Wiederholung der Algebra Klassen 7-10

Save this PDF as:
Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Wiederholung der Algebra Klassen 7-10"

Transkript

1 PKG Oberstufe Wiederholung der Algebra Klassen rr5 4. (a) Kürze so weit wie möglich: 4998 (b) Schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl und als Dezimalbruch: (c) Schreibe das Ergebnis als Bruch: (a) = : 5, 0,5 ( ) 4 : (b) = 6 = 6 66 =,94 (c) = 7 80 ( ) 4 : 7 9 4,4 06cm04. Fasse zusammen! (a) ( 4 ) 7 5 (b) (c) (a) 40 (b) 7 0 (c) 9 07sn00. Berechne folgende Terme: (a) ( ) +( 94)+( 4) (b) ( ) +( 84)+( ) (c) [( 8) : (+)] : ( ) (d) [( 8) : (+4)] : ( ) (e) (f)( x) ( y) + x 7y (a) 4 (b) 0 (c) 7 (d) 8 (e) 5 (f) 7x +0y 07rr Berechne die Definitionsmengen folgender Terme: (a) T (x) = x x + x 7 x 5, G = N (b) T (x) = x x + x 7 x 5, G = Q

2 (c) T (x) = (a) D = N\{} (b) D = Q\ {, 5 } (c) D = Q\ {, 4,} x 7 (x+)(5x 5)(8x+), G = Q 07rr0 5. Berechne die Definitionsmenge D des Terms T(x) = x+4 x 7 T(0), T( ) und T ( ). 07rr007 07rr07 D = Q\ { } 7 4, T(0) = 7, T( ) = 9, T ( ) 6. Berechne die Definitionsmengen folgender Terme: (a) T (x) = 7 x+ x, G = Q (b) T (x) = (c) T (x) = x x, G = Q (a) x+ x = (b) D = N (c) x x = (d) D 4 = {} { x für x > 0 0 für x 0 { 0 für x 0 x für x < 0 = +4 x x+ x, G = Z (d) T 4 (x) = x x x, G 4 = N D = Q + = {x x > 0} D = Q = {x x < 0} 7. Berechne die Definitionsmenge D des Terms T(x) = 5 x x T(0), T( ) und T ( ). D = Q\{ ;}, T(0) = 5 (, T( ) = 6, T ) und die Termwerte = 5 = 45 und die Termwerte = 5+ = 6 5 =, 08in Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung über G = Q: D = Q\{0; }, L = { } x 4x x+ = 0 08in Bestimme jeweils Definitions- und Lösungsmenge: (a) x 4 x x (b) x+ = (c) x 4 = x x x +x x 7 x x x+ = x x

3 (a) D = Q\{}, L = D (b) D = Q\{0; }, L = {} (c) D = Q\{0,5;,5}, L = { 4,5} 08in Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichung: G = Q\{;0}, L = { 5 } x x 9 + x 0 4x x+ 6x = 0, G = Q 08ga0. Löse nach der Variablen a auf: a c ac ab+ac = + a a = b+c b c 08rw0. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge Q! (I) 5(x+y) (x y) = 6 (II) (x y)+(x+y) = x =, y = 08rw0. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge Q! (I) (II) x =,4, y = 0,9,5y +0,5 + 0,6 4x = 0 y + 8x+ = 0 08rw04 4. Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems über Q an! (I) x 5 x + y +8 y 5 5y +7 = 0 (II) y + + 5x+6 ( x ) = 0 Beide Gleichungen mit dem Hauptnenner multiplizieren: (I) (y +8)( y 5 +) x y 7 = 0 (II) (y +)( x ) 4x y 9 = 0 Das Gleichungssystem (I ) x y 7 = 0 und (II ) 4x y 9 = 0 liefert die Lösung x =, y =

4 08rr06 5. Wir suchen eine Kehrwertregel für Ungleichungen: a < b = a? b Experimentiere mit verschiedenen positiven und negativen Zahlen für a und b und schreibe dann die endgültige Regel hin. Achtung: Es gibt drei verschiedene Fälle! Also: < 4 = > 4 4 < = 4 = 4 > = < 4 = = < 4 0 < a < b = a > b a < b < 0 = a > b a < 0 < b = a < b 08rr Warum 0 0 nicht definiert ist Anna bringt folgendes Argument: Daa 0 = fürallea 0schon festgelegt ist, wäre es doch sinnvoll, auch 0 0 = zu definieren. Darauf antwortet Paul: Da 0 n = 0 für alle n N schon festgelegt ist, wäre es doch sinnvoll, auch 0 0 = 0 zu definieren. Zeige, dass beide Definitionen für 0 0 jeweils eines der Potenzgesetze verletzen. Aus Annas Definition 0 0 = folgt: = ( ) = = 0 ( ) 0 Der letzte Term ist aber wegen der Null im Nenner nicht definiert, damit ist das 0 Potenzgesetz an ( a ) n b n = verletzt. b Aus Pauls Definition 0 0 = 0 folgt: 0 = 0 0 = 0 = 0 0 = 0 0 Der letzte Term 0 0 ist aber wegen der Null im Nenner nicht definiert, damit ist das 0im006 Potenzgesetz a n m = an a m verletzt. 7. Vermischtes zum Thema Wurzeln Ziehe die Wurzeln: (a) 800 (b) 8 (c) 0,8 4

