3 Dynamische Spiele mit vollständiger Information. 3.1 Rückwärtsinduktion. Literaturhinweise zu Kapitel 3:

Transkript

1 Spieltheorie (Winter 009/0) 3- Prof. Dr. Ana B. Ania 3 Dynamische Spiele mit vollständiger Information Literaturhinweise zu Kapitel 3: Osborne (004), Kapitel 5-7 Gibbons (99), Kapitel MasColell, Whinston, Green (995), Kapitel 7 und 9A+B Fudenberg und Tirole (99), Kapitel 3 und 4 3. Rückwärtsinduktion Bisher hatten wir Situationen betrachtet, in denen beide Parteien simultan über ihre Strategie entscheiden müssen. Jetzt betrachten wir etwas kompliziertere zeitliche Strukturen. Dabei beschränken wir uns zunächst auf Spiele mit vollständiger und perfekter Information, d.h., alle Spieler spielen sequentiell, und jeder Spieler beobachtet alle vorangegangenen Züge. Klaus M. Schmidt 007

2 Spieltheorie (Winter 009/0) 3- Prof. Dr. Ana B. Ania Die Zeitstruktur eines Spiels Spieler Spieler Aktion Aktion Spieler Aktion 3 Aktion 4 Aktion 3 Aktion 4 ( ) a ( ( ) c e b d) ( ) g f h Beispiel : IBM vs. Intel Abb. 3.: Ein Spielbaum In den frühen 70er Jahren ist Intel der einzige Lieferant von IBM für bestimmte Computerchips. IBM steht vor der Wahl, entweder Intel als einzigen Lieferanten zu behalten oder einen zweiten Lieferanten (AMD) aufzubauen. Ohne einen zweiten Lieferanten kann Intel seine Monopolmacht ausnutzen. Dann würde IBM einen Gewinn von 0 und Intel einen Gewinn von 90 erhalten. Intel kündigt jedoch an, auf das Ausnutzen der Monopolstellung zu verzichten und die Gewinne gleichmäßig aufzuteilen (jeder bekommt einen Gewinn von 50). Wenn sich IBM entscheidet, AMD als zweiten Lieferanten aufzubauen, erhält IBM einen Gewinn von 40 und Intel einen Gewinn von 30.

3 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-3 Prof. Dr. Ana B. Ania Sollte IBM eine zweite Lieferantenbeziehung aufbauen oder darauf verzichten? Zeichnen Sie den Spielbaum für dieses Spiel. Bestimmen Sie die Normalform für dieses Spiel.

4 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-4 Prof. Dr. Ana B. Ania Beispiel : Marktzutrittsspiel Zutreter N ( ) 0 E k Monopolist n ( ) ( ) Abb. 3.: Marktzutrittsspiel Der Marktzutreter entscheidet, ob er eintritt (E) oder nicht (N). Der Monopolist entscheidet, ob er kämpft (k) oder nicht kämpft und sich den Markt teilt (n). Ein sequentielles Spiel mit endlich vielen Stufen und perfekter Information wird von hinten (durch Rückwärtsinduktion) gelöst. Monopolist: Gegeben, dass der Zutreter eingetreten ist, ist es für mich optimal, den Markt zu teilen. Zutreter: Wenn ich zutrete, wird der Monopolist den Markt teilen. Also sollte ich zutreten. Das Ergebnis der Rückwärtsinduktion ist also (E,n).

5 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-5 Prof. Dr. Ana B. Ania Rückwärtsinduktion und Nash-Gleichgewicht Das Ergebnis der Rückwärtsinduktion ist ein Nash-GG: Gegeben, dass der Zutreter E spielt, ist für den Monopolisten n optimal. Gegeben, dass der Monopolist n spielt, ist für den Zutreter E optimal. Z N M k n 0, 0, E -, -, Abb. 3.3: Normalform des Marktzutrittsspiels Analyse der Normalform zeigt, dass es noch ein zweites Nash-GG gibt: (N,k). Diese Strategie des Monopolisten ist nicht optimal, wenn der Zutreter E spielen sollte. Aber: Im Nash-GG (N,k) tritt der Zutreter eben nicht ein, also ist dieser Fall irrelevant. Trotzdem ist das Nash-GG (N,k) nicht überzeugend. Der Monopolist droht, zu kämpfen, falls der Zutreter zutritt.

