Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)

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1 Spezielle Kurven Steffen Hoheisel, Lara Knott Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 8/9, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Nachdem wir uns zuletzt im Proseminar mit den Eigenschaften von Kurven im Allgemeinen beschäftigt haben, möchten wir nun diese Eigenschaften bei konkreten Kurven betrachten. Als Beispiele dienen uns die Zykloide, die Lemniskate und die Ellipse. Diese Namen klingen, wenn man sie zum ersten Mal hört, recht kompliziert, aber es handelt sich um Kurven, die einem häufig unbewusst begegnen. So ist das Zeichen, das für Unendlich steht, beispielsweise der Lemniskate nachempfunden. Auch das Rechnen mit den Kurven ist nicht schwierig, wenn man den richtigen Ansatz wählt. Anschließend werden wir noch die Evolute einführen. Dabei handelt es sich nicht um eine alleinstehende Kurve, wie bei unseren ersten Beispielen, sondern man kann eine Evolute prinzipiell zu jeder beliebigen Kurve berechnen.

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Spezielle Kurven 4. Benötigte Formeln Die Bogenlänge einer Kurve Der Flächeninhalt unter einer Kurve Die Krümmung einer Kurve Untersuchung von speziellen Kurven Die Zykloide Andere Formen der Zykloide Die Lemniskate Die Ellipse Die Evolute Eigenschaften der Evolute Die Evolute der Zykloide und der Ellipse Resümee 3 4 Anhang 4 4. Berechnung des Integrals von cos Satz über implizite Funktionen Finde die Evolute Abbildungsverzeichnis. Lokomotive Spirograph Zykloide Herleitung der Zykloidengleichung Verkürzte und verlängerte Zykloide Epizykloiden Hypozykloide Lemniskate Ellipse Evolute der Parabel Verdeutlichung von Theorem Zykloide und ihre Evolute Asteroide als Evolute der Ellipse Was gehört zusammen? Lösungen

3 Einleitung Denken wir alle einmal an unsere Kindheit zurück. Welcher Junge hat dem Klischee nach früher nicht mit Eisenbahnen gespielt? Welches Mädchen hat noch nie Mandalas gemalt? Natürlich war damals keinem klar, wieviel Mathematik dahinter steht. Es ist auch nicht offensichtlich, dass bei beiden Spielzeugen, dieselbe Kurve eine Rolle spielt. Betrachtet man beispielsweise einen Spirographen, das ist das Kinderspielzeug, bei dem eine kreisförmige Schablone mit Löchern in einem größeren Kreis mit Hilfe eines Stiftes gedreht wird, so dass ein Mandala ensteht (siehe Abb..). Die Kurve, die dieses Muster beschreibt, ist eine Spezialform der Zykloide (Epizykloide). Eine andere Form der Zykloide (verkürzte Zykloide) tritt auf, wenn man den Weg betrachtet, den der Befestigungspunkt der Pneulstange am Rad einer Dampflokomotive beschreibt. Es lohnt sich also, sich genauer mit dieser Kurve zu befassen. Ähnliche Argumentationen lassen sich auch für die Ellipse und die Lemniskate finden. Schließlich hat die Umlaufbahn unserer Erde die Form einer Ellipse, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet. Und auch die Lemniskate ist außerhalb der Mathematik von symbolischer Bedeutung, zum Beispiel in der Esoterik und bei den Freimaurern. Abbildung.: Lokomotive Abbildung.: Spirograph 3

4 Spezielle Kurven. Benötigte Formeln Wir werden später verschiedene Formeln benutzen um die Bogenlänge, den Flächeninhalt und die Krümmung von verschiedenen Kurven berechnen. Damit diese an den entsprechenden stellen nicht vom Himmel fallen, werden wir in diesem Kapitel noch einmal kurz darauf eingehen, wie man auf diese Formeln kommt... Die Bogenlänge einer Kurve Für die Bogenlänge s gilt allgemein in kartesischen Koordinaten: s = + y dx Liegt die zu betrachdende Kurve zwar in kartesischen Koordinaten aber in Parameterdarstellung in Abhängigkeit von t vor, so gilt: x = x(t) und y = y(t) = f(x(t)) mit dx dy = ẋ und = ẏ. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir außerdem dt dt dy dt = dy dx dx dt = y ẋ y = ẏ ẋ. Jetzt können wir in unserer obigen Formel y substituieren und erhalten: (ẏ ) ẋ s = + ẋ dt = + ẏ ẋ dt Zuletzt wollen wir noch wissen, wie man die Bogenlänge bestimmt, wenn man sich in einem System mit Polarkoordinaten befindet. Hierzu muss man wissen, das bei der Transformation von kartesischen in Polarkoordinaten folgende Beziehung benutzt wird: und damit x = r cos(t), y = r sin(t) ẋ = ṙ cos(t) r sin(t), ẏ = ṙ sin(t) + r cos(t) Setzen wir dies in unsere zuletzt erhaltene Gleichung ein bekommen wir: s = (ṙ cos(t) r sin(t)) + (ṙ sin(t) + r cos(t)) dt = ṙ (cos (t) + sin (t)) + r (sin (t) + cos (t)) dt und letztendlich s = ṙ + r dt. 4