5 (d) 0,008 (e) 5 6 (f) 0, (g) x für x = (h) 5 45 Quelle: mathematik lehren 70 (995) 09ga Welche Gleichung der Form x = a hat als Lösung (a)? (b) 5? (a): x = 4 (b): x = 5 09ga00 9. Schreibe als Quadratwurzel und gib an den Stellen... jeweils an, wann dies möglich ist: ( 0,0; ; a ), falls...; a b, falls...; x, falls...; x x, falls... 0,0004; 6 8 ; a 6, falls a 0; (a b), falls a b; x 6, falls x 0; x 4, falls x 0 09ga Schreibe folgende Terme jeweils als Wurzel, falls dies möglich ist: (a) xz, wobei x,z Q (b) p, wobei p Q (c) yz, wobei y Q +,z Q (d) q p, wobei p,q Q (e) rs, wobei r,s Q (a): x z (b): p 4 (c): y z 4 (d), (e): nicht möglich 09in008. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Gib gegebenenfalls an, was zusätzlich vorausgesetzt werden muß, damit die Aussagen wahr werden. (a) Ist 0 < x < y, so ist x < y (b) Es gilt stets x < x. (c) ( x ) = x (a) wahr (b) nur wahr, falls x > 5

6 (c) nur wahr, falls x 0 09ga00. Zeige, daß die positive Lösung der Gleichung x = eine irrationale Zahl ist. Gehe dazu von der Annahme x = p q dies zu einem Widerspruch. p,q N, p,q teilerfremd, aus und führe 09bo00. Bestimme die Definitionsmenge von: (a) c+4 (b) c (c) ( c) (d) c (a) D = [ 4; [ (b) D = {0} (c) D = R (d) D = R ga07 4. Bestimme die Definitionsmenge des folgenden Terms: x (x 4) D =]0;4[ 09ga Bestimme ausführlich die Definitionsmenge (G = R): 7 (5+x) ( x) D = R\[ 5;] 09bo0 6. Bestimme die Definitionsmenge für den folgenden Term! Grundmenge ist R. Eine Vereinfachung des Terms ist nicht verlangt! 5x x x x + x x + D =]; [\{4} 0im00 7. Wurzelregeln Vergleiche die Terme der linken und rechten Tafelhälfte miteinander. Was vermutest du? 6

7 Vergleiche die Terme der linken und rechten Tafelhälfte miteinander. Was vermutest du? Quelle: Schnittpunkt 9 (995) 0im00 8. Übungen zur Multiplikation und Division von Wurzeln Welcher Film läuft im Kino? (a) 4 6 = 7

8 (b) 96 : = (c) 89 = 4 (d) 675 : = 5 (e) 7 = 9 (f) 80 : 5 = 4 (g) 4 = (h) 50 : = (i) 9 = 46 (j) 96 : 4 = Wenn du richtig gerechnet hast, verraten es dir die Lösungsbuchstaben! Quelle: Schnittpunkt 9 (995) CASABLANCA 09in0 9. Wo liegt der Fehler? Begründe deine Antwort kurz. ( ) 7 = ( ) 7 = 8 ( ) 7 = ( ) 7

9 Deswegen ist =, also = und daher = 09in Für welche x R gilt: (9 x) = ( 9 x) Begründe deine Antwort kurz. L =] ;9] 09ga05. Ziehe unter die Wurzel und gib mit Begründung an, ob das Ergebnis eine rationale Zahl ist! (5+ ) 4+ Q, da sonst Q wäre! 09cm007. (a) Lösung der Gleichung 4 x = 4 über G = R + 0 (b) Diskriminante der Gleichung x 5x+0,5 = 0 (c) (d) = (e) 6!+! Quelle: Kreuzzahlrätsel von Ulrike Schätz (a) 96 (b) (c) 4 (d) 6 (e) 7 09in04. Vereinfache soweit wie möglich, wenn nötig mit Fallunterscheidung. ( 9x ) 9 x 09bo00 4. Vereinfache und radiziere soweit wie möglich: (a) 6x +56x+49 (b) 8c 9

10 (c) 0, ( ) (d) a b 6 c : bc a 4 (e) (a) 4x+7 (b) c (c) 5 7 (d) b 0 4 c ab (e) 9 09ga00 5. Ergänze jeweils den Radikanden um einen Term zu einem vollständigen Quadrat, radiziere dann und stelle das Ergebnis ohne Betrag dar: x4 +x y +... ; 9x +4,5x+... (x,y Q) x 4 +x y +0,5y 4 = x { +0,5y ; x+0,75 für x 0,5 9x +4,5x+0,75 = x 0,75 für x < 0,5 09in04 6. Berechne für x < 0: x x 5 x 09in04 5 ( 4x) 7. Radiziere und vereinfache so weit wie möglich: 4a a 4a+4, (a < 0) a 09in05 8. Vereinfache soweit wie möglich: (x) 8x+8x + 6x ; x < 0 09in00 9. Vereinfache: in Vereinfache und fasse so weit wie möglich zusammen:

11 7 09in04 4. Radiziere und vereinfache soweit wie möglich: 7a +8a b (a+b), a,b > 0 a a+b 09in05 4. Vereinfache soweit wie möglich: 4a (x ) (x (x+) 9) a ; x < a ( x) 09ga Radiziere so weit wie möglich und bestimme jeweils zusätzlich die Bedingungen an die Variablen, damit der Term definiert ist: (a) ( 4) x 4 y 7 z 7 (b) a4 b a 4 b (a) 4 x 7 y z yz, definiert für yz 0 (b) a b b, definiert für b 09ga Radiziere, gegebenenfalls mit Fallunterscheidung: 4x +64 x (x 4) für x 4; (4 x) für x < 4 09ga Gib an, für welche Werte der Variablen die folgenden Wurzelterme definiert sind und radiziere dann so weit wie möglich: x5 y (a +) b (a) z 4 (b) c 8c+6 (a): x y x, z definiert für x 0 und z 0 (b): b c 4 (a +) b, definiert für b 0 und c 4 09ga Radiziere und stelle das Ergebnis ohne Betrag dar: (a) x y 4,x Q

