Der größte gemeinsame Teiler Das kleinste gemeinsame Vielfache

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1 Der größte gemeinsame Teiler Das kleinste gemeinsame Vielfache

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 2 Impressum... 3 Der größte gemeinsame Teiler - ggt... 5 Das Bestimmen des ggt... 7 Das kleinste gemeinsame Vielfache - kgv... 9 Das Bestimmen des kgv Textaufgaben zur Teilbarkeit Seite 2

3 Impressum Produktion: leitner.interactive, Äußere Buchleuthe 58, Kaufbeuren Herausgeber: e/t/s Didaktische Medien GmbH Kirchstraße Halblech Autor: Bfw Bad Pyrmont Rechte: Copyright 2006 e/t/s Didaktische Medien GmbH, Halblech. Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten. Text, Abbildungen und Programme wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Herausgeber, Programmierer und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Namensschutz: Die meisten in dieser Einheit erwähnten Soft- und Hardwarebezeichnungen sind auch eingetragene Marken und unterliegen als solche den gesetzlichen Bestimmungen. Microsoft, Windows und andere Namen von Produkten der Firma Microsoft, die in dieser Qualifizierungseinheit erwähnt werden, sind eingetragene Warenzeichen der Microsoft Corporation. Inhaltliche Verantwortung: Diese Qualifizierungseinheit enthält Verweise (sogenannte Hyperlinks) auf Seiten im World Wide Web. Wir möchten darauf hin weisen, dass wir keinen Einfluss auf die Gestaltung sowie die Inhalte der gelinkten Seiten haben. Deshalb distanzieren wir uns hiermit ausdrücklich von allen Inhalten der Seiten, auf die aus unserem Lerninhalt verwiesen wird. Diese Erklärung gilt für alle in diesem Lerninhalt ausgebrachten Links und für alle Inhalte der Seiten, zu denen Links oder Banner führen. Seite 3

4 Qualifizierungseinheit Teilbarkeit, Primzahlen Lernziele: Wenn Sie diese Qualifizierungseinheit bearbeitet haben, kennen Sie die Teilerregeln können Sie die Teiler natürlicher Zahlen bestimmen wissen Sie, was Primzahlen sind können Sie Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen kennen Sie ggt und kgv und können sie bestimmen Methodische Hinweise Sie sollen diesen Brief möglichst selbstständig bearbeiten. In kleinen Schritten bieten wir Ihnen den Lernstoff an. Die Lösungen sind meist auf einer der nächsten Seiten. Sie können die Übungsaufgaben direkt im Heft lösen, überlegen Sie aber, ob es nicht sinnvoller sein kann, die Aufgaben auf kariertem Papier zu bearbeiten. Das erleichtert Ihnen nicht nur das Rechnen, Sie haben auch die Möglichkeit, später einige Aufgaben zu wiederholen. Vielleicht entscheiden Sie sich auch, nur einen kleinen Teil der Übungen zu rechnen, weil Sie sicher im Verfahren sind. Denn schließlich wollen Sie schon Gelerntes auffrischen! Wir freuen uns, wenn unsere Hinweise Ihnen helfen Rechenwege, die Ihnen in der Vergangenheit Schwierigkeiten bereitet haben, jetzt vielleicht besser zu verstehen. Teilen Sie die Arbeit in Arbeitseinheiten von ca. 90 Min. pro Tag ein und vergessen Sie alle 20 bis 30 Min. die Pausen mit Keks, Tee, Kaffee und frischer Luft nicht. Den Taschenrechner sollten Sie nicht verwenden! Und ansonsten wünschen wir Ihnen viel Spaß! Seite 4

