The weighted farthest color Voronoi diagram on trees and graphs

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1 The weighted farthest color Voronoi diagram on trees and graphs Torsten Baumgartner 6. September 004 Zusammenfassung Ausarbeitung zu einem gleichnamigen Vortrag im Rahmen des Informatik-Seminars Algorithmische Geometrie und Bewegungsplanung, abgehalten im SS004 an der Universität Bonn. Es wird ein effizienter Algorithmus vorgestellt, welcher das Farthest color Voronoi-Diagramm auf einem Baum mit Sites mit multiplikativen Gewichten berechnet. Spezielle Algorithmen werden vorgestellt für den Fall, daß alle Gewichte gleich groß sind, daß alle Farben gleich sind, oder beides. Abschließend wird ein effizienter Algorithmus zur Berechnung des Standard-Voronoi-Diagramm auf Graphen vorgestellt. Teilweise werden obere und untere Schranken für die Platz- und Laufzeitkomplexitäten der Algorithmen hergeleitet.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 Voronoi-Diagramme auf Bäumen 4.1 Voronoi-Diagramme mit multiplikativen Gewichten Farthest color Voronoi-Diagramme Farthest color Voronoi-Diagramme mit multiplikativen Gewichten Voronoi-Diagramme auf Graphen 10 4 Zusammenfassung 10 A Anhang 10

3 1 Einleitung Eine der interessantesten Strukturen in der algorithmischen Geometrie ist das Voronoi-Diagramm. Es existieren viele verschiedene Varianten des Diagramms sowie unterschiedliche Anwendungsgebiete und Fragestellungen, in denen Voronoi-Diagramme zum Einsatz kommen. Einige bekannte Problemstellungen, bei denen Voronoi-Diagramme nützlich sind, sind z.b. das nearest neighbor-problem, das closest pair-problem und das post office-problem. Im Allgemeinen wird ein Raum G betrachtet, eine Punktemenge S von Punkten aus G sowie eine Distanzfunktion d auf G. Oft ist G zweidimensional. Zu einem Punkt p i ɛ S, im Englischen Site genannt, wird seine Voronoi-Region definiert als V R(p i) = {x ɛ G d(x, p i) d(x, p j) i j} Ein Voronoi-Diagramm zerlegt den Raum G gemäß der Punktemenge S also in Voronoi-Regionen. Für p i, p j ɛ S sei B(p i, p j) = {x d(x, p i) = d(x, p j)} der Bisektor von p i und p j. Im Folgenden werden einige der Varianten von Voronoi-Diagrammen kurz vorgestellt. Das Standard-Voronoi-Diagramm Ist der Raum G der zweidimensionale reele Raum R und ist d die euklidische Distanz im R, erhält man das Standard-Voronoi-Diagramm. Bisektoren sind hier entweder Liniensegmente oder Halbgeraden. Das Voronoi-Diagramm mit multiplikativen Gewichten Bei dieser Variante erhält jedes p i ɛ S ein Gewicht w j. Zu einem Punkt p i ɛ S wird die Voronoi- Region definiert als V R(p i) = {x ɛ G w i d(x, p i) w j d(x, p j) i j} Sein Gewicht kann als Bedeutung des Punktes p i im Kontext der Aufgabenstellung interpretiert werden. Bisektoren sind bei dieser Variante keine Liniensegmente mehr. Das Farthest color Voronoi-Diagramm Hier gibt es k unterschiedliche Typen von p i, wobei jedes p i je nach Typ eine Farbe zugewiesen bekommt. Für x ɛ G sei c(i,x) die bezüglich der Distanzfunktion d nächste Site der Farbe i. Dann liegt x in der Voronoi-Region derjenigen Site aus der Menge {c(0, x)... c(k, x)}, welche von x am weitesten entfernt ist. Vorstellen kann man sich das Farthest color Voronoi-Diagramm am Beispiel einer Stadt. Die k unterschiedlichen Typen von Sites entsprechen k unterschiedlichen Typen von Einrichtungen wie Schulen, Krankenhäusern etc. Zu einer Adresse x geben die c(0, x)... c(k, x) die der Adresse jeweils nächsten Einrichtungen jeden Typs an. Diejenige Voronoi-Region in welcher x liegt gehört zu der Einrichtung, die von der Heimadresse am weitesten entfernt liegt.

