet. Eine Funktion, die solch einen Vorgang beschreibt, nennt man Eponentialfunktion. Erstellt von R. Brinkmann p4_efkt_2.doc :4 Seite von 6

2 R. Brinkmann Seite Übungsaufgabe Wie müsste die Funktionsgleichung der Eponentialfunktion unter folgenden Bedingungen aussehen: a) Alle min verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien b) Alle min verdreifacht sich die Anzahl der Bakterien. c) Wir beginnen mit der Beobachtung, wenn schon n = Bakterien vorhanden sind und die Anzahl sich alle 4 min verfünffacht. d) Bei Beobachtungsbeginn sind n = Bakterien vorhanden und alle 4 min nimmt die Anzahl der Bakterien um den Faktor e = 2, zu. e) Alle min. halbiert sich die Anzahl n. a) f = 2 b) c) 4 4 f = = d) 4 4 f = e = e mit e = 2, f = e) Es handelt sich um eine Abnahme = negatives Wachstum f = n 2 Merke: Funktionen, die Wachstumsprozesse beschreiben, heißen Eponentialfunktionen. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet: f = n a mit n = Anzahl zur Zeit t = ; a + ; k, k Eponentielles Wachstum oder eponentielle Abnahme kann man in vielen Lebensbereichen beobachten: In der Biologie (Zunahme und Abnahme von Bakterien), in der Ökologie (Populationen von Tieren), in der Wirtschaftslehre (Kapitalzuwachs durch Zinseszins ), bei physikalisch technischen Problemen (Zerfall radioaktiver Substanzen), in der Medizin (Wirkung von Medikamenten). Erstellt von R. Brinkmann p4_efkt_2.doc :4 Seite 2 von 6

3 R. Brinkmann Seite 6..2 Spezielle Beispiele zur e Funktion Eponentielles Wachstum: Der Bestand von Bakterien vermehrt sich nach einer e Funktion. 22 t f = n e n = Anfangswert t = Zeit in Stunden Auf welchen Wert wächst der Bestand von n = 2 Bakterien in 4 Stunden. Nach wie viel Stunden sind es Bakterien? Wie sieht der Funktionsgraph aus? Bestand nach 4 Stunden: 22 4 k f = n e f(4) = 2 e = 26 Nach wie viel Stunden sind es Bakterien? Ansatz: 22 t f = 2 e = Um den Eponenten t zu bestimmen, ist die Eponentialgleichung 22 t 2 e = zu lösen. Das geschieht durch logarithmieren. Dazu müssen folgende Logarithmengesetze angewendet werden: ln a b = ln a + ln b und ln e = Lösung der Eponentialgleichung: t.. 4 ln 2 e = ln ln2+ t= ln ln2 f 6 22 t = ( ln ln2 ) 22 4 t 24,4 2 Nach etwa 24, Stunden sind es Bakterien. 2 2 Erstellt von R. Brinkmann p4_efkt_2.doc :4 Seite von 6

4 R. Brinkmann Seite Eponentielle Abnahme: Radioaktive Stoffe zerfallen in gleichen Zeitspannen jeweils mit demselben Faktor. Ihre Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte der ursprünglichen Aktivität vorhanden ist. Die Aktivität A() wird gemessen in Megabecquerel ( MBq = 6 Zerfälle pro Sekunde). Für medizinische Untersuchungen wird Jod mit einer Halbwertszeit ( t h ) von Tagen verwendet. Dabei werden dem Patienten A = 4 MBq verabreicht. Nach wie viel Halbwertzeiten bzw. Tagen beträgt die Restaktivität im Körper höchstens noch 4 MBq? Zeichnen Sie den Graphen, lesen Sie die ungefähre Zeit ab und berechnen Sie den genauen Wert. h th = radioaktives Zerfallsgesetz: A Ao e dabei bedeuten: A = Anfangsaktivität in MBq ; t = Halbwertszeit in Tagen ; t = Zeit in Tagen Funktionsgleichung: () A t = A e () = 4 e th Lösungsansatz: A t = 4 e = 4 ln 4 e = ln 4 ln 4 = ln 4 t = ( ln 4 ln 4) t = ln 26, f Nach etwa 2 Tagen, etwas mehr als nach Halbwertszeiten beträgt die Restaktivität im Körper noch etwa 4 MBq. Erstellt von R. Brinkmann p4_efkt_2.doc :4 Seite 4 von 6

5 R. Brinkmann Seite 6..2 Eine besondere Eponentialfunktion, die in der Technik von großer Bedeutung ist, ist die Eponentialfunktion zur Basis e, die e Funktion. Die Eulersche Zahl e heißt auch natürliche Zahl, sie ist eine irrationale Zahl. Mit Hilfe der Zahl e lassen sich natürliche Wachstumsvorgänge mathematisch beschreiben. Auch in der Schwingungslehre benötigt man Funktionen, die die natürliche Zahl beinhalten. Nebenstehend eine nach der e Funktion abklingende gedämpfte Schwingung. f f2 f Nebenstehend die Ladekurve eines Kondensators. f Erstellt von R. Brinkmann p4_efkt_2.doc :4 Seite von 6

6 R. Brinkmann Seite Die Zahl e, der natürliche Logarithmus und die e Funktion e = 2, e = b = ln b ln b ln ( ) e = b z.b. e = k ln e = z.b. ln e = k ln = lne = Die Graphen verlaufen von II nach I Ist der Eponent positiv, so ist der Graph monoton steigend. Ist der Eponent negativ, so ist der Graph monoton fallend. Es gibt keine Nullstellen. Für große Beträge nähert sich der Graph immer mehr der Achse. Alle Graphen verlaufen durch den Punkt P ( ). f f 2 f () := e f 2 () := e Jede Eponentialfunktion kann durch die e Funktion beschrieben werden. ln a Mit f() = a und a = e gilt: ln a ln a ln a f() = a = e = e = e Aus diesem Grund wird in den folgenden Kapiteln als Eponentialfunktion nur noch die e- Funktion betrachtet. Erstellt von R. Brinkmann p4_efkt_2.doc :4 Seite 6 von 6