Zum systematischen Vergleich von Lebensversicherungs- und Investmentprodukten unter Performance- und Risikoaspekten

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1 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Zum sysemaische Vergleich vo Lebesversicherugs- ud Ivesmeproduke uer Performace- ud Risikoaspeke Peer Albrech Germay Zusammefassug I der vorliegede Uersuchug wird zuächs ei Asaz (Risiko-/Performaceprofil der biomerische Redie vo Versicherugsproduke) zur Leisugsbeureilug vo Versicherugsproduke aus Kudesich ewickel, der sämliche Leisugselemee (biomerische Leisuge sowie Ivesme-Leisuge) ebeso berücksichig wie sämliche Produkkose. Darauf aufbaued wird eie Mehodik zum Vergleich vo Versicherugs- ud Ivesmeproduke ewickel (Risiko-/Performaceprofil der biomerisch äquivalee Redie vo Ivesmeproduke), die sowohl die Kereigeschaf vo Versicherugsproduke, die Überahme biomerischer Risike sivoll iegrier, als auch das uerschiedliche eigegagee Ivesmerisiko berücksichig. Dami wird ei kosiseer ud umfasseder Vergleich vo Versicherugs- ud Ivesmeproduke ermöglich. Beispielrechuge illusriere die vorgeschlagee Mehodik. 1

2 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) "Sysemaic compariso of life isurace ad ivesme producs uder aspecs of performace ad risk" Peer Albrech Germay Summary The prese paper a firs develops a approach (risk/performace profile of he biomerical reur of isurace producs) for assessig he performace of life isurace producs from a buyers perspecive, which cosiders biomerical beefis o oe had ud ivesme beefis o he oher as well as all produc coss. O his basis a mehodology (risk/performace profile of biomerical equivale reurs of ivesme producs) for comparig life isurace ad ivesme producs is developed, which is able o cosider he core beefi of isurace producs (akig over biomerical risks) as well as o cosider differe levels of ivesme risk. As a resul, a cosise ad comprehesive compariso of life isurace ad ivesme producs is achieved. Empirical eamples demosrae he proposed mehodology. 2

3 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Zum sysemaische Vergleich vo Lebesversicherugs- ud Ivesmeproduke uer Performace- ud Risikoaspeke Peer Albrech Germay 1. Ziele ud mehodischer Asazpuk der Uersuchug Zielsezug der vorliegede Uersuchug is die Ewicklug ud Umsezug eier Mehodik zum sysemaische Vergleich der Gesamperformace (Toalredie) vo Lebesversicherugsproduke (hier primär: Kapiallebesversicherug) auf der eie Seie ud Ivesmeproduke (Akie-, Ree- oder Immobiliefods) auf der adere, jeweils uer Berücksichigug sämlicher Produkkose (isbesodere Verriebs- ud Verwalugskose). Die Kapiallebesversicherug biee als Kerleisuge Zahluge im Erlebesfall (Ablaufredie), Zahluge im Todesfall sowie Zahluge im Rückkaufsfall. Ivesmeproduke higege beihale keie Überahme vo biomerische Risike. Gägige Leisugsvergleiche vo Versicherugs- ud Ivesmeproduke beruhe daher auf eiem reie Vergleich der Ablaufredie. Dami wird die Kerleisug vo Versicherugsproduke, die Überahme vo biomerische Risike, igorier. Hizu komm, daß ei vollsädiger Leisugsvergleich die ypischerweise uerschiedliche Ivesmerisikoposiio beider Produkkaegorie zu berücksichige ha. Im folgede soll zuächs kurz i eier verbale Form auf die mehodische Asazpuke eigegage werde. Durch eie Versicherugsverrag werde aus Kudesich zufallsabhägige Auszahlugssröme (Prämie) ud Eizahlugssröme (Todesfall-, Ablauf-, Rückkaufsleisuge) ausgelös. Uer Fiierug der akuarielle Rahmebediguge (Aler, Geschlech; Serbe-, Sorowahrscheilichkei) ud eier Erwarugswerbildug hisichlich der biomerische Risike wird da die Redie des durch de Verrag iduziere Zahlugssromsaldos aus Kudesich auf der Basis der Kozepio der Iere Zisfuß-Mehode bereche ud als biomerische Redie eies Versicherugsprodukes bezeiche. Espreched werde - um eie Vergleichbarkei zu gewährleise - bei Ivesmeproduke ich ur Vermögesedsäde ( Ablaufleisuge ) erfass, soder jeweils auch die Vermögessäde zu alle Todes- bzw. Sorozeipuke. Die milere Redie des zugehörige Zahlugssromsaldos is da keie Redie im Sie eier reie Vermögesakkumulaio, soder ebefalls eie biomerische Redie uer 3

4 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Berücksichigug der (milere) Serbe- ud Soroewicklug des Ivesors. Die solchermaße ermiele biomerische Redie vo Fods sid da direk vergleichbar mi biomerische Redie vo Versicherugsproduke. Die spezifische Leisug der Überahme biomerischer Risike durch Versicherugsuerehme wird durch eie solche Produkvergleich agemesse berücksichig. Da die biomerische Redie vo Versicherugs- bzw. Ivesmeproduke uer Ikaufahme uerschiedlich hoher Ivesmerisike erziel werde, is des weiere ebe der Performaceaalyse och eie Risikoaalyse vorzuehme, um die ermiele Redie aus wisseschaflicher Sich edgülig vergleichbar zu mache. Die vorsehed skizziere Asäze köe grudsäzlich sowohl aus e ae-sich (Basis: progosiziere Zahlugssröme) als auch aus e pos-sich (Basis: realisiere Zahlugssröme) umgesez werde. Die im Beirag dargeselle mehodische Umsezug eier Risikobereiigug hisichlich der Ivesmeposiio is für de Fall eier e pos- Aalyse kozipier. Die ewickele Mehodik erlaub grudsäzlich (mehodische Sich) sowohl de Vergleich beliebiger Versicherugsproduke (Kapiallebesversicherug, fodsgebudee Lebesversicherug, akieidegebudee Lebesversicherug) mi beliebige Ivesmeproduke (Akiefods, Reefods, Sparpläe). Im Rahme der vorliegede Ausarbeiug beseh eie Schwerpuksezug hisichlich der Kapiallebesversicherug ud Ivesmeproduke, die mi eiem Asparprozeß verbude sid (ich aber eiem aschließede Esparprozeß). Die Aalyse der Zahlugssröme erfolg im Rahme dieser Ausarbeiug zuächs auf der Vor-Seuerebee. Seuerliche Effeke veräder aber ur die zu bewerede Zahlugssröme, sie berühre ich die Mehodik. 2. Biomerische Redie eier Kapialversicherug 2.1 Globalsrukur Im weierem gehe wir aus vo eiem fiiere Tarif, eiem fiiere Eirisaler des Versicherugsehmers (VN) sowie eier fiiere Laufzei des Verrages. Das Versicherugsverhälis lös aus VN-Sich versicherugsbedige Beiragszahluge BV + ( = 0,..., -1) sowie versicherugsbedige Leisugszahluge LV + ( = 1,..., ) aus. Die Beiragszahluge werde als jährlich vorschüssig ageomme, die Leisugszahluge als 4

5 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) jährlich achschüssig. Sowohl Beirags- als auch Leisugszahluge sid zufallsabhägig, beide häge ab vo der Ewicklug des Lebes- ud Soroprozesses des VN, d.h. ob der VN das Ede der Verragslaufzei erleb bzw. ob ud wa er vorzeiig sirb bzw. ob ud wa er de Verrag küdig. Für die weiere Aalyse sei die Zufallsgesezmäßigkei des Lebes- ud Soroprozesses des VN fiier. Azuseze sid plamäßige Serbe- sowie Sorowahrscheilichkeie. Auf der Basis dieser Wahrscheilichkeie werde da die (biomerische 1 ) Erwarugswere E B (BV + ) bzw. E B (LV + ) der periodische Beirags- bzw. Leisugszahluge bereche. Die biomerische Redie brv eier fiiere Kapialversicherug espreche da dem iere Zisfuß, bereche auf der Basis der (biomerisch) erwaree Zahlugssröme aus Kudesich. Die zugehörige Besimmugsgleichug laue: -1 =0 E B ( BV + )(1+brv ) - = =1 E B ( LV + )(1+brv ) -. (1) Formal is die biomerische Redie derjeige Diskoierugsfakor, der de Barwer des Zahlugssroms der biomerisch erwaree Prämiezahluge des VN ideisch mach mi dem Barwer der biomerisch erwaree Leisuge a de VN, d.h. V V PBW B (brv)= LBW B (brv), (2) wobei PBW V B de Prämiebarwer bzw. LBW V B de Leisugsbarwer im Versicherugsfall bedeue. Noch kurz zur Ierpreaio der biomerische Redie. Die biomerische Redie is zuächs eie (Bruo-)Prämieredie, d.h. miss die effekive Verzisug der ifolge des Versicherugsverrages gezahle Prämie agesichs der aus dem Verrag resulierede Leisuge. Die biomerische Redie sell ab (e ae-sich) auf die milere Redie, die ei VN erziele wird, der am Afag seies Versicherugsverhälisses seh ud desse weierer Lebes- ud Soroprozeß ur seier Gesezmäßigkei ach, ich aber i Hiblick auf seie kokree Verlauf beka is. 5