4 Voronoi-Diagramme auf Bäumen In diesem Kapitel werden verschiedene Varianten von Voronoi-Diagrammen auf Bäumen betrachtet. Zugrunde liegt jedesmal ein Baum T = (V,E) mit Knotenmenge V, Kantenmenge E und Größe m = V = E + 1. Als Distanzfunktion dient die euklidische Distanz d(x,y) entlang des eindeutigen Pfades zwischen den beiden Punkten x und y. S = {p 1... p n} sei die Menge der Sites. Die Voronoi- Region zur Site p i wird auf Bäumen definiert als V R T (p i) = {x auf T d(x, p i) d(x, p j) i j} Das Voronoi-Diagramm auf Baum T kann aufgefasst werden als V D T (S) = {V R T (p 1),..., V R T (p n)} Interne Darstellung Zur internen Darstellung von Voronoi-Diagrammen auf Bäumen kann der folgende Ansatz benutzt werden. Gespeichert werden die Menge der Bisektoren. Ein Bisektor entspricht dem Grenzpunkt auf T zwischen zwei Voronoi- Regionen je Bisektor seine Position im Baum, Sites benachbarter Voronoi-Regionen sowie Distanzen zu diesen je Baumknoten nächste Sites und Distanzen zu diesen Diese Darstellung enthält die Voronoi-Regionen nur indirekt, allerdings können alle Regionen in Zeit O(n) aus der internen Darstellung gewonnen werden. Kontraktion eines Baumes Die Kontraktion eines Baumes dient im nachfolgenden Beweis von Theorem 1 der Komplexitätsreduzierung des Baumes. Um einen Baum T der Größe m mit n Sites zu kontrahieren, werden im ersten Schritt alle Sites kantenweise sortiert. Gibt es auf einer Baumkante mehr als zwei Sites, werden ausschließlich die beiden extremen Sites behalten und innere entfernt. Anschließend wird der minimale Spannbaum der O(m) übriggebliebenen Sites berechnet, dies kann zum Beispiel mit DFS geschehen. Teilbäume u i von T, welche keine Sites enthalten, werden dabei abgeschnitten. Dann werden maximale Folgen von Kanten, die nur Grad--Knoten enthalten, durch eine einzelne Kante der gleichen Länge ersetzt. Gibt es Sites auf einer maximalen Kantenfolge, dann werden statt dessen Abkürzungen von Site zu Site benutzt. So erhalten wir zu Baum T den kontrahierten Baum S T. Abbildung 1: Die Kontraktion löscht innere Sites, schneidet maximale leere Teilbäume u i ab und ersetzt Ketten von Grad -Knoten durch einzelne Kanten. Theorem 1. Das Voronoi-Diagramm einer Menge von n Sites auf einem Baum der Größe m hat die Komplexität n + m - 1 und läßt sich in Zeit O(m + n log n) berechnen. Beweis. Wählt man obige interne Darstellung eines Voronoi-Diagramm, dann verbrauchen Baumknoten und Bisektoren jeweils O(1) Platz. Per Definition existieren m Baumknoten. Per Induktion zeigen wir jetzt, daß ein Baum mit n Sites genau n - 1 Bisektoren impliziert. Jeder Bisektor teilt einen

