) ergeben die i i. Es gelten folgende allgemeinen Resultate (in informeller Sprache formuliert).

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1 V. Kolluson Im olgopolstschen Wettbewerb treffen mtunter mmer weder de glechen Frmen aufenander. Des eröffnet de Möglchket für stlles Zusammenspel, wel abwechendes Verhalten n späteren Zusammentreffen sanktonert werden kann. Solche Stuatonen können als wederholtes Spel (Superspel) (G, T, δ) modellert werden, n dem en 1-perodges konsttuerendes Spel G=(N, S, Π), z.b. das Cournot- oder Bertrandspel, T-mal wederholt wrd, wobe eder Speler versucht, T = t den mt dem Dskontfaktor δ < 1 abdskonterten Proftstrom Π t t δ 1 zu 1 maxmeren. In so enem dynamschen Spel (mt mehreren Zetpunkten) begnnt n edem Zetpunkt t en neues (Tel-)Spel, gegeben de bs dahn abgelaufene Geschchte Ht 1 = { x τ } τ = 1 der von den n Spelern bsher gewählten Aktonen xτ = ( x1 τ,..., xn τ ), τ = 1,..., t 1. In t=1 glt H 0 = { }. Ene Stratege s st en Plan, der eder möglchen Geschchte ene Akton xt = s( Ht 1 ) zuordnet. De Aktonen xt = ( x1 t,..., xnt ) ergeben de Perodenprofte Πt = Π ( x t ). En Strategenprofl s = ( s1,..., s n ) stellt en telspelperfektes Glechgewcht dar, wenn s n edem Telspel zu enem Nashglechgewcht führt. V.1. Allgemene Resultate Es gelten folgende allgemenen Resultate (n nformeller Sprache formulert). Resultat 1: Wenn das konsttuerende Spel en Nashglechgewcht x N bestzt, st de T-malge Wederholung von x N en telspelperfektes Glechgewcht. Resultat 2: Be endlchem T und vollkommener Informaton glt: Falls das konsttuerende Spel en endeutges Nashglechgewcht x N bestzt, st de T- malge Wederholung von x N das enzge telspelperfekte Glechgewcht. Resultat 3: Falls T unendlch st, glt: Wenn das konsttuerende Spel en Nashglechgewcht x N bestzt, dann exstert für alle Aktonen x, für welche N Π ( x) > Π ( x ), = 1,..., n, en δ < 1, so daß für alle δ > δ de unendlche Wederholung von x durch Trggerstrategen (Nash reverson strateges) als telspelperfektes Glechgewcht unterstützt werden kann. V-1

2 Deses Resultat kann dahngehend verallgemenert werden, daß alle x mt Π ( x) > Π als telspelperfektes Glechgewcht unterstützt werden können, wobe Π mn[max Π ( x, x )] der mnmal payoff st. Das Resultat wrd auch als Folk x x Theorem bezechnet, wel Varanten davon vor der präzsen speltheoretschen Bewesführung als Volksweshet bekannt waren. Graphsche Illustraton von Resultat 3 Π Π N Π = ( Π Π ), Π De schrafferte Fläche kann als telspelperfektes Glechgewcht unterstützt werden. Π N bezechnet de Profte ( Π ( x N ), Π ( x N )) m Nashglechgewcht des konsttuerenden Spels. Per defntonem glt: Π ( x ) Π. N Wetere Resultate be unvollkommener Informaton: Zumndest ene Zetlang können Profte über Π N auch be endlchem T gestützt werden, falls en Speler ncht perfekt über den Typ des anderen Spelers nformert st. Ebenso können Profte über Π N gestützt werden, wenn T unscher und der Erwartungswert E( T ) < st. V-2

3 V.2. Anwendung auf den Preswettbewerb Gegeben 2 dentsche Frmen, de mt konstanten Grenzkosten c en homogenes Gut produzeren und wederholt aufenandertreffen. Das konsttuerende Spel st der n IV.3. analyserte Bertrandwettbewerb. Das enzge Nashglechgewcht st p B = c mt Π ( p B ) = Π ( p B ) = 0. V.2.1. Ex ante bekannter endlcher Zethorzont Be endlchem Zethorzont T und vollkommener Informaton ergbt sch durch Rückwärtsndukton: Das enzge telspelperfekte Glechgewcht st de T-malge Wederholung des Grenzkostenpreses c. Bewes: Das telspelperfekte Glechgewcht muß n edem Telspel, also auch n enem, das n T stattfndet, zu enem Nashglechgewcht führen. Das letzte Spel n Perode T st dentsch mt dem konsttuerenden Bertrandspel, daher st p B T = c das enzge Glechgewcht. Daraus resultert, daß de Auszahlungen des n Perode T-1 begnnenden 2- Perodenspels nur aus den allenfalls n Perode T-1 erspelten Gewnnen besteht (da n der letzten Perode Nullprofte resulteren). Damt reduzert sch aber auch B deses Spel auf das schon bekannte Bertrandspel mt Glechgewcht p = T 1 c. Es wrd also n eder Perode t T en Spel gespelt, das strategsch we das letzte st, wel das Nullproftergebns der später kommenden Spele ncht beenflußt werden kann. Somt st p B = c das Presglechgewcht n allen Peroden t = 1,..., T. t V.2.2. Unendlcher Horzont Be unendlchem Horzont glt: Jeder Pres p [ c, p m ] kann durch Nash-reverson Strategen (Trggerstrategen) p1 = p und für t 2 p t {(, )} p wenn Ht = p p ( Ht 1) = c sonst. t 1 1 = 1 τ (5.1) V-3

