Satzgruppe des Pythagoras

Transkript

1 Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mthemtik Dr. I. Lehmnn: Ausgewählte Kpitel der Didktik der Mthemtik WS 2008/09 Referentinnen: Undine Pierschel & Corneli Schulz Stzgruppe des Pythgors 1. Stz des Pythgors 2. Kthetenstz 3. Höhenstz 4. Umkehrungen 5. Stz des Thles 6. Pythgoreische Tripel 7. Vermischte Aufgben

2 0. Einführung Rhmenlehrplnbezug: Jhrgngsstufe 7/8: Jhrgngsstufe 9/10: Stz des Thles Stzgruppe des Pythgors Eine Alltgsnwendung Ihr wollt zum Beispiel ein Bdminton-Netz ufstellen. Weil ds Netz j gespnnt wird, müssen die Pfosten, die ds Netz hlten, durch Fäden gestützt werden. Auf einem Beilgezettel von dem Bdminton- Netz steht, dmit die Fäden durch die große Krft der Spnnung nicht reißen, müssen sie mindestens 2 Meter von dem Pfosten entfernt in den Boden gesteckt werden. Du willst nun lso los und solche Fäden kufen. Dmit du nun ber nicht zu kurze Fäden kufst, könntest du dir mit Hilfe des Stzes vom Pythgors die Mindestlänge der Fäden usrechnen. Die Pfosten selbst sind 1,3 Meter hoch. Also rechnen wir die Mindestlänge mit Hilfe des Stzes von Pythgors us: (Mindestlänge des Fdens)² = (Höhe des Pfostens)² + (Mindestbstnd)² Ergebnis wäre lso: Die Fäden müssten mindestens 2,4 Meter lng sein. Dies wäre ein sehr triviles Beispiel, ber es ist uch uf ndere Bereiche übertrgbr. Bei einem Bdminton-Netz ist es nicht so usschlggebend, ob ds Seil nun etws zu kurz ist oder nicht, es knn sein, dss es uch hält, wenn es etws zu kurz ist. Aber mn stelle sich vor, ein Brückenpfeiler soll durch Sthlseile gestützt werden, d knn ein kleiner Rechenfehler tödlich enden. Siehst du, Mthemtik knn sogr Leben retten, wer hätte ds gedcht ;)

3 1.Stz des Pythgors Stz: In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem rechten Winkel bei C gilt: 2 + b 2 = c 2. F A c h b B C Beweis: Es gibt viele Möglichkeiten, z. B.: Anwendung des Kosinusstzes (mit γ = 90 ) oder ber den grfischen Beweis. Aufgbe: Stelle einen geometrischen Beweis des Stzes von Pythgors mit GSP dr.

4 Beispiellösung: c b b c b c b b c

5 2. Kthetenstz des Euklid Stz: In einem rechtwinkligen Dreieck (A,B,C) mit γ=90 gilt: 2 = BF c, bzw. b² = AF c. Die Qudrtfläche über einer Kthete ist flächeninhltsgleich mit dem Rechteck us dem Hypotenusenbschnitt n dieser Kthete und der Hypotenuse selbst. F A c h b B C Beweis: Stz des Pythgors nwenden (rechnerisch). Aufgbe: Konstruiere eine Zeichnung, die die Aussge des Kthetenstzes verdeutlicht.

6 Beispiellösung: F A c b B C

7 3. Höhenstz des Euklid Stz: In einem rechtwinkligen Dreieck (A,B,C) mit γ=90 gilt: h² = AF BF Ds Qudrt us der Höhe ist flächeninhltsgleich mit dem Rechteck us den beiden Hypotenusenbschnitten. F A c h b B C Beweis: Anwendung des Stzes von Pythgors oder des Kthetenstzes. Aufgbe: Konstruiere eine Zeichnung, die die Aussge des Höhenstzes verdeutlicht.

8 Beispiellösung:

9 4. Umkehrungen Gelten die folgenden Umkehrungen? Pythgors: Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen, b und c 2 b 2 c 2 gilt, dnn hndelt es sich um rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C.

10 Kthetenstz: Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen, b und c sowie den Hypotenusenbschnitten BF und AF 2 BFc und b 2 AFc gilt, dnn hndelt es sich um rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Höhenstz: Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen, b und c, den Hypotenusenbschnitten p und q sowie der Höhe h uf der Seite c 2 h pq gilt, dnn hndelt es sich um rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C.

11 Aufgbe: Untersuche die Umkehrungen der Sätze uf ihre Gültigkeit. (Nutze GSP!)

12 Vorgehensweise m ACB = 117,84 = 5,10 cm = 25,98 cm 2 FE = 9,06 cm FB = 4,31 cm FB FE = 39,01 cm 2 C b B A c F E γ= 117,84 ² = 25,96 cm² FB FE = 39,01 cm² - mit Flächeninhltsnnäherung, nähert sich γ uch 90 n - Flächeninhlte erst gleich, wenn γ=90

13 m ACB = 90,02 = 2,72 cm = 7,37 cm 2 FE = 6,19 cm FB = 1,19 cm FB FE = 7,38 cm 2 C b B A c F E

14 5. Stz des Thles Stz: Ist der Durchmesser eines Kreises gleich der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, so liegt der Eckpunkt mit dem rechten Winkel uf dem Kreisbogen. oder uch: Konstruiert mn ein Dreieck us den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Hlbkreises (Thleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Hlbkreises, so erhält mn immer ein rechtwinkliges Dreieck.

15 Aufgbe: Konstruiere, ds rechtwinklige Dreieck mitsmt seinen Ktheten- und Hypotenusenqudrten so, dss mn die Ecke mit dem rechten Winkel uf dem Thleskreis herumziehen knn. (Lsse die Flächen berechnen.)

16 Beispielkonstruktion: C b A c B

17 6. Pythgoreische Tripel Definition: Ein Tripel (, b, c) ntürlicher Zhlen heißt pythgoreisches Tripel, flls 2 + b 2 = c 2 gilt. Offenkundig ist mit (, b, c) uch jedes Tripel der Form (k, kb, kc) mit k є N ein Pythgors-Tripel. Wir nennen (, b, c) ein primitives pythgoreisches Tripel, flls die Zhlen, b, c keinen gemeinsmen Teiler ungleich 1 hben. Es ist nicht schwer Pythgors-Tripel nzugeben. In der Tt, sind u < v zwei ntürliche, teilerfremde Zhlen, und sind nicht beide dieser Zhlen ungerde, so wird := v 2 u 2,b:= 2uv, c:= v 2 +u 2 ein primitives Pythgors-Tripel.

18 u v x y Z Vermischte Aufgben: 1. Aufgbe zum Pythgoreischen Tripel Aufgbe: Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen us einem der ngegebenen pythgoreischen Tripel.

19 2. Möndchen des Hippokrtes Gilt der Stz des Pythgors nur für qudrtische Flächen über den Seiten? Aufgbe: Setze n die Dreiecksseiten eines rechtwinkligen Dreiecks Hlbkreise n. Addiere die Flächen über den Ktheten und lsse die Hlbkreisfläche über der Hypotenuse berechnen.

20

21 (Wiederhole die Aufgbe mit gleichseitigen Dreiecken nstelle der Hlbkreise.) Welche Bedingung muss erfüllt sein? --> Ähnlichkeit der Figuren über den Dreiecksseiten

22

23 Zu den Möndchen des Hippokrtes Aufgbe: Zeichne in die Vrinte mit den Hlbkreisen denjenigen über der Hypotenuse vollständig ein. Addiere die Flächen der entstndenen Möndchen und vergleiche sie mit der Dreiecksfläche.

24 3. Pythgors m Kreis i) In einem Kreis k(m, r) ist eine Sehne AB der Länge 10cm gegeben. MF sei die Lotstrecke vom Kreismittelpunkt M uf die Sehne AB. Die Verlängerung dieser Lotstrecke treffe die Kreislinie im Punkt Q. Es sei FQ = 2 cm. Bestimme nhnd einer Konstruktion in GSP den Kreisrdius (lsse ihn messen). ii) Eine Kugel vom Durchmesser d = 1,0 m rollt uf ein Loch vom Durchmesser l = 70cm zu. Wie tief sckt die Kugel in ds Loch ein? (Nutze GSP!)

25 4. Flächenumwndlungen i) Verwndle ein Qudrt der Seitenlänge 7,5 cm in ein inhltsgleiches Rechteck, dessen eine Seite 5,5 cm lng ist. ii) Verwndle ds Rechteck ABCD mit den Seitenlängen 6 cm und 3 cm mit Hilfe des Kthetenstzes in ein flächengleiches Qudrt. iii) Verwndle ds Qudrt ABCD mit der Seitenlänge 4 cm unter Verwendung des Höhenenstzes in ein flächengleiches Rechteck, dessen eine Seite 6 cm lng ist.

26 5. Bonusufgbe Ein Stellit S befindet sich in der Höhe h = 230 km über der Erdoberfläche. Die Erdkugel vom Rdius R = 6370 km erscheint von S us betrchtet ls eine Kreisscheibe. Entwerfe eine Skizze und bestimme dnn den Rdius r dieser Kreisscheibe! Skizzen-Anstz:

27 8. Litertur und Quellen: - (Zugriff m ) - (Zugriff m ) - (Zugriff m ) - Elementrgeometrie, Agricol & Friedrich, Vieweg- Verlg, 2005, Wiesbden - Mthemtik, compct-verlg, 2007, München - Rhmenlehrpln für die Sekundrstufe I, Berlin - Block4/Aufgben.htm (Zugriff m ) - (Zugriff m )