Die Berechnung des Flächeninhalts krummlinig begrenzter Flächen

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1 Die Berechug des Flächeihlts krummliig egrezter Fläche Eiführug i die Itegrlrechug Teil : Die Fläche zwische der Normlprel y = x ud der x-achse im Bereich 0 x Die Fläche sieht us wie ei Dreieck, ei dem die eie Seite etws veroge ist. Näherugsweise köte m die Fläche lso durch ei Dreieck oder z. B. durch ei Dreieck ud ei Trpez äher: D ei eier Flächeerechug mit diese Aschätzuge ur schwer erkt werde k, wie dicht m mit der Schätzug m whre Wert ist, eutze wir ei Verfhre, ds uf de erste Blick ugeuer ussieht, us er leichter ud üersichtlicher s Ziel führe wird. Die Idee ist, die Fläche durch Rechtecke zuäher, dere Seite prllel zu de Koorditechse liege. Alle Rechtecke solle die gleiche Breite he. M k u die Fläche ch ute schätze, idem m solche Rechtecke wählt, die vollstädig uter der Kurve liege, dei er größtmögliche Höhe he. Die Kurve verläuft d durch de oere like Eckpukt der Rechtecke (siehe likes Bild). Die Summe ller dieser Rechtecksflächeihlte et m Utersumme. Nch oe schätzt m die Fläche, idem die Rechtecke die Kurve im etsprechede Aschitt vollstädig ethlte, er kleistmögliche Höhe he. Die Kurve verläuft dei durch de oere rechte Eckpukt der Rechtecke (siehe rechtes Bild). Die Summe ller dieser Rechtecksflächeihlte et m Oersumme. Bevor wir de llgemeie Fll ehdel, ei dem wir eie elieige Azhl vo Rechtecke zulsse, fge wir mit Rechteck uterhl ud Rechteck oerhl ud teile d i weitere Recheschritte lle Itervlle i gleich große Itervlle: Breite der Rechtecke ist : Utersumme: Breite ist ud Höhe ist 0, Flächeihlt lso 0 Oersumme: Breite ist ud Höhe ist, Flächeihlt lso Erste Aschätzug zum gesuchte Flächeihlt A: 0 < A < Der Bereich, i dem der whre Flächeihlt zu suche ist, eträgt och. Wir werde sehe, dss dieser Bereich ei de folgede Rechuge immer eger werde wird. ch ute schätze edeutet: der erechete Flächeihlt ist mit Sicherheit kleier oder höchstes gleich zum whre Flächeihlt ch oe schätze edeutet: der erechete Flächeihlt ist mit Sicherheit größer oder höchstes gleich zum whre Flächeihlt Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite vo 0

2 Breite der Rechtecke ist : Utersumme (likes Bild): Die Höhe der Rechtecke ergee sich us dem Fuktioswert zum x-wert der like Rechteckseite, lso hier ist wege y=x der Fuktioswert immer gleich x. 0 = = 8 Oersumme (rechtes Bild): Die Höhe der Rechtecke ergee sich us dem Fuktioswert zum x-wert der rechte Rechteckseite, lso hier ist wege y=x der Fuktioswert immer gleich x. = = 8 8 = Der Uterschied zwische Oer- ud Utersumme eträgt 8 8 = 8 =. Breite der Rechtecke ist : Utersumme (likes Bild): 0 9 = 09 Oersumme (rechtes Bild): 9 = 9 = = 0 Der Uterschied zwische Oer- ud Utersumme eträgt 0 = =. M sieht: Oer- ud Utersumme sid fst gleich, lediglich ei Summd ist jeweils verschiede, ei der Utersumme der erste Summd ud ei der Oersumme der letzte Summd. Der Wert des letzte Summde ist gleichzeitig der Uterschied zwische Oer- ud Utersumme. D dieser letzte Summd sich immer us ml Breite des Rechtecks ergit, wird der Uterschied ei jeder Itervllhlierug uch hliert, geht lso mit jeder Hlierug weiter gege 0. Der Zähler im Gesmtruch für die Oer- ud Utersumme esteht us de erste Qudrtzhle (wege y=x ) ud der Neer vergrößert sich ei jeder Itervll-Hlierug um ds 8-fche (= ). Mit diese Erketisse k m die Summe für die ächste Hlierug viel scheller ilde: Breite der Rechtecke ist 8 : Utersumme (likes Bild): 0959 = ,7 Oersumme (rechtes Bild): 959 = ,98 Der Uterschied zwische Oer- ud Utersumme eträgt = 5 = 8 Der Flächeihlt liegt lso zwische 0,7 ud 0,98. Rechet m uf diese Art weiter, duert es sehr lge, is m zu wesetlich geuere Ergeisse kommt. Deshl geht es jetzt mit llgemeier Rechug weiter. Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite vo 0