5 Baum mit n Sites in zwei disjunkte Teilbäume mit o und l Sites, wobei n = o + l. Durch rekursive Anwendung dieser Annahme auf die Teilbäume erhält man genau o l = n -1 Sites. Es ergibt sich die Platzkomplexität von n + m - 1 zur Darstellung eines Voronoi-Diagramm. Für den Beweis der unteren Zeitschranke wird das sogenannte ɛ-closeness-problem auf die Berechnung eines Voronoi-Diagramms reduziert: jeder Algorithmus zur Berechnung des Voronoi-Diagramms von n Sites auf einem Liniensegment löst auch das ɛ-closeness-problem, denn die berechneten Bisektoren liefern die Nachbarschaftsbeziehungen der Sites auf dem Liniensegment und ɛ-closeness kann damit in linearer Zeit gelöst werden. ɛ-closeness liegt nachweislich in Θ(n log n). Um jedem der m Baumknoten die jeweils nächste Site und Distanz zuzuweisen, ist ein zusätzlicher Aufwand von O(m) nicht vermeidbar. Wir erhalten die untere Schranke Ω(n log n + m) für die Laufzeit. Der Beweis der oberen Schranke der Zeitkomplexität geschieht konstruktiv durch Angabe eines konkreten Algorithmus zur Berechnung des Voronoi-Diagramms mit Laufzeit O(n log n + m). Der Algorithmus sieht dabei wie folgt aus: Im ersten Schritt wird der Baum T mit dem oben beschriebenen Verfahren in Zeit O(m) kontrahiert, wobei die Komplexität des resultierenden Baums S T auf O(n) reduziert wird. Dann wird das Voronoi-Diagramm des kontrahierten Baums in Zeit O(n log n) berechnet. Hierzu kann ein Simultaneous Dijkstra-Ansatz benutzt werden. Durch Einsatz von Fibonacci Heaps ist eine Laufzeit von O(n log n) möglich. Schließlich wird das Voronoi-Diagramm auf den Originalbaum T übertragen. Dabei wird jedem Knoten von T die jeweils nächste Site und die entsprechende Distanz zugewiesen, anschließend werden die übrigen inneren Sites und entsprechenden Bisektoren wieder eingefügt. Dies ist insgesamt in Zeit O(m) möglich..1 Voronoi-Diagramme mit multiplikativen Gewichten Jede Site p i ɛ S besitzt nun ein multiplikatives Gewicht w j. Entsprechend werden je Site gewichtete Voronoi-Regionen definiert als W V R T (p i) = {x auf T w i d(x, p i) w j d(x, p j) i j} Je Kante werden Bisektoren gemäß ihrer Reihenfolge auf der Kante sortiert. Das folgende Lemma sei als Vorarbeit zum Beweis des nachfolgenden Theorem ohne Beweis erwähnt: Lemma. Das Voronoi-Diagramm mit multiplikativen Gewichten auf einer Linie ist äquivalent zur unteren Kontur der gewichteten Distanzfunktionen f i, welche an den Sites p i starten und Steigung ± w j besitzen. Bisektoren korrespondieren dabei zu den Schnittpunkten von Liniensegmenten der unteren Kontur. Abbildung : Das Voronoi-Diagramm mit multiplikativen Gewichten auf einem Liniensegment ist äquivalent zur unteren Kontur der gewichteten Distanzfunktionen. Theorem. Das Voronoi-Diagramm einer Menge von n Sites mit multiplikativen Gewichten auf einem Baum der Größe m hat die Komplexität Θ(nm) und läßt sich in Zeit Θ(nm + n log n) berechnen. Beweis. Zum Beweis der Platzkomplexität werden zunächst die Distanzfunktionen f i auf einer Kante betrachtet. Je zwei f i können sich höchstens zweimal schneiden. Nach den Resultaten von Sharir und Agarwal [] liegt die Komplexität der unteren Kontur von n Funktionen, welche sich höchstens zweimal schneiden in O(n). Andererseits können Gewichte und Sites so festgelegt werden, daß pro Kante Ω(n) Bisektoren möglich sind (siehe Abbildung 3). Überschreitet eine Distanzfunktion einer Baumkante einen Baumknoten, so wird sie entsprechend dem Grad des Knotens in mehrere neue Liniensegmente aufgeteilt, welche mit unterschiedlichen Winkeln weiterlaufen. Im Bereich benachbarter