6 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) 2.2 Deailsrukur Das Spekrum der Versicherugsleisuge LV + ( = 1,..., ) zerfäll i drei Teilspekre: - das Spekrum der Erlebesfalleisuge EV + ( = 1,..., ) - das Spekrum der Todesfalleisuge TV + ( = 1,..., ) sowie - das Spekrum der Rückkaufsleisuge RV + ( = 1,..., ), dere Were jeweils mi besimme Wahrscheilichkeie ageomme werde. Zu spezifiziere sid des weiere die relevae biomerische Ausscheidewahrscheilichkeie. Wir begie mi dem bereis agesprochee Fall, daß zuächs das Sororisiko ausgeklammer werde. Uer Awedug der übliche versicherugsmahemaische Noaio is der biomerische Leisugsbarwer uer Verwedug des Diskoierugszissazes brv da gegebe durch V - LBW B (brv) = [ TV q + EV + p ] (1+brv ). (3) =1 Der VN leise Beiragszahluge BV + solage er leb - im Sadardfall i kosaer Höhe der Tarifbruoprämie B -, d.h. mi korrespodiereder Wahrscheilichkei p. Der biomerische Prämiebarwer uer Verwedug des Diskoierugszissazes brv is daher gegebe durch ( 0 p := 1) -1 V - PBW B (brv)= BV + p (1+ brv ). (4) =0 Komme wir u zum Fall der Berücksichigug des Spekrums der Rückkaufsleisuge. Dabei uerselle wir die Siuaio, daß die Ausscheidewahrscheilichkeie simula aus der Beobachug eies eiheiliche Versicherugsbesades gewoe werde. Bezeiche q wiederum die eijährige Serbewahrscheilichkei eies -Jährige ud espreched s desse eijährige Sorowahrscheilichkei, so ergib sich die eijährige Besadsverbleibewahrscheilichkei eies -Jährige zu p = 1 - q - s, aalog gil 6

7 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) p = 1- q - s k. Dami folg für die -jährige Besadsverbleibewahrscheilichkei eies + k +k + -Jährige p = p = (1 - q - s - 1 ). Π Π Die aufgeschobee = 1 = 1 Serbewahrscheilichkei ergib sich i diesem Koe zu k q = k p q. Aalog defiiere wir die aufgeschobee Sorowahrscheilichkei + k k s, diese ergib sich zu k s = k p s + k. Der biomerische Leisugsbarwer uer Berücksichigug des Rückkaufsfalles ergib sich ach diese Vorüberleguge zu LBW V B (BRV) = =1 [ TV q + EV + p + RV s ] (1+brv ). (5) Der Prämiebarwer uer Berücksichigug des Rückkaufsfalles ergib sich aalog zu -1 V - PBW B (brv)= BV + p (1+ brv ). (6) =0 3. Biomerische äquivalee Redie vo Ivesmefods 3.1 Zur Messug der Werewicklug vo Fods uer Berücksichigug vo Kose Bevor eie Besimmug vo biomerisch äquivalee Fodsredie agegage werde ka, is es zuächs owedig, die Werewicklug eies Ivesmefods 2 ud die dami verbudee Rediebesimmug zu aalysiere. Berache werde ei hesauriereder Fods, d.h. die Rückflüsse aus de Fodsivesmes werde wieder i de Fods ivesier. Bei eiem ich hesaurierede Fods muß espreched zuvor eie Werbereiigug safide, ypischerweise i Form eier Operaio blache. Ausgagspuk der weiere Überleguge is die Werewicklug des Fods auf Basis des Aeilswerkozepes, d.h. fesgesell wird der Wer eies Fodsaeils auf der Basis vo Rückahmepreise. Die esprechede Werewicklug sei mi {AWF } bezeiche. Die jährliche Redie RF des Fods auf Aeilswerbasis - ud dami auf Basis der Rückahmepreise - is gegebe durch 7

8 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) AWF RF = - 1. (7) AWF -1 Bei eier Alage i Ivesmefods falle eie Reihe vo Kose a, diese sid üblicherweise: - der Ausgabeaufschlag bei Erwerb vo Fodsaeile, üblicherweise i Proze des Aeilsweres (auf Rückahmebasis) am Periodeafag ausgedrück; - die laufede Verwalugsvergüuge seies der Kapialalagegesellschaf, üblicherweise edfällig p.a. i Proze des Fodsvermöges am Periodeede; - die Depoführugsgebühr seies der depoführede Selle, wobei hier Mischforme zwische eier prozeuale Kosebelasug ud fie Mides- bzw. Maimalgebühre zu fide sid; - Nebekose ud Auslage (z.b. Überweisugs-, Auslieferugs-, Reouregebühre, Poro, Telefo, ec.). Im folgede solle zuächs die Depoführugsgebühre sowie die Nebekose ud Auslage außer Asaz bleibe, im Rahme eier kokree empirische Eizelaalyse köe sie uschwer iegrier werde. Die laufede Verwalugsvergüuge seie i die beuze Rückahmepreise bereis eigereche 3. Der Ausgabeaufschlag bei Erwerb vo Aeile zum Zeipuk werde durch de Fakor a erfaß, d.h. der Ausgabeaufschlag beräg 100 a %. Numehr ka die Redie eies Fodsivesmes aus Kudesich quaifizier werde. Wir berache dazu ei idealypisches Beispiel. Beispiel 1: (Laufedes Fodsivesme) Es erfolge ei laufedes jährlich vorschüssiges Ivesme für Periode, die dami verbudee Alageberäge belaufe sich auf K DM ( = 0,..., - 1). Nach Periode werde das Ivesme beede, ohe daß zwischezeiliche Desivesiioe sagefude habe. Zu de Zeipuke = 0,..., - 1 werde dami k = K /AWF (1 + a ) Aeile erworbe. Der Vermögesedwer des Ivesmes beräg da E = k() AWF, wobei k (8) ( ) : = k k 1 die Azahl der Aeile des Ivesors am Ede der Ivesmeperiode bedeue. Die Redie irf des Ivesmes aus Kudesich ergib sich da als Lösug der Gleichug 8