6 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-6 Prof. Dr. Ana B. Ania Das ist eine unglaubwürdige Drohung, weil es nicht im Interesse des Monopolisten liegt, sie im Fall des Falles tasächlich wahr zu machen. Die Unglaubwürdigkeit einer Drohung lässt sich aus der Normalform des Spiels nicht erkennen. Darum werden wir bei dynamischen Spielen oft die extensive Form des Spiels betrachten, die die Zeit- und Informationsstruktur explizit macht. Ziel: Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts. D.h., Ausschluss von Gleichgewichten, die unglaubwürdige Drohungen enthalten. Bevor wir das tun, werden wir aber ein paar weitere Anwendungsbeispiele für Rückwärtsinduktion betrachten

7 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-7 Prof. Dr. Ana B. Ania 3. Anwendungsbeispiele für Rückwärtsinduktion 3.. Stackelberg-Duopol Heinrich von Stackelberg (934) ) Unternehmen, der Stackelberg-Führer, wählt seine Menge x. ) Unternehmen, der Stackelberg-Anpasser, beobachtet x und wählt seine Menge x. 3) Auf dem Markt ergibt sich der Preis als Funktion der gesamten Menge: p = p(x + x ). Dieses Modell wird oft verwendet, wenn es auf einem Markt einen dominanten Anbieter gibt, an den alle übrigen Anbieter ihr Verhalten anpassen. Beispiele: Saudi-Arabien als größter Ölproduzent legt seine Menge als erster fest. Andere Ölproduzenten passen sich an. Südafrika: Dominierender Diamantenproduzent De Beers. Andere Marktführer: Microsoft, IBM, Telekom, etc., aber hier geht es meist um Preis- und/oder Qualitätswettbewerb bei heterogenen Gütern.

8 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-8 Prof. Dr. Ana B. Ania Das Entscheidungsproblem des Anpassers Der Anpasser maximiert seinen Gewinn π = p(x + x )x c (x ) durch geeignete Wahl von x. Dabei liegt die Menge x bereits fest und ist bekannt. Bedingung erster Ordnung (BEO) für Gewinnmaximum: p(x + x )+ dp(x + x ) x = dc (x ) dx dx Diese Bedingung legt die optimale Menge x als Funktion von x fest, d.h.: x = R (x ) Die Funktion R (x ) wird Reaktionsfunktion von Unternehmen genannt. Beispiel: Lineare Nachfrage: p(x + x )=a b (x + x ) Konstante Grenzkosten: c (x) =c (x) =c x Gewinnfunktion des Anpassers: π = [a b(x + x )] x c x a b(x + x ) bx = c BEO für Gewinnmaximum:

9 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-9 Prof. Dr. Ana B. Ania dπ d x = b < 0 Reaktionsfunktion des Anpassers: x = a bx c = a c b b x Gewinnfunktion ist streng konkav: Das Problem des Marktführers Der Marktführer kennt das Entscheidungsproblem des Anpassers und weiß, dass er die Menge x = R (x ) wählen wird. Also ist sein Gewinnmaximierungsproblem: max x p(x + R (x )) x c (x ) BEO für Gewinnmaximum: p(x + R(x )) + + dr dx dp dx x = dc dx Der Stackelberg-Führer berücksichtigt nicht nur, wie eine zusätzliche Einheit den Martkpreis direkt senkt, sondern auch, wie sie die Menge seines Konkurrenten und damit indirekt den Marktpreis beeinflusst.

10 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-0 Prof. Dr. Ana B. Ania Im Beispiel: Gewinnfunktion des Marktführers: π =[a b(x + R (x ))] x c x = a c x b x BEO für Gewinnmaximum: a c x bx = 0 = a c b Nachdem wir die optimale Menge des Stackelberg-Führers kennen, können wir sie in die Reaktionsfunktion des Anpassers einsetzen, um dessen Menge, die gesamte Menge, und denmarktpreiszubestimmen. Einsetzen von x in R (x ) ergibt: x = a c 4b Die gesamte Menge ist also: 3(a c) x + x = 4b Der Marktpreis ergibt sich als: p = a +3c 4

