Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2007

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1 Laneswettbeweb Mathematik Baen Lösungsbeispiele Rune 007 Aufgabe Hans bastelt Wüfel Jee Seitenfläche fäbt e entwee weiß e blau Wie viele Wüfel, ie sich allein uch ihe Fäbung untescheien, kann Hans hestellen? Hans kann ehn unteschielich gefäbte Wüfel hestellen Beweis: Wi stieen ie möglichen Wüfel nach e Anahl e weißen Quaate Keine Wüfelfläche ist weiß gefäbt Es gibt nu eine mögliche Fäbung Bei iese Fäbung sin alle Wüfelflächen blau Genau eine Wüfelfläche ist weiß gefäbt Es gibt eine mögliche Fäbung Bei iese Fäbung ween eine Fläche weiß un fünf Flächen blau gefäbt (ie blauen Flächen sin nicht eingeeichnet) Da ie Wüfelflächen ununtescheiba sin, spielt es keine Rlle welche e sechs Wüfelflächen weiß gefäbt wi 3 Genau wei Wüfelflächen sin weiß gefäbt Dies ist auf wei veschieene Aten möglich a) Die beien weiß gefäbten Wüfelflächen können sich auf benachbaten Wüfelflächen befinen (ie beien Flächen besiten als eine gemeinsame Kante) b) Die beien weiß gefäbten Wüfelflächen können sich auf gegenübeliegenen Wüfelflächen befinen Weitee Möglichkeiten fü Wüfel mit genau wei weißen Flächen gibt es nicht 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite vn 9

2 Genau ei Wüfelflächen sin weiß gefäbt Auch hie sin wei veschieene Fäbungen möglich a) Zwei gegenübeliegene Wüfelflächen sin weiß gefäbt Dann liegt ie itte weiße Wüfelfläche awischen un ie ei weiß gefäbten Flächen bilen ein usammenhängenes Ban b) Keine wei gegenübeliegenen Wüfelflächen sin weiß gefäbt Dann müssen ie ei weiß gefäbten Wüfelflächen an eine Ecke usammenstßen Weitee Möglichkeiten fü Wüfel mit genau ei weißen Flächen gibt es nicht 5 Genau vie Wüfelflächen sin weiß gefäbt Dann sin genau wei Wüfelflächen blau gefäbt Wie bei 3 sin genau wei veschieene Fäbungen möglich 6 Genau fünf Wüfelflächen sin weiß gefäbt Dann ist genau eine Wüfelfläche blau gefäbt Wie bei ist genau eine Fäbung möglich 7 Genau sechs Wüfelflächen sin weiß gefäbt Dann ist keine Wüfelfläche blau gefäbt Wie bei ist genau eine Fäbung möglich Bei iese Fäbung sin alle Flächen weiß gefäbt Insgesamt kann Hans als 0 unteschieliche Fäbungen hestellen Die Egebnisse ween in e Tabelle nch einmal usammengefasst: N Anahl weiße Wüfelflächen Anahl blaue Wüfelflächen Anahl e möglichen Fäbungen Summe: 0 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite vn 9

3 Aufgabe Wie gß sin ie Innenwinkel es Deiecks ABC, wenn ϕ ist? α β 5 un γ 76 Beweisvschlag: Da ie Punkte A un B auf einem Keis mit Mittelpunkt C liegen, ist AC BC Smit ist as Deieck ABC gleichschenklig mit Basis [AB] Dahe sin ie beien Basiswinkel ieses Deiecks gleich gß, als α β () Da ie Punkte D un E auf einem Keis mit Mittelpunkt B liegen, ist DB EB Smit ist as Deieck EBD gleichschenklig mit Basis [DE] Dahe sin ie Basiswinkel gleich gß, als δ ε () Die Winkelsumme im Deieck EBD ist nach () un (): β δ ε α ε 80 Smit ist 80 α α ε 90 Da DEA Nebenwinkel vn BED ist, egibt sich: α α DEA 80 ε α 3 Die Winkelsumme im Deieck AEF ist: α 90 ϕ α 90 ϕ 80 3 Mit ϕ ehält man: α 90 ϕ 78 Als: α 78 5 β 3 Aus em Winkelsummensat fü as Deieck ABC egibt sich schließlich: 0 γ 80 α Beweisvschlag: Wie im Beweisvschlag ekennt man: α β un δ ε (siehe () un ()) De Winkelsummensat im Deieck EBD egibt: 80 α α δ 90 (*) De Winkelsummensat im Deieck ABC egibt: 80 γ α β α (**) FDC ist Scheitelwinkel u EDB, als FDC DCF ist Nebenwinkel u ACD, als DCF80 - De Winkelsummensat im Deieck CDF egibt nun: δ ( 80 γ) ϕ 80 Aus ϕ, (*) un (**) flgt Smit flgt: 3 α 78, als α β α 90 α 68 O 5 Aus (**) egibt sich nun: γ 80 ε 76 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite 3 vn 9