9 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) K 0 + K (1+ irf ) = k () AWF (1+ irf ). (9) =1 3.2 Biomerisch zu eier Kapialversicherug äquivalaee Fodsredie Vorüberleguge Ausgagspuk der weiere Überleguge is ei Ivesor, der aleraiv eie Kapiallebesversicherug oder Aeile eies Ivesmefods erwerbe will ud Ahalspuke für eie Voreilhafigkeisvergleich zwische diese beide aleraive Ivesiioe such. Ei korreker Voreilhafigkeisvergleich muß bei beide Ivesmealeraive auf eier Beureilug sämlicher resuliereder Cash Flows, sowohl im Erlebesfall als auch im Todesfall als auch im Rückkaufsfall beruhe. Bei weiergehede Uersuchuge köe auch weiere Ausscheidegrüde berücksichig werde. Bei Kude, die sich sicher sid, die agesrebe lagfrisige Verragsbidug auch zu erfülle, ka ferer der Ausscheidegrud Rückkaufsfall aus der Aalyse ausgeklammer werde Globalsrukur Ausgagspuk der Aalyse is ei -jähriger Ivesor, desse weierer Lebes- ud Soroprozeß zwar ich dem Verlauf ach, wohl aber seier Zufallsgesezmäßigkei ach beka is. Diese Zufallsgesezmäßigkei is zu fiiere, d.h. muß für beide Ivesmealeraive Kapialversicherug ud Fodsivesme ideisch gewähl werde. Nach de Vorüberleguge i Abschi sid für beide Ivesmealeraive sämliche ausgelöse Cash Flows i die Aalyse mi eizubeziehe. Gemäß de Abschie 2.1 ud 2.2 sid dies im Falle der Kapialversicherug - der ausgelöse Zahlugssrom der versicherugsbedige Beiragszahluge BV + ( = 0,..., -1), - der ausgelöse Zahlugssrom der versicherugsbedige Erlebesfalleisuge 9

10 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) EV + ( = 1,..., ), - der ausgelöse Zahlugssrom der versicherugsbedige Todesfalleisuge TV + ( = 1,..., ) - sowie der ausgelöse Zahlugssrom der versicherugsbedige Rückkaufsleisuge RV + ( = 1,..., ). Kosequeerweise sid im Falle eies Fodsivesmes die folgede Cash Flows zu berücksichige: - der ausgelöse Zahlugssrom der fodsbedige Beiragszahluge BF + ( = 0,..., -1), - der ausgelöse Zahlugssrom der fodsbedige Leisugszahluge LF + ( = 1,..., ), die wiederum aufgeglieder werde köe i: - de ausgelöse Zahlugssrom der fodsbedige Erlebesfalleisuge EF + ( = 1,..., ), - de ausgelöse Zahlugssrom der fodsbedige Todesfalleisuge TF + ( = 1,..., ) - sowie de ausgelöse Zahlugssrom der fodsbedige Rückkaufsleisuge RKF + ( = 1,..., ). Vollsädig aalog zu der i Kapiel 2 ewickele Kozepio eier biomerische Redie brv im Versicherugsfall (hier: Kapialversicherug) ka u die biomerisch äquivalee Redie im Fodsfall bärf besimm werde, idem der biomerische Erwarugswer E B (.) hisichlich der Beirags- bzw. Leisugssröme gebilde ud aschließed der iere Zisfuß hisichlich der biomerisch erwaree Beirags- bzw. Leisugszahluge ermiel wird. Formal ergib sich bärf dami als Lösug der Gleichug -1 =0 E B ( BF + )(1+ bärf ) - = =1 E B ( LF + )(1+bärf ) -. (10) Die Gleichug (10) zur Besimmug der biomerisch äquivalee Fodsredie is das Peda zur Gleichug (1) zur Besimmug der biomerische Redie im Versicherugsfall. Defiiere wir de biomerische Beiragsbarwer im Fodsfall durch PBW F B sowie de 10

11 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) biomerische Leisugsbarwer im Fodsfall durch, LBW F B so ergib sich die zu (2) äquivalee Darsellug F F PBW B (bärf)= LBW B (bärf). (11) Die biomerische Äquivalez is zudem ur i bezug auf die Verhälisse eier Kapialversicherug zu sehe, da ebe de spezifische biomerische Rechugsgrudlage auch die relevae Zahlugssröme des Fods parallel zu dee eier Kapialversicherug gewähl werde Deailsrukur Zur kokree Umsezug der Kozepio der biomerisch äquivalee Fodsredie müsse die ausgelöse Zahlugssröme spezifizier werde, dies gil isbesodere für das Spekrum a Todesfall- bzw. Rückkaufsleisuge. Die Beiragszahluge BF + des Ivesors köe i Form eies Eimalbeiragsivesmes (BF = B; BF + = 0 für = 1,..., -1) oder i Form eier regelmäßige (z.b. gleichhohe moaliche oder jährliche) Beiragszahlug (z.b. auf der Basis eies Sparplas) erfolge. Die Erlebesfalleisuge EF + ( = 1,..., ) besehe bei hesauriere Fods alleie aus dem agesammele Edvermöge E (ach Kose) des Fods am Ede der Laufzei (EF + = E ; EF + = 0 für = 1,..., -1). Bei Fods mi Ausschüug sid sämliche Ausschüuge währed der Laufzei als Erlebesfalleisuge zu berache. Wie bereis i Abschi 4.1 ausgeführ, beschräke wir us i der vorliegede Ausarbeiug auf de Fall eies hesaurierede Fods. Die Todesfalleisuge TF + ( = 1,..., ) besehe bei hesaurierede Fods aus dem zum Todeszeipuk agesammele Vermöge E (ach Kose) des Fods. Die Rückkaufsleisuge RKF + ( = 1,..., ) besehe bei hesaurierede Fods aus dem zum Rückkaufszeipuk agesammele Vermöge E (ach Kose) des Fods. 11