5 .. Der Flächeninhalt unter einer Kurve Wie allgemein bekannt und ähnlich wie bei der Bogenlänge hergeleitet berechnet man den Flächeninhalt A unter einer Kurve f(x) in kartesischen Koordinaten mit: A = f(x) dx = y dx In Parameterdarstellung erhält man durch Substitution leicht: A = y ẋ dt Die Transformation in Polarkoordinaten verläuft analog zu dem Vorgehen bei der Bogenlänge...3 Die Krümmung einer Kurve Anschaulich beschreibt die Krümmung die Geschwindigkeit, mit der sich der Winkel der Kurve (genauer: der Winkel α zwischen der positiven Tangente und der positiven x-achse) verändert. Damit erhalten wir für die Krümmung k unter Berücksichtigung der Kettenregel: k = dα ds = dα dx dx ds = dα dx : ds dx Aus der Gleichung der Bogenlänge erhält man: ds = + y dx. Und da für den Winkel zwischen Tangente und x-achse tan(α) = y und damit α = arctan(y ) sowie erneut mit Hilfe der Kettenregel dα = y ist die Krümmung k dx +y gegeben durch: k = + y y = y + y ( + y ) 3 Die reziproke Krümmung ϱ ist definiert als ϱ =. Ihr Betrag beschreibt gerade den k Radius des dazugehörigen Krümmungskreises (das ist der Kreis, der die Kurve in einem Punkt berührt und dort die gleiche Krümmung besitzt, wie die Kurve). Wir erhalten also für die reziproke Krümmung bei kartesischen Koordinaten: ϱ = k = ( + y ) 3 y Für die Substitution in die Parameterdarstellung bei kartesischen Koordinaten benutzen wir erneut die Beziehung y = ẏ und ẋ y = dy dx = dy dt dt dx = d (ẏ ) dt ẋ ẋ = ẋÿ ẏẍ ẋ ẋ = ẋÿ ẏẍ, ẋ 3 wobei zuletzt die Quotientenregel benutzt wurde. Wir erhalten damit: ϱ = k = ( + ẏ ẋ ) 3 ẋÿ ẏẍ 3 ( + ẏ ẋ ) 3 = (ẋ ) ẋÿ ẏẍ ẋ 3 = (ẋ + ẏ ) 3 ẋÿ ẏẍ 5

6 . Untersuchung von speziellen Kurven.. Die Zykloide Abbildung.: Zykloide Definition. Die Zykloide ist die Kurve, die von einem festen Punkt auf einem Kreis gezeichnet wird, der auf einer Geraden abrollt. Abbildung.: Herleitung der Zykloidengleichung Herleitung der Parameterdarstellung: Als geeigneten Paramter t wählen wir den Winkel, um den der Kreis sich schon fortbewegt hat. Betrachten wir die Zeichnung so erhalten wir unter Berücksichtigung der trigonometrischen Funktionen im Dreieck die folgenden Ausdrücke für x und y, wobei a der Radius des rollenden Kreises (siehe Abb..): y = a ( cos(t)), ẏ = a sin(t), ÿ = a cos(t) x = a (t sin(t)), ẋ = a ( cos(t)), ẍ = a sin(t) 6