5 Der größte gemeinsame Teiler - ggt Teiler, die mehreren Zahlen gemeinsam sind, heißen gemeinsame Teiler dieser Zahlen. Überlegen Sie, welche gemeinsamen Teiler folgende Zahlengruppen haben! Beispiel: 24 ist teilbar durch 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, ist teilbar durch 1, 2, 4, 8, 16, ist teilbar durch 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 Gemeinsam sind den Zahlen die Teiler 1, 2, 4, 8. Damit ist die größte Zahl, durch die alle teilbar sind, die 8. Die größte Zahl, durch die mehrere Zahlen teilbar sind, heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) dieser Zahlen. Haben Zahlen nur die 1 als gemeinsamen Teiler, sind die Zahlen teilerfremd. Sie können den ggt auch mit Hilfe der Primzahlzerlegungen erkennen. Sortieren Sie die Faktoren so, dass nur gleiche untereinander stehen! 24 = 2 * 2 * 2 * 3 32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 48 = 2 * 2 * 2 * 3 * 2 ggt= 2 * 2 * 2 = 8 Seite 5

6 Aufgabe 1: Versuchen Sie es nun selbst! Überlegen Sie, welche gemeinsamen Teiler folgende Zahlengruppen haben und welches der ggt ist. gemeinsame Teiler von 21, 35 gemeinsame Teiler von 25, 125, 625 gemeinsame Teiler von 48, 96, 240 gemeinsame Teiler von 36, 48, 84 gemeinsame Teiler von 150, 30, 210 gemeinsame Teiler von 65, 16, 49, 9 Seite 6

7 Das Bestimmen des ggt Wenn man den ggt nicht sofort erkennt oder durch "Probieren" herausbekommt, kann man sich helfen: 1. Schritt: Zerlegen Sie alle Zahlen in Ihre Primfaktoren! 2. Schritt: Suchen Sie die Faktoren heraus, die in jeder Zerlegung vorkommen und schreiben Sie sie heraus! 3. Schritt: Multiplizieren Sie die gemeinsamen Faktoren! Ihr Ergebnis ist der ggt. Beispiel: 42, 12, = 2 * 3 * 7 12 = 2 * 3 * 2 18 = 2 * 3 * 3 ggt= 2 * 3 = 6 Tipp: Schreiben Sie nur gleiche Primfaktoren untereinander! Nehmen Sie für jede neue Zahl eine neue Spalte! Seite 7

8 Aufgabe 2 Bestimmen Sie den ggt von: 48 = 46 = 72 = 115 = 108 = 230 = ggt = ggt = 72 = 160 = 90 = 176 = 77 = 192 = ggt = ggt = 350 = 144 = 420 = 720 = 455 = 2880 = ggt = ggt = 1250 = 153 = 625 = 190 = 25 = 340 = ggt = ggt = Seite 8

9 Das kleinste gemeinsame Vielfache - kgv Drei Männer kommen in einem Wirtshaus am Stammtisch zusammen. Es stellt sich heraus, dass einer von ihnen jeden dritten Tag kommt, der nächste jeden vierten Tag und der dritte jeden fünften Tag. Am wievielten Tag treffen sich alle am Stammtisch wieder? Sie suchen einen Tag, der in den Dreierrhythmus des einen, den Viererrhythmus des zweiten und die Fünferabstände des dritten passt. Sie suchen den nächsten Tag, der diese Bedingungen erfüllt. Um die Lösung zu bestimmen, müssen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) von 3, 4 und 5 suchen. Seite 9

10 Das Bestimmen des kgv Bei einigen Zahlen können Sie mit geübtem Blick überschauen, welche Zahlen gleichzeitig Vielfache von mehreren Zahlen sind. Beispiel: kgv(3; 4; 6) =? Sie suchen die kleinste Zahl, die Vielfaches von 3, 4 und auch 6 ist. Das ist 12! Aufgabe 1: Bestimmen Sie das kgv durch einfaches Abschätzen und Überlegen! kgv(3 und 5) = kgv(4 und 6) = kgv(8 und 6) = kgv(5 und 4) = kgv(12 und 8) = kgv(16 und 8) = kgv(3; 2; 5) = kgv(3; 6; 9) = kgv(15; 6; 10) = kgv(10; 15; 20) = kgv(20; 25; 5) = kgv(12; 5; 10) = kgv(30; 40; 60) = kgv(10; 15; 50) = kgv(2; 7; 5; 3) = Seite 10