12 (b) 4x 4 +4x + (c) 9x 4 6x y +y (a): xy (b): x + (c): x y, falls x y; x +y, falls x < y 09ga Berechne ausführlich (keine Beträge im Ergebnis!): (a) 0,5x x+ ( x), x Q (b) x 4 + x 4 x +, x Q und x < (a): 0,5x+ (b): 09bo Stelle rationale Nenner her und vereinfache soweit wie möglich: (a) (b) (a) 8 5 (b) 9 09in Mache den Nenner rational und vereinfache soweit wie möglich: bo Stelle einen rationalen Nenner her und vereinfache soweit wie möglich: bo07 5. Stelle einen wurzelfreien Nenner her und vereinfache soweit wie möglich: b a b a a b ab ab 09in Mache den Nenner rational und vereinfache: +

13 0 09bo0 5. Stelle einen wurzelfreien Nenner her und vereinfache: xy +x+y x+ y x x y y x y 09rr0 54. Vereinfache und schreibe das Ergebnis betragsfrei: (a) (x ) x (b) (x ) (x ) (c) (x 4) (x ) (x ) (a) D =],+ [ = x > 0 = (x ) x = x = x { (b) D = R \ {} = (x ) (x ) = x x = sgn(x ) = für x > für x < { (c) D = R \ {} = (x 4) (x ) = (x )(x+) x+ für x > = x x für x < 09rr (a) Bestimme die Definitionsmenge, vereinfache und schreibe das Ergebnis betragsfrei: f(x) = x x (b) Für welche Werte der Variablen ist folgender Term definiert? Radiziere teilweise und schreibe das Ergebnis ohne unnötige Betragsstriche: (c) Schreibe ohne Wurzeln im Nenner: T = 75x 7 y 0 a = (a) D = R, f(x) = x { x 0 für x 0 = x x = x für x < 0 (b) x R + 0, y R, T = 5x x 6 y 0 = 5x y 5 x (c) a = = = ga Bestimme die Lösungsmenge (rationale Nenner herstellen!): ( 5+ 0) : 0,5 = 0 : x L = { }

14 09in0 57. Stelle rationale Nenner her, kürze und fasse zusammen: in Stelle rationale Nenner her und fasse weitmöglichst zusammen: Hauptnenner 6, Ergebnis 09in Gib die Definitionsmenge des Terms an und vereinfache ihn soweit wie möglich: x x + x + x 09in06 D = R + 0 \{4}, Ergebnis x x Gib die Definitionsmenge des Terms an und vereinfache soweit wie möglich: x 9 x+ x x 9 D =]9; + [, Ergebnis x 9 0ma07 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge (keine Dezimalbrüche): ( x) 4 = 65 L = { 4 ; } 0ma0 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge (keine Dezimalbrüche):,4x 5 = 0,4x 5 L = { 4 } 0in04 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung: 4 x 6 64x = 6 L = {9} 0rr0 64. Formen Sie die linke Gleichungsseite in eine Potenz um, die den gleichen Exponenten hat wie die rechte Seite und berechnen Sie dann die Lösungsmenge! Wenn nötig, sind Fallunterscheidungen vorzunehmen! (a) x 4 = a 6 (b) x 4 = a 8 (c) x = a 4

15 (a) x 4 = a = x 4 = a = L = {± a 4 } (b) x = a = x = ± a = L = {± a } { (c) (x 4 ) = a = x 4 {±a 4} für a 0 = a = L = { } für a < 0 0bo Lösen Sie folgende Gleichung durch Faktorisieren: x 7 6x = 0 L = {0;4} 0bo Lösen Sie folgende Gleichung durch Faktorisieren: x 6x 7 +64x = 0 L = {0; 4 8; 4 8} 0ga Bestimmen Sie rechnerisch die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in G = R: 8 x 9 x 4 + = 0 L = {; 6 } 0ga 68. Lösen Sie folgende Gleichung: 6 x 4 + x 8 = 0 L = { }

Basisaufgaben. Aufgabe 2 Berechne soweit möglich. Begründe jeweils, wenn du dies nicht für möglich hältst. a b c.

Basisaufgaben. Aufgabe 2 Berechne soweit möglich. Begründe jeweils, wenn du dies nicht für möglich hältst. a b c. Arbeitsplan: Reelle Zahlen Jahrgangsstufe 9 Berechne. a. 8; 5 6 ; 25 44 ; ( 84)2 b.,2; 400 ; 2 23 49 ; 32 Basisaufgaben c. 0 4 ; 0,0004; 6 4 ; ( 96)2 Berechne soweit möglich. Begründe jeweils, wenn du

Mehr

Sammlung von 10 Tests

Sammlung von 10 Tests ALGEBRA Potenzen und Wurzeln Sammlung von 0 Tests Die hier gezeigten Aufgen sind thematisch geordnet alle in der Datei 00 enthalten. Hier nur die Gruppierung zu Tests. Datei Nr. 0 September 00 Friedrich

Mehr

Reelle Zahlen (R)

Reelle Zahlen (R) Reelle Zahlen (R) Bisher sind bekannt: Natürliche Zahlen (N): N {,,,,,6... } Ganze Zahlen (Z): Z {...,,,0,,,... } Man erkennt: Rationale Zahlen (Q):.) Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große

Mehr

Mathematik. FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli Kontakt und weitere Infos:

Mathematik. FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli Kontakt und weitere Infos: FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli 2004 Kontakt und weitere Infos: www.schule.barmetler.de Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung 5 1.1 Bruchrechnen.............................

Mehr

J Quadratwurzeln Reelle Zahlen

J Quadratwurzeln Reelle Zahlen J Quadratwurzeln Reelle Zahlen J Quadratwurzeln Reelle Zahlen 1 Quadratwurzeln Ein Quadrat habe einen Flächeninhalt von 64 cm. Will man wissen, wie lang die Seiten des Quadrates sind, so muss man herausfinden,

Mehr

2 Multiplikation. 2. Berechne die folgenden Terme: a) 2x 2 2x = 2(x 2 x) b) 2x 5 + x 4 c) 6a 2 b + 3a 2 = 3(2a 2 b + a 2 ) d)

2 Multiplikation. 2. Berechne die folgenden Terme: a) 2x 2 2x = 2(x 2 x) b) 2x 5 + x 4 c) 6a 2 b + 3a 2 = 3(2a 2 b + a 2 ) d) Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Algebra : Lösungen 1 Addition und Subtraktion 1. Vereinfache die folgenden Terme: 37x + 0x 5a + 34b + 17ab + 1 34x + 45xy 3x + 50y. Vereinfache die folgenden Terme:

Mehr

45 = 9; beides sind natürliche Zahlen) 5 = -4

45 = 9; beides sind natürliche Zahlen) 5 = -4 Lösungen Übungen.,. und 6. sind wahr,., 4. und 5. dagegen falsch. (Hinweis: Ist eine Zahl in Bruchform oder in Wurzelform geschrieben, handelt es sich im Ergebnis aber trotzdem um eine natürliche Zahl,

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme. Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen linke Seite = rechte Seite Grundmenge: Menge aller Zahlen, die wir als Lösung der Gleichung

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 3 Gleichungen und Ungleichungen 1 / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme.

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 3 Gleichungen und Ungleichungen 1 / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme.

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen Bei

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 4. Semester ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 4. Semester ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN Definition: Gleichungen, in denen eine Variable unter dem Wurzelzeichen auftritt, nennt man Wurzelgleichungen. Das Rechnen mit diesen Gleichungen können wir nach der Anzahl

Mehr

Demo-Text für Quadratwurzeln ALGEBRA. Teil 1. Einführung und Grundeigenschaften. (Klasse 8 / 9) Friedrich W.

Demo-Text für  Quadratwurzeln ALGEBRA. Teil 1. Einführung und Grundeigenschaften. (Klasse 8 / 9) Friedrich W. Teil 1 Einführung und Grundeigenschaften (Klasse 8 / 9) Datei Nr. 101 Friedrich W. Buckel Stand: 1. Mai 014 ALGEBRA Quadratwurzeln INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die Einführung des 1-jährigen

Mehr

Gruber I Neumann. Erfolg in VERA-8. Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium

Gruber I Neumann. Erfolg in VERA-8. Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium Gruber I Neumann Erfolg in VERA-8 Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium . Zahlen Zahlen Tipps ab Seite, Lösungen ab Seite 0. Zahlen und Zahlenmengen Es gibt verschiedene Zahlenarten, z.b. ganze

Mehr

Grundwissen Mathematik 6/1 1

Grundwissen Mathematik 6/1 1 Grundwissen Mathematik 6/ Formveränderung von Brüchen Erweitern heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit der selben Zahl multiplizieren. a ac = b bc Kürzen heißt Zähler und Nenner eines Bruches durch

Mehr

1 Algebra Klass-Algebra. 1.2 Bruchterme und Bruchgleichungen

1 Algebra Klass-Algebra. 1.2 Bruchterme und Bruchgleichungen 1 Algebra 1.1 7.-Klass-Algebra 1. Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich! (2x + 5y)(3x 4y) + (7x 10y)(6x 2y) (x + 4)(x 2 3x + 1) (x 2 + 6x 1)(x 2) x(2 3x) 2. Bestimmen Sie jeweils die

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 2. Semester ARBEITSBLATT 6 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 2. Semester ARBEITSBLATT 6 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6. Semester ARBEITSBLATT 6 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN Zur Wiederholung nehmen Sie bitte die Unterlagen des 1. Semesters zur Hand. Beispiel: Berechne x: x

Mehr

Die Kanten der Grundfläche mit je 7 cm sind die Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse c ist die gesuchte Bodendiagonale c.

Die Kanten der Grundfläche mit je 7 cm sind die Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse c ist die gesuchte Bodendiagonale c. Aufgabe 1 Schritt 1: Ansatz und Skizze Bei einem Würfel, bei dem ja alle Kantenlängen gleich sind, kannst du mit einer Raumdiagonale, einer senkrechten Kante und einer Decken oder Bodendiagonalen ein rechtwinkliges

Mehr

1.8 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen

1.8 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen .8 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen Inhaltsverzeichnis Repetition 2 2 irrationale und reelle Zahlen 3 3 weitere irrationale Zahlen 4 3. Zusatz: Der Beweis, dass 2 irrational ist...........................

Mehr

Potenzen mit rationalem Exponenten Seite 1

Potenzen mit rationalem Exponenten Seite 1 Potenzen mit rationalem Exponenten Seite 1 Kapitel mit 1271 Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln 0 Level 1 Grundlagen Aufgabenblatt 1 (176 Aufgaben) 05 Lösungen zum Aufgabenblatt 1 08 Aufgabenblatt 2

Mehr

1.2 Mengenlehre I-Einführung in die reellen Zahlen

1.2 Mengenlehre I-Einführung in die reellen Zahlen .2 Mengenlehre I-Einführung in die reellen Zahlen Inhaltsverzeichnis Checkliste 2 2 Repetition 2 3 Dezimalzahlen 3 4 Die Darstellung von Brüchen als Dezimalzahlen 3 5 irrationale Zahlen 4 6 Beispiele von

Mehr

1.2 Rechnen mit Termen II

1.2 Rechnen mit Termen II 1.2 Rechnen mit Termen II Inhaltsverzeichnis 1 Ziele 2 2 Potenzen, bei denen der Exponent negativ oder 0 ist 2 3 Potenzregeln 3 4 Terme mit Wurzelausdrücken 4 5 Wurzelgesetze 4 6 Distributivgesetz 5 7