3 Breite der Rechtecke ist : Utersumme: 0 Oersumme: Der Uterschied zwische Oer ud Utersumme ist... =0... = = Aus der Formelsmmlug üerehme wir folgede Formel: i =... = i= Bei eiem Leistugskurs würde sich hier sicher ei Exkurs üer ds Beweise mit Hilfe vollstädiger Iduktio schließe ud schließed köte diese Formel ewiese werde. Wir schiee hier ur eie vertruesildede Mßhme ei, idem wir für =, = ud = die Formel estätige (er dmit türlich icht eweise): i= i= i= i = = ud = = = he dssele Ergeis. i = ==5 ud = 5 i = =9= ud = 0 =5 he dssele Ergeis. = 7 = 8 = he dssele Ergeis. D wir gezeigt he, dss für der Uterschied zwische Oer- ud Utersumme zu 0 wird, reicht es, we wir mit der Oersumme weiter reche, um de Flächeihlt zu estimme. Eisetze der Formel i usere Rechug:... = = Für geht dieser Term gege =. = = Der Flächeihlt der Fläche zwische Normlprel ud der x-achse im Bereich x=0 is x= eträgt lso. Amerkug: Spiegelt m die Normlprel der. Wikelhlierede, so ergit sich im. Qudrte der Grph der Wurzelfuktio mit der Gleichug y= x. A ist der oe weiter erechete Flächeihlt. A muss wege der Spiegelug geu so groß sei. Für A leit d uch ur och dersele Flächeihlt wie für A ud A ürig, d ds Qudrt de Flächeihlt ht ud die eide äußere Flächeteile de Ihlt he: =. Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite vo 0

4 Teil : Die Fläche zwische der Normlprel y = x ud der x-achse im Bereich 0 x Im Teil he wir die Fläche zwische de x-werte 0 ud erechet. Nimmt m sttt des Wertes ls rechte Begrezug der Fläche eie Vrile, so wird sich der Berechug icht viel äder: Wir teile de gesmte Bereich wieder i Teile, die jetzt er jeweils die Breite he, weil die Breite des gesmte Itervlls j eträgt. Die Höhe der Rechtecke ei der Oersumme ereche sich u lso us de Werte,, usw = zu schreie, muss die Berechug der Oersumme deshl u durch folgede Term erfolge: = Sttt wie uf Seite Ds Ergeis ist lso is uf de Fktor ds gleiche wie uf Seite. Der Flächeihlt A der gesuchte Fläche ist lso A=. Teil : Die Fläche zwische der Normlprel y = x ud der x- Achse im Bereich x Währed Teil och Seite umfsst ud ds Ergeis für eie eizige Fläche liefert, ist Teil uf eier hle Seite utergercht ud liefert die Ergeisse für uedlich viele Fläche. Ei gutes Beispiel dfür, dss die Beschäftigug mit eier eue Sche erst eiml viel Eergie eötigt. We m sich d er i die Mterie eigereitet ht, gehe die ächste Schritte viel eifcher. Mche Sie sich ds ruhig uch i dere Zusmmehäge eiml klr ;-) Für die Lösug dieses Prolems komme wir fst ohe Rechug us: Zuächst erechet m de Flächeihlt der Fläche zwische Normlprel ud x-achse zwische x=0 ud x= ud zieht d de Flächeihlt der Fläche vo x=0 is x= dvo : (Flächeihlt vo is ) = (Flächeihlt vo 0 is ) - (Flächeihlt vo 0 is ) Also gilt für de Flächeihlt A: A= Teil : Flächeihltsfuktio i Ahägigkeit vo x Berechet m die Fläche vo x=0 is zu eiem elieige ud vrilem x (m köte für eifch x setze), so erhält m eie Flächeihlts-Fuktio A(x), die i Ahägigkeit vo x de Wert vo A git: Bei der Normlprel mit der Fuktiosgleichug f x=x wird die Fläche zwische Kurve ud x-achse i de Greze vo x=0 is x durch die Flächeihltsfuktio A x= x eschriee. Auf de ächste Seite werde wir sehe, dss zwische f x ud A x ei iteresster Zusmmehg esteht. Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite vo 0