4 als telspelperfektes Nashglechgewcht gestützt werden, wenn der Dskontfaktor δ > 1 α, wobe α = mn{ α, α } und α, α de Marktantele von, snd, wenn bede den Pres p verlangen. Bewes: Wr müssen zegen, daß (5.1) n edem Telspel en Nashglechgewcht st. Nun, n edem Zetpunkt t begnnt en neues Superspel. Dese Spele unterscheden sch durch de vorher abgelaufene Geschchte, wobe es nur zwe verschedene Geschchten gbt, nämlch Ht 1 = {( p, p)} τ = 1 oder Ht 1 {( p, p)} τ =. Das heßt, es gbt zwe verschedene Telspele, für welche überprüft werden muß, ob (5.1) en Nashglechgewcht st. Telspel 1: H t 1 {( p, p)} τ und damt H {( p, p)} τ für alle t t. t 1 = t 1 = Gemäß (5.1) wählt für alle t t den Grenzkostenpres c. Würde rgendwann p t c wählen, könnte er nchts gewnnen. p t < c bedeutet Verlust, p t > c bedeutet ken Markt (wel p t = c ). Telspel 2: H = {( p, p)} τ. t 1 = 1 Gemäß (5.1) wählt n desem Fall p Zetpunkt von p abzuwechen? t = p. Lohnt es sch für n rgendenem Wenn abwecht, ändert er damt de Geschchte, und en Spel vom Typ des Telspels 1 begnnt, mt Nullproft für alle Zukunft. In der enen Perode, wo er abwecht, kann er edoch den ganzen Markt erobern und maxmal enen Proft Π = ( p c) x( p ) gewnnen (wenn er zu enem margnal unter p legenden Pres abwecht). Das Abwechen brngt also den abdskonterten Proftstrom D Π = p c x p + + ( ) ( ) 0... (5.2) Wenn ne abwecht, ändert sch de Geschchte ne, so daß be p und der Markt aufgetelt blebt. Der abdskonterte Proftstrom für τ t st also dann: α ( p c) x( p) ( p c) x( p) (5.3) K τ 1 Π = δ α = τ = 1 1 δ Der Verglech von (5.2) und (5.3) zegt, daß sch Abwechen ne lohnt, wenn α > 1 also wenn δ α 1 δ > 1. QED. V-4

5 V.2.3. Endlcher, aber unbestmmter Zethorzont Praktsch leben Frmen ncht unendlch lange. Anderersets st das Ende normalerwese auch ncht von vornheren bekannt. Se ~ t de Zufallsvarable, de den Zetpunkt des Ausschedens der Frma beschrebt. Se 1 γ de Wahrschenlchket, daß ene Frma am Ende ener Perode ausschedet. γ ( < 1 ) st de Überlebenswahrschenlchket. De Wahrschenlchket, daß de Frma nach t Peroden noch am Markt st, st somt γ t. Da γ < 1, st de Lebensdauer der Frma mt ener Wahrschenlchket von 1 endlch. Mt der n IV.2.2. beschrebenen Nash-reverson Stratege kann auch auf so enem Markt en Pres p [ c, p m ] als telspelperfektes Glechgewcht gestützt werden, falls 1 >δ > 1 α γ (wobe α wederum den Marktantel der klensten Frma am Markt bezechnet). Bewes: Der durch Abwechen erzelte Proft D Π st dentsch mt (5.2). Der be Aufrechterhaltung der Kolluson n ener Perode τ erzelte Proftstrom st ( p c) α x( p). Deser wrd ncht nur abdskontert, er entsteht auch nur wenn de Perode τ noch erlebt wrd, also mt Wahrschenlchket γ τ 1. Daher glt statt (5.3) α ( p c) x( p) ( p c) x( p) (5.4) K τ 1 τ 1 Π = δ γ α = τ = 1 1 δγ Der Verglech von (5.2) und (5.4) ergbt: Abwechen lohnt sch ncht, wenn δ 1 α 1 1 ( = für α = ). γ 2γ 2 Man beachte: δ 1 α γ < 1, wenn γ > 1 α. QED. V-5

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7 V.2.4. Interpretaton und Schlußfolgerungen Π 2 Π m m m Π Π, 2 2 Π( p B ) = 0 Π m Π 1 Jedes Ergebns n der schrafferten Fläche st be hnrechend großer Gewchtung der Zukunft (δ ) durch Trggerstrategen stützbar. Das bedeutet, es gbt außerordentlch vele Glechgewchte. Praktsch kann man sch vorstellen, daß sch zwe Frmen n ener stllen Absprache den Markt auftelen und Monopolprese verlangen. De Tatsache, daß m m ( Π 2, Π 2 ) als telspelperfektes Glechgewcht realsert werden kann, bedeutet, daß ene derartge stlle Kolluson auch ohne (enklagbare und damt schtbare) Kartellverträge hält, wel kene Frma enen Anrez hat abzuwechen. Der Grund st, daß de Rückkehr zur Nashstratege p B = c ene Sankton nsofern darstellt, daß dadurch für alle Zukunft möglche Kollusonsgewnne verloren gehen. Dese Sanktonsmöglchket und damt de Wahrschenlchket von stller Kolluson st verglechswese größer klener auf expansven Märkten wenn Boom erwartet wrd (Vgl. Trole und Übungsbespele). e mehr Frmen am Markt snd auf schrumpfenden Märkten be langen detecton lags wenn Rezesson erwartet wrd. V-7