Trigonometrie. bekannte Zusammenhänge. 4-Streckensatz: groß/klein = groß/klein. Zusammenhänge im allgemeinen Dreieck:

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1 Trigonometrie bekannte Zusammenhänge 4-Streckensatz: groß/klein = groß/klein Zusammenhänge im allgemeinen Dreieck: Summe zweier Seiten größer als dritte Seitenlänge: a + b > c Innenwinkelsumme: Summe der drei Innenwinkel ergibt 180 Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber Im rechtwinkliges Dreieck Katheten, Hypotenuse Hypotenuse längste Seite Satz d. Pythagoras: Die Summe der beiden Katheten zjm Quadrat ist genauso groß wie das Quadrat der Hypotenuse. a 2 + b 2 = c 2

2 Maßstab in cm: 1:1 (x), :1 (y) δ = 0 α = 54 AB' AB = AC' AC = B'C' BC = = =1.95 AB'=5.86cm AB=3cm B'C'=8.06cm BC=4.13cm C' umgeformt folgt: Bedingung: Bezeichnungen AC'=9.96cm AC=5.1cm C α A B B'

3 Maßstab in cm: 1:1 (x), :1 (y) δ = 0 α = 54 AB' AB = AC' AC = B'C' BC = = =1.95 AB'=5.86cm AB=3cm B'C'=8.06cm BC=4.13cm AC'=9.96cm AC=5.1cm C C' umgeformt folgt: Bedingung: In allen rechtwinkligen Dreiecken mit gleichem α gilt: Bezeichnungen BC AC = B'C' AC' = Gegenkathete Hypotenuse = = =0.81 sin(α) = Gegenkathete Hypotenuse =konstant AB AC = AB' AC' = Ankathete Hypotenuse =0.59 cos(α) = Ankathete Hypotenuse =konstant α A B B' BC AB = B'C' AB' = Gegenkathete Ankathete =1.38 tan(α) = Gegenkathete =konstant Ankathete

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9 Fläche allg. Dreieck γ C b a Fläche ABC = 16.54cm² A α c β B h Berechne A mit c h Berechne A mit b h Berechne A mit b = 7.75cm a a = 4.53cm c = 7.55cm c = 7.55cm b = 7.75cm a = 4.53cm α =34.4 γ =70.39 β =75.2 sinus sinus sinus Flächenberechnung: Flächenberechnung: Flächenberechnung Zusammenfassung: Berechne den Flächeninhalt des obigen Dreiecks mit der hergeleiteten Formel auf drei verschiedene Arten:

10 Fläche allg. Dreieck γ C b a Fläche ABC = 16.54cm² A α c h c = 4.38 β B h Berechne A mit c h Berechne A mit b h Berechne A mit b = 7.75cm a a = 4.53cm c = 7.55cm c = 7.55cm b = 7.75cm a = 4.53cm α =34.4 γ =70.39 β =75.2 sinus sinus sinus Flächenberechnung: Flächenberechnung: Flächenberechnung A = 0,5 * c * h c h c = b * sin(α) A = 0,5 * c * b * sin(α) A = 0,5 * b * a * sin(γ) A = 0,5 * a * c * sin(β) Zusammenfassung: Für jedes Dreieck gilt: Fläche = 0,5 * seite1 *seite2 * sin(eingeschlossener Winkel) A = 0,5* a * b * sin(γ); A = 0,5 * b *c * sin(α); A = 0,5 * a * c * sin(β) Berechne den Flächeninhalt des obigen Dreiecks mit der hergeleiteten Formel auf drei verschiedene Arten:

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12 Maßstab in cm: 1:1 Einfache Berechnungen mit dem Sinussatz (alle Streckenlängen sind in cm angegeben) a) Berechne die Fläche des Dreiecks: Ergebnis: A B 1 C 1 c) Berechne den fehlenden (roten) Winkel: Ergebnis: B A 3 C b) Berechne die fehlende (rote) Größe des Dreiecks: Ergebnis: C 2 A d) Berechne das Maß des fehlenden (roten) Winkels. Ergebnis: C B 4 A B 2

13 Maßstab in cm: 1:1 Einfache Berechnungen mit dem Sinussatz (alle Streckenlängen sind in cm angegeben) a) Berechne die Fläche des Dreiecks: Ergebnis: A = 5.88cm² A B 1 C 1 c) Berechne den fehlenden (roten) Winkel: Ergebnis: Winkel = 31.9 B A C b) Berechne die fehlende (rote) Größe des Dreiecks: Ergebnis: Steckenlänge =5.08cm C 2 A d) Berechne das Maß des fehlenden (roten) Winkels. Ergebnis: Winkel = C B 4 A B 2

14 Einführung Kosinussatz Beispiel Berechnung Seitenberechnung (die mit Sinussatz nicht funktioniert) --> Kosinussatz Beispiele zur Seitenberechnung mit Kosinussatz Winkelberechnung mit Kosinussatz --> Umformung Beispiele, bei den Hilfsgrößen im Dreieck berechnet werden muss

15 Maßstab in cm: 1:1 s 2 = 5.63 θ = Kosinussatz s 1 = 4.32 g 1 (g 1 )² = r.s. (g 1 )² = (g 1 )² = = r.s. r.s. l.s. und r.s. C Kosinussatz für gegenüberliegende Seite: A b = 3.05 γ a = 4.34 Aufgelöst nach cos(γ): c = 5.47 B =>

16 Maßstab in cm: 1:1 s 2 = 5.63 θ = Kosinussatz s 1 = 4.32 (g 1 )² = g 1 (s 1 )² + (s 2 )² - 2 * (s 1 ) * (s 2 ) * cos(θ) r.s. (g 1 )² = (g 1 )² = (4.32)² + (5.63)² - 2 * (4.32) * (5.63) * cos(77.31 ) 39.68cm 2. r.s. r.s. g 1 = 6.3 cm l.s. und r.s. A b = 3.05 γ C a = 4.34 Kosinussatz für gegenüberliegende Seite: c² = a² + b² - 2*a*b*cos(γ) Aufgelöst nach cos(γ): cos(γ)= c²-a²-b² -2*a*b c = 5.47 B cos(γ) = => γ = 93.8

17 Berechnungen in Dreiecken Beispielaufgaben

18 Maßstab in cm: 1:1 Berechne die fehlende Größe in den allgemeinen Dreiecken B E I c = 3.08 a = 3.67 f = 3.46 d h = 3.82 δ A α β = C D F G γ = b = 4.35 e = 4.85 i = 4.26 L H O R k = 3.02 j = 4.44 n = 3.53 η p = 2.6 m = 3.65 J ε = K M ζ = ι l P θ = Q N r = 3.34 U C 1 ξ = Z t w µ = b 1 S κ = λ = u = 4.58 T V ν = W ο = z = 5.24 A 1 c 1 = 2.66 B1 Ergebnisse: α = ; d = 3.89 cm ; δ = ; l = 4.9 cm; η = ; ι = t = 4.4 cm; w = 3.69 cm; b 1 = 4.84 cm

19 Mathematik II Haupttermin Aufgabe P 3 P 3 In einem ebenen, unzugänglichen Sumpfgebiet befinden sich die Messpunkte P und Q. Von einem zugänglichen Punkt A, der auf einer Geraden mit den Punkten P und Q liegt, wurde eine Strecke [AB] abgesteckt. In der nebenstehenden Skizze sind die gemessenen Maße eingetragen. A P ,0 m 110 B Q Berechnen Sie die Länge der Strecke [PQ]. 5 P Seite 4

20 2 P 3 PQ = AQ AP AP AB = sin 35 sin(180 ( )) 60,0 sin 35 AP = m AP = 34,5 m sin85 AQ AB = sin110 sin(180 ( )) 60,0 sin110 AQ = m AQ = 324,7 m sin10 PQ = 324,7 m 34,5 m PQ = 290,2 m 5 19 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

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