Warum gibt es Isolatoren?

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1 Warum gibt es Isolatoren? Florian Gebhard arbeitsgruppe vielteilchentheorie fachbereich physik philipps-universität marburg

2 Gliederung Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

3 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

4 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? II. Wie sind Isolatoren charakterisiert? Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

5 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? II. Wie sind Isolatoren charakterisiert? III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen? Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

6 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? II. Wie sind Isolatoren charakterisiert? III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen? IV. Bloch-Wilson Bandisolator Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

7 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? II. Wie sind Isolatoren charakterisiert? III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen? IV. Bloch-Wilson Bandisolator V. Peierls Isolator Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

8 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? II. Wie sind Isolatoren charakterisiert? III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen? IV. Bloch-Wilson Bandisolator V. Peierls Isolator VI. Anderson Isolator Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

9 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? II. Wie sind Isolatoren charakterisiert? III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen? IV. Bloch-Wilson Bandisolator V. Peierls Isolator VI. Anderson Isolator VII. Mott Isolator Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

10 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? II. Wie sind Isolatoren charakterisiert? III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen? IV. Bloch-Wilson Bandisolator V. Peierls Isolator VI. Anderson Isolator VII. Mott Isolator VIII. Zusammenfassung Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

11 Gliederung I. Das Drude-Problem: Warum gibt es Metalle? II. Wie sind Isolatoren charakterisiert? III. Wie kommt es zu Metall-Isolator Übergängen? IV. Bloch-Wilson Bandisolator V. Peierls Isolator VI. Anderson Isolator VII. Mott Isolator VIII. Zusammenfassung IX. Dank Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40

12 I Das Drude-Problem Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 3/40

13 I Das Drude-Problem 1. Metallische Leitung in der klassischen Physik Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 3/40

14 I Das Drude-Problem 1. Metallische Leitung in der klassischen Physik Drude-Konzept: die Elektronen bewegen sich frei zwischen zwei Stößen. Mittlere Zeit zwischen den Stößen istτ (Streuzeit). Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 3/40

15 I Das Drude-Problem 1. Metallische Leitung in der klassischen Physik Drude-Konzept: die Elektronen bewegen sich frei zwischen zwei Stößen. Mittlere Zeit zwischen den Stößen istτ (Streuzeit). Newtons Gesetz für die Geschwindigkeit v(ω) der Elektronen mit Massemund Ladungeim elektrischen Feld E(ω): e E(ω)= iωm v(ω)+ m τ v(ω). Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 3/40

16 I Das Drude-Problem 1. Metallische Leitung in der klassischen Physik Drude-Konzept: die Elektronen bewegen sich frei zwischen zwei Stößen. Mittlere Zeit zwischen den Stößen istτ (Streuzeit). Newtons Gesetz für die Geschwindigkeit v(ω) der Elektronen mit Massemund Ladungeim elektrischen Feld E(ω): e E(ω)= iωm v(ω)+ m τ v(ω). Ohms Gesetz für die Stromdichte j(ω) als Funktion des elektrischen Feldes: j(ω)=ne v(ω)=σ(ω) E(ω), n: Elektronendichte; σ(ω): Leitfähigkeit. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 3/40

17 I Das Drude-Problem Leitfähigkeit σ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall: τ 0) σ(ω) = σ 0 1+iωτ 1+(ωτ) 2, σ 0 = ne2 m τ. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 4/40

18 I Das Drude-Problem Leitfähigkeit σ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall: τ 0) σ(ω) = σ 0 1+iωτ 1+(ωτ) 2, σ 0 = ne2 m τ. 2. Probleme im klassischen Zugang Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 4/40

19 I Das Drude-Problem Leitfähigkeit σ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall: τ 0) σ(ω) = σ 0 1+iωτ 1+(ωτ) 2, σ 0 = ne2 m τ. 2. Probleme im klassischen Zugang In der klassischen Betrachtung streuen die Elektronen an jedem Ion: die Streuzeiten sind zu kurz! Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 4/40