7 Nun wollen wir die Bogenlänge s der Zykloide berechnen, wenn sich der Kreis um einen Winkel α gedreht hat: s(, α) = = = = = α α α α α ẋ + ẏ dt (a ( cos(t))) + (a sin(t)) dt a ( cos(t) + cos (t)) + a sin (t) dt a a cos(t) + a cos (t) + a sin (t) dt a ( cos(t)) dt Es gilt: cos(t) = sin ( t ) für α π: α ( ) t s(, α) = a ( sin ) dt α ( ) t α ( ) t = 4a sin dt = a sin dt [ ( )] α t ( α ) = a cos = 4a cos + 4a cos() ( α ) ( α ) = 4a( cos ) = 8a sin 4 Will man nun die Bogenlänge zwischen zwei Spitzen einer Zykloide, also bei einer ganzen Umdrehung des Kreises, berechnen, so muss man α = π einsetzen. Man erhält dann: 8a sin ( π 4 ) ( π ) ( π ) = 8a sin sin = 8a Die Bogenlänge der Zykloide zwischen zwei aufeinanderfolgenden Spitzen ist gleich dem achtfachen Radius des rollenden Kreises. 7

8 Wir berechnen nun den Flächeninhalt J, den die Zykloide mit der x-achse einschließt: J = = π π = a ( yẋ dt (a( cos(t))) dt = a π dt π cos(t) dt + π π ( cos(t)) dt cos (t) dt) Zu den Funktionen im ersten und im zweiten Integral sind die Stammfunktionen bekannt. Da wir die Stammfunktion von cos (t) nicht kennen, berechnen wir diese mit partieller Integration (siehe Anhang). Wir erhalten: [ ] π [ ] π J = a ( t sin(t) + [ t = a (π + π) = 3a π ] π ) Der Flächeninhalt unterhalb eines Zykloidbogens entspricht genau dem dreifachen Flächeninhalt des abrollenden Kreises. Um die reziproke Krümmung ϱ der Kurve zu bestimmen, benutzt man die Formel: ϱ = (ẋ + ẏ ) 3 ẋÿ ẏẍ = (a ( cos(t)) + a sin (t)) 3 a( cos(t))a cos(t) a sin(t)a sin(t) = (a ( cos(t) + cos (t) + sin (t))) 3 a (cos(t) cos (t) sin (t)) = [a ( cos(t) + )] 3 a (cos(t) ) = [a ( cos(t))] 3 a ( cos(t)) = a 3 3 ( cos(t)) 3 a ( cos(t)) = a ( cos(t)) Benutze: cos(t) = sin ( ) t = a ( sin ( t ) ) = 4a ( ) t sin 8

9 .. Andere Formen der Zykloide Abbildung.3: Verkürzte und verlängerte Zykloide Nun betrachten wir noch die Fälle, falls der Punkt, dessen Ortslinie wir verfolgen, innerhalb bzw. außerhalb des abrollenden Kreises liegt. Die dann vorliegenden Zykloide nennt man verkürzte bzw. verlängerte Zykloide (siehe Abb..3). Da es für die Darstellung der Kurve in Paramterform keinen Unterschied macht, ob der Punkt außerhalb oder innerhalb des Kreises liegt, ist die allgemeine Formel für verlängerte und verkürzte Zykloide gleich. Im Vergleich zur gewöhnlichen Zykloide muss man hier eine weitere Variable einführen, da der Abstand des Punktes vom Mittelpunkt nicht gleich dem Radius a des Kreises ist. Wir führen als neue Variable nun b ein, das den Abstand des Punktes zum Mittelpunkt des Kreises bezeichnet. Unter Berücksichtigung der trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck erhält man somit: x = b t a sin(t) y = b a cos(t) Bisher haben wir immer Zykloiden betrachtet, die entstehen wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt. Lässt man ihn hingegen auf einem anderem Kreis abrollen, so erhalten wir eine weitere Spezialform der Zykloide, die Epizykloide. 9

10 Abbildung.4: Epizykloiden Analog dazu kann man den Kreis auch in einem anderen Kreis abrollen lassen. Man erhält nun eine Hypozykloide. Eine solche entsteht zum Beispiel, wenn man mit einem Spirographen ein Mandala zeichnet. Abbildung.5: Hypozykloide Bemerkung. Nur wenn das Verhältnis der Radien ganzzahlig ist, kommt man nach einem Umlauf des Kreises wieder am Anfang an (siehe Abb..4).

11 ..3 Die Lemniskate Abbildung.6: Lemniskate Definition.3 Die Lemniskate ist der Ort aller Punkte P, für die das Produkt der Abstände r und r von den festen Punkten F ( a, ) und F (a, ) den Wert a besitzt. Herleitung der impliziten kartesischen Form einer Lemniskate: Betrachten wir die Grafik der Lemniskate (Abb..6) so sehen wir, dass man mit dem Satz des Pythagoras für r = (x a) + y und für r = (x a) + y erhält. Benutzt man nun die geometrische Definition: r r = a erhält man die Gleichung: (x a) + y (x + a) + y = a [(x a) + y ] [(x + a) + y ] = a 4 x 4 + x y + y 4 a x + a y + a 4 = a 4 (x + y ) a (x y ) = Nun ist es auch bei Lemniskate unser Ziel die Bogenlänge zu berechnen. Dafür benötigen wir aber die Ableitung der Lemniskatengleichung nach y. Da das Auflösen der Gleichung nach y aber sehr umständlich ist, benutzen wir hier den Satz über implizite Funktionen (siehe Anhang). Nach diesem gilt: y = f (x) = F x F y, wobei F x die partielle Ableitung der Funktion F (x, y) nach x und F y die partielle Ableitung nach y ist.

12 In (x, y) = (, ) ist die Berechnung der Ableitung der Lemniskate nicht möglich, da hier F (x, y) = F x = F y = ist und F y aber nach Voraussetzung sein sollte. Anschaulich ist das Problem in (x, y) = (, ), dass durch ihn zwei verschiedene Äste der Lemniskate verlaufen. Wir bestimmen nun die Ableitung y mit der im Satz aufgeführten Formel und unter Berücksichtigung der Kettenregel: F (x, y) = (x + y ) a (x y ) = y = F x = 4x(x + y ) 4a x F y 4y(x + y ) + 4a y Auch ohne explizite Darstellung kann man nun mit dieser Gleichung zum Beispiel die Extrema berechnen: Notwendige Bedingung für Extremstellen: y = 4x(x + y ) 4a x = (i) x = y =, in (, ) kann kein Extremum vorliegen. 4x((x + y ) a ) = (i) x = (ii) x + y = a (ii) Setze x + y = a (I) in F (x, y) ein: Jetzt setzen wir diesen Term in (II) ein: a 4 = a (x y ) a = x y (II) (I) x = a y x = ± a y a = (± a y ) y a = y 4 a = y ±( a) = y Diesen Ausdruck für y in x = ± a y eingesetzt, ergibt: x = ± Somit sind die möglichen Extremstellen: ( (x, y) = ± a a ( a) x = ± a 3 a ) 3, ±

13 Unser eigentliches Ziel ist, die Bogenlänge der Lemniskate zu berechnen, aber unsere Gleichung für y ist immer noch nicht so schön, als dass man gerne mit ihr rechnen würde. Deshalb stellen wir uns die Frage, ob es vielleicht auch noch einfacher geht. Daher bestimmen wir die Gleichung der Lemniskate in Polarkoordinaten. Wir setzen also x = r cos(ϕ) und y = r sin(ϕ) in unsere Gleichung ein: (x + y ) a (x y ) = [(r cos(ϕ)) + (r sin(ϕ)) ] a [(r cos(ϕ)) (r sin(ϕ)) ] = [r (cos (ϕ) + sin (ϕ))] a r (cos (ϕ) sin (ϕ)) = Nun wendet man sin (ϕ) + cos (ϕ) = und die Formel von De Moivre (cos (ϕ) sin (ϕ) = cos(ϕ)) an. r 4 a r (cos(ϕ)) = r = a (cos(ϕ)) Um die Bogenlänge der Lemniskate zu berechnen benutzen wir die Formel s = r + ṙ dt. Die Lemniskate in Polarkoordinaten war gegeben durch: r = a cos(t) r = a cos(t) ṙ = a sin(t) a cos(t), wobei wir statt dem Parameter ϕ wieder den uns bekannteren Parameter t verwendet haben. Wir erhalten: s = r + ṙ dt = a cos(t) + (a ) sin (t) dt a cos(t) = a cos (t) cos(t) = a = a cos(t) dt sin (t) dt, + a sin (t) dt cos(t) da cos(x) = sin ( x). Wir substituieren nun u = tan(t) (t = arctan(u), dt = ). Da wir aber kein tan(t) du +u in unserem Term haben, formen wir zunächst geeignet um: u = tan (t) = sin (t) cos (t) = sin (t) sin (t) u u sin (t) = sin (t) u = sin (t)( + u ) sin (t) = u + u 3

14 Damit ist unsere Bogenlänge nach der Substitution: s = a u +u = a = a = a = a + u du ( + u ) u ( + u ) du ( + u )(( + u ) u ) du ( + u )( u ) du u 4 du Damit sind wir eigentlich schon am Ende unserer Rechnung, da wir es mit einem sogenannten elliptischen Integral zu tun haben, das sich nicht analytisch lösen lässt. Auch wenn wir aus dem unbestimmten Integral ein bestimmtes Integral machen, indem wir die Bogenlänge einer Schleife der Lemniskate betrachten, also den Winkel t von π 4 bis π laufen lassen, sodass u von bis läuft, können wir das Integral nicht so einfach 4 lösen: s = a du u 4 Doch unsere vorherige Rechnung war dennoch nicht umsonst, da wir dadurch die Bogenlänge auf ein besonderes elliptisches Integral, dem Fagnano-Integral zurückgeführt haben. Es gibt sehr viele Mathematiker, die sich mit dem Problem des Lösens von elliptischen Integralen und auch diesem speziellen elliptischen Integral beschäftigt haben. Unter anderem hatte sich auch Carl Friedrich Gauss 976 im Alter von 9 Jahren mit unserem Integral beschäftigt. Mit Hilfe der von ihm eingeführten Lemniskatischen Konstanten ϖ := dt =, t 4 erhalten wir unter Berücksichtigung, dass unser Integral offensichtlich symmetrisch ist: s = a du = a u 4 u 4 du = a ϖ 3, 78a Die Bogenlänge einer Lemniskatenschleife ist also ca. 3,7 mal so groß wie der Abstand zwischen den Brennpunkten F bzw. F und dem Ursprung. 4

15 ..4 Die Ellipse b r Abbildung.7: Ellipse Definition.4 Die Menge aller Punkte P, für die die Summe der Abstände r und r zu zwei gegebenen Punkten F und F gleich a ist. Zu beachten ist hierbei, dass a nicht wie bei der Lemniskate den Abstand zwischen dem Ursprung und den Brennpunkten F und F beschreibt. Dieser wird bei der Ellipse als Exzentrizität e bezeichnet. Hier beschreibt a hingegen die Länge der großen Halbachse und b die Länge der kleinen Halbachse. Für die Gleichung der Ellipse in kartesischen Koordinaten erhalten wir: r + r = a (e + x) + y + (e x) + y = a (e + x) + y = a (e x) + y (e + x) + y = 4a 4a (e x) + y + (e x) + y e + ex + x + y = 4a 4a (e x) + y + e ex + x + y 4ex = 4a 4a (e x) + y a ex a = (e x) + y a ex + e x a = e ex + x + y a e = ( e a )x + y = a e a x + y = x a + y a e 5

16 Betrachtet man den Fall x = und somit y = ±b, so sieht man, dass dann r = r gelten muss und somit r = a r = a gilt. Es gilt also: b + e = r = a und somit a e = b. Wir erhalten also letztendlich für unsere Ellipse: x a + y b = Dies ist allerdings die implizite Form. Da wir auch von der Ellipse die Bogenlänge bestimmen wollen, benötigen wir aber y. Deshalb lösen wir die obige Gleichung nach y auf. x a + y b = y = b x b y = b a a (a x ) y = b a x a Nun berechnen wir mit dieser Gleichung die Ableitung von y: y = b a x a x = b x a a x Damit ergibt sich für die Bogenlänge der Ellipse: s = + y dx = + b x a a x dx = a a + b x a x dx = a a4 a x + b x a x dx = a a4 (a b )x a x dx = a a a ( b ) x a a dx = x a ( b ) x a a x a Nun nennen wir b = κ und substituieren nach der Substitutionsregel x = ξ. a a (ξ = x, dξ = ) a dx a κ s = ξ κ ξ a dξ = a ξ κ ξ ξ dξ. Wir substituieren erneut, diesmal mit sin(ϕ) = ξ. (ϕ = arcsin(ξ), dϕ = dξ ξ ) κ sin (ϕ) s = a κ sin (ϕ) ξ dϕ = a κ sin (ϕ) dϕ ξ Wie schon bei der Bogenlänge der Lemniskate haben wir es wieder mit einem elliptischen Integral zu tun. Dies ist nicht weiter verwunderlich, denn schließlich hat dieser Integraltyp seinen Namen genau aus diesem Grunde erhalten. Ein halber Ellipsenbogen verläuft von a x a bzw. ξ und letztendlich von π ϕ π. Für a = und b = erhalten wir beispielsweise numerisch für die Bogenlänge eines halben Ellipsenbogens einen Wert von: s = a π π κ sin (ϕ) dϕ = π π 3 4 sin (ϕ) dϕ 4, 844 dx 6