6 Baumkanten entstehen daher weitere Bisektoren durch Sites benachbarter Kanten. Hierdurch sind weitere Ω(m) neue Bisektoren pro Site möglich, aber auch maximal O(m). Die Zahl n kann daher in beiden Fällen mit m multipliziert werden und wir erhalten die Platzkomplexität von Θ(nm). Abbildung 3: Es existieren Gewichte und Sites, so daß n lineare Distanzfunktionen n - 1 Schnittpunkte besitzen. Der Beweis der Zeitkomplexität wird durch Angabe eines Algorithmus zur Berechnung des Voronoi- Diagramms geführt. Zuerst sortiere die Sites nach aufsteigendem Gewicht. Dies ist in Zeit O(n log n) möglich. Füge die Sites gemäß ihrer Reihenfolge in den Baum ein. Zum Einfügen von Site p i lokalisiere p i und die entsprechende Baumkante in Zeit O(log n) und verfolge die Distanzfunktion, bis alle neuen Schnittpunkte (vorläufige Bisektoren) mit Distanzfunktionen bereits eingefügter Sites gefunden sind. Lösche dabei nicht mehr benötigte Bisektoren. Die Distanzfunktion einer neuen Site wird dabei von Distanzfunktionen bereits eingefügter Sites begrenzt (siehe Abbildung 4) und kann über den Schnittpunkt hinaus vernachlässigt werden. Beim Verfolgen der Distanzfunktionen werden ausschließlich bereits existente Bisektoren und Baumknoten besucht, aber keine weiteren Sites. Es reicht also, die Anzahl von Bisektoren und Baumknoten abzuschätzen. Sei k i die Anzahl der beim Einfügen von p i gelöschten Bisektoren, sei m i die Anzahl der besuchten Baumknoten und sei l i die Anzahl der neu eingefügten Bisektoren. Es gilt m i + l i m, es reicht die Summe n i=1 ki abzuschätzen. Insgesamt gibt es in dem Diagramm b = n i=1 li ki Bisektoren. Offensichtlich gilt b 0 und n i=1 li mn. Beachte, daß li m gilt, da pro Site maximal m neue Bisektoren eingefügt werden. Daher können wir n i=1 ki mn schließen. Insgesamt ergibt sich eine Laufzeit von O(nm + n log n) für den kompletten Algorithmus. Diese Grenze ist scharf, da die Komplexität des Voronoi-Diagramms mit multiplikativen Gewichten in Ω(nm) liegt. Abbildung 4: Die Distanzfunktion von s wird von den Distanzfunktionen von p und q geblockt.. Farthest color Voronoi-Diagramme Hier gibt es wie in der Einleitung beschrieben k unterschiedliche Typen von Sites, wobei jede Site je nach Typ eine Farbe zugewiesen bekommt. Für beliebiges x auf Baum T sei c(i,x) die bezüglich der Distanzfunktion d nächste Site der Farbe i. Dann liegt x in der Voronoi-Region derjenigen Site aus der Menge {c(0, x)... c(k, x)}, welche von x bezüglich d am weitesten entfernt ist. Theorem 3. Das Farthest color Voronoi-Diagramm einer Menge von n Sites mit k Farben auf einem Baum der Größe m hat die Komplexität (n - k) + m + 1 und läßt sich in Zeit O(km + n log n) berechnen.