5 Teil 5: Flächeihltsfuktio für Fuktioe des Typs f(x)=x k i Ahägigkeit vo x Gegeüer de Rechuge i Teil ädert sich der Expoet ei der Berechug der Höhe der Rechtecke für die Oer- ud Utersumme. Sttt müsse wir k setze, sttt lso k k k =... k k k k... k k k =k. k Für die Summe mit dem Expoete k git es jeweils eie Summeformel, die m für die Klmmer im x k Neer eisetze k. Ohe Herleitug wird hier gegee, dss sich d k ergit. Für die Werte k=0 ud k= k m ds sehr eifch mit Stoff der Sek.I chweise. Der Nchweis für k= wurde oe geführt. Fll k=0: f x=x 0 = Der Grph der Fuktio ist eie Prllele im Astd zur x-achse. Der Flächeihlt der Fläche zwische dem Grphe ud der x-achse im Bereich vo 0 is x eträgt A x=x, d die Fläche ei Rechteck mit Breite x ud Höhe ist. Nch der Formel ergit sich A x= x k k = x 0 0 = x =x Fll k=: f x=x =x Der Grph der Fuktio ist eie Ursprugsgerde mit der Steigug. Die Fläche zwische Gerde ud x-achse im Bereich vo 0 is x ergit ei rechtwikliges Dreieck mit A x= g h= x x x= Nch der Formel ergit sich A x= x k Als Zwischeergeis köe wir festhlte: k = x = x Potezfuktioe der Art f x=x k mit k N he die Flächeihltsfuktio A x= x k k Amerkug: D diese Eiführug für eie Mthemtik-Grudkurs geschriee wurde, wurde ewusst uf eiige Beweisschritte ud teilweise uch uf Vollstädigkeit ei der Beweisführug verzichtet. Stttdesse wurde mehr Wert uf Aschulichkeit ud Plusiilitätsetrchtuge gelegt. Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite 5 vo 0

6 Teil : Flächeihltsfuktio für eie elieige Fuktio f(x) Versuche wir uch hier eie Term für die Oersumme zu erhlte: Die Rechtecke solle eie Breite der Läge Δx he ud eie Höhe, die sich us dem Fuktioswert der rechte Seite des Rechtecks ergit (siehe geles Beispiel-Rechteck i der Skizze). Die Fläche solch eies Rechtecks eträgt d f x i x, woei ds i die Nummer des Rechtecks git. Git es isgesmt Rechtecke, so ergit sich die Oersumme zu f x x f x x... f x x= f x i x i= Je größer wird, desto kleier wird Δx ud im Grezfll erhält m de exkte Wert des Flächeihlts: A= lim x x 0 i= f x i x= f xdx Die rechte Seite der Gleichug ist eie Kurzschreiweise der like Seite ud wird gelese: Itegrl vo is f vo x dx ud sid hier die x-werte der like ud der rechte Begrezug der zu erechede Fläche. Achtug: I Veridug mit Flächeerechuge gilt diese Defiitio der Kurzschreiweise ur d, we eie stetige ud mooto wchsede Fuktio im Itegrtiosereich vorliegt, ei der die Fuktioswerte lle positiv sid. Ist A(x) der Flächeihlt der Fläche zwische Grph ud x-achse im Bereich vo 0 is x, so k m etspreched wie uf Seite schreie: f xdx=[ A x] = A A Der mittlere Term ist eie Kurzschreiweise für de rechte Term. Teil 7: Beziehug zwische f(x) ud A(x) I der Zeichug rechts ist mit Sicherheit der Flächeihlt des dukelrote Rechtecks kleier ls die Fläche zwische dem Grph ud der x-achse im rot gefärte Bereich ud mit Sicherheit der Flächeihlt des hellrote Rechtecks größer ls die Fläche zwische dem Grph ud der x-achse im rot gefärte Bereich. Der x-wert m like Rd der rote Fläche sei ud m rechte Rd (i der Zeichug gilt =0,5 ud =). D ist die Fläche des dukelrote Rechtecks f ud die Fläche des hellrote Rechtecks f. Die Fläche zwische Kurve ud x-achse ist A A. Es gilt d: f A A f Dividiert m eide Seite durch ( - ), so ergit sich A A f f Es wird hier ur der mooto steigede Teil der Fuktio etrchtet. Für mooto fllede Teile köe die Üerleguge log durchgeführt werde. Es muss d der Fuktioswert der like Seite des Rechtecks verwedet werde. Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite vo 0