11 Spieltheorie (Winter 009/0) 3- Prof. Dr. Ana B. Ania Vergleich zum Cournot-Duopol Der Gewinn des Stackelberg-Führers ist immer höher als der Gewinn eines Cournot-Duopolisten. Warum? Im Stackelberg-Spiel ist der Anpasser besser informiert als ein Duopolist im Cournot-Spiel. Er kann beobachten, welche Menge der Stackelberg-Führer auf den Markt wirft. Trotzdem geht es dem Anpasser schlechter als dem Cournot-Duopolisten. Warum? In Ein-Personen-Entscheidungssituationen ist es unmöglich, dass sich der Entscheidungsträger schlechter stellt, wenn er zusätzliche Informationen oder zusätzliche Handlungsmöglichkeiten bekommt. In interpersonellen Entscheidungssituationen ist es dagegen oft besser, weniger Informationen oder weniger Handlungsmöglichkeiten zu haben. Beispiele: Cournot- versus Stackelberg-Spiel. Chicken-Spiel: Angenommen, einer der Fahrer kann sein Lenkrad aus dem Fenster werfen und sich damit die Möglichkeit zum Ausweichen nehmen. Gegenspieler wird ausweichen. Viele andere Beispiele für Selbstbindung (Commitment).

12 Spieltheorie (Winter 009/0) 3- Prof. Dr. Ana B. Ania 3.. Löhne und Beschäftigung Leontief (946), später in zahlreichen Variationen. Zweistufiges Spiel:. Gewerkschaft bestimmt den Lohnsatz, w.. Unternehmen bestimmt die Beschäftigungsmenge, L. Auszahlungsfunktionen: Gewerkschaft: U(w, L), streng monoton steigend in w und L, quasikonkav (konvexe Indifferenzkurven) Unternehmen: π(w, L) =R(L) wl, R(L) steigend und streng konkav, lim L 0 R (L) =, lim L R (L) =0.

13 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-3 Prof. Dr. Ana B. Ania Rückwärtsinduktion Unternehmen: max R(L) wl L 0 BEO (hier notwendig und hinreichend): R (L) w =0 Die optimale Beschäftigungsmenge L (w) ist eine fallende Funktion von w. (Warum?) Isogewinnlinien: R(L) wl = c w = R(L) c L R w L Abb. 3.4: Gewinnmaximum und Isogewinnlinien der Unternehmung L

14 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-4 Prof. Dr. Ana B. Ania BEO: max w 0 U(w, L (w)) U w + U dl (w) L dw = 0 Gewerkschaft antizipiert L (w): w w L Abb. 3.5: Nutzenmaximum der Gewerkschaft, Ineffizienz L Bemerkungen: ) Gewerkschaft sucht sich den besten Punkt auf der Reaktionsfunktion des Unternehmens. ) Aber das Ergebnis ist ineffizient: Gewerkschaften und Unternehmen könnten sich besser stellen, wenn sie den

15 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-5 Prof. Dr. Ana B. Ania Lohn etwas verringerten und die Beschäftigung etwas erhöhten. 3) Die Ineffizienz besteht, weil Gewerkschaft und Unternehmen nicht über Beschäftigung und Lohnhöhe gleichzeitig verhandeln. Warum wird das nicht gemacht? 3..3 Zeitkonsistenz der Geldpolitik Barro und Gordon (983) Zweistufiges Spiel zwischen Zentralbank und privatem Sektor:. Die Privaten bilden Inflationserwartungen π e,diesich insbesondere in Tarifabschlüssen niederschlagen.. Die Zentralbank beobachtet π e und entscheidet über die Geldpolitik, die die tatsächliche Inflationsrate π determiniert. Stark stilisiertes Modell in reduzierter Form. Tarifabschlüsse, Transmissionsmechanismus von Geldpolitik auf realen und monetären Sektor etc. werden nicht explizit modelliert. Stattdessen: Zentralbank möchte die gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt maximieren, indem sie die Verlustfunktion L(u, π) = u + γπ minimiert. Dabei ist u>0 die Arbeitslosenquote, γ>0.

16 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-6 Prof. Dr. Ana B. Ania Die Volkswirtschaft wird durch eine modifizierte Phillipskurve beschrieben: u = u n α(π π e ) Die natürliche Arbeitslosenquote u n > 0 wird durch Tarifabschlüsse bestimmt. Die Zentralbank kann die tatsächliche Inflationsrate perfekt und ohne Zeitverzögerung steuern. Die privaten Wirtschaftssubjekte möchten die tatsächliche Inflation so gut wie möglich voraussagen: Rückwärtsinduktion U(π, π e )= (π π e ) min π u n α(π π e )+γπ Zentralbank: Inflationserwartungen liegen bereits fest. BEO: Daraus folgt: dl dπ = α +γπ = 0 π = α γ Beachten Sie: Die optimale Inflationsrate für die Zentralbank ist in diesem Modell unabhängig von den Inflationserwartungen der Privaten.