17 .3 Die Evolute Wir wissen, dass die Krümmung von Kurven durch Krümmungskreise angegeben werden kann. Der Krümmungsmittelpunkt, also der Mittelpunkt eines solchen Kreises ist in Parameterdarstellung (abhängig vom Parameter t) mit den Koordinaten ξ und η gegeben durch: ẏ ξ = x ϱẋ + ẏ ẋ η = y + ϱẋ + ẏ Hierbei steht x bzw. y für die Koordinaten der Kurve, ϱ ist bekanntermaßen der Radius des Krümmungskreises, ẏ bzw. ẋ geben die Richtung des Radius an (senkrecht zur Tangente) und ẋ + ẏ ist für die Normierung zuständig, sodass wir gerade am Kreismittelpunkt ankommen. Alle Krümmungsmittelpunkte zusammen ergeben eine neue Kurve, die Evolute. Definition.5 Die Evolute einer Kurve ist die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn der Berührpunkt auf der Kurve entlang wandert. Man kann die Bogenlänge s als Parameter benutzen, was das rechnen deutlich vereinfacht. Wir wissen, dass die Bogenlänge durch s = ẋ + ẏ dt gegeben ist, sodass ( ) ds = ẋ + ẏ =. dt Damit erhalten wir für unsere Evolute in Abhängikeit vom Parameter s: ξ = x ϱẏ η = y + ϱẋ Diese Vereinfachung werden wir auch im Folgenden weiter nutzen..3. Eigenschaften der Evolute Theorem.6 Die Kurvennormale berührt die Evolute im Krümmungsmittelpunkt oder Die Evolute ist die von den Normalen eingehüllte Kurve. Beweis: ẋ + ẏ = ẋẍ + ẏÿ = ẋẍ + ẏÿ = k = ( ϱ = ẋÿ ẏẍ = ẋÿ ẏẍ = ÿ ẋ ẏ ẍ ) ( = ÿ ẋ + ẏ ẏ ) = ÿ (ẋ + ) ẋ (ẋ + ẏ ) 3 ÿ ẋ ẋ = ÿ (ẋ + ẋ ) ẋ = ÿ ẋ = ẍ ẏ 7

18 ϱÿ = ẋ sowie ϱẍ = ẏ, wobei wir hierbei ẋ + ẏ = ẏ = ẋ und ẋẍ + ẏÿ = ẋẍ = ẏÿ ẍ = ẏ ẍ = ÿ verwendet haben. ÿ ẋ ẏ ẋ Aus ξ = x ϱẏ, η = y + ϱẋ folgt damit: ξ = ẋ ϱÿ ϱẏ = ϱẏ η = ẏ + ϱẍ + ϱẋ = ϱẋ Letztendlich erhalten wir: ϱẏẋ + ϱẋẏ = ξẋ + ηẏ = Da die Gleichung für ξ = ẏ und η = ẋ erfüllt ist, können wir hieraus ablesen, dass die Tangenten an die Evolute gerade die Normalen der zur Evolute gehörigen Kurve ist, was identisch zu den zu beweisenden Aussagen ist. q.e.d. Abbildung.8: Evolute der Parabel Bemerkung.7 Wenn einem der letzte Schritt des Beweises nicht sofort einsichtig ist, kann man beispielsweise den Winkel zwischen Tangente der Evolute und der Normalen der Kurve durch einen Punkt (x, y) betrachten: Allgemein gilt für den Winkel δ zwischen den Tangenten zweier Kurven cos(δ) = ẋx + ẏy ẋ + ẏ x + y. Für den Winkel zwischen den Tangenten von Evolute und Kurve erhalten wir also cos(δ) = ẋ ξ + ẏ η ẋ + ẏ ξ + η = δ = 9. Damit ist also der Winkel zwischen Tangente der Evolute und der Normalen der Kurve und da sie durch einen gemeinsamen Punkt gehen, ist die Tangente an die Evolute gleich der zugehörigen Normalen der Kurve. 8

19 Grafisch lässt sich dieses Theorem leicht einsehen, wenn man die Evolute nach obiger Definition konstruiert und dann die Normalen der Ursprungskurve einzeichnet (siehe Abb..8). Wir wollen nun eine weitere Eigenschaft der Evolute betrachten: Theorem.8 Die Bogenlänge der Evolute zwischen zwei Punkten ist gleich der Differenz der zugehörigen Krümmungsradien, solange für den betreffenden Bogen gilt: ϱ. Beweis: Sei σ die Bogenlänge der Evolute von einem beliebigen Anfangspunkt aus. Dann gilt: ( ) dσ = σ = ds ξ + η = ( ϱẏ) + ( ϱẋ) = ϱ ( ẏ + ẏ ) = ϱ Wenn man den Anfangspunkt der Zählung der Bogenlänge geeignet wählt und ϱ ist, gilt: σ = ϱ σ = ϱ σ σ = ϱ ϱ (wobei im letzten Schritt integriert wurde). q.e.d. Abbildung.9: Verdeutlichung von Theorem.8 Bemerkung.9 Die Bedingung ϱ ist notwendig, da sonst ϱ beim Überschreiten dieses Punktes das Vorzeichen ändern würde und damit auch die Bogenlänge nicht normal weitergezählt würde. Um dies zu verhindern, kann man nach dem Überwandern des entsprechenden Punktes mit dem umgekehrten Vorzeichen des Krümmungsradius weiterrechnen, also σ = ϱ. 9

20 .3. Die Evolute der Zykloide und der Ellipse Da wir uns bereits mit Zykloide und Ellipse beschäftigt haben, betrachten wir nun als Beispiele die Evoluten dieser beiden Kurven: Die Zykloide war gegeben durch: x = a(t sin(t)), y = a( cos(t)), wobei wir hier der Einfachkeit halber mit der Zykloide rechnen, die entsteht wenn ein Einheitskreis (Radius a = ) abrollt, also gilt: x = t sin(t), ẋ = cos(t), ẍ = sin(t) y = cos(t), ẏ = sin(t), ÿ = cos(t) Für die Evolute der Zykloide erhalten wir damit (man beachte, dass wir nun wieder mit t als Parameter rechnen und dass der Krümmungsradius durch ϱ = = (ẋ +ẏ ) 3 k ẋÿ ẏẍ gegeben ist): ẏ ξ = x ϱẋ + ẏ = x ẏ ẋ + ẏ ẋÿ ẏẍ ( cos(t)) + sin (t) = t sin(t) sin(t) ( cos(t)) cos(t) sin (t) = t sin(t) sin(t) cos(t) + cos (t) + sin (t) cos(t) cos (t) sin (t) = t sin(t) sin(t) cos(t) + cos(t) (cos(t) ) = t sin(t) sin(t) cos(t) = t sin(t) + sin(t) = t + sin(t) ẋ η = y + ϱẋ = y + ẋ ẋ + ẏ + ẏ ẋÿ ẏẍ ( cos(t)) + sin (t) = cos(t) + ( cos(t)) ( cos(t)) cos(t) sin (t) = cos(t) + ( cos(t))( ) = cos(t) + cos(t) = + cos(t) Die so erhaltenen Evolutengleichungen scheinen denen der Zykloide selbst sehr zu ähneln. Ersetzen wir t durch τ + π erkennen wir, dass wir es wieder mit einer Zykloide zu tun haben: ξ = t + sin(t) = τ + π + sin(τ + π) = τ + π sin(τ) ξ π = τ sin(τ) η = + cos(t) = + cos(τ + π) = cos(τ) η + = cos(τ)

21 Die Evolute der Zykloide ist also wiederum eine Zykloide, die um π in x-richtung und um - in y-richtung verschoben ist. Die untere Evolute in Abb.. ist also die Evolute zur oberen Zykloide. Abbildung.: Zykloide und ihre Evolute Um die Evolute der Ellipse zu bestimmen benutzen wir wie auch bei der Zykloide die Parameterdarstellung. Wir wissen bereits: und erhalten für die Evolute: x = a cos(t), ẋ = a sin(t), ẍ = a cos(t) y = b sin(t), ẏ = b cos(t), ÿ = b sin(t) ξ = x ẏ ẋ + ẏ ẋÿ ẏẍ = a cos(t) b cos(t) a sin (t) + b cos (t) ab sin (t) + ab cos (t) = a cos(t) b ab cos(t)(a ( cos (t)) + b cos (t)) = a cos(t) a cos(t)(a a cos (t) + b cos (t)) = a cos(t) a cos(t) a cos(t)(( a + b ) cos (t)) = a b a cos 3 (t)