7 Nu wird uf eide Seite der Grezwert für geildet: A A lim f lim lim f Etspreched zu f ' x 0 =lim x x 0 gilt hier lim f x f x 0 x x 0 A A = A' Uter Berücksichtigug der Grezwertildug gilt lso für die Ugleichugskette oe: f A' f D die Terme liks ud rechts idetisch sid, muss uch der mittlere Term gleich de eide dere Terme sei. Also gilt A ' = f, oder mit der Vrile x sttt : A ' x= f x Die Gegeüerstellug folgeder zwei Gleichuge zeigt us u de Zusmmehg zwische f(x) ud A(x): f xdx=[ A x] = A A A ' x= f x Um die Lösug des like Itegrls zu fide, muss m lso eie Fuktio suche, die geleitet f(x) git. Oder ders gesgt: Itegriere ich die Fuktio f(x), so erhlte ich die Fuktio A(x). Differeziere ich dgege die Fuktio A(x), so erhlte ich die Fuktio f(x) Itegriere ud Differeziere sid lso etgegegesetzte Recherte (wie Addiere ud Sutrhiere zw. Multipliziere ud Dividiere zw. Poteziere ud Rdiziere (=Wurzelziehe)) Teil 8: Flächeihlt eier Fläche, die sowohl oerhl ls uch uterhl der x-achse liegt Es soll der Flächeihlt der Fläche erechet werde, die vom Grph der Fuktio f x=x x x ud der x-achse vollstädig eigeschlosse wird. I der eestehede Aildug ist diese Fläche rot eigefärt. I eiem erste Versuch wird ds Itegrl vo - is erechet: x x xdx=[ x x x = x = ] = = 8 =0 =0 Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite 7 vo 0

8 Ds Ergeis 0 k offesichtlich icht stimme. Erier wir us, wie wir die Oer- ud Utersumme geildet he: Als Höhe der Rechtecke wurde die Fuktioswerte der Fuktio geutzt. Hier sid die Fuktioswerte im Bereich vo is egtiv, d. h. uch der Flächeihlt müsste sich d ls egtiver Wert ergee. Bechtet m d och, dss die Flächestücke oerhl ud uterhl der x-achse gleich groß sid, wird es klr, dss der positive Flächeihlt vo - is ud der egtive Flächeihlt vo is ddiert 0 ergee. M spricht ei de Zhlewerte, die m ls Mß für de Flächeihlt ekommt, vo positiv orietierte ud egtiv orietierte Flächeihlte. Zur Berechug des (whre) Flächeihlts drf m lso icht so itegriere, dss sich eiige Werte wegsutrhiere. We zu erechede Flächeteile sowohl oerhl ls uch uterhl der x-achse vorkomme, drf m ur vo Nullstelle is Nullstelle itegriere ud muss d die Beträge der sich ergeede Werte ddiere x x xdx=[ x x x x ] = = = = x x x dx=[ x x x x ] = = = = =0 0= Flächeihlt A= ==8 Teil 9: Flächeihltserechug eier Fläche, die vo zwei Grphe eigeschlosse wird. + - Gegee sid die eide Fuktioe f ud g mit de Gleichuge f x=x ud g x= x. Der Flächeihlt (rechts i der Zeichug rötlich eigefärt), der vo eide zugehörige Grphe eigeschlosse wird, soll erechet werde. Dzu müsse wir erst eiml die geue x-werte der Schittpukte vo Prel ud Gerde kee: f x=g x x=x x x =0 x, = ± = ± 9 = ± x = = ; x = = Wir greife uf Bektes zurück ud ereche zuächst de Flächeihlt zwische Gerde ud x-achse im Bereich vo - is ud sutrhiere dvo de Flächeihlt zwische Prel ud x-achse im Bereich vo - is. f xdx g xdx Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite 8 vo 0