20 I Das Drude-Problem Leitfähigkeit σ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall: τ 0) σ(ω) = σ 0 1+iωτ 1+(ωτ) 2, σ 0 = ne2 m τ. 2. Probleme im klassischen Zugang In der klassischen Betrachtung streuen die Elektronen an jedem Ion: die Streuzeiten sind zu kurz! Die typischen Transportgeschwindigkeiten sind falsch (Boltzmann-Statistik statt Fermi-Statistik) Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 4/40

21 I Das Drude-Problem Leitfähigkeit σ(ω) im Drude-Modell: (Ideales Metall: τ 0) σ(ω) = σ 0 1+iωτ 1+(ωτ) 2, σ 0 = ne2 m τ. 2. Probleme im klassischen Zugang In der klassischen Betrachtung streuen die Elektronen an jedem Ion: die Streuzeiten sind zu kurz! Die typischen Transportgeschwindigkeiten sind falsch (Boltzmann-Statistik statt Fermi-Statistik) Es fehlt eben die Quantenmechanik diese zeigt aber, daß das Drude-Resultat für Metalle im Limesωτ 1 vernünftig ist. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 4/40

22 I Das Drude-Problem Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 5/40

23 I Das Drude-Problem Die Quantenmechanik lehrt uns: Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 5/40

24 I Das Drude-Problem Die Quantenmechanik lehrt uns: Elektronen sind durch Bloch-Wellen zu beschreiben. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 5/40

25 I Das Drude-Problem Die Quantenmechanik lehrt uns: Elektronen sind durch Bloch-Wellen zu beschreiben. Für eine perfekt periodische Anordnung der Ionen sind die Bloch-Wellen über den ganzen Kristall ausgebreitet. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 5/40

26 I Das Drude-Problem Die Quantenmechanik lehrt uns: Elektronen sind durch Bloch-Wellen zu beschreiben. Für eine perfekt periodische Anordnung der Ionen sind die Bloch-Wellen über den ganzen Kristall ausgebreitet. Die Quantenmechanik kehrt die Beweislast um : Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 5/40

27 I Das Drude-Problem Die Quantenmechanik lehrt uns: Elektronen sind durch Bloch-Wellen zu beschreiben. Für eine perfekt periodische Anordnung der Ionen sind die Bloch-Wellen über den ganzen Kristall ausgebreitet. Die Quantenmechanik kehrt die Beweislast um : Warum gibt es Isolatoren? Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 5/40

28 II Charakterisierung von Isolatoren Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 6/40

29 II Charakterisierung von Isolatoren 1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0 Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 6/40

30 II Charakterisierung von Isolatoren 1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0 Isolator: es fließt kein Strom, auch wenn wir eine (kleine) Spannung anlegen. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 6/40

31 II Charakterisierung von Isolatoren 1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0 Isolator: es fließt kein Strom, auch wenn wir eine (kleine) Spannung anlegen. Etwas genauer: bei TemperaturT = 0 verschwindet der Realteil des Tensors der Gleichstrom-Leitfähigkeit, Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 6/40

32 II Charakterisierung von Isolatoren 1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0 Isolator: es fließt kein Strom, auch wenn wir eine (kleine) Spannung anlegen. Etwas genauer: bei TemperaturT = 0 verschwindet der Realteil des Tensors der Gleichstrom-Leitfähigkeit, σ DC α,β (T = 0) = lim lim lim R { σ α,β ( q,ω;t) } ; T 0ω 0 q 0 Isolator : σ DC α,β (T = 0)=0. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 6/40

33 II Charakterisierung von Isolatoren 1. Verschwinden der DC-Leitfähigkeit bei TemperaturT = 0 Isolator: es fließt kein Strom, auch wenn wir eine (kleine) Spannung anlegen. Etwas genauer: bei TemperaturT = 0 verschwindet der Realteil des Tensors der Gleichstrom-Leitfähigkeit, σ DC α,β (T = 0) = lim lim lim R { σ α,β ( q,ω;t) } ; T 0ω 0 q 0 Isolator : σ DC α,β (T = 0)=0. Die Unterscheidung zwischen Metall und Isolator ist nur bei T = 0 sinnvoll: alle Materialien leiten mehr oder weniger bei endlichen Temperaturen. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 6/40