22 η = y + ẋ ẋ + ẏ ẋÿ ẏẍ = b sin(t) a sin(t) a sin (t) + b cos (t) ab sin (t) + ab cos (t) = b sin(t) a ab sin(t)(a sin (t) + b ( sin (t))) = b sin(t) b sin(t)(a sin (t) + b b sin (t)) = b sin(t) b sin(t) b sin(t)((a b ) sin (t)) = a b b sin 3 (t) Wollen wir nun die Gleichung der Evolute in impliziter Form unabhängig von t angeben, so müssen wir t eliminieren: ξ = a b a η = a b b cos 3 (t) sin 3 (t) & cos (t) = ( aξ a b ) 3 & sin (t) = ( bη a b ) 3 = ( bη a b ) 3 aξ ( a b ) bη 3 + ( a b ) 3 = (aξ) 3 + (bη) 3 = (a b ) 3 Kurven solcher Form werden Asteroide genannt. Wie in Abb.. verdeutlicht, ist die Evolute einer Ellipse also eine Asteroide. Abbildung.: Asteroide als Evolute der Ellipse

23 3 Resümee Mit Blick auf die Arbeit haben wir festgestellt, dass man nicht vergessen sollte, dass es verschiedene Darstellungweisen von Kurven gibt. D.h. man sollte nicht immer versuchen, mit der vorliegenden Darstellung zu rechnen, weil es mit einer anderen Darstellung eventuell einfacher ist. Es kann sogar vorkommen, dass man manche Dinge nicht mit der kartesischen Darstellung, die vielen am vertrautesten ist, berechnen kann. Besonders interessant fanden wir, dass die Paramterdarstellung für uns bisher so eine geringe Bedeutung hatte, obwohl sie, wie beim Beispiel der Zykloide, häufig mit mathematischen Grundkenntnissen hergeleitet werden kann, wenn man eine geeignete Skizze vorliegen hat. Mit Hilfe einer Skizze kann man auch oft die Evolute einer Kurve konstruieren, ohne rechnen zu müssen. Allerdings gibt es auch knifflige Fälle. So ist jeder Leser, der Herausforderungen mag, dazu angehalten, die Evolute der gerade kennengelernten Lemniskate zeichnerisch zu bestimmen. Ansonsten kann sich jeder nochmal an dem Evoluten-Memory im Anhang versuchen. 3

24 4 Anhang 4. Berechnung des Integrals von cos π cos (t) dt = Wir benutzen die partielle Integration: Definiere: π cos(t) cos(t) dt = π cos(t) cos(t) dt u := cos(t) u = sin(t) v := cos(t) v = sin(t) = + = [ ] π cos(t) sin(t) π π + sin (t) dt = π π π cos (t) dt sin(t) sin(t) dt cos (t) dt π π cos (t) dt = cos (t) dt = π π dt dt = [ ] π t 4

25 4. Satz über implizite Funktionen Satz über implizite Funktionen: Ist F (x, y) eine Funktion von x und y mit stetigen Ableitungen F x und F y und ist an der Stelle (x, y ) die Gleichung F (x, y ) = erfüllt, während die partielle Ableitung F y (x, y ) dort von Null verschieden ist, so lässt sich um x herum in der x-richtung ein Intervall x x x so abgrenzen, dass in ihm durch die Gleichung F (x, y) = in eindeutiger Weise eine stetige Funktion y = f(x) bestimmt ist. Für diese Funktion gilt an der Stelle x die Gleichung y = f(x ) und an jeder Stelle des genannten Intervalles ist die Gleichung F (x, f(x)) = erfüllt. Die Funktion y = f(x) ist differenzierbar, und ihre Ableitung wird durch die Gleichung geliefert. y = f (x) = F x F y Beispiel für den Satz über implizite Funktionen: Der Kreis ist implizit gegeben durch: F (x, y) = x + y = F x = x F y = y y = x y Überprüfung durch einfaches Auflösen nach y um die explizite Form zu erhalten: x + y = y = x y = x y x = x x y = x y = x y aus R. Courant, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 5

26 4.3 Finde die Evolute... Abbildung 4.: Was gehört zusammen? 6

27 Abbildung 4.: Lösungen 7

28 Literatur [] R.Courant: Vorlesungen über Differential und Integralrechnung Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 4.Auflage, 97 [] R.Courant: Vorlesungen über Differential und Integralrechnung Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 3.Auflage, 963 [3] Konrad Königsberger: Analysis Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York..., 5.Auflage, 4 [4] (7..8) [5] (7..8) [6] (7..8) [7] (7..8) [8] (7..8) Abbildungen: Abb..: (7..8) Abb..: (7..8) Abb.. und.: (7..8) Abb..3: (7..8) Abb..4: (7..8) Abb..5: (7..8) Abb..6: (7..8) Abb..7: (7..8) Abb..8 und.9: (7..8) Abb..: R.Courant: Vorlesungen über Differential und Integralrechnung (S.67) Abb..: (7..8) Abb. 4. und 4.: selbst gezeichnet 8