4 Aufgabe 3 Zwölf Teilnehme eines Sng-Wettbewebs ween vn eine siebenköpfigen Ju bewetet Jee Wetungsichte gibt jeem Teilnehme wischen un Punkte; abei af e keine wei Teilnehme gleich beweten We ie höchste Gesamtpunktahl ehält, belegt evtl usammen mit weiteen Teilnehmen en Plat Sänge Mike efäht vn einem Repte seine Gesamtpunktahl un gibt au en sachlich ichtigen Kmmenta: Es ist uchaus möglich, ass ich e alleinige Siege bin Bestimme ie kleinste Gesamtpunktahl, mit e Mike als einige en Plat belegen kann Die kleinste Gesamtpunktahl, mit e ein Teilnehme nch als einige en Plat belegen kann, betägt 7 Beweis: Jee e sieben Juen vegibt ( ) Punkte 78 Punkte Insgesamt ween als 7 78 Punkte 56 Punkte auf ie Teilnehme vegeben (*) Im Duchschnitt ehält als jee Teilnehme 56 Punkte : 5,5 Punkte Es muss als einen Sänge e eine Sängein mit minestens 6 Punkten geben Minestens ein Sänge hat als 6 e meh Punkte ehalten Einen alleinigen Siege mit genau 6 Punkten kann es abe nicht geben Denn snst hätten ja ie aneen Teilnehme höchstens 5 Punkte, ie Gesamtahl alle vegebenen Punkte wäe als höchstens 6 55 Das steht im Wiespuch u (*) Ein Gewinne es Wettbewebs, e als einige en Plat belegt, muss als minestens 7 Punkte aufweisen Wenn ein Teilnehme mit 7 Punkten alleinige Siege ist, s bleiben en übigen Teilnehmen usammen 99 Punkte Mögliche Veteilung: Da , ist eine slche Punkteveteilung B ann möglich, wenn 7 Teilnehme 5 Punkte un Teilnehme 6 Punkte ehalten Die flgene Tabelle eigt, ass es eine slche Punkteveteilung gibt, bei e Mike mit 7 Punkten alleinige Siege ist, wähen ie Teilnehme B, C, D un J jeweils 6 Punkte un ie übigen 7 Teilnehme jeweils 5 Punkte ehielten Mike A B C D E F G H I J K Ju N Ju N Ju N Ju N Ju N Ju N Ju N Summe Smit ist es möglich, ass ein Teilnehme mit 7 Punkten alleinige Siege wi 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite vn 9

5 Aufgabe In einem Vieeck ABCD sin alle Innenwinkel kleine als 80 Spiegelt man A an B, B an C, C an D un D an A, s entsteht as Vieeck A B C D Wie gß ist as Vehältnis e Flächeninhalte e beien Vieecke? Das Vehältnis e Flächeninhalte vn Vieeck ABCD u Vieeck A B C D ist :5 Die Fläche es Vieecks ABCD nimmt als ein Fünftel e Fläche es Vieecks A B C D ein Beweis: In nebenstehene Zeichnung haben ie Deiecke CDA, DC A un C D A en gleichen Flächeninhalt F: Die Deiecke CDA un DC A haben enselben Flächeninhalt, enn mit CD C' D un e gemeinsamen Höhe h A uch A gilt: F CDA CD ha C'D ha F DC A F Ebens haben ie Deiecke DC A un C D A gleichen Flächeninhalt F, enn mit DA D' A un e gemeinsamen Höhe h C uch C gilt: F DC'A DA hc' D' A hc' F C'D'A F Analg haben auch ie Deiecke ABC; BA C un CA B en gleichen Flächeninhalt G Fü en Flächeninhalt vn Vieeck ABCD gilt abei ffensichtlich: F ABCD F G Mit eine analgen Agumentatin beweist man, ass ie Deiecke BCD, CB D un B C D en gleichen Flächeninhalt H, ie Deiecke ABD, AD B un D A B en gleichen Flächeninhalt K haben Damit gilt fü en Flächeninhalt vn Vieeck ABCD: F ABCD H K Insgesamt gilt als fü en Flächeninhalt es gßen Vieecks A B C D : F A B C D F ABCD F G H K F ABCD (F G) (H K) F ABCD F ABCD F ABCD 5 F ABCD Die Fläche es Vieecks ABCD nimmt als ein Fünftel e Fläche es Vieecks A B C D ein, 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite 5 vn 9