34 II Charakterisierung von Isolatoren Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 7/40

35 II Charakterisierung von Isolatoren 2. Klassen von Isolatoren Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 7/40

36 II Charakterisierung von Isolatoren 2. Klassen von Isolatoren Isolierendes Verhalten resultiert aus I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 7/40

37 II Charakterisierung von Isolatoren 2. Klassen von Isolatoren Isolierendes Verhalten resultiert aus I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 7/40

38 II Charakterisierung von Isolatoren 2. Klassen von Isolatoren Isolierendes Verhalten resultiert aus I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund 1. der Wechselwirkung mit dem perfekt periodischen Gitterpotential (Bloch-Wilson Bandisolatoren) Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 7/40

39 II Charakterisierung von Isolatoren 2. Klassen von Isolatoren Isolierendes Verhalten resultiert aus I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund 1. der Wechselwirkung mit dem perfekt periodischen Gitterpotential (Bloch-Wilson Bandisolatoren) 2. der Wechselwirkung mit einem periodisch modulierten Gitterpotential (Peierls Isolatoren) Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 7/40

40 II Charakterisierung von Isolatoren 2. Klassen von Isolatoren Isolierendes Verhalten resultiert aus I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund 1. der Wechselwirkung mit dem perfekt periodischen Gitterpotential (Bloch-Wilson Bandisolatoren) 2. der Wechselwirkung mit einem periodisch modulierten Gitterpotential (Peierls Isolatoren) 3. der Streuung an Verunreinigungen und sonstigen unregelmäßigen Potentialfluktuationen (Anderson Isolatoren) Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 7/40

41 II Charakterisierung von Isolatoren 2. Klassen von Isolatoren Isolierendes Verhalten resultiert aus I. der Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen II. der Elektron-Elektron Wechselwirkung Zur Kategorie I gehören Isolatoren aufgrund 1. der Wechselwirkung mit dem perfekt periodischen Gitterpotential (Bloch-Wilson Bandisolatoren) 2. der Wechselwirkung mit einem periodisch modulierten Gitterpotential (Peierls Isolatoren) 3. der Streuung an Verunreinigungen und sonstigen unregelmäßigen Potentialfluktuationen (Anderson Isolatoren) Aufgabe: beschreibe unabhängige Elektronen in einem Potential! Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 7/40

42 II Charakterisierung von Isolatoren In der Kategorie II ist ein Vielteilchen-Problem zu lösen. Hierzu gehören Isolatoren aufgrund 4. der Elektron-Elektron Wechselwirkung (Mott Isolatoren). Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 8/40

43 II Charakterisierung von Isolatoren In der Kategorie II ist ein Vielteilchen-Problem zu lösen. Hierzu gehören Isolatoren aufgrund 4. der Elektron-Elektron Wechselwirkung (Mott Isolatoren). Die Klassifizierung ist rein theoretisch: in realen Materialien sind stets alle Wechselwirkungen präsent. Isolatoren werden benannt nach dem dominanten Mechanismus. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 8/40

44 II Charakterisierung von Isolatoren In der Kategorie II ist ein Vielteilchen-Problem zu lösen. Hierzu gehören Isolatoren aufgrund 4. der Elektron-Elektron Wechselwirkung (Mott Isolatoren). Die Klassifizierung ist rein theoretisch: in realen Materialien sind stets alle Wechselwirkungen präsent. Isolatoren werden benannt nach dem dominanten Mechanismus. Gemischte Fälle werden mit Begriffen wie Mott-Anderson Isolator belegt. Beispiel: im Mott-Anderson Isolator bewirken Elektron-Elektron Wechselwirkung und Verunreinigungsstreuung zusammen das isolierende Verhalten. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 8/40

45 II Charakterisierung von Isolatoren Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 9/40

46 II Charakterisierung von Isolatoren 3. Kriterium der Energielücke Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 9/40

47 II Charakterisierung von Isolatoren 3. Kriterium der Energielücke Annahme: schwache äußere elektrische Felder, die verschwindend wenig Anregungsenergie bereitstellen (ω 0). Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 9/40

48 II Charakterisierung von Isolatoren 3. Kriterium der Energielücke Annahme: schwache äußere elektrische Felder, die verschwindend wenig Anregungsenergie bereitstellen (ω 0). Resultat: lineare Antwort-Theorie ist anwendbar, es gilt das Fluktuations-Dissipations-Theorem: Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 9/40

49 II Charakterisierung von Isolatoren 3. Kriterium der Energielücke Annahme: schwache äußere elektrische Felder, die verschwindend wenig Anregungsenergie bereitstellen (ω 0). Resultat: lineare Antwort-Theorie ist anwendbar, es gilt das Fluktuations-Dissipations-Theorem: die Leitfähigkeit (Transport-Größe!) ist gegeben durch eine Strom-Strom Korrelationsfunktion im Gleichgewicht. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 9/40

50 II Charakterisierung von Isolatoren 3. Kriterium der Energielücke Annahme: schwache äußere elektrische Felder, die verschwindend wenig Anregungsenergie bereitstellen (ω 0). Resultat: lineare Antwort-Theorie ist anwendbar, es gilt das Fluktuations-Dissipations-Theorem: die Leitfähigkeit (Transport-Größe!) ist gegeben durch eine Strom-Strom Korrelationsfunktion im Gleichgewicht. Problem: die Strom-Strom Korrelationsfunktion ist eine Zweiteilchen-Größe. Sie beschreibt die Propagation einer Teilchen-Loch Anregung des Systems. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 9/40

51 II Charakterisierung von Isolatoren Lösung: Für Stromtransport müssen sowohl das Teilchen als auch das Loch (Einteilchenzustände) zu Kathode bzw. Anode propagieren. Daher muß das Kriterium der Energielücke gelten: Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 10/40

52 II Charakterisierung von Isolatoren Lösung: Für Stromtransport müssen sowohl das Teilchen als auch das Loch (Einteilchenzustände) zu Kathode bzw. Anode propagieren. Daher muß das Kriterium der Energielücke gelten: Die Einteilchenanregungen Teilchen bzw. Loch müssen makroskopisch ausgedehnt sein, ihre Anregungsenergie muß verschwindend gering sein. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 10/40

53 II Charakterisierung von Isolatoren Lösung: Für Stromtransport müssen sowohl das Teilchen als auch das Loch (Einteilchenzustände) zu Kathode bzw. Anode propagieren. Daher muß das Kriterium der Energielücke gelten: Die Einteilchenanregungen Teilchen bzw. Loch müssen makroskopisch ausgedehnt sein, ihre Anregungsenergie muß verschwindend gering sein. Für ein System mitn± 1-Teilchen, GrundzustandsenergieE 0 (N) und minimaler EnergieE0 ext (N± 1) für ausgedehnte Zustände: µ ± (N) := E ext 0 (N± 1) E 0(N), := µ + (N) µ (N), > 0 : Isolator (Lückenkriterium). Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 10/40

54 II Charakterisierung von Isolatoren Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 11/40

55 II Charakterisierung von Isolatoren 4. Endliche Temperaturen Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 11/40

56 II Charakterisierung von Isolatoren 4. Endliche Temperaturen Vorteile der Energielücke: 1. leichter zu berechnen (Einteilchen-Größe!); 2. relevante Energieskala, die mit thermischen Energienk B T verglichen werden kann. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 11/40

57 II Charakterisierung von Isolatoren 4. Endliche Temperaturen Vorteile der Energielücke: 1. leichter zu berechnen (Einteilchen-Größe!); 2. relevante Energieskala, die mit thermischen Energienk B T verglichen werden kann. Ist die Energielücke groß gegen die Temperatur, so zeigt die Leitfähigkeit ein aktiviertes Verhalten, ( σ DC α,β (k BT ) exp 2k B T (Experimentell zugängliches Kriterium für einen Isolator) ). Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 11/40

58 II Charakterisierung von Isolatoren 4. Endliche Temperaturen Vorteile der Energielücke: 1. leichter zu berechnen (Einteilchen-Größe!); 2. relevante Energieskala, die mit thermischen Energienk B T verglichen werden kann. Ist die Energielücke groß gegen die Temperatur, so zeigt die Leitfähigkeit ein aktiviertes Verhalten, ( σ DC α,β (k BT ) exp 2k B T (Experimentell zugängliches Kriterium für einen Isolator) Die so bestimmte Energielücke kann selbst von der Temperatur und anderen Systemvariablen λ abhängen, = (T, λ). ). Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 11/40

59 III Metall-Isolator Übergänge Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren? Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 12/40

60 III Metall-Isolator Übergänge Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren? 1. Thermodynamische Phasenübergänge Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 12/40

61 III Metall-Isolator Übergänge Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren? 1. Thermodynamische Phasenübergänge Die innere EnergieU wird in manchen Systemen optimiert in Zuständen mit gebrochener Symmetrie und langreichweitiger Ordnung: Magnetismus, Supraleitung, Gitterverzerrungen usw. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 12/40

62 III Metall-Isolator Übergänge Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren? 1. Thermodynamische Phasenübergänge Die innere EnergieU wird in manchen Systemen optimiert in Zuständen mit gebrochener Symmetrie und langreichweitiger Ordnung: Magnetismus, Supraleitung, Gitterverzerrungen usw. Die EntropieS wirkt geordneten Phasen entgegen. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 12/40

63 III Metall-Isolator Übergänge Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren? 1. Thermodynamische Phasenübergänge Die innere EnergieU wird in manchen Systemen optimiert in Zuständen mit gebrochener Symmetrie und langreichweitiger Ordnung: Magnetismus, Supraleitung, Gitterverzerrungen usw. Die EntropieS wirkt geordneten Phasen entgegen. Der Parameter TemperaturT kontrolliert die Konkurrenz zwischenu unds. Zu optimieren ist die freie Energie: F = U T S. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 12/40

64 III Metall-Isolator Übergänge Wie kann man Übergänge zwischen Metall und Isolator induzieren? 1. Thermodynamische Phasenübergänge Die innere EnergieU wird in manchen Systemen optimiert in Zuständen mit gebrochener Symmetrie und langreichweitiger Ordnung: Magnetismus, Supraleitung, Gitterverzerrungen usw. Die EntropieS wirkt geordneten Phasen entgegen. Der Parameter TemperaturT kontrolliert die Konkurrenz zwischenu unds. Zu optimieren ist die freie Energie: F = U T S. Konsequenz: thermodynamischer Phasenübergang beit c mit geordnetem Zustand fürt <T c und ungeordnetem Zustand beit >T c. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 12/40

65 III Metall-Isolator Übergänge In manchen Systemen öffnet sich beim thermodynamischen Phasenübergang eine Lücke für stromtragende Anregungen, weiche Lücke : (T <T c )>0, (T T c )=0. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 13/40

66 III Metall-Isolator Übergänge In manchen Systemen öffnet sich beim thermodynamischen Phasenübergang eine Lücke für stromtragende Anregungen, weiche Lücke : (T <T c )>0, (T T c )=0. Phasendiagramm: T T c (λ) not ordered (good conductor) metal ordered (bad conductor) insulator λ c λ Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 13/40

67 III Metall-Isolator Übergänge In manchen Systemen öffnet sich beim thermodynamischen Phasenübergang eine Lücke für stromtragende Anregungen, weiche Lücke : (T <T c )>0, (T T c )=0. Phasendiagramm: T T c (λ) not ordered (good conductor) metal ordered (bad conductor) insulator λ c λ Der Punkt(T = 0,λ c ) ist ein quanten-kritischer Punkt. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 13/40

68 III Metall-Isolator Übergänge In manchen Systemen öffnet sich beim thermodynamischen Phasenübergang eine Lücke für stromtragende Anregungen, weiche Lücke : (T <T c )>0, (T T c )=0. Phasendiagramm: T T c (λ) not ordered (good conductor) metal ordered (bad conductor) insulator λ c λ Der Punkt(T = 0,λ c ) ist ein quanten-kritischer Punkt. Der Übergang als Funktion vonλbei(t = 0,λ c ) heißt Quanten-Phasenübergang. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 13/40

69 III Metall-Isolator Übergänge Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 14/40

70 III Metall-Isolator Übergänge 2. Quanten-Phasenübergänge bei Temperatur T = 0 Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 14/40

71 III Metall-Isolator Übergänge 2. Quanten-Phasenübergänge bei Temperatur T = 0 Die kinetische Energie ˆT bevorzugt eine homogene Verteilung der Elektronen im Grundzustand des Systems. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 14/40

72 III Metall-Isolator Übergänge 2. Quanten-Phasenübergänge bei Temperatur T = 0 Die kinetische Energie ˆT bevorzugt eine homogene Verteilung der Elektronen im Grundzustand des Systems. Die potentielle Energie ˆV bevorzugt in manchen Systemen einen Grundzustand mit Lücke für stromtragende Anregungen. Dieser Zustand kann geordnet sein, muß es aber nicht! Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 14/40

73 III Metall-Isolator Übergänge 2. Quanten-Phasenübergänge bei Temperatur T = 0 Die kinetische Energie ˆT bevorzugt eine homogene Verteilung der Elektronen im Grundzustand des Systems. Die potentielle Energie ˆV bevorzugt in manchen Systemen einen Grundzustand mit Lücke für stromtragende Anregungen. Dieser Zustand kann geordnet sein, muß es aber nicht! Der Systemparameterλ(zum Beispiel Druck, Elektronendichte) kontrolliert die Konkurrenz zwischen ˆT und ˆV. Zu optimieren ist die Grundzustandsenergie:E 0 = ˆT+ˆV 0. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 14/40

74 III Metall-Isolator Übergänge 2. Quanten-Phasenübergänge bei Temperatur T = 0 Die kinetische Energie ˆT bevorzugt eine homogene Verteilung der Elektronen im Grundzustand des Systems. Die potentielle Energie ˆV bevorzugt in manchen Systemen einen Grundzustand mit Lücke für stromtragende Anregungen. Dieser Zustand kann geordnet sein, muß es aber nicht! Der Systemparameterλ(zum Beispiel Druck, Elektronendichte) kontrolliert die Konkurrenz zwischen ˆT und ˆV. Zu optimieren ist die Grundzustandsenergie:E 0 = ˆT+ˆV 0. Konsequenz: der Quanten-Phasenübergang kann zu einem Metall-Isolator Übergang führen, Metall fürλ<λ c Isolator fürλ>λ c. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 14/40

75 III Metall-Isolator Übergänge Für einen Übergang ohne Symmetriebrechung erwartet man eine harte Lücke : (T,λ>λ c )>0, die nicht wesentlich von der Temperatur abhängt. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 15/40

76 III Metall-Isolator Übergänge Für einen Übergang ohne Symmetriebrechung erwartet man eine harte Lücke : (T,λ>λ c )>0, die nicht wesentlich von der Temperatur abhängt. Idealisiertes Phasendiagramm: T good conductor metal cross-over regime bad semi- semimetal conductor conduc- tor λ c insulator λ Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 15/40

77 III Metall-Isolator Übergänge Für einen Übergang ohne Symmetriebrechung erwartet man eine harte Lücke : (T,λ>λ c )>0, die nicht wesentlich von der Temperatur abhängt. Idealisiertes Phasendiagramm: T good conductor metal cross-over regime bad semi- semimetal conductor conduc- tor λ c insulator λ Der Quanten-Phasenübergang bei(t = 0,λ c ) induziert ein cross-over Verhalten der Leitfähigkeit bei endlichen Temperaturen, keine Singularitäten. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 15/40

78 III Metall-Isolator Übergänge Wechselwirkungen ˆV 1, die klein gegen ˆT und ˆV sind, werden in der Nähe des Quanten-Phasenübergangs wichtig: λ λ c wird zum kleinen Parameter der Summe ˆT+ˆV. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 16/40

79 III Metall-Isolator Übergänge Wechselwirkungen ˆV 1, die klein gegen ˆT und ˆV sind, werden in der Nähe des Quanten-Phasenübergangs wichtig: λ λ c wird zum kleinen Parameter der Summe ˆT+ˆV. Konsequenz: geordnete Phasen verbergen den Quanten-Phasenübergang. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 16/40

80 III Metall-Isolator Übergänge Wechselwirkungen ˆV 1, die klein gegen ˆT und ˆV sind, werden in der Nähe des Quanten-Phasenübergangs wichtig: λ λ c wird zum kleinen Parameter der Summe ˆT+ˆV. Konsequenz: geordnete Phasen verbergen den Quanten-Phasenübergang. Vollständiges Phasendiagramm (Übergänge können erster oder zweiter Ordnung sein): T good conductor cross over bad conductor ordered phase λ Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 16/40

81 IV Bloch-Wilson Bandisolator Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 17/40

82 IV Bloch-Wilson Bandisolator 1. Prinzip Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 17/40

83 IV Bloch-Wilson Bandisolator 1. Prinzip Annahmen: 1. perfekt periodisches Gitterpotential der Ionen 2. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 17/40

84 IV Bloch-Wilson Bandisolator 1. Prinzip Annahmen: 1. perfekt periodisches Gitterpotential der Ionen 2. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung Konsequenz: Einteilchen-Problem Ĥ Φ =E Φ mit dem Hamilton-Operator (in zweiter Quantisierung) Ĥ= σ ( d r ˆΨ σ + ( r) 2 2m 2 + ) U( r R i ) ˆΨ σ ( r) R i Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 17/40

85 IV Bloch-Wilson Bandisolator Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 18/40

86 IV Bloch-Wilson Bandisolator Resultat: EnergiebänderE n ( k) mit Bandindexnfür Bloch-Wellen mit Kristallimpuls k aus der ersten Brillouin-Zone. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 18/40

87 IV Bloch-Wilson Bandisolator Resultat: EnergiebänderE n ( k) mit Bandindexnfür Bloch-Wellen mit Kristallimpuls k aus der ersten Brillouin-Zone. Bandisolator: 1. vollständig gefüllte ValenzbänderEn( v k), 2. leere LeitungsbänderEn c( k). Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 18/40

88 IV Bloch-Wilson Bandisolator Resultat: EnergiebänderE n ( k) mit Bandindexnfür Bloch-Wellen mit Kristallimpuls k aus der ersten Brillouin-Zone. Bandisolator: 1. vollständig gefüllte ValenzbänderEn( v k), 2. leere LeitungsbänderEn c( k). 3. Energielücke für Einteilchen-Anregungen [ = Min En( c k) E m( v ] k) k,m,n. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 18/40

89 IV Bloch-Wilson Bandisolator Resultat: EnergiebänderE n ( k) mit Bandindexnfür Bloch-Wellen mit Kristallimpuls k aus der ersten Brillouin-Zone. Bandisolator: 1. vollständig gefüllte ValenzbänderEn( v k), 2. leere LeitungsbänderEn c( k). 3. Energielücke für Einteilchen-Anregungen [ = Min En( c k) E m( v ] k) k,m,n. Bedingung für einen Bandisolator: pro Einheitszelle muß eine gerade Anzahl von Elektronen vorliegen, denn die Elektronen haben Spinσ =,! Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 18/40

90 IV Bloch-Wilson Bandisolator Energielücke für Einteilchen-Anregungen [ ] = Min En c ( k) Em v ( k) k,m,n. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 19/40

