Spezielle Relativitätstheorie (Einstein, 1905)

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1 Spezielle Relativitätstheorie (Einstein, 1905) A. Einstein, 1905, Annalen der Physik: "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" Buch: N. David Mermin: "It's About Time: Understanding Einstein's Relativity", Princeton University Press, 2005 Lichtgeschwindigkeit (LG) 1) Erste Messversuche - Galilei 2) Erste erfolgreiche Schätzung - Romer (1676) Sonne Erde Jupiter Mond Jupiter-Mondfinsternis früher/später als erwaret, wenn Erde näher/weiter weg war: 3) Erste gute Messung: (Fizeau, 1880) Spiegel Rad 1 Rad 2 (leicht verdreht) 4) Heute: c m/s per Definition! Das ist eigentlich Definition des Meters: Abstand, den Licht in zurücklegt 5) Intuition: Fuß/Nanosekunde

2 Offensichtliche Frage: "relativ zu was" bewegt sich Licht mit km/s?? Mögliche Antwort 1 (MA1): "Relativ zu einem 'Licht-Medium' ('Lichtäther') absolut ruhend? Wäre analog zu Schallwellen durch Luft oder Wasser, wo Schallgeschwindigkeit relativ zu Medium unabhängig ist von Geschwindigkeit der Quelle. Aber: MA1 widerspricht Experiment (Michelson-Morley (1887) Sonne Lichtquelle Erwartet: (mit Strom Schwimmen ist schneller als gegen Strom Schwimmen) hypothetischer Ätherwind Erde Erde bewegt sich nach rechts durch d. Äther Gemessen: hypothetischer Ätherwind weht nach links relativ zur Erde Mögliche Antwort 2 (MA2): "Relativ zur Quelle" Wäre analog zu Kugel aus Flugzeug gefeuert: Geschw. Bob rel. zu Alice: Geschw. Kugel rel. zu Bob: Geschw. Kugel rel. zu Alice: Aber: MA2 widerspicht Experiment: Erwartet laut Galileo: Erde Gemessen: rotierendes Doppelsternsystem Ferner: MA2 widerspricht Maxwell's Elektrodynamik, die vorhersagt: Geschwindigkeit aller elektromagnetischer (EM) Strahlung ist genau c, unabhängig von Geschw. der Quelle!

3 Enter Einstein: er bemerkt: EM-Phänomene sehen in verschiedenen Inertialsystemen gleich aus! z.b. Leiterschlaufe Leiterschlaufe Magnet Magnet Elektromotorische Kraft in Leiterschlaufe ist dieselbe, unabhängig davon ob Leiterschlaufe ruht und Magnet bewegt wird oder umgekehrt. Einstein postuliert: 1) Relativitätsprinzip: (Alle) IS sind für Beschreibung (aller) physikalischen Gesetze äquivalent (somit ist "Einführung eines Lichtäthers oder absolut ruhenden Raumes" überflüssig) 2) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (LG): Die LG im Vakuum hat in allen IS den gleichen Wert c (unabhängig von deren Relativgeschw. zur Quelle) (2 folgt aus 1, da Maxwell-Theorie besagt: c ist unabhängig von Quelle) Fazit: Relativ zu was bewegt sich Licht mit c? Antwort: Egal! Relativ zu allen beliebigen IS! Explizit: Für t= t' = 0 sei also: Koordinaten des Ursprungs von Bob aus Sicht von Alice. Relativgeschwindigkeit von B rel. zu A Lichtblitz starte bei t = t' in, und erreicht etwas später Punkt P. Alice sagt: Bob sagt: Liefert Widerspruch zur Galilei-Transformation: (4) in (3) liefert nicht (2)!! (5.3) erscheint zunächst verblüffend, wenn wir annehmen, dass Apparate für Messung von Geschw. [oder, weil v=x/t, von Abständen (Messlatten) und Zeiten (Uhren)], für Alice und Bob 100% gleich funktionieren. Tun sie aber nicht! Grund:

4 Problem der Gleichzeitigkeit Zeitmessung ist Aussage über gleichzeitige Ereignisse: "Zug kommt um 7 Uhr" heisst: "Uhrzeiger zeigt auf 7" und "Zug kommt" sind gleichzeitige Ereignisse. Wie ist "gleichzeitig" definiert, wenn zwei Ereignisse räumlich getrennt sind?? Einstein's Definition (nutzt Konstanz der LG): Ereignisse wenn zwei Lichtstrahlen, und sind gleichzeitig, zur Zeit von und von ausgesandt, gleichzeitig im geometrischen Mittelpunkt ankommen. geometrischer Mittelpunkt Wir werden zeigen: Zwei Ereignisse, die für B' gleichzeitig erscheinen, erscheinen für A ungleichzeitig! (mit anderen Worten: Uhren von A und B' lassen sich nicht perfekt synchronisieren...) (Berühmtes) Beispiel: "Photonenpaar im Zug" (Mermin Notes, Part 5) Fall 1: Wagen von Bob steht im Bahnhof von Alice. Alle A-Uhren sind miteinander synchronisiert, Alle B'-Uhren sind miteinander synchronisiert. Von Wagenmitte werden gleichzeitig, zur Zeit zwei Photonen abgeschossen A und B' sehen dasselbe: Photonen kommen gleichzeitig hinten und vorne an, zur Zeit (laut A), (laut B'), und zünden zwei Knallerbsen. Die machen Flecken auf die Schiene, und schicken Photonen zurück, welche die Wagenmitte gleichzeitig erreichen, zur Zeit

5 Raum-Zeit (Minkowski) -Diagramme für Fall 1: Wagen B' steht im Bahnhof A Photon-Bahnkurven aus Sicht von O Photon-Bahnkurven aus Sicht von O' Rot: Photonbahnen (Steigung: gegenläufige Photobahnen machen einen Winkel von ) (auch "Lichtkegel" genannt) Blau: "Weltlinien" für eine Abfolge von Ereignissen (z.b. Bahnkurve von Hinterwand des Wagens) Lila: Gleichzeitige Ereignisse (synchronisierte Uhren haben denselben Zeigerstand) Fall 2: Wagen fährt durch Bahnhof mit Geschwindigkeit. sei Zeitpunkt, wenn Dann werden die zwei Photonen gleichzeitig abgeschossen. A sagt: L-Photon trifft hinten zur Zeit R-Photon trifft vorne zur Zeit B' sagt: weil LG = c in jedem IS, ist für mich Fall 1 = Fall 2 Photonen kommen gleichzeitig hinten und vorne an: Fazit: ["gleichzeitig" für B'] ["gleichzeitig" für A] Ferner: die Ankünfte der zwei Knallerbsenphotonen bei Wagenmitte passieren gleichzeitig zur Zeit (laut B') Weil diese Ereignisse am selben Ort stattfinden, sieht auch A sie gleichzeitig zur Zeit (laut A)

6 Raum-Zeit-Diagram aus Sicht von A: Wie groß ist die Zeitdifferenz Referenzpunkt für Wagenmitte: bei ist Wagengeschwindigkeit: Bahnkurve Wagenmitte: c (Zeit) Steigung: Abstand Bahnkurven Photonen: Rechtes Photon: Linkes Photon: Abstand zwischen Knallern: Zeit zwischen Knallern: Steigung der Linie E1-E2: wenn Raum-Zeit-Diagram aus Sicht von B': Wie groß ist die Zeitdifferenz Referenzpunkt für Wagenmitte laut A: bei ist Referenzpunkt für Wagenmitte laut A: bei ist Wie liegen x'- und t'-achsen im A-Diagramm? Linie mit x'=konst (laut B'): beschreibt Ereignise, die an demselben Ort im Wagen stattfinden. Beispiel: Bahnkurve der Wagenmitte, Alle Geraden mit x' = konst. sind zur ct'-achse sonst würden sich Geraden mit irgendwann kreuzen, im Widerspruch zu Linie mit ct'=konst (laut B'): beschreibt Ereignisse, die laut B' gleichzeitig stattfinden (ermittelt mittels gleichzeitig am geometrischen Mittelpunkt eintreffender Photonsignale, laut S. 7) Beispiel: Photonen kommen laut B' gleichzeitig vorne und hinten an! (entspricht der ct'-achse) Alle Geraden mit t' = konst. sind zu x'-achse: wo t' = 0

7 Allgemeine Regel (R1): Falls zwei Ereignisse E1 (Knall 1) und E2 (Knall 2) gleichzeitig sind in einem IS B' dann gilt in einem zweiten IS A, das sich (laut B') mit Geschwindigkeit in die Richtung von E2 nach E1 bewegt, dass E1 früher als E2 stattfindet, um die Zeitspanne wobei (hier D) der Abstand zwischen E1 und E2 in A ist. Vergleiche den Stand von A-synchronisierte Uhren an den Flecken und von B'-synchronisierten Uhren U1', U2' an der Hinter-und Vorderwagenwand: Wie erklärt sich B', dass A eine Differenz (laut B') gleichzeitig sind? misst für Ereignisse, die B' wird folgern: Uhr U1 "geht nach" (geht langsamer) relativ zu U2!! Allgemeine Regel (R2): Wenn 2 Uhren in ihrem Ruhesystem A synchronisiert und durch einen Abstand (hier = D ) getrennt sind, dann gilt aus Sicht eines IS B', in dem diese A-Uhren sich entlang ihrer Verbindungslinie mit Geschw. bewegen: Die vorne platzierte A-Uhr zeigt eine frühere Zeit an ("geht nach", "geht langsamer") relativ zur hinten platzierten A-Uhr, mit Allgemein ist A-Asynchronität, laut B, gegeben durch: (A-Asynchronität) Zahlenbeispiele: Laserforscher können Pulse mit Dauer femtosek attosek Sekunden auflösen.

8 Winkel in Raum-Zeit-Diagrammen Wir wissen bereits: Winkel zwischen Photonbahn und - x-achse: - ct-achse: - gegenläufiger Photobahn: - x'-achse: - ct'-achse: Photonenbahnen halbieren immer Winkel zwischen x'- und ct'-achse Folgen von Asynchronität: Beispiel Asynchrone Züge (Mermin Buch) - Ein weisser Zug von Alice (A) und ein grauer Zug von Bob (B) fahren mit gleicher Geschwindigkeit in gegenübergesetzte Richtungen durch Einstein (E)'s Bahnhof (siehe Skizze, Seite 17). - Am Mittelpunkt jedes Wagens befindet sich eine Uhr, und ein Schaffner mit Kamera. - Um Folgen von Asynchronität zu illustrieren, hat Einstein vorab die A-Uhren untereinander asynchron prepariert, um 2 Ticks pro Wagen, ebenso für die B-Uhren. - Dem A-Personal erzählt Einstein jedoch fälschlicherweise, ihre jeweiligen Uhren seien untereinander synchron; dasselbe erzählt er dem B-Personal. - Wenn sich ein A- und B-Wagen Fenster an Fenster gegenüber befinden, machen beide Schaffner ein Selfie-Foto, dass Wagennummern und Uhrzeigerstand beider Uhren zeigt. Jeder Schaffner in jedem Wagen kennt nur die von ihm gemachten Fotos. - Eine Serie von am Bahnsteig montierten Sicherheitskameras macht dieselben Fotos ebenfalls, sie werden dann zu einer Filmsequenz montiert. - Einstein am Bahnsteig analysiert Filmsequenz. Geschw. beider Züge laut E: [Die im Folgenden beschriebenen Beobachtung würden auch erfolgen, wenn beide Züge sehr schnell (nahe Lichtgeschwindigkeit), durch den Bahnhof fahren]

9 Folgen von Asynchronität: Beispiel Asynchrone Züge (Mermin Buch) Filmsequenz v. Bahnhofskamera Bahnsteig- Uhr zeigt: (Asynchronität): Zeitdilatation: Längenkontraktion: Asynchronität d. A-Wagen: Lichtgeschwindigkeit: Überlichtgeschwindigkeit: v > c liefert Uneinigkeit über Reihenfolge v. Fotos! Beobachtung 1: Einstein vergleicht zu gegebenem Zeitpunkt verschiedene Wagen desselben Zuges, und bemerkt eine Asynchronität: (Asynchronität) Beobachtung 2: A-Personal studiert mittels Selfie-Photos die "Bahnkurve" x(t) von B-Wagen Nr. 0, und misst so dessen Geschwindigkeit, laut A: Uhrenvergleich: Schrumpffaktor A-Personal glaubt, A-Uhren seien synchronisiert, und folgert: - entweder B-Uhren sind nicht-synchronisiert, - oder (falls sie es doch sind, wie B-Personal beteuert) B-Uhren laufen "Zeitdilatation": bewegte Uhren laufen langsamer! Übrigens: B-Personal folgert dasselbe für A-Uhren! (Situation ist völlig symmetrisch ) E weiss: Grund für Verwirrung: A- und B-Uhren sind beide asynchron!!

10 B-Personal studiert Selfie-Fotos an verschienen Orten zur festen B-Zeit :020 Beobachtung 3: B-Personal vergleicht Zeiten: folgert: A-Uhren sind asynchron! (A-Asynchronität) (2) ist ungleich (18.1) [von E gemessen], denn (wie E weiss): B-Uhren sind auch asynchron! Beobachtung 4: (Länge v. ( B-Personal vergleicht Längen: ) A-Wagen) = (Länge v. ( ) B-Wagen) (Lange eines A-Wagens) (Länge eines B -Wagens) (gleicher Schrumpffaktor wie in 18.3) B-Personal folgert: A-Längen sind im Vergleich zu B-Längen "Längenkontraktion": bewegte Maßstäbe schrumpfen! Übrigens: A-Personal folgert für B-Uhren! (Situation ist völlig ) E weiss: Grund für Verwirrung: A- und B-Uhren sind beide Asynchronität liefert effektive "Lichtgeschwindigkeit" (mittels allgemeiner Regel R1): hier: Zwei Fotos eines Objekts, dass sich mit c bewegt, aus Sicht von A und von B (!) [obwohl A und B sich relativ zueinander bewegen!!] Zwei Fotos eines Objekts, dass sich (für A und B) mit > c bewegt: Aber: A und B sind sich uneins über die Reihenfolge, in der die Fotos entstanden sind! Das illustriert eine allgemeine Tatsache: würde sich ein Objekt schneller als Licht bewegen, würden sich immer zwei IS finden, die sich uneins wären über die Reihenfolge von Ereignissen in der Geschichte (Bahnkurve) des Objekts. Unhaltbare Inkonsistenz!

11 Zusammenfassung: Spezielle Relativität I 1) Relativitätsprinzip: (Alle) IS sind für Beschreibung (aller) physikalischen Gesetze äquivalent 2) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (LG): Die LG im Vakuum hat in allen IS den gleichen Wert c Ereignisse und sind gleichzeitig, wenn zwei Lichtstrahlen, zur Zeit von und von ausgesandt, gleichzeitig im geometrischen Mittelpunkt ankommen. geometrischer Mittelpunkt In einem IS B seien zwei Ereignisse E1 und E2 gleichzeitig. Ein IS A bewege sich mit Geschwindigkeit in die Richtung von E2 nach E1; der Abstand dazwischen sei laut A. Dann findet, laut A, E1 früher als E2 statt, um 2 Uhren seien in ihrem Ruhesystem A synchronisiert, im Abstand voneinander. In IS B' bewegen sie sich entlang ihrer Verbindungslinie mit Geschw.. Dann geht die vorne platzierte A-Uhr nach relativ zur hinten platzierten, um Zeitdilatation: bewegte Uhren laufen langsamer! Längenkontraktion: bewegte Maßstäbe schrumpfen!