6 Aufgabe 5 Bestimme alle natülichen Zahlen un mit Es gibt vie Lösungen: 8, 03 50, 9 3 5, 5 08, 3 Beweismöglichkeit: Die Gleichung ist äquivalent u In e letten Gleichung kann man ie echte Seite umfmen: 7 ( 7) ( ) Smit ehält man: 007 ( 7) ( ) 0 7 (*) e ( ) ( ) Die Pimfaktelegung vn 0 ist Als sin, 3, 7 un 0 ie einigen Teile vn 0 Da 7 nach (*) ein Teile vn ist, kann 7 nu, 3, 7 e 0 sein Die Fälle 7 3, 7 7 un 7 0 können sft ausgeschlssen ween, a hie negativ wäe, was e Angabe wiespicht De Fall 7 egibt 6 un -09 Dies wiespicht ebenfalls e Angabe Smit bleiben ie flgenen Fälle u untesuchen:, Fall Dies sin genau ie behaupteten Lösungen Beweismöglichkeit: Duch Äquivalenumfmungen egibt sich aus e Ausgangsgleichung uch Auflösung nach : ( 7) 007 (**) ( 7) 0 ( 7) De Fall 7 ist nicht möglich, a e in (**) eingesett einen Wiespuch liefet 0 Da eine natüliche Zahl ist, muss auch eine gane Zahl göße als - sein 7 Smit muss 7 ein Teile vn 0 sein Die gleiche Agumentatin wie in e Beweismöglichkeit liefet ie vie Lösungen 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite 6 vn 9

7 Aufgabe 6 Gegeben sin wei Keise k un k, ie sich vn außen beühen Ihe Mittelpunkte sin M un M Ein Halbkeis übe e Stecke [M M ] schneiet k in P un k in P Zeige: Die Keise k un k schneien aus e Geaen P P gleich lange Sehnen aus Beeichnungen: Die Geae P P hat mit em Keis k (k ) auße P (P ) nch einen weiteen Schnittpunkt Q (Q ) Zu eigen ist als: P Q PQ Wi beeichnen en Mittelpunkt vn [M M ] mit M swie ie Fußpunkte e Höhen vn M, M un M auf P P mit R, R un R Beweismöglichkeit: (Mit Mittelpaallele) Da MR, M R un M R senkecht auf P P stehen, sin sie ueinane paallel Da außeem M e Mittelpunkt vn [M M ] ist, ist MR ie Mittelpaallele u M R un M R Daaus flgt, ass R e Mittelpunkt vn [R R ] ist, h es gilt: RR RR Die Deiecke P Q M, P P M un Q P M sin gleichschenklig, a jeweils wei ihe Seiten Keisaien sin In gleichschenkligen Deiecken ist ie Höhe gleicheitig auch Seitenhalbieene Dahe ist R ie Mitte vn [P Q ], R ie Mitte vn [P P ] un R ie Mitte vn [P Q ] Als gilt: P Q PR ( RR RP ) ( RR RP ) PR PQ Dies wa u eigen Beweismöglichkeit: (Mit Sehnenvieeck) Die Eckpunkte es Vieecks M M P P liegen alle auf em Halbkeis k übe e Stecke [M M ] Es hanelt sich als um ein Sehnenvieeck In einem Sehnenvieeck egänen sich gegenübeliegene Innenwinkel u 80 Mit M M P un P P M gilt als: 80 Da M P Q un Nebenwinkel sin, gilt: 80 - (*) Da MM MP un M P MQ, sin ie Deiecke MP M un M Q P gleichschenklig mit Basiswinkeln un Wegen (*) sin iese beien Deiecke ähnlich ueinane 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite 7 vn 9

8 PQ MP Entspechene Seiten stehen emnach im gleichen Vehältnis, h: MP MM MP Aus M P, M P un MM flgt smit: PQ MP (**) MM Analg ekennt man, ass P M M Q P M un amit ie gleichschenkligen Deiecke MM P un M P Q ebenfalls ähnlich ueinane sin PQ MP Entspechene Seiten stehen emnach im gleichen Vehältnis, h: MP MM MP Aus M P, M P un MM flgt smit: PQ MP (***) MM Aus en Beiehungen (**) un (***) egibt sich nun: P Q PQ Dies wa u eigen Vaiante e Beweismöglichkeit: (Mit Umfangswinkelsat) Die Behauptung kann auch wie flgt bewiesen ween: Die Winkel P M M un P P M sin Umfangswinkel um gleichen Keisbgen übe [P M ] Nach em Umfangswinkelsat ist als Nach em Sat es Thales ist M P M 90 De Winkelsummensat fü as Deieck M M P egibt als: 90 - Ebens ist nach em Sat es Thales M P M 90 Da, M P M un usammen einen gesteckten Winkel egeben, flgt 80 (90 ) 90 - Aus 90 -, 90 - un egibt sich nun Damit ist ie Behauptung bewiesen 3 Beweismöglichkeit: (Mit em Sat vn Pthagas) Mit Q P, P Q, P P, h MR, h MR, MP un MP gilt: () Da ie Deiecke M P Q un M Q P gleichschenklig sin: R P, P R 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite 8 vn 9

9 0 LWM 007/008 Lösungsbeispiele Rune Seite 9 vn 9 () Nach em Sat vn Pthagas in en echtwinkligen Deiecken M P R ( M R P 90 ): h () M M P ( M P M 90 ): ( ) () M P R ( M R P 90 ): h (3) () un (3) in () eingesett, egibt: () (3) Nach em Sat vn Pthagas in en echtwinkligen Deiecken M R P ( P R M 90 ): h (3) M M P ( M P M 90 ): ( ) (3) M R P ( P R M 90 ): h (33) (3) un (33) in (3) eingesett, egibt: (3) Aus () un (3) flgt: