Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnungen mit Integralen

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1 Flächenberechnungen mit Integralen Aufgabe 1: Gegeben sei die Funktion = 44. = 44 Aufgaben und Lösungen a) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve und der Achse und zwischen den Geraden =1und =4. c) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve und der Achse im Intervall 4;5, Lösung Aufgabe 1 a): Fläche, die die Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt. = 44 Nullstellen mit pqformel: 44=0 4 4=0 Fläche: = 44 = 4 =8,418 0 =8,418 LE = 44, =± 44 = 8; = 8

2 5 6 Lösung Aufgabe 1 b): Fläche zwischen Kurve, Achse und den Geraden =1und =4 Lösung Aufgabe 1 c): Fläche zwischen der Kurve und der Achse im Intervall 4;5,5. = 44 = 4 = 316 ( 4) =6 5 =1 %& = In diesem Fall liegt ein Flächenstück oberhalb und ein Flächenstück unterhalb der Achse. Wir müssen daher die Flächen und getrennt berechnen und jeweils die Beträge nehmen, damit es beim Zusammenzählen nicht zu Auslöschungen kommt. = ,5 7 8 Lösung Aufgabe 1 c): Fläche zwischen der Kurve und der Achse im Intervall 4;5,5. Die Nullstelle = 8ist bereits aus Teilaufgabe 1a) bekannt. = 44 Aufgabe : Gegeben sei die Funktion = 3 3. = 3 3 ),) 44 =1,75 44 =,38 = =3,13 %& (Ergebnis auf Stellen gerundet). 4 5,5 a) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve mit der Achse einschließt zwischen den Geraden =und =3. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve und der Achse zwischen der ersten und der letzten Nullstelle. c) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve, der Achse und zwischen den beiden Extrempunkten.

3 9 10 Lösung Aufgabe a): Fläche zwischen =und =3: Bei =3hat ()einen Nullstelle. Zwischen =und =3verläuft der Graph von unterhalb der Achse. Für die Flächenberechnung mit dem Integral müssen wir also den Betrag nehmen. = 3 3 = Lösung Aufgabe b): Fläche zwischen erster und letzter Nullstelle Durch einfaches Raten findet man die Nullstellen bei =, =1und =3. Da zwischen =und =3der Graph von teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der Achse verläuft, müssen wir die beiden Teilflächen einzeln berechnen und für das Flächenstück unterhalb der xachse den Betrag nehmen. = = * 3 = 0 =,5 %& Somit gilt: = = 11 1 = ' 3 3 = 3 =, * =4 = ' 3 3 = 3 = *, =4 1 3 Lösung Aufgabe c): Fläche zwischen den beiden Extrempunkten Wie vorher müssen zwei Teilflächen berechnet und anschließend die Beträge gebildet werden. Zuerst aber werden die Koordinaten von und.bestimmt: / =3 6=0 :3 =0 pqformel = Somit gilt: = =8 %&, =1± 1 =1± also 0,15bzw.,15

4 13 14 = ',) = 3 3 Aufgabe 3 Gegeben seien die Funktionen = 3,) = 1,75 0,46 =,1,) = ' = 3,) = 0,46,75 =,1 1 3 Somit gilt: = =4,4 %& (Ergebnisse auf Stellen gerundet!). = 41und =. a) Berechnen Sie die Fläche zwischen beiden Kurven im Intervall 1;3. b) Berechnen Sie die Fläche zwischen beiden Kurven und zwischen den beiden Schnittpunkten Lösung zu Aufgabe 3 a) Fläche zwischen beiden Kurven im Intervall 1; 3 Da im Intervall 1;3 ()die obere und die untere Kurve ist folgt: * = * = 9 3 * = * =6 %& = 41, = =1 =3 Lösung zu Aufgabe 3 b) Fläche zwischen den Schnittpunkten der Kurven Schnittpunkte: 41= * 1=0, = * ± 0,3bzw. 4,7 pqformel = 41, =

5 17 18 Lösung zu Aufgabe 3 b) Fläche zwischen den Schnittpunkten der Kurven,,,,,, *,, = *, =10,8 0,1 =10,9 %& = 41, = Aufgabe 4: Gegeben sei die Funktion = a) Die Nullstellen und und der Hochpunkt von () bilden ein Dreieck. Berechnen Sie die Fläche dieses Dreiecks. b) Wieviel Prozent beträgt diese Dreiecksfläche in Bezug auf die Fläche zwischen ()der Achse und zwischen und? c) Die Gerade =0,0,8schneidet von ()bei ein Käppchen ab. Wie groß ist die Fläche dieses Käppchens? 19 0 Lösung zu Aufgabe 4 a) Fläche des Dreiecks Schritt 1: Nullstellen raten Man sieht, dass für 0auch >0ist, also müssen die Nullstellen negativ sein Wir prüfen z.b. =: =616=0 Wir prüfen weiter = und = 3: = 84 6=0 3 = =0 Damit sind = 3und = die ersten beiden Nullstellen von (). = Lösung zu Aufgabe 4 a) Schritt : Hochpunkt bestimmen =3 111=0 :3 4 =0 pqformel, = ± 4 =,58; =,4 Mit =61und //,58 <0 ist =,58die xkoordinate des Hochpunkts. Mit ( )=0,38folgt nun (,58 0,38). = 6 116

6 1 Lösung zu Aufgabe 4 a) Schritt 3: Fläche des Dreiecks = Lösung zu Aufgabe 4 b) Prozentanteil der Dreiecksfläche = = h hist die Koordinate von, also h =0,38 = 3 =1 Es folgt = 1 0,38=0,19 %& (,58 0,38) h Schritt 1:Fläche zwischen und = 6 =,5 =0,5 %& Schritt : Prozentanteil := ; =,* =0,76, also :=76%. ;,) Ergebnis:Das Dreieck bedeckt etwa 76%der Fläche zwischen den ersten beiden Nullstellen des Graphen von (). 3 Lösung zu Aufgabe 4 c) Fläche des Käppchens = =0,0,8 Schritt 1: Schnittpunkte bestimmen 6 116=0,0,8 Taschenrechner: =,86; =,38 Schritt : Fläche bestimmen,, =0,034 %& (z.b. mit GTR: fnint(y 1 Y,X,.86,.38) nach vorheriger Eingabe von und im YEditor bei Y 1 bzw. Y )

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