9 Erier wir us die usführliche Berechug mit Oer- ud Utersumme: Die sekrechte Strecke der Rechtecke wre die Fuktioswerte. Würde wir hier usere Rechtecke zeiche, so wäre die sekrechte Strecke gleich der Differez der Fuktioswerte der Fuktioe f(x) ud g(x). Wir würde lso folgedes Itegrl erhlte: f x g xdx Wie eim Differeziere dürfe wir uch eim Itegriere ei Itegrl Summd für Summd itegriere ud d die Zwischeergeisse zusmmefsse oder mehrere Itegrle mit desele Greze zu eiem Itegrl zusmmefsse: f xdx g xdx= f x g x dx f x g xdx= x x dx= [ x x = x ] 8 = 9 8= 8=9 Hätte wir sttt f x g xdx ds Itegrl x x dx= x xdx= = 8 = g x f xdx erechet, hätte sich ei egtives Ergeis ergee. Wie i Teil 8 köe sich lso uch ei der Berechug vo Fläche, die vo zwei Grphe eigeschlosse werde, positiv ud egtiv orietierte Flächeihlte ergee. Itegriere drf m deshl ei Flächeerechuge ur vo Schittstelle is Schittstelle. Der Fll Fläche zwische Grph ud x-achse k üriges ls Soderfll vo Fläche zwische zwei Grphe ufgefsst werde, we m die x-achse ls zweite Grph g x=0 iterpretiert. Teil 0: Berechug des Flächeihlts eier vo zwei Grphe egrezte Fläche, we die x-achse diese Fläche scheidet Gegee sid die eide Fuktioe f ud g mit de Gleichuge f x=x ud g x= x. Der Flächeihlt (rechts i der Zeichug rötlich eigefärt), der vo eide zugehörige Grphe eigeschlosse wird, soll erechet werde. Nu liegt ei Teil der Fläche uterhl ud ei Teil oerhl der x-achse. Wird die Berechug ddurch icht sehr kompliziert? Vergleiche wir die Fläche mit der Fläche i Teil 9, so erkee wir, dss die Flächeihlte üereistimme müsse. Wir köe die Fläche lso um Eiheite hee ud ereche d de Flächeihlt der verschoee Fläche. Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite 9 vo 0

10 Sttt f x g xdx ereche wir lso f xc g xc dx= f xc g x c dx= f x g x dx ud sehe, dss sich uch recherisch dersele Wert ergee muss. Bei der Flächeihlts-Berechug vo Fläche, die vo zwei Grphe egrezt werde, k die Lge der x-achse igoriert werde. Teil : Beispiele zur Flächeerechug ei trigoometrische Fuktioe ) Fläche zwische dem Grph vo si x ud der x-achse im Bereich zwische x=0 ud x=π D die Flächestücke oer- ud uterhl der x-achse liege, werde die etreffede Itegrle getret erechet: si x dx=[ cos x ] 0 = cos cos0= 0 == si x dx=[ cos x ] = cos cos = == A= == ) Fläche zwische de Grphe vo si x ud cos x im Bereich vo π/ ud 5π/ Die Kurve vo si x ud cos x scheide sich ei de oe gegeee Werte. Die Lge der x-achse muss icht erücksichtigt werde. Mit f x=si x ud g x=cos x ergit sich: 5 f x g xdx= si x cos x dx= [ cos x si x ] 5 = 5 = =,88 Eiführug i die Itegrlrechug - Flächeihlt eier krummliig egrezte Fläche Seite 0 vo 0