12 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Berache wir zur weiere Erhellug der Deailsrukur ei Beispiel. Die Bezeichuge im Zusammehag mi Fods espreche dejeige des Abschis 3.1. Um die Beispiele möglichs eifach srukurier zu gesale, gehe wir des weiere vo zeilich kosae Ausgabeaufschläge a = a aus. Die laufede Verwalugsvergüuge seie i die Rückahmepreise eigereche. Depoführugsgebühre sowie Nebekose ud Auslage werde ich agesez. Beispiel 2 (Laufedes Fodsivesme): Der -jährige Ivesor erwerbe gege eie gleichhohe Eimalbeirag B zu de Zeipuke =, +1,..., +-1 sukzessive Aeile 0, k1,..., k - am Fodsvermöge. Es gil k 1 k = BA/ AWF (1+ a) für = 0,..., -1. Wir kozeriere us zuächs auf de Fall uer Ausklammerug des Sororisikos. Der Ivesor zahl da ur solage Beiräge, solage er ich versorbe is. Der biomerische Prämiebarwer des Fodsivesmes uer dem Diskoierugsfakor bärf is da gegebe durch PBW F B (bärf)= -1 =0 B p (1+ bärf ) - = -1 =0 k AWF (1+ a ) p (1+ bärf ) - (12) = -1 =0 k AWF 0 (1+ a ) [ 1+ RF ] p (1+ bärf ) -. Die Erlebesfalleisuge EF + ( = 1,..., ) besehe bei eiem hesaurierede Fods alleie aus dem agesammele Edvermöge E (ach Kose) des Fods am Ede der Laufzei (EF + = E ; EF + = 0 für = 1,..., -1). Uer Beuzug der Beziehug (8) folg E = k 1+ ( ) AWF = k( ) AWF0 [ RF ] 12

13 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Die Todesfalleisuge TF + ( = 1,..., ) besehe aus dem zum Todeszeipuk agesammele Vermöge E des Fods. Bei Fiierug des Todeszeipuks τ = wurde zu de Zeipuke τ = 0,..., -1 Beiräge eibezahl ud demgemäß k 0, k 1,.., k -1 Aeile erworbe. Uer Beuzug vo (8) ergib sich dami E = k( ) AWF = k( ) AWF0 + [ 1 RF ]. Isgesam ergib sich dami als biomerischer Leisugsbarwer im Fodsfalle LBW F B ( bärf ) = AWF + k( ) 1 + k( ) 0 = AWF k( ) [ + RF ] 0 { { p = 1 = 1 k( ) 1 1 [ 1+ RF ] [ 1+ RF ] [ 1+ RF ] (1 + bärf ) }. q q p (1 + bärf ) (1 + bärf ) } (1 + bärf ) } (13) Der gesuche iere Zisfuß bärf ergib sich dami als Lösug der Gleichug PBW F B (bärf) = LBW F B (bärf), d.h. 1 = 1 k (1 + a) 1 p [ 1+ RF ] (1 + bärf ) = 1 = 1 k( )(1 + a) 1 q [ 1+ RF ] (1 + bärf ) + k( )(1 + a) 1 p [ 1+ RF ] (1 + bärf ) bzw. als Nullselle eies Polyoms vom Grade : k (1 + a)(1 + bärf ) 0 [ k( ) 1q k (1 + a) 1p ][ 1+ RF ] = 1 k( ) 1 p [ 1+ RF ] = 0. (1 + bärf ) (14) 13

14 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Es soll u och der Rückkaufsfall i die Aalyse iegrier werde. Es gil TF = RKF = E ( = 1,..., -1), dieser Wer wird mi Wahrscheilichkei ( -1 q + -1 s ) ageomme sowie TF = RKF = EF = E, dieser Wer wird mi Wahrscheilichkei (14) aaloge Form der Besimmugsgleichug laue da: -1 p ageomme. Die zu k (1 + a)(1 + bärf ) 0 1 [ k( ) ( 1 q + 1 s ) k (1 + a) 1p ][ 1+ RF ] = 1 k( ) 1 p [ 1+ RF ] = 0. (1 + bärf ) (15) Isgesam is dami erwiese, daß die ewickele Mehodik zu eier umsezbare Lösug der Problemaik der Besimmug der zu eier Kapialversicherug biomerisch äquivalee Fodsredie führ. 4. Risiko/Performaceprofil vo biomerischer Redie ud biomerisch äquivaleer Redie Die Kozepio der biomerisch äquivalee Redie mach Versicherugsproduke ud Ivesmeproduke im Hiblick auf die zugrudeliegede biomerische Rahmebediguge vergleichbar. Keie Berücksichigug fide dabei aber der Umsad, daß im Hiblick auf die Ivesmekompoee beide Produkkaegorie aus Sich des Ivesors mi eiem uerschiedliche Risikoausmaß verbude sid. Grudsäzlich gil, daß (zumides bei effiziee Posiioe) sysemaisch höhere Redie ur uer Ikaufahme eies höhere Risikos erziel werde köe bzw. eie Beschräkug des i Kauf geommee Risikos beschräk seierseis die Höhe der erzielbare Redie. (Deusche) Lebesversicherugsproduke ehale i ihrem Ivesmeprofil ypischerweise sarke Fiazgaraie 4, was owedigerweise mi eier Beschräkug des olerierbare Kapialalagerisikos (ud dami eier Redielimiierug) eihergeh. Eie alleiige Berücksichigug der biomerische Redie bei Performace-Vergleiche is daher ich ausreiched. Isofer is aus Sich des Kude vo zeraler Bedeuug, welche milere (biomerische) Reabiliä aus eier besimme Verragskosellaio (Tarif) erziel werde ka ud wie hoch das korrespodierede Reabiliäsrisiko is. 14

15 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Die biomerische Redie aus eier fiiere Verragskosellaio (Fiierug der biomerische Verhälisse) is ebeso wie die biomerisch äquivalee Redie eie Größe, dere Wer im Zeiablauf schwake wird. Für de Kude mi fiiere biomerische Verhälisse äußer sich das Reabiliäsrisiko daher dari, daß die realisierbare biomerische Redie bzw. biomerisch äquivalee Redie abhägig sei wird vom Zeipuk des jeweilige Verragsabschlusses. Kozepioell ka die biomerische Redie als Zufallsgröße BRV aufgefaß werde, die verschiedee mögliche Realisaioe brv 1,..., brv mi besimme Eiriswahrscheilichkeie beihale. Das Risiko-/Performaceprofil der biomerische Redie is da i eier E ae-perspekive charakerisierbar durch die Reabiliässchwakug σ (RBV) ud die milere biomerische Redie E(RBV).Aalog ka die biomerisch äquivalee Redie im Fodsfall als Zufallsgröße BÄRF modellier werde, mi de esprechede Were E(BÄRF) ud σ( BÄRF). Dami dieser kozepioelle Asaz eie Iformaioswirkug efale ka, müsse die Größe σ (RBV) ud E(RBV) bzw. σ(bärf) ud E(BÄRF) ideifizier werde, eweder im Rahme eier E ae-auswerug (die Basis bilde da progosiziere Zahlugssröme auf Beirags- ud Leisugsseie) oder im Rahme eier E pos-auswerug (Basis sid da realisiere Zahlugssröme). Die im weiere - i Vorbereiug der Fallsudie des Abschis 5 - dargeselle Mehodik is dabei im Hiblick auf eie e pos-auswerug auf der Basis realisierer Zahlugssröme kozipier. Mehodisch erfolg dabei ei Back-Tesig. Es wird davo ausgegage, daß ei -jähriger Versicherugsehmer zu eiem besimme Zeipuk i der Vergagehei seie Produkescheidug geroffe ha, uer de Gegebeheie des zu dem damalige Zeipuk usichere weiere Lebes- ud Soroprozesses. Aus heuiger Sich wird da auf der Basis vo realisiere Zahlugssröme (i Abhägigkei vo de mögliche poeielle Realisieruge seies Lebes- ud Soroweges) fesgesell, welche hisorische biomerische Redie bzw. biomerisch äquivalee Redie sich bei de aleraive Produkescheiduge asächlich ergebe ha. Die solchermaße fesgeselle hisorische biomerische Redie bzw. biomerisch äquivalee Redie is da i ihrem zeiliche Verlauf zu aalysiere. Verziche wird dabei im weiere auf die Durchführug eier risikoadjusiere Performaceaalyse, d.h. das Risiko-/Performaceprofil wird ich mehr weier i eie eidimesioale risikobereiige Kezahl rasformier. Die Besimmug eier risikoadjusiere Redie erforder üblicherweise zuvor die Feslegug eier risikolose Bechmarkalage. Dies is aus mehrere Grüde problemaisch. Zum eie is uklar, welche Aleraivalage über die berachee Zeihorizoe (z.b. 12 Jahre im Falle der Fallsudie i Abschi 5) als risikolos azusehe is. Zudem erweise sich die 15