7 Beweis. Zum Beweis der Platzkomplexität wird das Farthest color Voronoi-Diagramm zuerst auf einer einzelnen Baumkante betrachtet. Es gelten die folgenden Feststellungen: Das Einzelfarben-Voronoi-Diagramm der Sites der Farbe i entspricht der unteren Kontur der Distanzfunktionen mit Steigung ± 1. Das Farthest color Voronoi-Diagramm aller Sites entspricht der oberen Kontur der k Einzelfarben- Diagramme, also der oberen Kontur von k unteren Konturen. Abbildung 5: Das Farthest color Voronoi-Diagramm ist äquivalent zur oberen Kontur der unteren Konturen der Einzelfarben-Distanzfunktionen. Sei n i die Anzahl der Sites mit Farbe i auf der Kante. Dann existieren im Einzelfarben-Diagramm der Farbe i genau n i 1 Gipfel. Im worst case gehört jeder dieser Gipfel als Bisektor zum Farthest color Voronoi-Diagramm der Kante. Zusätzlich erzeugt er jeweils rechts und links Bisektoren an den Schnittpunkten mit anderen Distanzfunktionen. Diese werden jeweils mit 1 gezählt. Zusammen ergibt das i (ni 1) = (n k) Bisektoren für alle Farben. Jetzt sind die beiden extremen Bisektoren rechts und links außen jeweils nur mit 1 gezählt, also wird noch ein Bisektor addiert und man erhält insgesamt (n - k) + 1 Bisektoren pro Kante. Betrachtet man den ganzen Baum, ist die Situation ähnlich. Man erhält auf obige Weise (n - k) Bisektoren für die Gipfel der k unteren Konturen. Um die zusätzlichen Werte von 1 zu ermitteln, startet man an einem Baumblatt und zählt dieses mit 1. Läuft man entlang der Kante bis zu einem verzweigenden Knoten n, gehört das zusätzlich nötige 1 entweder zu einem Gipfel auf einer der angrenzenden Kanten und wurde bereits gezählt, oder es existiert kein Gipfel auf den von n ausgehenden Kanten was bedeutet, daß ein weiteres 1 addiert werden muß. Im Ergebnis macht das (n - k) + 1 Bisektoren für den ganzen Baum. Da Baumkanten ebenfalls als Diagrammteil gewertet werden, ergibt sich die Platzkomplexität von (n - k) m. Zur effizienten Berechnung wird die Tatsache ausgenutzt, daß alle Distanzfunktionen die Steigungen ±1 besitzen. Der Algorithmus sieht wie folgt aus: Berechne kantenweise alle Einzelfarben-Voronoi-Diagramme und teile sie in die Menge der Rechtsabzweigungen mit Steigung +1 und der Linksabzweigungen mit Steigung -1. Beide Mengen sind schnittpunktsfrei. Berechne je Kante mit einem Sweep die obere Kontur der k Mengen der Rechtsabzweigungen, danach das gleiche für die Mengen der Linksabzweigungen. Im letzten Schritt führe einen Merge der beiden Mengen zum Endresultat aus. Sei x e die Anzahl aller Rechtsabzweigungen aller Einzelfarben-Voronoi-Diagramme auf der Kante e. Die Berechnung aller Einzelfarben-Voronoi-Diagramme erzeugt Kosten von O(km + n log n). Die Sweep Status Struktur enthält die aktuell von der Scanline geschnittenen Liniensegmente in sortierter Reihenfolge. Die Ereignisse des Sweeps sind die X-Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte der Liniensegmente. Wird ein Anfangspunkt erreicht, kann das entsprechende Liniensegment in die Sweep Status Struktur aufgenommen werden. Sobald der Endpunkt erreicht wird, kann es wieder entfernt werden. Die obere Kontur der Liniensegmente besteht jeweils aus dem obersten Segment in der Struktur. Es treten O(x e) Events auf, und jedes Event braucht Zeit O(log k). Die Rechtsabzweigungen eines Einzelfarben-Voronoi-Diagrammes sind bereits sortiert. Die k Mengen der Rechtsabzweigungen können in Zeit O(x e log k) in eine einzelne Liste sortiert werden, die die Eventqueue des Sweeps für die Kante e darstellt. Pro Kante e braucht die Berechnung beider oberer Konturen Zeit O(x e log k), auf allen Kanten insgesamt O(n log k). Werden Liniensegmente an Baumknoten dupliziert, müssen diese in sortierter Reihenfolge an die angrenzenden Kanten übergeben werden. Dies geht in zusätzlicher Zeit O(km) anstatt O(km log k), da eine erneute Sortierung dieser Liniensegmente gespart wird. Also sind beide obere Konturen nach der Berechnung der Einzelfarben-Voronoi-Diagramme in Zeit O(km + n log k) berechenbar. Die oberen Konturen aller Kanten haben die Komplexität O(km + n), sie können kantenweise in Zeit O(km + n) zur oberen Kontur der unteren Konturen der Einzelfarben-Voronoi-Diagramme gemergt werden. Die Gesamtkosten für den Algorithmus betragen O(km + n log n).

8 Abbildung 6: Die oberen Konturen der Links- und Rechtsabzweigungen und ihr Merge..3 Farthest color Voronoi-Diagramme mit multiplikativen Gewichten Jetzt betrachten wir eine Verallgemeinerung des Farthest color Voronoi-Diagramm, wobei jetzt jede Site ein multiplikatives Gewicht w j besitzt. Theorem 4. Die Komplexität des Farthest color Voronoi-Diagramm einer Menge von n Sites mit multiplikativen Gewichten und mit k Farben auf einem Baum der Größe m ist nach oben beschränkt durch O(mnα(k)), wobei α(k) die inverse Funktion der Ackermann-Funktion beschreibt, und von unten durch Ω(mn). Es kann in Zeit O(mn α(k) log k + n log n) berechnet werden. Beweis. Zuerst soll die untere Komplexitätsschranke bewiesen werden. Für beliebige Werte m, n und k kann ein Baum der Größe m konstruiert werden mit einer Menge von n Sites und k Farben, so daß die Komplexität des Diagramms in Ω(mn) liegt (siehe Abbildung 7). Die Kante e enthält dabei lk = n Sites mit gewichteten Distanzfunktionen, welche ausserhalb von e Parabelgestalt haben. Jedes innere Segment auf der Parabel produziert zwei Schnitte. Für jede der m - 1 weiteren Kanten existiert eine verschobene Parabel, da Distanzfunktionen ausserhalb ihrer Startkante aufgeteilt werden. Man erhält die Platzkomplexität Ω(mn). Abbildung 7: Konstruktion eines Farthest color Voronoi-Diagramm mit multiplikativen Gewichten der Komplexität Ω(lkm). Zum Beweis der oberen Komplexitätsschranke wird wieder die Äquivalenz des Diagramms zur oberen Kontur der unteren Konturen der Distanzfunktionen benutzt (siehe Kapitel.). Sei n i die Anzahl der Sites mit Farbe i. Die untere Kontur der Distanzfunktionen der Farbe i auf einer Baumkante hat

9 die Komplexität O(n i) (vergleiche Beweis zu Theorem ). Für eine Kante ist das gesuchte Diagramm also die obere Kontur von k stückweise linearen Funktionen der Komplexität i ni = O(n). Durch Anwendung von Korollar 6.3 des Papers von Sharir und Agarwal [] erhalten wir die Komplexität O(nα(k)) für eine einzelne Kante und O(mnα(k)) für den ganzen Baum. Es folgt der Beweis der Zeitkomplexität. Nach Theorem lassen sich alle Einzelfarben-Voronoi- Diagramme mit multiplikativen Gewichten in Zeit i mni + ni log ni = O(mn + log n) berechnen. Die untere Kontur von k stückweise linearen Funktionen mit maximal l Segmenten kann nach Sharir und Agarwal [] in Zeit O(lα(k) log k) berechnet werden. In unserem Fall ist l = n und pro Kante ergibt sich eine Laufzeit von O(nα(k) log k) und für alle Kanten zusammen O(mnα(k) log k). Die Berechnung des Diagramms ist also insgesamt in Zeit O(mnα(k) log k + n log n) möglich.