91 IV Bloch-Wilson Bandisolator Energielücke für Einteilchen-Anregungen [ ] = Min En c ( k) Em v ( k) k,m,n. Schematische Zustandsdichten E wide-gap insulator (a) intrinsic semicond. (b) two-band semimetal (c) one-band metal (d) Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 19/40

92 IV Bloch-Wilson Bandisolator Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 20/40

93 IV Bloch-Wilson Bandisolator 2. Bloch-Wilson Übergang in Ytterbium unter Druck Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 20/40

94 IV Bloch-Wilson Bandisolator 2. Bloch-Wilson Übergang in Ytterbium unter Druck Leitfähigkeit bei einem Quanten-Phasenübergang Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 20/40

95 IV Bloch-Wilson Bandisolator 2. Bloch-Wilson Übergang in Ytterbium unter Druck Leitfähigkeit bei einem Quanten-Phasenübergang Aufgrund des Drucks verändern sich Matrixelemente der Hybridisierung zwischendundf Elektronen, ein Loch-Ellipsoid verschwindet unter Druck. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 20/40

96 V Peierls Isolator Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 21/40

97 V Peierls Isolator 1. Prinzip Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 21/40

98 V Peierls Isolator 1. Prinzip Annahmen: 1. statisch deformierbares Gitter 2. stark anisotrop: quasi-eindimensional 3. einzelnes Band am Fermi-Wellenvektork F 4. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 21/40

99 V Peierls Isolator 1. Prinzip Annahmen: 1. statisch deformierbares Gitter 2. stark anisotrop: quasi-eindimensional 3. einzelnes Band am Fermi-Wellenvektork F 4. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung Konsequenz: Einteilchen-Problem mit dem Hamilton-Operator Ĥ= σ dx ˆΨ + σ (x) ( 2 2m d 2 ) dx 2+δ sin(2k Fx) ˆΨ σ (x)+cδ 2 Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 21/40

100 V Peierls Isolator 1. Prinzip Annahmen: 1. statisch deformierbares Gitter 2. stark anisotrop: quasi-eindimensional 3. einzelnes Band am Fermi-Wellenvektork F 4. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung Konsequenz: Einteilchen-Problem mit dem Hamilton-Operator Ĥ= σ dx ˆΨ + σ (x) ( 2 2m d 2 ) dx 2+δ sin(2k Fx) ˆΨ σ (x)+cδ 2 selbstkonsistent zu lösen für die wellenförmige Modulationδ des Gitters mit Wellenzahl 2k F (Ladungsdichtewelle) Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 21/40

101 V Peierls Isolator Die Ladungsdichtewelle kostet elastische Energie proportional zuδ 2 bringt kinetische Energie proportional zuδ 2 ln(δ) Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 22/40

102 V Peierls Isolator Die Ladungsdichtewelle kostet elastische Energie proportional zuδ 2 bringt kinetische Energie proportional zuδ 2 ln(δ) Die geordnete Phase existiert nur bei tiefen Temperaturen (thermodynamischer Phasenübergang). Die Ladungsdichtewelle zeigt eine Einteilchen-Lücke. Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 22/40

103 V Peierls Isolator Die Ladungsdichtewelle kostet elastische Energie proportional zuδ 2 bringt kinetische Energie proportional zuδ 2 ln(δ) Die geordnete Phase existiert nur bei tiefen Temperaturen (thermodynamischer Phasenübergang). Die Ladungsdichtewelle zeigt eine Einteilchen-Lücke. Bandstruktur des Peierls Isolators bei TemperaturT = 0 Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 22/40

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= 8.28 10 23 g = 50u. n = 1 a 3 = = 2.02 10 8 = 2.02Å. 2 a. k G = Die Dispersionsfunktion hat an der Brillouinzonengrenze ein Maximum; dort gilt also Aufgabe 1 Ein reines Material habe sc-struktur und eine Dichte von 10 g/cm ; in (1,1,1) Richtung messen Sie eine Schallgeschwindigkeit (für große Wellenlängen) von 000 m/s. Außerdem messen Sie bei nicht

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