17 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-7 Prof. Dr. Ana B. Ania Private Wirtschaftssubjekte antizipieren π : Daraus folgt: max π e (π π e ) π e = π = α γ Für die Arbeitslosenquote ergibt sich: Bemerkungen: u = u n α(π π e ) = u n Ergebnis ist ineffizient: u = u n und π =0wäre besser. Problem der Zentralbank: Sie kann sich nicht binden, eine Inflationsrate von 0 zu wählen. Die Privaten antizipieren, dass die Bank ex post einen Anreiz hat, zu inflationieren. Der Anreiz zu inflationieren besteht, obwohl die Privaten die Inflation perfekt voraussehen und sie darum keine für die Zentralbank positiven Effekte hat. Regelgebundene Geldpolitik: Wenn die Zentralbank eine Reputation dafür aufbauen könnte, nie zu inflationieren, würde sie sich besserstellen. Siehe dazu das Kapitel über wiederholte Spiele.

18 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-8 Prof. Dr. Ana B. Ania 3.3 Die extensive Form eines Spiels Definition 3. (Extensive Form) Die extensive Form eines Spiels spezifiziert: () die Menge der Spieler {,...,n}; (a) zu welchem Zeitpunkt welcher Spieler am Zug ist; (b) welche Aktionen einem Spieler zur Verfügung stehen, wenn er am Zug ist; (c) was ein Spieler weiß, wenn er am Zug ist; (3) die Auszahlung eines jeden Spielers für jede mögliche Kombination von Zügen. Die Definition der extensiven Form ist ganz analog zu der der Normalform. Einziger Unterschied: Die Beschreibung der Strategienräume kann sehr viel komplexer sein. Spiele in extensiver Form können mit Hilfe eines Spielbaums beschrieben werden.

19 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-9 Prof. Dr. Ana B. Ania Ein Spielbaum besteht einer Menge von geordneten und miteinander verbundenen Knoten: Entscheidungsknoten: Hier kann genau ein Spieler aus einer Menge von Aktionen auswählen. Jede Aktion führt zu einem neuen Entscheidungs- oder Endknoten. Endknoten: Hier endet das Spiel, und Auszahlungen werden zugeordnet. Der Spielbaum beginnt mit genau einem Anfangs-Entscheidungsknoten. Wir werden immer annehmen, dass ein Spielbaum sich echt verzweigt: Er wächst nicht in sich selbst zurück (keine Zyklen); Zweige wachsen nicht wieder zusammen (keine gemeinsamen Vorgänger). Gegenbeispiele?

20 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-0 Prof. Dr. Ana B. Ania Zufallszüge der Natur In vielen Spielen gibt es exogene Unsicherheit. Wir können das modellieren, indem wir einen zusätzlichen Spieler, die Natur, einführen, die aus der Menge der möglichen Zustände der Welt einen nach einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung auswählt. Z N ( ) 0 M E Natur M k n k n ( 0 0 ) ( 3 3 ) ( ) ( ) Abb. 3.6: Marktzutrittsspiel mit exogener Unsicherheit Nach der Zutrittsentscheidung realisiert sich der Zustand der Welt: Mit Wahrscheinlichkeit ist die Nachfrage groß, beide können hohe Gewinne machen. Mit Wahrscheinlichkeit ist die Nachfrage niedrig, beide machen bei Wettbewerb Verluste.

21 Spieltheorie (Winter 009/0) 3- Prof. Dr. Ana B. Ania Informationsmengen Definition 3. (Informationsmenge) Eine Informationsmenge ist eine Menge von Entscheidungsknoten mit den Eigenschaften: Bei allen Entscheidungsknoten einer Informationsmenge ist derselbe Spieler am Zug. Ein Spieler kann die verschiedenen Knoten einer Informationsmenge nicht unterscheiden. Ins- besondere hat er an jedem Knoten einer Informationsmenge dieselbe Menge von Aktionen. Jeder Entscheidungsknoten gehört zu genau einer Informationsmenge. Beispiele: G g l ( 3) ( 0 5 g ) ( 5 0 L l ) ( ) Abb. 3.7: Das Gefangenen-Dilemma

22 Spieltheorie (Winter 009/0) 3- Prof. Dr. Ana B. Ania Abb. 3.8: Mögliche und unmögliche Informationsmengen Wenn ein Spiel nur einelementige Informationsmengen enthält, sprechen wir von einem Spiel mit perfekter Information (nicht zu verwechseln mit vollständiger Information). Gibt es mehrelementige Informationsmengen sprechen wir von einem Spiel mit imperfekter Information (nicht zu verwechseln mit unvollständiger Information). Strategien Definition 3.3 (Strategie) Eine Strategie ist ein vollständig konditionierter Aktionsplan: Für jede Informationsmenge, in der der Spieler am Zug ist, spezifiziert sie eine mögliche Aktion, d.h., sie konditioniert die Aktion auf die von Spieler i beobachtete bisherige Geschichte des Spiels.

