Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele über Spuren

Transkript

1 Ehrenfeuht-Frïssé-Spiele üer Spuren Mrtin Horsh 14. Juni 2006

2 Vortrgsinhlt Ehrenfeuht-Frïssé-Spiel mit n Runden und k Mrken Lokle Temporllogik üer Mzurkiewiz-Spuren (LoTL) LoTL und die Logik erster Stufe mit zwei Vrilen (FO 2 ) Logik erster Stufe mit egrenzter Alternierungstiefe Vergleih: zwei Vrilen vs. egrenzte Alternierungstiefe

3 Ein Ahängigkeitslphet (Σ, D) esteht us einem endlihen Alphet Σ und einer reflexiven Ahängigkeitsreltion D üer Σ. Mn knn (Σ, D) ls Ahängigkeitsgrph drstellen: d f e Eine Mzurkiewiz-Spur für (Σ, D) ist ein Tupel t = (V(t), Λ,, <) mit der Knotenmenge V(t) und der Beshriftung Λ : V(t) Σ. Die Ahängigkeitsreltion ( ) üer V(t) ist zyklish mit u v Ó Ö v u Λ(u) D Λ(v) ÙÒ u v für lle Knoten u, v V(t). Die Ordnungsreltion ( < ) ist die trnsitive Hülle ( ) Σ der Ahängigkeitsreltion.

4 grphishe Drstellung von Spuren Bei einer Spur werden wir entweder ( ) oder ( < ) drstellen. e d e d Ahängigkeitsstruktur Prtilordnung (Hsse-Digrmm) Wir shreien t = für Linerisierungen der Beshriftung von t mit i Σ. Diese Spur ist ed = ed = ed. Die Menge ller Spuren für (Σ, D) ezeihnen wir ls R[Σ, D].

5 In der Logik erster Stufe (FO) üer Spuren können elementre Vrilen x i mit Knoten elegt werden, er niht mit Mengen von Knoten. Eine Formel mit der Menge freier Vrilen X wertet mn üer Pren der Art (t, Ξ) mit Belegungen Ξ : X V(t) us. Wir verwenden: ooleshe Verknüpfungen und die Quntoren und einstellige Beshriftungsprädikte λ für Σ ds zweistellige Prädikt in FO[ ], der Logik erster Stufe üer Spuren ls Ahängigkeitsstrukturen ds zweistellige Prädikt < in FO[<], der Logik erster Stufe üer Spuren ls Prtilordnungen Ein Ahängigkeitslphet (Σ, D) sei gegeen. Die geshlossene Formel erster Stufe ϕ erzeugt die Sprhe L(ϕ) = {t R[Σ, D] t = ϕ}.

6 Quntortiefe logisher Formeln Die Quntortiefe ergit sih induktiv nh folgender Regel: ÕØ( ) = 0 Σ n N : ÕØ(λ (x n )) = 0 i, j N : ÕØ(x i x j ) = ÕØ(x i < x j ) = 0 ÕØ( ϕ) = ÕØ(ϕ) ÕØ( (ϕ ψ) ) = Ñ Ü(ÕØ(ϕ), ÕØ(ψ)) n N : ÕØ( x n ϕ) = 1 + ÕØ(ϕ) Mit FO n k [<] 2R[Σ,D] ezeihnen wir die endlihe Menge ller Sprhen, die durh Formeln mit k Vrilen und der Quntortiefe n erzeugt werden. Anlog: FO n k [ ].

7 EF-Spiel mit k Mrken und n Runden Ds EF-Spiel für FO n k [<] (nlog FOn k [ ]) wird von Spoiler und Duplitor uf zwei Spuren t 0, t 1 R[Σ, D] gespielt. Pro Spur git jeweils eine mit x 1, x 2,... und x k eshriftete Mrke. Anfngs efinden sih lle Mrken ußerhl. Aluf einer Runde: 1.) Spoiler wählt eine Seite ζ {0, 1}. Er setzt eine elieige Mrke uf einen Knoten von t ζ. 2.) Duplitor setzt die gleih eshriftete Mrke uf einen Knoten von t 1 ζ. Der Spielstnd ist ein Pr von Belegungen (Ξ 0, Ξ 1 ). Duplitor gewinnt gdw. nh llen k Runden ein 1 i k die eiden Belegungen zgl. der Prädikte < und λ mit Σ isomorph sind.

8 Lemm (Immermn & Kozen). Seien t 0, t 1 R[Σ, D] Spuren. Die folgenden Aussgen sind gleihedeutend: 1. Es git eine geshlossene Formel ϕ mit k Vrilen und in der Logik erster Stufe üer Prtilordnungen, sodss gilt: t 0 = ϕ, t 1 = ϕ ÙÒ ÕØ(ϕ) = n 2. Spoiler esitzt eine Gewinnstrtegie im EF-Spiel für FO n k [<] uf den Spuren t 0 und t 1, er gewinnt lso mit k Mrken innerhl von n Runden. Beweis: Induktion üer n. Anlog: Formeln mit dem Prädikt ( )

9 EF-Spiel mit zwei Mrken und zwei Runden d e d d d e Spoiler esitzt eine Gewinnstrtegie. Nur die linke Spur erfüllt die Formel x(λ d y(λ x < y)).

10 lokle Temporllogik Formeln der loklen Temporllogik für Spuren (LoTL) werden üer einzelnen Knoten usgewertet. Sei t R[Σ, D] eine Spur und v V(t) ein Knoten. Mit Σ gilt (t, v) = λ Λ(v) = Einige ihrer Opertoren sind next-future, yesterdy-pst und prllel: (t, v) = XF ϕ v > v : (t,v ) = ϕ (t, v) = YP ϕ v < v : (t,v ) = ϕ (t, v) = PAR ϕ v v : (t, v ) = ϕ Dei ist die Prllelitätsreltion: u,v V(t) : u v (u = v u < v u > v)

11 tiefeneshränkte Frgmente von LoTL Sei Op {XF, YP, PAR}, dnn definieren wir t R[Σ, D] : t = Op ϕ v V(t) : (t, v) = ϕ für eine temporllogishe Formel ϕ. Die Auswertung einer Formel eginnt ußerhl der Spur, mit dem äußersten Opertor springt mn hinein. Die von ϕ erzeugte Sprhe ist L(ϕ) = {t R[Σ, D] t = ϕ}. Die Opertortiefe einer temporllogishen Formel ist die mximle Anzhl miteinnder vershhtelter Opertoren. Die endlihe Menge ller Sprhen, die mit XF, YP und PAR ei einer Opertortiefe von n N oder weniger erzeugt werden können, ist LoTL n [XF, YP, PAR].

12 Im EF-Spiel für LoTL[XF,YP,PAR] uf den Spuren t 0 und t 1 git es eine Mrke pro Spur. Anfngs liegen die Mrken ußerhl. In jeder Runde wählt Spoiler eine Seite ζ {0, 1}. Angenommen, die Mrken liegen uf v 0 V(t 0 ) und v 1 V(t 1 ). Dnn knn Spoiler zwishen den folgenden Spielzügen wählen: XF: Spoiler zieht uf v ζ > v ζ. Duplitor zieht uf v 1 ζ > v 1 ζ. YP: Spoiler zieht uf v ζ < v ζ. Duplitor zieht uf v 1 ζ < v 1 ζ. PAR: Spoiler zieht uf v ζ v ζ. Duplitor zieht uf v 1 ζ v 1 ζ. Wenn die Mrken ußerhl liegen, ziehen eide Spieler uf elieige Knoten. Spoiler gewinnt, sold die Mrken uf vershieden eshrifteten Knoten liegen. Lemm. Spoiler esitzt eine Gewinnstrtegie für n Runden gdw. t 0 und t 1 in LoTL n [XF,YP,PAR] untersheidr sind.

13 Stz. Für lle n N ist FO n 2 [<] = LoTLn [XF,YP,PAR]. Beweis (Äquivlenz der Spiele). temporl erster Stufe

14 Stz. Es gilt FO 2 [ ] = LoTL[XF,YP]. Beweis (Äquivlenz der Spiele). d e f d e f d e f d e f temporl erster Stufe (Es gilt: u v Ó Ö v u Λ(u) D Λ(v) ÙÒ u v)

15 Formeln mit egrenzter Alternierungstiefe Die Formelmenge Φ Σ,< (0, 0) esteht us den Formeln der Logik erster Stufe üer Prtilordnungen ohne geundene Vrilen. Für k, n 1 liegt ϕ mit den freien Vrilen x 1,..., x l genu dnn in Φ Σ,< (k, n), wenn es die Form ϕ = 1 i j ( x l+1 x l+mi ψ i ) mit m i n und ψ i Φ Σ,< (k 1, n m i ) für lle 1 i j ht. Wir ezeihnen k ls die Alternierungstiefe (,,,...) der Formeln. Σ n k [<] = {L(ϕ) ϕ Φ Σ,<(k, n)} Σ k [<] = n N Σ n k [<] k [<] = Σ k [<] CoΣ k [<] = Σ k [<] Π k [<]

16 EF-Spiel mit k Seitenwehseln und n Mrken Spoiler und Duplitor spielen uf zwei Spuren t 0, t 1 R[Σ, D]. Ein Spielstnd ht die Form (Ξ 0, Ξ 1, ζ) mit ζ {0, 1} und Belegungen Ξ 0 und Ξ 1 der Vrilen x 1,... x m mit m n. Aluf einer Runde: 1.) Spoiler nimmt sih l n m Mrken, die mit x m+1,..., x m+l eshriftet sind. Er verteilt sie uf Knoten von t ζ. 2.) Duplitor setzt genuso eshriftete Mrken uf t 1 ζ. So entstehen die erweiterten Belegungen Ξ 0 und Ξ 1. Seitenwehsel: der neue Spielstnd ist (Ξ 0, Ξ 1, 1 ζ). Es werden k Runden gespielt. Duplitor gewinnt, wenn die Belegungen m Ende isomorph sind.

17 Genu dnn, wenn usgehend vom Spielstnd (Ξ 0, Ξ 1, 0) ei k verleienden Runden Duplitor eine Gewinnstrtegie esitzt, shreien wir t 0, Ξ 0 n k t 1, Ξ 1 (Ξ 1 dupliziert Ξ 0 ). Lemm. Die Behuptung ϕ Φ Σ,< (k, n) : t 0, Ξ 0 = ϕ t 1, Ξ 1 ist genu dnn erfüllt, wenn t 0, Ξ 0 n k Beweis (Induktion üer k). t 1, Ξ 1 gilt. Ist ε die leere Belegung, dnn ht Duplitor uf den Spuren t 0 und t 1 genu dnn eine Gewinnstrtegie usgehend von (ε, ε,0), wenn t 1 mindestens die gleihen Eigenshften us Σ n k [<] erfüllt wie t 0. Wir nennen dieses Spiel deshl ds EF-Spiel für Σ n k [<].

18 zwei Vrilen vs. egrenzte Alternierungstiefe Üer Wörtern gilt FO 2 [<] = 2 [<] = DA (Tesson & Thérien). Üer Spuren ls Ahängigkeitsstrukturen gilt FO 2 [ ] = 2 [ ] = DA (Kufleitner). Behuptung. Sei k > 1. Dnn sind FO 2 [<] und k [<] üer Spuren unvergleihr.

19 Lemm. Es git ein Ahängigkeitslphet (Σ, D) mit n N : Σ 3 1 [<] \ LoTLn [XF,YP,PAR]. Beweis (EF-Spiele für diese Frgmente). Durh d e f ist ein zyklishes Ahängigkeitslphet gegeen, ußerdem sei der Seprtor von llen Zeihen hängig. Sei q = edf, und p estehe us 2n + 1 Blöken der Art:... d e f d e f... Betrhten wir die folgenden Spuren: s = ( p) n q( p) n und t = ( p) 2n+1

20 Lemm. Sei k 1. Es git ein Ahängigkeitslphet (Σ, D), sodss ein L LoTL k [PAR] mit der Eigenshft L / Σ n k [<] für lle n N existiert. Beweis (EF-Spiele für diese Frgmente) Aufu eines Ahängigkeitslphets: m mit m 1 ist unhängig von llen i und i mit i < m. m mit m > 1 ist hängig von llen i und i mit i m.

21 Sei l (n + 1) k. Betrhten wir die Spuren Υ 1,l = 1, Θ 1,l = ε und Υ j,l = ( j j Υ j 1,l ) l j j Θ j 1,l ( j j Υ j 1,l ) l Θ j,l = ( j j Υ j 1,l ) l für lle i > 1. Induktiv gilt Υ k,l. Θ k,l n k Mn knn diese Spuren er mit einer von l unhängigen Formel untersheiden, die k PAR-Opertoren enthält. Beispiel: Υ 3,1 =

22 zwei Vrilen vs. egrenzte Alternierungstiefe Sei k > 1. Nh Definition ist CoΣ k 1 [<] eine Teilmenge von Σ k [<]. Folglih ist Σ k 1 [<] eine Teilmenge von Π k [<] = CoΣ k [<] und es gilt Σ k 1 [<] Σ k [<] Π k [<] = k [<]. Es git Ahängigkeitslphete (Σ, D) mit folgenden Eigenshften für lle n N: Σ 3 1 [<] k[<] FO n 2 [<] = LoTLn [XF,YP,PAR] LoTL k [PAR] FO 2 [<] k [<] Σ n k [<] Also sind FO 2 [<] und k [<] üer Spuren unvergleihr.