10 Anwendungen der Integralrechnung

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1 9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung wurde mit dem Ziel der Flächenerechung eingeführt; diese ist dher die erste, er nicht die einzige nwendungsmöglichkeit der Integrle Weitere Flächenerechnungen f ( ) Zu zwei Funktionen f ( ) und f ( ) soll die Mßzhl der Fläche zwischen den Kurven von f ( ) und f ( ) zwischen den Stellen und estimmt werden f ( ) Dei gelte zunächst für lle ε ; f ( ) > f ( ) Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie f ( ) f ( ) d f ( ) f ( ) d Für die gesuchte Fläche gilt lso: - f ( ) d - f ( ) d (f ( ) - f ( )) d Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie

2 9 Die Mßzhl der Fläche zwischen den Grphen zweier Funktionen f ( ) und f ( ) zwischen zwei Stellen und lässt sich lso erechnen mit der Formel (f ( ) - f ( )) d flls f ( ) > f ( ) für lle ε ; Bemerkung Diese Formel gilt uch dnn, wenn die Grphen von f ( ) und / oder f ( ) gnz oder teilweise unterhl der -chse verlufen, wie die folgende Herleitung zeigt: Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie f ( ) ( f ( ) + s) d s f ( ) ( f ( ) + s) d Für die Fläche gilt lso uch in diesem Fll: (f ( ) + s) d - (f ( ) + s) d (f ( ) - f ( )) d Die Vorzeichenwechsel der eiden Funktionen sind lso ohne Bedeutung für die Flächenerechnung Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 4

3 9 Eine Unterrechung der Integrtion ist stttdessen er ggf dnn nötig, wenn die Vorussetzung f ( ) > f ( ) nicht für lle ε ; erfüllt ist : f ( ) Die von f ( ) und f ( ) zwischen f ( ) und eingeschlossene Fläche eträgt in diesem Beispiel c c + (f ( ) - f ( )) d + (f ( ) - f ( )) d c c zw + (f ( ) - f ( )) d + (f ( ) - f ( )) d Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 5 c Bemerkung Zur Bestimmung der Fläche, die die Grphen zweier Funktionen f ( ) und f ( ) miteinnder einschließen, muss die Integrtion lso n llen Schnittpunkten dieser eiden Funktionen unterrochen werden ( nicht er n ihren Nullstellen) ußerdem muss die Integrtion n den Polstellen und Unstetigkeitsstellen der eiden Funktionen unterrochen werden Beispiel Welche Fläche schließen die Grphen der eiden Funktionen f ( ) 6 und f ( ) 6 im Intervll - ; miteinnder ein? Bestimmung der Schnittpunkte ( Polstellen und Unstetigkeitsstellen treten nicht uf ) : f ( ) f ( ) 6 6 ε - ; Die Integrtion muss lso n den Stellen und unterrochen werden Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 6

4 9 Die gesuchte Fläche eträgt lso (6-6) d + (6-6) d + (6-6) d - ( - ) + - ( - ) + ( - ) FE Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 7 Flächenerechnung für Polrkoordintenfunktionen φ Zur Bestimmung der Fläche, die der Ortsr r (φ ) vektor einer Polrkoordintenfunktion φ r r (φ ) für φ ε φ ; φ üerstreicht, geht mn genuso vor wie ei der Bestimmung der Fläche unter der Kurve einer krtesischen Funktion : ) Mn unterteilt ds Integrtionsintervll in n gleich reite Teilintervlle ) In jedem Teilintervll geht mn von einem konstnten Funktionswert us und erhält so eine geometrische Elementrform, deren Fläche erechnet werden knn ) Durch Summtion dieser Näherungswerte und Grenzwertildung erhält mn hierus die gesuchte Flächenmßzhl n 8 Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 8 4

5 9 φ φ n φ f ( ) φ φ φ φ φ r r ( φ ) 4 5 n Bei Polrkoordintenfunktionen ist die geometrische Elementrform im Teilintervll von φ i- is φ i lso kein Rechteck, sondern ein Kreissegment mit der Fläche i π (r (φ i )) φ π ( Fläche des Vollkreises Kreisnteil ) Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 9 i π (r (φ i )) φ π ( Fläche des Vollkreises Kreisnteil ) Durch Summtion üer lle diese Kreissegmente und nschließende Grenzwertildung n 8 / φ ergit sich hierus: Der Ortsvektor einer Polrkoordintenfunktion r r ( φ ) üerstreicht für φ ε φ ; φ eine Fläche mit der Mßzhl φ Bemerkung r ( φ) dφ D der Integrnd stets positiv ist, git es ei dieser Formel keine negtiven Flächen φ ( flls φ < φ ) Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 5