23 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-3 Prof. Dr. Ana B. Ania Beispiele: ( 3 l L r ) ( ) ( R l r ) ( ) 0 0 Abb. 3.9: Strategien in einem Spiel mit perfekter Information Spieler hat Strategien: L, R Spieler hat 4 Strategien: ll, lr, rl, rr L ll lr rl rr 3, 3,,, R, 0, 0, 0, 0 Abb. 3.0: Normalform dieses Spiels

24 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-4 Prof. Dr. Ana B. Ania L l r R l r L R L R L R L R Abb. 3.: Strategien in einem Spiel mit imperfekter Information Strategien von Spieler : Strategien von Spieler : Jedes Spiel in extensiver Form kann in ein Spiel in Normalform überführt werden. Aber: Zu einem Spiel in Normalform können mehrere verschiedene Spiele in extensiver Form existieren.

25 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-5 Prof. Dr. Ana B. Ania 3.4 Teilspielperfekte Gleichgewichte Definition 3.4 (Teilspiel) Ein Teilspiel eines Spiels in extensiver Form a) beginnt in einem Entscheidungsknoten K einer einelementigen Informationsmenge, b) beinhaltet alle Entscheidungs- und Endknoten, die K nachfolgen, aber keine Knoten, die K nicht nachfolgen, c) durchtrennt keine nachfolgenden Informationsmengen. L l r R l r L R L R L R L R Abb. 3.: Teilspiele

26 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-6 Prof. Dr. Ana B. Ania Intuitiv ist ein Teilspiel einfach ein Teil des gesamten Spiels, der in einem Knoten beginnt und alle nachfolgenden Knoten enthält. An diesem Knoten muss die gesamte bisherige Geschichte des Spiels dem Spieler, der hier am Zug ist, bekannt sein. Ein Teilspiel kann isoliert betrachtet und analysiert werden. Die folgende Definition stammt von Reinhard Selten (965). Definition 3.5 (Teilspielperfekte GG) Ein Nash- Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn die Strategien der Spieler in jedem Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht bilden. Beispiel: ( 3 L l r ) ( ) ( R l r ) ( ) 0 0 Abb. 3.3: Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht

27 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-7 Prof. Dr. Ana B. Ania Analyse der Teilspiele: Gegeben, dass Spieler L gewählt hat, sollte r spielen. Gegeben, dass Spieler R gewählt hat, sollte l spielen. Gegeben das Verhalten von sollte R spielen. Das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht ist (R, rl). Beachten Sie: Der Gleichgewichtspfad ist (R, l) Aber: Das Gleichgewicht muss auch angeben, was außerhalb des Gleichgewichtspfades passieren würde. Darum ist das Gleichgewicht (R, rl). Es existiert ein zweites Nash-Gleichgewicht: (L, rr). Aber, dieses Nash-GG ist nicht teilspielperfekt. Es enthält die unglaubwürdige Drohung, dass Spieler r spielt, sollte Spieler R spielen. Teilspielperfektheit ist nicht nur für Spiele mit perfekter Information, sondern auch für beliebige Spiele mit imperfekter Information wohldefiniert.

28 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-8 Prof. Dr. Ana B. Ania Satz 3. Jedes endliche Spiel in extensiver Form hat wenigstens ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Beweisskizze: Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man ein teilspielperfektes Gleichgewicht finden kann. Das Verfahren ist eine Verallgemeinerung der Rückwärtsinduktion. ) Beginne am Ende des Spielbaums und bestimme für alle letzten Teilspiele die Nash-Gleichgewichte. Da es sich bei diesen letzten Spielen um endliche Spiele handelt, muss in jedem von ihnen wenigstens ein Nash- Gleichgewicht (eventuell in gemischten Strategien) existieren. ) Wähle für jedes dieser Teilspiele ein Nash-Gleichgewicht aus und ersetze das Teilspiel durch den Vektor der Gleichgewichtsauszahlungen. 3) Wiederhole diese Schritte für das reduzierte Spiel solange, bis alle Züge im gesamten Spiel bestimmt sind. Damit ist ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht gefunden.

29 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-9 Prof. Dr. Ana B. Ania Satz 3. Jedes endliche Spiel in extensiver Form mit perfekter Information hat generisch ein eindeutiges teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Beweis: Bei perfekter Information gibt es auf jeder Stufe der Rückwärtsinduktion nur einfache Ein-Personen-Entscheidungsprobleme. Da diese Probleme endlich sind, haben sie eine Lösung. Generisch führen unterschiedliche Aktionen nie zu denselben Auszahlungen. Also gibt es auf jeder Stufe eine eindeutige optimale Aktion, und folglich auch ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht. Bemerkungen:. Dieser Satz wurde schon von Zermelo (93) bewiesen.. Bei Spielen mit imperfekter Information kann es natürlich mehrdeutige Gleichgewichte in einem Teilspiel geben. Die Menge aller TPGG im gesamten Spiel erhält man, indem man die Rückwärtsinduktion mit jeder möglichen Kombination aller möglichen Gleichgewichte durchführt.

30 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-30 Prof. Dr. Ana B. Ania Beispiel: Ein Spiel mit imperfekter Information Betrachten Sie das folgende Spiel mit zwei Perioden, bei dem die Spieler in der ersten Periode ein Gefangenen-Dilemma und in der zweiten Periode ein Koordinationsspiel spielen: A cooperate B cooperate defect, -, 3 defect 3, - 0, 0 A L B l r x, x 0, 0 R 0, 0 y, y Fig. 4.: SPE of a Game of Imperfect Information Was sind die teilspielperfekten Gleichgewichte dieses Spiels? Unter welcher Annahme an x und y kann ein teilspielperfektes Gleichgewicht gestützt werden, bei dem die beiden Spieler in der ersten Periode kooperieren?

31 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-3 Prof. Dr. Ana B. Ania 3.5 Teilspielperfektheit und Rationalität Teilspielperfektheit erfordert, dass es Common Knowledge ist, dass alle Spieler rational sind. Betrachten Sie das folgende Spiel: L ( ) 0 l ( ) R r L R ( ) 3 ( ) 0 0 Abb. 3.4: Rationalität und Rückwärtsinduktion Rückwärtsinduktion ergibt, dass Spieler L spielen und das Spiel damit beenden sollte. Begründung: Wenn Spieler R spielt, sollte Spieler l spielen, denn würde er r spielen, würde Spieler in der letzten Runde L spielen. Angenommen, Spieler spielt dennoch R. Zeigt er damit nicht, dass er irrational ist? Wenn Spieler aber irrational ist, sollte Spieler dann

32 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-3 Prof. Dr. Ana B. Ania nicht vielleicht doch lieber r spielen, in der Hoffnung, dass Spieler sich in der letzten Runde ebenfalls irrational verhält und R spielt? Wenn Spieler durch diese Argumentation verleitet wird, r zu spielen, sollte dann nicht auch ein rationaler Spieler R in Runde spielen? Rückwärtsinduktion ist nur solange überzeugend, solange Abweichungen vom Rückwärtsinduktionspfad rational erklärt werden können. Das hat Selten (975) motiviert, das Konzept des perfekten Gleichgewichts einzuführen: ) Es ist common knowledge, beide Spieler sind rational. ) Aber: Beide Spieler machen mit sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten Fehler: ihre Hände zittern bei der Auswahl der Strategien. Mit Wahrscheinlichkeit ɛ spielt jeder Spieler die intendierte Strategie, aber mit Wahrscheinlichkeit ɛ macht er einen Fehler und wählt eine andere (zufällig ausgewählte) Strategie. Die Wahl von R kann dann als nicht intendierter Fehler von interpretiert werden und bedeutet nicht, dass irrational ist. 3) Ein perfektes Gleichgewicht ist der Limes einer Folge von Gleichgewichten, in denen jeder Spieler mit Wahrscheinlichkeit ɛ einen Fehler macht, wenn ɛ gegen 0 konvergiert.