16 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Schwakuge der Redie vo Lebesversicherugsverräge als so gerig, daß es - vor allem im Vergleich zu de a de Kapialmärke asose verfügbare Isrumee - sogar berechig wäre, die Kapiallebesversicherug selbs als Proy für die risikolose Alage zu wähle. Die risikolose Alage selbs aber ka ich mehr weier risikobereiig werde. Als flakierede Kezahl wird des weiere der Redie-Iformaio Raio RIR = E(RBV) / σ (RBV) bzw. RIR = E(BÄRF) / σ (BÄRF) besimm. Diese Kezahl is ich als risikobereiige Rediekeziffer azusehe, soder als ergäzede Kezahl, um das Verhälis der beide Teil-Kezahle E(RBV) ud σ (RBV) bzw. E(BÄRF) ud σ (BÄRF) zu beziffer. Berache wir im weiere beispielhaf de Fall der Kapiallebesversicherug, um zu demosriere, wie Schäzwere für E(BRV) ud σ (BRV) gewoe werde köe. Ausgagspuk der weiere Überleguge is die gemäß Abschi 2 defiiere Kozepio eier biomerische Redie brv. Diese Redie werde e pos für abgelaufee Versicherugsverhälisse ermiel. Wir fiiere dabei de zugrudeliegede Versicherugsarif, das Eirisaler des Versicherugsehmers, die Laufzei des Versicherugsverrags sowie die Ar ud Höhe der Beiragszahluge. Variabel sei alleie die Lage des Verragszeiraums auf der Zeiachse, d.h. das berachee Zeiiervall [ s, s + ]. Mi brv(; ; s) sei daher die (hisorische) biomerische Redie aus eier Kapiallebesversicherug der Verragsdauer für eie Versicherugsehmer, der im Zeipuk = s Jahre al is, bezeiche. Ausgehed vo eiem Afagszeipuk = s 0 variiere wir sukzessive das berachee Zeiiervall (der fiiere Läge ) ud ermiel die hisorische biomerische Redie brv(; ; s 0 ), brv (; ; s 0 + 1),..., brv(; ; s 0 + T). Die Veräderug der hisorische biomerische Redie im Zeiablauf reflekier alleie die Realisierug des Kapialalagerisikos, das über seie Eifluß auf die Überschußbeeiligug die Leisugssröme des asose fiiere Versicherugsverhälisses im Todes-, Erlebesud Rückkaufsfall agier. 16

17 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Auf Basis der solchermaße ermiele T+1 Beobachuge ka u das Risiko/Performaceprofil der biomerische Redie quaifizier werde. Wir bereche hierzu die Größe T 1 brv (; ) := brv (; ; s0+), (16) T +1 =0 die milere biomerische Redie eies fiiere Versicherugsverhälisses i der Beobachugsperiode sowie σ brv ( ; ) : = [ 1 T T 1 / 2 2 [ brv( ; ; s0 + ) brv( ; ], = 0 ] (17) die zugehörige (empirische) Redie - Sadardabweichug als Maß für das durch das Kapialalagerisiko bedige Schwakugsrisiko der biomerische Redie des fiiere Versicherugsverhälisses. Aalog lasse sich auf der Basis eier Beobachugsreihe {bärf (;;s 0 +); = 0,...,T} vo hisorische biomerisch äquivalee Fodsredie Schäzgröße bärf ( ; ) für E(BÄRV) bzw. σ BÄRF (;) für σ(bärf) gewie. Dami is ei Asazpuk zur Quaifizierug des Risiko-/Performaceprofils für die biomerische Redie bzw. die biomerisch äquivalee Redie gefude. Dies soll i der aschließede Fallsudie illusrier werde. 5. Fallsudie 5.1 Risiko-/Performaceprofil der Kapiallebesversicherug Als Daebasis sade Dae über Kapiallebesversicherugsverräge eies fiiere Tarifs eies der größe deusche Lebesversicherugsuerehme zur Verfügug. Grudlage ware dabei Versicheruge mi 12-jähriger Laufzei ud laufeder jährlicher Beiragszahlugsweise für eie mäliche Versicherugsehmer mi dem Eirisaler 40 Jahre für de Basis-Auswerugszeiraum vo Die Eizeldae umfasse das 17

18 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Spekrum der Erlebesfall-, Todesfall- ud Rückkaufsleisuge sowie die Bruo- Prämiezahluge 5. Auswerugsgegesad ware die realisiere Erlebesfallredie, die biomerische Redie uer Berücksichigug des Ausscheidegrudes Tod sowie die biomerische Redie uer Erfassug der Ausscheidegrüde Tod ud Rückkauf (Soro). Als plamäßige Ausscheideorduge wurde dabei die Serbewahrscheilichkeie 2. Ordug bzw. Sorowahrscheilichkeie für 12-jährige Verräge gemäß der Deusche Akuarvereiigug agesez 6. Die Berechug der vorsehed geae Redie auf rolliereder jährlicher Basis erlaub zum eie de Rückschluß auf die esprechede milere Redie ud ermöglich dami eie Leisugsbeureilug der Verräge aus Sich eies (repräseaive) Versicherugsehmers, isbesodere vor dem Hiergrud der Überahme biomerischer Risike seies des Versicherugsuerehmes ud uer Berücksichigug der Rückkaufsopio auf Seie des Versicherugsehmers. Zum adere wird ei Rückschluß auf das Ausmaß der Variaio der bereffede Leisuge im Zeiablauf möglich (Basis: Spaweie der Redie 7, Redie-Sadardabweichug). Dies is für de Versicherugsehmer eie weseliche Zusaziformaio, de je höher die zeiliche Redievariaio, deso särker is die asächlich erhalee Leisugshöhe abhägig vo der für ih kokre relevae Korakperiode (passives 8 Timigrisiko). Je iedriger die Redievariaio, deso gleichmäßiger erhale die Versicherugsehmer uerschiedlicher Eirisgeeraioe die i Aussich geselle Leisug. Als ergäzede Kezahl wird schließlich der Redie-Iformaio Raio RIR als Quoie vo milerer Redie zu Rediesadardabweichug besimm. Der Redie-Iformaio Raio ka als Maß für die Effiziez der erbrache Leisug agesehe werde. Er gib a, wieviel Redie im Miel pro Eihei eigegagees Risiko erwirschafe wird. Der berachee Auswerugszeiraum umfaß die siebe 12-Jahres-Periode , ,..., ud Die folgede Tabelle ehäl zuächs die realisiere Erlebesfallredie für jede der siebe 12-Jahres-Periode ebs der Agabe der korrespodierede summarische Größe arihmeisches Miel, Spaweie, Sadardabweichug sowie Redie-Iformaio Raio. 18