10 3 Voronoi-Diagramme auf Graphen Ist der zugrundeliegende Raum G kein Baum sondern allgemein ein Graph, ergeben sich einige Änderungen. Zum Beispiel ist der kürzeste Pfad zwischen zwei Punkten im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Abgesehen von derartigen Auswirkungen können aber ähnliche Argumente wie auf Bäumen zum Beweis von Komplexitätsresultaten angewendet werden. Exemplarisch wird dies nun am Beispiel von Standard Voronoi-Diagrammen auf Graphen gezeigt. Theorem 5. Das Voronoi-Diagramm von n Sites auf einem Graph G=(V,E) mit Knotenanzahl V = m und Kantenanzahl E = e hat die Komplexität Θ(e + n) und kann in Zeit O(e + m log m + n log n) berechnet werden. Beweis. Zuerst wird die Platzkomplexität gezeigt. Sei n e die Anzahl der Sites auf Kante e. Es liegen höchstens n e + 1 Bisektoren auf e, n e 1 Bisektoren für die Gipfel und zwei Bisektoren, welche durch äußere Sites entstehen. Durch Aufsummieren kommt man auf maximal e ne + 1 = n + e Bisektoren für den gesamten Graph. Betrachtet man einen Graph mit zwei Knoten, der eine Site auf jedem Knoten hat und dessen beide Knoten mit beliebig vielen Kanten verbunden sind, dann enthält jede Kante einen Bisektor. Also ist die Zahl e relevant für die untere Grenze der Platzkomplexität. Betrachtet man einen Graph mit einer Kante e und n Sites auf dieser Kante, wobei n beliebig ist, dann liegen Ω(n) Bisektoren auf der Kante e. Daher ist auch die Zahl n relevant für die untere Grenze. Das Diagramm hat die Komplexität Ω(e + n) und es folgt auch Θ(e + n). Zur Berechnung des Voronoi-Diagramms sortiert man die Sites kantenweise und löscht innere Sites in Zeit O(n log n), genau wie man das bei Bäumen macht. Man kann im Falle eines allgemeinen Graphen allerdings keinen Gebrauch vom minimalen Spannbaum machen. Trotzdem kommt wieder der Simultaneous Dijkstra-Ansatz zum Einsatz, welcher Zeit O(e + m log m) braucht. Zum Schluß müssen die übrigen Sites und die entsprechenden Bisektoren wieder in den Graphen eingefügt werden. Dies geht in Zeit O(e). Zusammen ergibt das eine Zeitkomplexität für das Standard Voronoi-Diagramm auf Graphen von O(e + m log m + n log n). 4 Zusammenfassung Es wurde ein effizienter Algorithmus vorgestellt, welcher das Farthest color Voronoi-Diagramm auf einem Baum mit Sites mit multiplikativen Gewichten berechnet. Spezielle Algorithmen wurden vorgestellt für den Fall, daß alle Gewichte gleich groß sind, daß alle Farben gleich sind, oder beides. Abschließend wurde ein effizienter Algorithmus zur Berechnung des Standard-Voronoi-Diagramm auf Graphen vorgestellt. Teilweise wurden obere und untere Schranken für die Platz- und Laufzeitkomplexitäten der Algorithmen hergeleitet. A Anhang Literatur [1] Ferran Hurtado, Rolf Klein, Elmar Langetepe, Vera Sacristan : The weighted farthest color Voronoi diagram on trees and graphs, erhältlich unter [] M. Sharir, P.K. Agarwal : Davenport-Schinzel Sequences and Their Geometric Applications, Cambridge University Press, New York, 1995