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-7 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-7 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN ARBEITSBLATT -7 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN Zur Wiederholung nehmen Sie bitte die Unterlagen des 1. Semesters zur Hand. Beispiel: Berechne : + 8 5 3 + 3 8 3 4 Lösung: + 8 5 3 3 Wir bringen alle Brüche

Mehr

Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger

Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger Internet Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart

Mehr

Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen

Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Grundwissen und Übungen a : a a Stefan Gärtner 1999 004 Gr Mathematik elementare Algebra Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen Definition Quadratwurzel

Mehr

1. Selbsttest Heron-Verfahren Gleichungen

1. Selbsttest Heron-Verfahren Gleichungen 1. Selbsttest 1.1. Heron-Verfahren Mit dem Heron-Verfahren soll ein Näherungswert für 15 gefunden werden. Führe die ersten drei Schritte des Heron- Verfahrens durch. Gib dann unter Verwendung der Werte

Mehr

4 x

4 x Quadratwurzeln und reelle Zahlen. Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms in G = R a) T(x) = x b) x c) x d) x e) x +. Vereinfache a) 0 + 90 b) 6 7 + 08 7 7 c) 0 0 + d) 6. Mache den Nenner rational

Mehr

Zahlen und Funktionen

Zahlen und Funktionen Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen

Mehr

1.1 Rechnen mit Termen (Thema aus dem Bereich Algebra)

1.1 Rechnen mit Termen (Thema aus dem Bereich Algebra) 1.1 Rechnen mit Termen (Thema aus dem Bereich Algebra) Inhaltsverzeichnis 1 Terme 2 1.1 Definition des Begriffs..................................... 2 1.2 Vorzeichen von Termen.....................................

Mehr

Grundwissen Mathematik

Grundwissen Mathematik Grundwissen Mathematik Algebra Terme und Gleichungen Jeder Abschnitt weist einen und einen teil auf. Der teil sollte gleichzeitig mit dem bearbeitet werden. Während die bearbeitet werden, sollte man den

Mehr

Lö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik

Lö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik Lö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik I) Zahlenbereiche. Zu welchem Zahlenbereich (N, Z, Q, R) gehören die folgenden Zahlen: N, Z, Q, R R Q, R N, Z, Q R -7 Z, Q, R -7, Q, R 0 N, Z, Q, R i) Z, Q,

Mehr

ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1. Klasse 8. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Dezember 2005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1. Klasse 8. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Dezember 2005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil Klasse 8 Lineare Gleichungen mit einer Variablen Datei Nr. 40 Friedrich W. Buckel Dezember 005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Inhalt DATEI 40 Grundlagen und ein

Mehr

QUADRATISCHE GLEICHUNGENN

QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Mathematik Arbeitsblatt A -.: Quadratische Gleichungen LehrerInnenteam m/ Mag Wolfgang Schmid Unterlagen QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Definition: Eine

Mehr

Reelle Zahlen, Termumformungen, Gleichungen und Ungleichungen

Reelle Zahlen, Termumformungen, Gleichungen und Ungleichungen 2. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 2018 Reelle Zahlen, Termumformungen, Gleichungen und Ungleichungen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 1 Die Menge der

Mehr

Stichwortverzeichnis. Symbole. Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis. Symbole. Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis Symbole ( ) (Runde Klammern) 32, 66 (Betragszeichen) 32 (Multiplikations-Zeichen) 31 + (Plus-Zeichen) 31, 69 - (Minus-Zeichen) 31, 69 < (Kleiner-als-Zeichen) 33,

Mehr

Mathematik. Subtraktion (Minuend Subtrahend = Differenz) Division (Dividend / Divisor = Quotient)

Mathematik. Subtraktion (Minuend Subtrahend = Differenz) Division (Dividend / Divisor = Quotient) Inhalt: Mathematik 2.2003 2003 by Reto Da Forno Termumformungen - Operationsstufen Seite 1 - Gesetze Seite 1 - Addition + Subtraktion Seite 2 - Potenzen Seite 2 - Polynomdivision Seite 3 - Ausklammern

Mehr

1.Rationale und irrationale Zahlen. Quadratwurzel.

1.Rationale und irrationale Zahlen. Quadratwurzel. 1.Rationale und irrationale Zahlen 1.1Quadratwurzeln Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl 5 = 5; denn 5 = 5 und 5 > 0 r > 0 (geschrieben r ) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat r ergibt.

Mehr

1. die ganzen Zahlen, denn 7= 1. a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt: 16 = 4; 0 = = 36 = 25 = e) Grundwissen 9.

1. die ganzen Zahlen, denn 7= 1. a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt: 16 = 4; 0 = = 36 = 25 = e) Grundwissen 9. Grundwissen 9. Klasse Quadratwurzel a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt: ( a ) a Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand. Es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl.

Mehr

Gleichungsarten. Quadratische Gleichungen

Gleichungsarten. Quadratische Gleichungen Gleichungsarten Quadratische Gleichungen Normalform: Dividiert man die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung durch a, erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung. x 2 +px+q=0 Lösungsformel:

Mehr

1.2 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen

1.2 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen .2 Mengenlehre-Einführung in die reellen Zahlen Inhaltsverzeichnis Repetition 2 2 Dezimalzahlen 3 3 weitere irrationale Zahlen 4 3. Zusatz: Der Beweis, dass 2 irrational ist.......................... 5

Mehr

Mathematik, Klasse 7, Terme und Termwerte

Mathematik, Klasse 7, Terme und Termwerte Mathematik, Klasse 7, Terme und Termwerte. Finde den Term und berechne dann den Termwert für x = - 5 und x = 00. x = x = x = 3 x = 4 x = 5 x = - 5 x =00 T (x) = 5 8 4 7 T (x) = 3 6 9-5 T 3 (x) = 0 3 8

Mehr

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Fortgeschrittene Die Aufgaben auf diesem Arbeitsblatt haben alle eine elegante Lösungsidee. Bei vielen Gleichungen ist nach Anwenden