19 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Spaweie Mielwer Sd.-Abw RIR Tabelle 1: Erlebesfallredie: 40-jähriger Versicherugsehmer Zuächs eimal is feszuhale, daß die realisiere Redie im Zeiablauf ur außerordelich gerig variier. Gradmesser hierfür sid die erem gerige Spaweie vo ca. 0.6 Prozepuke ebeso wie die erem gerige Sadardabweichug vo ca. 0.2 Proze. Der Versicherugsehmer ka somi weigehed uabhägig vom Zeipuk des Verragsabschlusses eie relaiv kosae Erlebesfallredie erziele. Auch der Redie- Iformaio Raio brig dies auf adere Weise ochmals sehr deulich zum Ausdruck, die milere Redie beräg ca. das 32-fache des eigegagee Schwakugsrisikos. Wie veräder sich diese Ergebisse u durch die Berücksichigug der Möglichkei, daß der Versicherugsehmer währed der Verragslaufzei versirb, d.h. durch de Übergag zu eier biomerische Redie (zuächs ohe Berücksichigug der Rückkaufsmöglichkei)? Die folgede Tabelle ehäl die esprechede Ergebisse Spaweie Mielwer Sd.-Abw RIR Tabelle 2: Biomerische Redie ohe Soro: 40-jähriger VN Zuächs eimal is feszuselle, daß die biomerische Redie (ohe Berücksichigug vo Soro) sysemaisch, d.h. i jeder eizele Kosellaio, höher is als die reie Erlebesfallredie. Dies zeig die spezifische Wirkug des Versicherugsvorgages zur Überahme vo biomerische Risike. Zugleich wird deulich, daß die Wahl der Erlebesfallredie als Maßsab für die milere Redie im Vergleich zu adere Alageforme die Lebesversicherug sysemaisch beacheilig, zumides im Falle srik verragsreuer Kude. 19

20 Tras 27 h ICA Peer Albrech (Germay) Zudem überräg sich das Ausmaß der Rediegläug ur mi gerigfügige Äderuge vo der Erlebesfallredie auf die biomerische Redie. Der Redie-Iformaio Raio erfähr dami isgesam eie sysemaische Erhöhug. Wede wir us dami der Berücksichigug der Rückkaufsmöglichkei seies des Versicherugsehmers zu, d.h. berache die biomerische Redie ikl. Soro. Die folgede Tabelle faß die Ergebisse zusamme Spaweie Mielwer Sd.-Abw RIR Tabelle 3: Biomerische Redie ikl. Soro: 40-jähriger VN Zuächs is feszuselle, daß die biomerische Redie ikl. Soro sysemaisch iedriger is als die biomerische Redie ur uer Eischluß des Ausscheidegrudes Tod. Die Redukio beräg ca. 0.4 Prozepuke ud quaifizier de empirische Preis für die Ausübug der Rückkaufsopio. Die i de berachee Beispielfälle dami eihergehede Redieredukio is aber mehr als modera. Isgesam bleib feszuhale, daß die durch Abschluß eies Lebesversicherugsverrages erziele Redie, seie es u Erlebesfallredie, biomerische Redie ikl. Tod oder biomerische Redie ikl. Tod ud Soro, erem zeisabil sid, die realisiere Redie- Iformaio Raios bewege sich zudem sämlich im Bereich vo Eiheie. 5.2 Risiko-/Performaceprofil biomerisch äquivaleer DAX-Redie Als Beispielfall für ei Ivesmeproduk berache wir ei Ivesme i de Deusche Akieide (DAX), de wohl bekaese Gradmesser für die Werewicklug des deusche Akiemarkes. Als Auswerugsperiode die zur Sichersellug der Vergleichbarkei ebefalls der Zeiraum vo Um zu realisische Ergebisse zu komme, wird der DAX im folgede zudem so kosebereiig, daß er eie fodsähliche Alage repräseier. I Übereisimmug mi dem Hadbuch Ivesmefods 9 werde zum eie laufede Verwalugsvergüuge i 20

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