6 9 Beispiel Die von der Krdioiden r ( φ ) + cos (φ ) eingeschlossene Fläche eträgt π r( φ ) + cos ( φ ) ( + cos( φ )) dφ π ( + cos (φ ) + cos ( φ )) dφ ( φ + sin( φ ) + (sin ( φ ) cos ( φ ) + φ)) ( π π ) π π FE φ φ r ( φ) dφ Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie Flächenerechnung für Prmeterfunktionen ( ( t ) / ( t )) Zur Bestimmung der Fläche, die der t t Ortsvektor einer Prmeterfunktion ( t ), ( t ) für t ε t ; t t t üerstreicht, enutzt mn die Flächenformel für Polrkoordintenfunktionen: Es gilt: ( t ), ( t ), tn ( φ ), lso tn(φ ( t )) ( t ) ( t ) d dt ( ) Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 6

7 9 Es gilt: ( t ), ( t ), tn ( φ ), r cos (φ) lso tn(φ ( t )) cos ( φ ( t )) φ ( t ) cos (φ ( t )) dφ dt ( t ) ( t ) d dt ( ) ( t ) ( t ) - ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) - ( t ) ( t ) r cos (φ ( t )) r ( φ ) dφ ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t Mit Hilfe der Flächenformel für die Polrkoordintenfunktionen ergit sich hierus: Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie Mit Hilfe der Flächenformel für die Polrkoordintenfunktionen ergit sich hierus: Der Ortsvektor einer Prmeterfunktion ( t ), ( t ) üerstreicht für t ε t ; t eine Fläche mit der Mßzhl t ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t Leiniz sche Sektorenformel t Bemerkung Bei der Flächenformel für Polrkoordintenfunktionen konnten für φ < φ ( dh für dφ >, lso für wchsenden Winkel φ ) keine negtiven Flächen uftreten Dher misst die Leiniz sche Sektorenformel Flächen dnn positiv, wenn die Prmeterkurve mit wchsendem Winkel φ verläuft, ndernflls negtiv Dies ist er unhängig dvon, o uch der Prmeter t wächst, und dher rechnerisch nur schwierig festzustellen Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 4 7

8 9 t t Beispiel t t ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t t t* ( ( t ) ; ( t )) t t t t* ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t + t* t ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t - Von esonderem Interesse ist dies ei geschlossenen Kurven, dh ei Kurven, deren nfngspunkt uch ihr Endpunkt ist: Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 5 Beispiel ( ( t ) / ( t )) t t ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t t t* t t* ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t + t* t t t t t ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t - Die Leiniz sche Sektorenformel erechnet lso in diesem Beispiel ds Negtive der von der Prmeterkurve eingeschlossenen Fläche Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 6 8

9 9 llgemein gilt: Bei geschlossenen Prmeterkurven erechnet die Leiniz sche Sektorenformel t t ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t die von der Prmeterkurve eingeschlossene Fläche, flls diese einml im mthemtisch positiven Sinn ( lso im Gegenzeigersinn) umlufen wird ds Negtive dieser Fläche, flls diese einml im mthemtisch negtiven Sinn ( lso im Uhrzeigersinn) umlufen wird ds Mehrfche dieser Fläche, flls diese mehrfch umlufen wird Dei ist es nicht notwendig, die Stellen t* zu estimmen ( lso die Prmeterkurve uf Etrem von φ zu untersuchen) Die Formel gilt uch für Flächen, die den Nullpunkt enthlten ( ei denen dher ggf keine Stelle t* eistiert ) Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 7 Beispiel Welche Fläche schließt die Prmeterkurve ( t) t, ( t) t - t für t ε R ein? Ein Grph schließt genu dnn eine Fläche ein, wenn ein Punkt mehrfch durchlufen wird ( ds muss nicht der nfngs- oder Endpunkt sein) Mn sucht lso zwei Prmeter t und t mit t < t ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) Zwei verschiedene Zeitpunkte t und t mit gleichem Ortspunkt ( ( t i ) / ( t i )) ( t ) ( t ) t t t t t - t t t t - t ( wegen t < t ) ( t ) ( t ) t (- t ) - (- t ) t - t t - t - t t - t t t t - Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 8 9

10 9 ( t ) ( t ) t t t t t - t t t t - t ( wegen t < t ) ( t ) ( t ) t (- t ) - (- t ) t - t t - t - t t - t t t t - t - t : t t - t t < t Wegen t < t ist die einzige Lösung lso t -, t Die eingeschlossene Fläche eträgt dher t t ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t - (( t - ) t - ( t - t ) t) d t Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie 9 Die eingeschlossene Fläche eträgt dher t t ( ( t ) ( t ) - ( t ) ( t )) d t - (( t - ) t - ( t - t ) t) d t - (t 4 + t ) d t ( 5 t 5 + t ) - ( 5 ) FE D ds Ergenis uch ohne die Betrgsstriche positiv ist, wird die Fläche im Gegenzeigersinn umlufen Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie

11 9 Skizze ( t) t, ( t) t - t ( ) ( - ) ( ) ( - ) t t - Der doppelt durchlufene Punkt ist lso der Punkt ( / ) 8 5 FE Institut für utomtisierungstechnik Prof Dr Ch Bold nlsis Folie

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