Mehr

2.2 Quadratwurzeln. e) f) 8

2.2 Quadratwurzeln. e) f) 8 I. Quadratwurzeln Rechne im Kopf und erkläre, wie du vorgegangen bist!, H a) 7 8 b) 5 6 c) 9 d) 6 9 e) 0 _ f) 8 _ g) 7 _ 00 h) 5 _ 69 Teilweises Wurzelziehen ist dann möglich, wenn sich eine Zahl so zerlegen

Mehr

... a n b n+1 a n+k b k+1. Nenner\) f) = a n (n+k) b n+1 (k+1) = a k b n k = bn. Wurzelradikand\); b 2 R und c 2 R n f0g ( " a; b 2 R n f0g ( "

... a n b n+1 a n+k b k+1. Nenner\) f) = a n (n+k) b n+1 (k+1) = a k b n k = bn. Wurzelradikand\); b 2 R und c 2 R n f0g (  a; b 2 R n f0g ( . GKM E0. Uberrufung der Zielvereinbarungen nach der. Klausur (Car.) Aufgabe zu Potenzgesetzen und Wurzeln: Berechne und vereinfache so weit wie moglich; bestimme die maximalen Denitionsbereiche aller

Mehr

1. Mathematikschulaufgabe

1. Mathematikschulaufgabe Klasse 9. Bestimme die Lösungsmenge! (G = ) 50x - 8 = 0. Bestimme Definitions- und Lösungsmenge! (G = ) x x x + 7 x + = 6 x. Jemand behauptet: a = a. Hat er recht? Begründung! 4. Vereinfache und führe,

Mehr

2.3 Logarithmus. b). a n = b n = log a. b für a,b 0 ( : gesprochen genau dann bedeutet, dass beide Definitionen gleichwertig sind) Oder log a

2.3 Logarithmus. b). a n = b n = log a. b für a,b 0 ( : gesprochen genau dann bedeutet, dass beide Definitionen gleichwertig sind) Oder log a 2.3 Logarithmus Bsp. Seite 84 mitte: Wie lange muss man Fr. 10 000.- zu 5,1% anlegen, um Fr. 16 000.- zu erhalten? Lösen Sie die Zinseszinsformel nach q n auf Aus q n erfolgt die Berechnung von n mittels

Mehr

Grundwissensblatt 8. Klasse. IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Grundwissensblatt 8. Klasse. IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Grundwissensblatt 8. Klasse IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Alle linearen Gleichungen der Form a + by = c (oder auch y = m + t) erfüllen:

Mehr

Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 1: Gleichungen & Gleichungssysteme

Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 1: Gleichungen & Gleichungssysteme Schulmathematik: Lineare Algebra & Analytische Geometrie Kapitel 1: Gleichungen & Gleichungssysteme MAC.05043UB/MAC.05041PH, VU im SS 2017 http://imsc.uni-graz.at/pfeiffer/2017s/linalg.html Christoph GRUBER,

Mehr

Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen):

Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen): Prof. U. Stephan WiIng 1. Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Bitte lösen Sie die folgenden Aufgaben und prüfen Sie, ob Sie Lücken dabei haben. Bestimmen Sie jeweils die

Mehr

Vorkurs für das Fach Mathematik am beruflichen Gymnasium, Bildungsgang Technik, der BBS Neustadt

Vorkurs für das Fach Mathematik am beruflichen Gymnasium, Bildungsgang Technik, der BBS Neustadt Berufsbildende Schule Neustadt an der Weinstraße Vorkurs für das Fach Mathematik am beruflichen Gymnasium, Bildungsgang Technik, der BBS Neustadt Liebe Schülerinnen und Schüler, wir freuen uns, dass Sie

Mehr

Algebraische Gleichungen

Algebraische Gleichungen 13 Algebraische Gleichungen H.Ra,J.M.Ra,Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, OI 10.1007/978-3-658-07788-4_, Sringer Fachmedien Wiesbaden 015.1 Lineare Gleichungen >Lehrbuch Kaitel

Mehr

b n = b In der darauffolgenden Prüfung zu diesem Thema mussten die Schülerinnen und Schüler die Aufgabe

b n = b In der darauffolgenden Prüfung zu diesem Thema mussten die Schülerinnen und Schüler die Aufgabe Aufgabenblatt Aufgaben zum Thema Potenzgesetze 1. Unterhaltsame Potenzgesetze Im Unterricht wurden die folgenden 5 Potenzgesetze behandelt: 1. Gesetz: 2. Gesetz: 3. Gesetz: 4. Gesetz: 5. Gesetz: a n a

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

1 Mengen und Mengenoperationen

1 Mengen und Mengenoperationen 1 Mengen und Mengenoperationen Man kann verschiedene Objekte mit gemeinsamen Eigenschaften zu Mengen zusammenfassen. In der Mathematik kann man z.b. Zahlen zu Mengen zusammenfassen. Die Zahlen 0; 1; 2;

Mehr

= T 2. Lösungsmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereiches D G, die die Gleichung zu einer Wahre Aussage machen.

= T 2. Lösungsmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereiches D G, die die Gleichung zu einer Wahre Aussage machen. Gleichungen Eine Gleichung ist eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Terme durch Mathematische Symbol ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitssymbol = symbolisiert G : = T 2 Definitionsmenge

Mehr

Vorbereitungsmappe. Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS

Vorbereitungsmappe. Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS Vorbereitungsmappe Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS Liebe Schülerinnen und Schüler, vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS stellt sich vor allem im Fach

Mehr

Polynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten

Polynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten Polynomgleichungen Gesetzmäßigkeiten Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable x nur in der 1. Potenz, so spricht

Mehr

DOWNLOAD. Wurzeln. Quadratwurzeln, Wurzelgesetze, Wurzelziehen. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen

DOWNLOAD. Wurzeln. Quadratwurzeln, Wurzelgesetze, Wurzelziehen. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen DOWNLOAD Michael Körner Wurzeln Quadratwurzeln, Wurzelgesetze, Wurzelziehen Michael Körner Grundwissen Wurzeln und Potenzen 5. 0. Klasse Bergedorfer Kopiervorlagen Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Mehr

Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015

Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt 1 (Grundlagen) Aufgabe 1. Multiplizieren Sie folgende

Mehr

Übungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende der Chemie (WS 2016/2017) Institut für Chemie und Biochemie, FU Berlin Blatt

Übungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende der Chemie (WS 2016/2017) Institut für Chemie und Biochemie, FU Berlin Blatt Übungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende der Chemie (WS 2016/2017) Institut für Chemie und Biochemie, FU Berlin PD Dr. Dirk Andrae Blatt 1 2016-10-19 1. Geben Sie an, ob die im folgenden genannten

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

2018, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik RECHNEN. Tag. Wintersemester 2018/19

2018, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik RECHNEN. Tag. Wintersemester 2018/19 208, MNZ. Jürgen Schmidt Vorkurs Mathematik. RECHNEN Wintersemester 208/9 Tag Kontaktdaten Dr.-Ing. Jürgen Schmidt Raum 5.2.09 (036) 6700 975 juergen.schmidt@fh-erfurt.de Sprechzeit: im WS208/9 (Vorlesungszeit)

Mehr

M 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010)

M 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010) M 9.1 Quadratwurzeln Wie wird definiert? Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: M 9.2 Reelle Zahlen Was sind irrationale Zahlen? Nenne vier

Mehr

M 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010)

M 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010) M 9.1 Quadratwurzeln Wie wird definiert? Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: M 9.2 Reelle Zahlen Was sind irrationale Zahlen? Nenne vier

Mehr

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen

Mehr

Terme und Gleichungen

Terme und Gleichungen Terme und Gleichungen Rainer Hauser November 00 Terme. Rekursive Definition der Terme Welche Objekte Terme genannt werden, wird rekursiv definiert. Die rekursive Definition legt zuerst als Basis fest,

Mehr

Serie 2. Algebra-Training. Potenzen und Wurzeln. Theorie & Aufgaben. VSGYM / Volksschule Gymnasium

Serie 2. Algebra-Training. Potenzen und Wurzeln. Theorie & Aufgaben. VSGYM / Volksschule Gymnasium Algebra-Training Theorie & Aufgaben Serie 2 Potenzen und Wurzeln Theorie und Aufgaben: Ronald Balestra, Katharina Lapadula VSGYM / Volksschule Gymnasium Liebe Schülerin, lieber Schüler Der Leitspruch «Übung

Mehr

Aufgaben mit zwei Rechenzeichen nebeneinander zum Beispiel: 5 (+ 3) Es gilt:

Aufgaben mit zwei Rechenzeichen nebeneinander zum Beispiel: 5 (+ 3) Es gilt: Hilfe Addition und Subtraktion von Rationalen Zahlen Rechnen mit rationalen Zahlen, also Rechnen im negativen Bereich ist nicht immer so einfach. Ich kann mir das eigentlich ganz gut mit Schulden oder

Mehr

Mathematikvorkurs. Fachbereich I. Sommersemester Elizaveta Buch

Mathematikvorkurs. Fachbereich I. Sommersemester Elizaveta Buch Mathematikvorkurs Fachbereich I Sommersemester 2017 Elizaveta Buch Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Binomische Formeln Dienstag Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summen-

Mehr

a) Von welcher Art ist die Zuordnung : Anzahl der Tage mögliche Ausgaben pro Tag?

a) Von welcher Art ist die Zuordnung : Anzahl der Tage mögliche Ausgaben pro Tag? Aufgaben zum Grundwissen ================================================================== I. Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen 1. Von welcher Art können die durch die Tabellen gegebenen

Mehr

Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen

Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen Fachbereich Mathematik Algebra und Zahlentheorie Christian Curilla Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) Lösungen Blatt 10 WiSe 010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen Präsenzaufgaben (P3) Wir wollen die Ungleichung

Mehr

6 Gleichungen und Gleichungssysteme

6 Gleichungen und Gleichungssysteme 03.05.0 6 Gleichungen und Gleichungssysteme Äquivalente Gleichungsumformungen ( ohne Änderung der Lösungsmenge ).) a = b a c = b c Addition eines beliebigen Summanden c.) a = b a - c = b - c Subtraktion

Mehr

Grundwissen 9. Klasse

Grundwissen 9. Klasse Grundwissen 9. Klasse ) Rationale und irrationale Zahlen Quadratwurzel b ist diejenige nichtnegative Zahl, die quadriert b ergibt: b b ( 5 ) 5 Die Zahl b heißt Radikand; b 0 : es gibt keine Quadratwurzel

Mehr

GF Mathematik 4c PAM Übungsfragen

GF Mathematik 4c PAM Übungsfragen GF Mathematik c PAM Übungsfragen Vektorgeometrie Repräsentanten von zwei Vektoren a und b b a a + b a b c b a b b b Vektorgeometrie ( a b + c ) = b ( a + b c ). Eine Vektorgleichung ( ) ( ) a b + c = b

Mehr

Rechnen mit Brüchen PRÜFUNG 10. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 15.

