4. Bayes Spiele. S i = Strategiemenge für Spieler i, S = S 1... S n. T i = Typmenge für Spieler i, T = T 1... T n

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1 4. Bayes Spiele Definition eines Bayes Spiels G B (n, S 1,..., S n, T 1,..., T n, p, u 1,..., u n ) n Spieler 1,..., n S i Strategiemenge für Spieler i, S S 1... S n T i Typmenge für Spieler i, T T 1... T n u i : S T IR Kostenfunktion von Spieler i p : T [0, 1] Zufallsverteilung Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

2 Definition eines strategischen Spiels G B (n, 1,..., n, ũ 1,..., ũ n ) i {σ ; σ : T i S i ist Abbildung} Menge der Strategien für Spieler i 1... n ũ i (σ 1,..., σ n ) E T [u i (σ 1 (t 1 )... σ n (t n ), t 1,..., t n )] (t 1,...,tn) T p(t 1,..., t n )u i (σ 1 (t 1 ),..., σ n (t n ), t 1,..., t n ) Definition 1: Ein Nash Äquilibrium von G B heißt Bayes-Nash-Äquilibrium von GB. Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

3 Beispiel: DA s brother, 2 Typen für Spieler 2 DC C DC C Typ 1 DC 0, 2 10, 1 Typ 2 DC 0, 2 10, 7 C 1, 10 5, 5 C 1, 10 5, 11 Typ 1 mit Wahrscheinlichkeit p, Typ 2 mit Wahrscheinlichkeit 1 p Spieler 2, Typ 1: C ist dominante Strategie Spieler 2, Typ 2: DC ist dominante Strategie d.h. σ 2 (t 1 ) C, σ 2 (t 2 ) DC Was spielt Spieler 1? ũ 1 (σ 1, σ 2 ) p u 1 (σ 1, σ 2 (t 1 )) + (1 p)u 1 (σ 1, σ 2 (t 2 )) p u 1 (σ 1, C) + (1 p) u 1 (σ 1, DC) p ( 10) + (1 p) 0, wenn σ 1 DC p ( 5) + (1 p) ( 1), wenn σ 1 C d.h. σ 1 C, falls 5p + p 1 > 10p d.h. 6p > 1 Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

4 Typ-Agenten-Darstellung (eingeführt von Harsanyi, vorgeschlagen von Selten) 2-te Methode zur Definition eines strategischen Spiels G B (τ, D 1,..., D τ, v 1,..., v τ ) T i {(i, t) ; t T i } Menge der Spieler, τ T. T {α 1,..., α τ } D (i,t) S i i [1, n], t T i Strategie für Spieler (i, t) Kostenfunktion von Spieler (i, t i ) v (i,ti ) (d 1,..., d τ ) t i T i p i (t i t i )u i (d(1, t 1 ),..., d(n, t n ), t 1,..., t n ), d k D k k [1, τ] Definition 2: Ein Nash Äquilibrium von G B heißt Bayes-Nash-Äquilibrium von G B Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

5 Äquivalenz der beiden Definitionen Lemma 1: (1) (σ 1,..., σ n ), σ i : T i S i, ist Nash Äquilibrium von G B (d 1,..., d τ ), d (i,ti ) σ i(t i ), ist Nash Äquilibrium von G B (2) (d 1,..., d τ ), d (i,ti ) S i, ist Nash Äquilibrium von G B (σ 1,..., σ n ), σ i (t i ) d (i,ti ), ist Nash Äquilibrium von G B Beweis: ũ i (σ 1,..., σ n ) (t 1,...,tn) T (t 1,...,tn) T p(t 1,..., t n )u i (σ 1 (t 1 ),..., σ n (t n ), t 1,..., t n ) p i (t i )p(t i t i )u i (d(1, t 1 ),..., d(n, t n ), t 1,..., t n ) t i T i p i (t i )v (i,ti ) (d 1,..., d τ ) Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

6 Mixed Äquilibrium und Bayes-Spiel Sei G (n, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) ein strategisches Spiel. Sei 0 p i (j) 1, p i (j) 1 j S i i Definiere G B (n, 1,..., n, T 1,..., T n, (p 1,..., p n ), u 1,..., u n ) mit T i S i, Lemma 2: i {σ; σ : T i S i } i (p 1,..., p n ) ist gemischtes Nash Äquilibrium von G (σ 1,..., σ n ), σ i (t) t t T i, ist Bayes-Nash-Äquilibrium von G B. Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

7 Proof of Lemma 2: U i (p 1,..., p n ) u i (σ 1,..., σ n ) (s 1,...,sn) p(s 1,..., s n )u i (s 1,..., s n ) p is p(z s)u i (z, s) s S i z S i p(t 1,..., t n )u i (σ 1 (t 1 ),..., σ n (t n )) (t 1,...,tn) (t 1,...tn) p(t 1,..., t n )u i (t 1,..., t n ) Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

8 Now let us assume that there exist a better strategy σ i for player i, i.e. (*) u i (σ 1,..., σ i,..., σ n) < u i (σ 1,..., σ n ) u i (σ 1,..., σ i,..., σ n) s S i q is z S i p(z, s)u i (z, s) with q is p ik k σ i (k)s s S i p is z S i p(z s)u i (z, σ i (s)) The assumption ( ) implies that player i could also improve in game G by changing from strategy (p i1,..., p im ) to (q i1,..., q im ) since p is a Nash equilibrium. Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

9 Coordination Ratio of the Purification Game Social Cost: f(s 1,..., S n ) IR f B (σ 1,..., σ n ) (t 1,...,tn) p(t 1,..., t n )f(σ 1 (t 1 ),..., σ n (t n )) Lemma 3: Let (σ 1,..., σ n ) be a BNE of G B. Construct (q ij ) by q ij k,σ i (k)j Then (q ij ) is a NE of G and f B (σ 1,..., σ n ) f(q ij ) p ik Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

10 Proof of Lemma 3: 1) Let p, q, σ be as in the formulation of theorem 1. Let g be an arbitrary function. Set H(r, p 1,..., p r, s r+1,..., s n ) r (σ 1,...,σr) k1 p k,sk g(σ 1 (s 1 ),..., σ r (s r ), s r+1,..., s n ) Then H(r, p 1,..., p r, s r+1,..., s n ) r (s 1,...,sr) k1 q k,sk g(s 1,..., s r, s r+1,..., s n ) Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

11 Proof by induction on n r 0v induction step H(r + 1, p 1,..., p r+1, s r+z,..., s n ) r p r+1,s s S r+1 (σ 1,...,σr) k1 r q r+1,s s S r+1 (σ 1,...,σr) k1 r q r+1,s s S r+1 (s 1,...,sr) k1 p k,sk g(σ 1, (s 1 ),..., σ r (s r ), σ i (s), s r+1,..., s n ) p k,sk g(σ 1 (s 1 ),..., σ r (s r ), s, s r+2,..., s n ) q k,sk g(s 1,..., s r, s, s r+2,..., s n ) Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

12 2) ũ i (σ 1,..., σ n ) n (t 1,...,tn) k1 p k,tk u i (σ 1 (t 1 ),..., σ n (t n )) t T i p it t T i t T i q it t T i n k1 k i n k1 k i p k,tk u i (σ 1 (t 1 ),..., σ i (t),..., σ n (t n )) p k,tk u i (σ 1 (t 1 ),..., t,..., σ n (t n )) k(σ i,p i,t) (σ 1,..., σ n ) BNE (*) q it > 0 h(σ i, p i, t) h(σ i, p i, t) t T i (Otherwise Jobs that are mapped to strategy t by σ i would choose some other strategy) Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

13 On the other hand U i (Q) n (s 1,...,sn) k1 t T i q it s Sn q k,sk u i (s 1,..., s k ) n k1 k i q k,sk u i (s n,..., t,..., s k ) k(σ i,q i,t) Because of the claim in (1) h(σ i, Q i, t) h(σ i, Q i, t) and (*) implies that (q ij ) is a NE. Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

14 3.) In the same way the claim from (1) can be applied to the function f. f B (σ 1,..., σ n ) (t 1,...,tn) n (t 1,...,tn) k1 p(t 1,..., t n )f(σ 1 (t 1 ),..., σ n (t n )) q k,tk f(t 1,..., t n ) f(q) Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

15 Bayesian KP users [1, n] links [1, m] with capacities c 1,..., c m types T i {w 1,..., w r } strategies σ i : T i [1, m], i set of strategies cost function u i (l 1,..., l n, t 1,..., t n ) Definition: load on link j δ j (σ 1,..., σ n ) Lemma 4: Definition A strategy σ σ (σ 1,..., σ n ), σ i v (i,ti ) (d 1,..., d τ ) 1 c σi (t k ) i j,l i l j t j (t 1,...,tn) δ j (σ 1,..., σ m ) (t i + p(t 1,..., t n ) (k,t k ),σ k (t k )j (k,t k ),k i,σ k (t k )σ i (t i ) (k,t k ),σ k (t k )j p k (t k ) t k t k p k (t k ) t k ) is called normal if all types of player i are mapped to the same link. A strategy vector i, is called normal, if σ i is normal for all i 1,..., n. Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

16 Bayesian KP for identical links Let E(i) be the expected type of player i, i.e. E(i) t T i p it w it Corollary of Lemma 4: Let σ be a normal strategy vector. Then for all 1 i n ũ i (σ) k; link(σ,k) link(σ,i) E(k). Construction: From a Bayesian KP game B (n, m, T 1,..., T n, p) construct a traditional KP game K (n, m, E 1,..., E n. From a strategy profil α : [1, n] [1, m] for K construct a normal strategy profil σ for B by σ i (j) α(i) i [1, n], j T i Lemma 5: If α is a Nash equilibrium for K then σ(α) is a Nash equilibrium for B. Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

17 Notation user [1, n] links [1, m] with capacities c 1,..., c m types T i {w 1,..., w r } type agents t i T i l(t i ) is the link that type agent t i chooses. L (l(t i )) ti T i i [n] p(i, t i ) is the probability that user i has type t i. δ i (L) is the expected load on link j without type agents from user i, thus j δ i j (L) k [n], k i t k T k, l(t k )j p(k, t k ) t k. Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

18 Theorem 1 There always exists a pure Bayesian Nash equilibrium for the Bayesian KP game with related links. Proof: We define the following potential function: Φ(L) i [n] t i T i p(i, t i ) t i δ i l(t i ) (L) + 2t i c l(ti ) Consider a selfish step of type agent t i from link k to link l. Since t i makes a selfish step, we have δ i k (L) + t i c k > δ i l (L) + t i c l (1) Now consider the change (Φ) due to this selfish step. It is (Φ) 1 (Φ) + 2 (Φ), with 1 (Φ) p(i, t i ) t i δ i l (L) + 2t i c l δ i k (L) + 2t i c k Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/

19 and 2 (Φ) s [n], s i ts Ts, l(ts)l p(s, t s ) t s p(i, t i) t i c l s [n], s i ts Ts, l(ts)k p(s, t s ) t s p(i, t i) t i c k p(i, t i ) t i p(i, t i ) t i 1 c l s [n], s i δ i l (L) c l ts Ts, l(ts)l δ i k c k p(s, t s ) t s 1 c k s [n], s i (L). ts Ts, l(ts)k p(s, t s ) t s It follows with Equation (1) (Φ) 1 (Φ) + 2 (Φ) 2 p(i, t i ) t i δ i l (L) + t i c l δ i k (L) + t i c k < 0. Thus, any selfish step decreases the value of the potential function Φ(L). The claim follows. Universität Paderborn Äquilibria in strategischen Spielen WS 2004/