11 Wenn Sie nicht sofort erkennen, welches das kleinste gemeinsame Vielfache ist, erzeugen Sie diese Zahl, die durch alle vorgegebenen Zahlen teilbar sein muss, mit Hilfe der Primfaktorzerlegung! Dabei soll die Zahl aber so klein wie möglich bleiben. 1. Schritt: Zerlegen Sie alle Zahlen in ihre Primfaktoren! (Beherzen Sie dabei die Tipps auf Seite 35!) 2. Schritt: Suchen Sie alle Faktoren heraus, die bei der Zerlegung vorkommen! 3. Schritt: Multiplizieren Sie alle vorkommenden Faktoren, Ihr Ergebnis ist das kgv! Beispiel: 54 = 2 * 3 * 3 * 3 78 = 2 * 3 * = 3 * 3 * 5 kgv = 2 * 3 * 3 * 3 * 13 * 5 = = 3 * 3 * 3 39 = 3 * = 3 * 3 * 3 * 2 kgv = 3 * 3 * 3 * 13 * 2 = 702 Je mehr gemeinsame Teiler die Zahlen haben, desto niedriger bleibt das kgv. Je unterschiedlicher die Faktoren, desto höher fällt das kgv aus! Übrigens: Wann treffen sich unsere drei Männer eigentlich im Gasthaus am Stammtisch wieder? Aufgabe 2 Suchen Sie das kgv: 12, 14, 16 24, 36, 48 18, 24, 30 56, 42, 72 49, 56, ,54, , 375, , 48, , 33, 13 47, 23, 17 Seite 11

12 Textaufgaben zur Teilbarkeit 1. Eine Kindergartengruppe hat 30 Kinder. Wie können Sie die Kinder in gleich große Gruppen teilen, ohne dass eins übrig bleibt? 2. Ein Schwimmbecken fasst 264 m 3 Wasser. Länge und Breite des Beckens sind jeweils ganze Meter. Welche Möglichkeiten für die Maße des Beckens ergeben sich bei 2 m Wassertiefe? 3. Ein Fährmann transportiert mehr als 10 Kinder mit weniger als 10 Fahrrädern. Multipliziert man das Alter des Fährmanns mit der Anzahl der Kinder und Fahrräder, erhält man Wie alt ist der Fährmann? Wie viele Kinder und wie viele Fahrräder sind an Bord? 4. Ein Busunternehmer hat 3 Reisebusse. Er bietet jedoch 4 verschiedene Reisen an, eine einwöchige, eine zweiwöchige und eine dreiwöchige, die jeweils montags beginnen. Darüber hinaus macht er eine 10-tägige Reise, die auch in 10-tägigem Abstand beginnt. So kommt es manchmal vor, dass er zu bestimmten Terminen 4 Busse benötigt und einen Subunternehmer beschäftigen muss. Berechnen Sie, alle wie viel Wochen er einen 4. Bus braucht! 5. Beim Sommerfest gibt es ein Spiel ohne Grenzen. An einer Station spielt jede Mannschaft in Paaren, an einer anderen zu dritt, eine weitere Station erfordert Vierergruppen. Aus wie vielen Personen sollte eine Mannschaft bestehen, damit immer alle Personen im Einsatz sind? 6. Suchen Sie folgende Primzahl unter 100: Wäre sie um 1 größer, entsteht eine Zweierpotenz, wäre sie um 1 kleiner, ein Vielfaches von 5! 7. Nennen Sie eine Zahl, die durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 teilbar ist! 8. Alle 14 Tage schicken wir Ihnen einen Lernbrief zu. Alle 4 Tage ist Ihr Kaffee leer. Alle 3 Tage kommt Ihre Oma zu Besuch. In welchen Abständen passiert es, dass Sie einen neuen Lernbrief bekommen, Ihre Oma ist zu Besuch und der Kaffee ist leer? Seite 12

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