33 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-33 Prof. Dr. Ana B. Ania Das folgende Spiel soll noch einmal darauf hinweisen, dass Teilspielperfektheit nicht immer völlig plausibel sein muss. Spieler und sind abwechselnd am Zug und können jedesmal entscheiden, ob das Spiel enden oder weitergehen soll. w w w s s s s s s w w w ( ) ( ) ( 0 3 ) ( ) ( ) ( ) 99 ( ) Abb. 3.5: Rosenthals Hundertfüßler Das eindeutige TPGG ist, dass jeder Spieler das Spiel beendet, wenn er zum Zug kommt. Was passiert, wenn Spieler das Spiel in Periode nicht beendet? Sollte Spieler sich dennoch an das Gleichgewicht halten? Ob dieses TPGG überzeugend ist oder nicht, hängt entscheidend davon ab, wie die Spieler Abweichungen vom Gleichgewichtspfad interpretieren.

34 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-34 Prof. Dr. Ana B. Ania 3.6 Ein Zermürbungskrieg Das klassische Beispiel für einen Zermürbungskrieg stammt aus der Biologie (Maynard Smith, 974): Kampf zweier Tiere um ein Territorium. Wir betrachten dieses Spiel nur in diskreter Zeit mit unendlichem Horizont: Folge von Zeitpunkten: t =0,,,... In jeder Periode entscheiden beide Spieler simultan, ob sie kämpfen oder aufgeben sollen. Wenn beide kämpfen, verlieren beide eine Nutzeneinheit pro Periode, und das Spiel geht weiter. Wenn einer aufgibt, der andere aber nicht, erhält der Gewinner einer Preis im Wert v, der Verlierer nichts, und das Spiel ist zu Ende. Wenn beide gleichzeitig aufgeben, sind beide Verlierer und erhalten beide nichts. Auszahlungen: Sei ˆt die Periode, in der der Verlierer aufgegeben hat. Verlierer: u v (ˆt) = ( + δ + + δˆt ) = δˆt δ

35 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-35 Prof. Dr. Ana B. Ania Gewinner: u g (ˆt) = (+δ + +δˆt ) +δˆt v = δˆt +δˆt v δ Existiert ein symmetrisches, stationäres TPGG? Ja, aber nur in gemischten Strategien. Angenommen beide Spieler geben in jeder Periode mit Wahrscheinlichkeit p auf und kämpfen mit Wahrscheinlichkeit p. Diese Strategien sind nur dann ein Gleichgewicht, wenn jeder Spieler in jeder Periode indifferent ist, ob er aufgeben oder weiterkämpfen soll. Also muss in jeder Periode t gelten: Interpretation: 0=pv+( p) [ +δ 0] Die bisher verlorenen Nutzeneinheiten sind sunk costs. Wir brauchen also nur Auszahlungen zu betrachten, die von der jetzigen Periode an erhalten werden. 0 ist die Auszahlung, wenn ich heute aufgebe. Wenn ich nicht aufgebe, gibt es zwei Möglichkeiten: Mit Wahrscheinlichkeit p gibt mein Gegner auf, und ich bekomme v.

36 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-36 Prof. Dr. Ana B. Ania Mit Wahrscheinlichkeit p gibt er nicht auf, was mich diese Runde eine Nutzeneinheit kostet. In der nächsten Runde bin ich dann wieder indifferent zwischen Aufgeben und Kämpfen. Also ist der Folge- Payoff ab der nächsten Runde genau 0. Auflösen ergibt: Bemerkungen: p = +v ) Je höher der Preis v, um so kleiner ist die Wahrscheinlichkeit des Aufgebens. ) Das Ergebnis ist ineffizient, weil mit positiver Wahrscheinlichkeit gekämpft wird. Mit positiver Wahrscheinlichkeit sind die Kosten des Kämpfens sogar höher als der zu gewinnende Preis. 3) Es gibt noch andere TPGG. Beispiel: Spieler wird immer kämpfen, Spieler wird immer aufgeben. Insbesondere sind alle stationären Nash-Gleichgewichte auch teilspielperfekt. 4) Aber: Das Gleichgewicht, dass wir oben charakterisiert haben, ist das einzige symmetrische Gleichgewicht.

37 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-37 Prof. Dr. Ana B. Ania 3.7 Das Einmal-Abweichungsprinzip In den bisherigen Beispielen war es relativ einfach, zu prüfen, ob ein Strategientupel (s,...,s n) ein TPGG ist. In komplizierteren Spielen kann das jedoch sehr aufwendig sein. Der folgende Satz macht uns das Leben erheblich leichter: Satz 3.3 (Einmal-Abweichungsprinzip) Ein Strategientupel s ist teilspielperfekt genau dann, wenn es für keinen Spieler i eine Strategie s i gibt, die sich von s i nur in einer Periode t und nach einer Geschichte h t unterscheidet, und die echt besser ist als s i, wenn das Teilspiel nach h t erreicht wird. Bemerkungen: ) Es ist offensichtlich, dass die Bedingung notwendig für Teilspielperfektheit ist. Gäbe es eine solche profitable Abweichungsstrategie s i, dann kann sicher kein TPGG vorliegen. (Achtung: Es könnte immer noch ein Nash- Gleichgewicht vorliegen, falls die Geschichte h t auf dem Gleichgewichtspfad nicht erreicht wird.) ) Es ist nicht offensichtlich, dass die Bedingung auch hinreichend für Teilspielperfektheit ist. Angenommen, es gäbe keine profitable Strategie s i, die nur in einer Informationsmenge von s i abweicht. Dann könnte es immer

38 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-38 Prof. Dr. Ana B. Ania noch eine Strategie ŝ i geben, die an mehreren Informationsmengen gleichzeitig von s i abweicht und echt besser als s i ist. 3) Wenn wir den Satz bewiesen haben, können wir uns das Leben in Zukunft sehr viel leichter machen: Wir müssen nur noch prüfen, ob es Abweichungsstrategien gibt, die profitabel an nur einer Informationsmenge abweichen. Das ist besondern nützlich bei wiederholten Spielen. 4) Wir führen den Beweis für Spiele mit endlichem Horizont. Der Beweis für Spiele mit unendlichem Horizont wird nur skizziert. Siehe Fudenberg-Tirole, S Beweis (durch Widerspruch): Angenommen, wir haben ein Strategientupel s, das der Bedingung des Einmal-Abweichungsprinzips genügt, das aber nicht teilspielperfekt ist. Dann existiert ein Zeitpunkt t und eine Geschichte h t,so dass es für einen Spieler i eine Strategie ŝ i gibt, die nach h t echt besser gegen s i ist als s i und an wenigstens zwei Informationsmengen von s i abweicht. Wir suchen jetzt die letzte Informationsmenge, an der eine Abweichung von s i echt profitabel ist: Betrachte den letzten Zeitpunkt, an dem es eine Informationsmenge gibt, in der ŝ i von s i abweicht. Wenn ŝ i zu keiner strikten Verbesserung führt, falls diese Informationsmenge erreicht wird,

39 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-39 Prof. Dr. Ana B. Ania dann ersetze diesen Teil von ŝ i durch den entsprechenden Teil von s i und gehe zur nun letzten Informationsmenge mit einer Abweichung. Tue das solange, bis die letzte Informationsmenge gefunden ist, in der ŝ i echt besser ist als s i. Die Geschichte, die zu dieser Informationsmenge führt, nennen wir h t. Betrachte jetzt eine Strategie s i,diemits i in allen Informationsmengen übereinstimmt, bis auf diejenige im Anschluss an h t, die wir im letzten Abschnitt gefunden haben. An dieser Informationsmenge stimmt die Strategie mit ŝ i überein. In allen folgenden Informationsmengen ist sie aber wieder identisch mit s i. Aufgrund unserer Konstruktion muss gelten: s i ist gegen s i echt besser als s i,wenn h t erreicht wird. s i weicht von s i in nur einer einzigen Informationsmenge ab. Also ist eine profitable Abweichung mit einfacher Abweichung gefunden. Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass s i die Bedingung des Einmal-Abweichungsprinzips erfüllt. Q.E.D.

40 Spieltheorie (Winter 009/0) 3-40 Prof. Dr. Ana B. Ania Beweisskizze für Spiele mit unendlichem Horizont: Bei unendlichem Horizont muss es keine letzte Informationsmenge mit einer profitablen Abweichung geben. Was dann? Wenn die Strategie ŝ i gegen s i echt besser ist als s i,dann existiert ein ɛ>0, so dass u i (ŝ i,s i h t ) >u i (s i,s i h t )+ɛ. Wenn die Spieler zukünftige Auszahlungen diskontieren, dann existiert ein t<, so dass der Gegenwartswert aller Auszahlungen nach t kleiner als ɛ sind. Also muss die Strategie ŝ i zu einer profitablen Abweichung vor der Periode t führen. Damit haben wir wieder ein endliches Problem, das wir von hinten aufrollen können genau wie im obigen Beweis.