Rechnen mit Brüchen PRÜFUNG 10. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 15. MATHEMATIK PRÜFUNGSVORBEREITUNG Rechnen mit Brüchen Name: Klasse: Datum: PRÜFUNG 0 : Note: Ausgabe:. September 0 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle Berechnungsaufgaben

Mehr

Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Einleitung: Zur Verwendung dieses Buches 12 Kapitel 1 Primzahlen, ggt, kgv, Dreisatz Test 1 Aufgaben 1 20 15 Lösungen und Erklärungen zum Test 1 17 E1 Vielfache, Teiler, Primfaktorzerlegung

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen 3. Algebraische Grundlagen 3.1. Termumformungen Begriff Term: mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen oder Klammern besteht Termumformungen dienen der Vereinfachung von komplexen

Mehr

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen Klasse 8 Algebra.3 Steigung von Funktionsgraphen. Funktionen y Ist jedem Element einer Menge A genau ein E- lement einer Menge B zugeordnet, so nennt man die Zuordnung eindeutig. 3 5 6 8 Dies ist eine

Mehr

DOWNLOAD. Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen

DOWNLOAD. Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen DOWNLOAD Michael Körner Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten Michael Körner Grundwissen Wurzeln und Potenzen. 0. Klasse Bergedorfer Kopiervorlagen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Definition von

Mehr

Aufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie

Aufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie Dr. Michael Stiglmayr Teresa Schnepper, M.Sc. WS 014/015 Bergische Universität Wuppertal Aufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie Aufgabe 1

Mehr

Bruchterme 3. Sammlung der Aufgaben aus Bruchterme 1 und Bruchterme 2. Dort werden alle Methoden ausführlich an Beispielen besprochen

Bruchterme 3. Sammlung der Aufgaben aus Bruchterme 1 und Bruchterme 2. Dort werden alle Methoden ausführlich an Beispielen besprochen ALGEBRA Bruchterme Sammlung der Aufgaben aus 0 Bruchterme und Bruchterme Dort werden alle Methoden ausführlich an Beispielen besprochen Zum Einsatz im Unterricht. Datei Nr. Stand. Juni 07 Friedrich W.

Mehr

Wiederholung der Grundlagen

Wiederholung der Grundlagen Terme Schon wieder! Terme nerven viele von euch, aber sie kommen immer wieder. Daher ist es wichtig, dass man besonders die Grundlagen drauf hat. Bevor es also mit der richtigen Arbeit los geht solltest

Mehr

Semesterprüfung Mathematik 2. Klasse KSR 2010

Semesterprüfung Mathematik 2. Klasse KSR 2010 Erreichte Punktezahl: / 58 Note: (Maximale Punktezahl: 58) Semesterprüfung Mathematik 2. Klasse KSR 2010 Montag, 31. Mai 2010 13.10-14.40 Das GROSSGEDRUCKTE: Unbedingt zuerst durchlesen! Prüfung auf jeder

Mehr

Grundlagenskript Mathematik der FOS/BOS Krumbach

Grundlagenskript Mathematik der FOS/BOS Krumbach Grundlagenskript Mathematik der FOS/BOS Krumbach Mathematische Grundlagen vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS / 12. Klasse BOS Liebe Schülerinnen und Schüler, vor dem Eintritt in die 11. Klasse FOS

Mehr

Ungleichungen mit Brüchen

Ungleichungen mit Brüchen Ungleichungen mit Brüchen W. Kippels 24. November 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines zum Lösen von Ungleichungen 3 2 Aufgaben 6 2.1 Aufgabe 1................................... 6 2.2 Aufgabe 2...................................

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Leseprobe. Michael Knorrenschild. Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. ISBN (Buch):

Leseprobe. Michael Knorrenschild. Vorkurs Mathematik. Ein Übungsbuch für Fachhochschulen. ISBN (Buch): Leseprobe Michael Knorrenschild Vorkurs Mathematik Ein Übungsbuch für Fachhochschulen ISBN (Buch): 978-3-446-43798-2 ISBN (E-Book): 978-3-446-43628-2 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43798-2

Mehr

Mathematik-Dossier. Algebra in der Menge Q

Mathematik-Dossier. Algebra in der Menge Q Name: Mathematik-Dossier Algebra in der Menge Q Inhalt: Das Produkt von Binomen Die Biomischen Formeln Erweitern, Kürzen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Gleichungen

Mehr

Michael Körner. Grundwissen Wurzeln und Potenzen Klasse VORSCHAU. Bergedorfer Kopiervorlagen. zur Vollversion

Michael Körner. Grundwissen Wurzeln und Potenzen Klasse VORSCHAU. Bergedorfer Kopiervorlagen. zur Vollversion Michael Körner Grundwissen Wurzeln und Potenzen 5.-10. Klasse Bergedorfer Kopiervorlagen Zu diesem Material Zu dieser Mappe Was sind Wurzeln? Wozu benötigt man Potenzen? Wieso gelten die Potenzgesetze

Mehr

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen?

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? 1. Zahlenpartner Quadratwurzel Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? Quelle: Schnittpunkt 9 (1995) Variationen: (a) einfachere Zahlen (b) ein weiteres

Mehr

Grundwissen 9. Klasse 9/1. Grundwissen 9. Klasse 9/2

Grundwissen 9. Klasse 9/1. Grundwissen 9. Klasse 9/2 Grundwissen 9. Klasse 9/. Quadratwurzel Definition: a ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat a ergibt: a =a z.b. 5=5 Bezeichnung: Die Zahl a unter der Wurzel heißt Radikand. Radikandenbedingung: a

Mehr

1 Potenzen und Polynome

1 Potenzen und Polynome 1 Potenzen und Polynome Für eine reelle Zahl x R und eine natürliche Zahl n N definieren wir x n := x x x... x }{{} n-mal Einschub über die bisher aufgetretenen mathematischen Symbole: Definition mittels

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2015/2016 Übung 4. (iii) = 33. (iv)

Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2015/2016 Übung 4. (iii) = 33. (iv) Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 01/016 Übung Aufgabe 1 : Lineare Gleichungen (a) Für welche x R gilt (i) 31 6(x + 1) = 9 (ii) 11(x ) = ( + 1x) (iii) + = 33

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de April 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik April 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty : Perseverance and

Mehr

I. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE

I. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen

Mehr