50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 5. Klasse

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1 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 5. Klasse Nicht nur die eigentliche Lösung der Aufgaben, auch dein Lösungsweg ist wichtig. Notiere daher auch die notwendigen Begründungen und Nebenrechnungen. Aufgabe 1: Hier findest du sieben Zahlenfolgen. Sie fangen bis auf die letzte immer mit den Zahlen und 3 an, gehen dann aber unterschiedlich weiter: Sie sind jeweils nach einer anderen Vorschrift aufgebaut. Setze jede Zahlenfolge um drei Zahlen fort und gib jeweils die Vorschrift an. a), 3, 5, 8, 1, 17, 3, 30,,, b), 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6,,, c), 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, 6,,, d), 3, 4, 3, 5, 7, 5, 8, 11, 8, 1, 16,,, e), 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6,,, f), 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89,,, g) 1, 1,, 4, 8, 16,,, Aufgabe : Jens kommt kurz vor seinem Geburtstag zu seinem Opa. Opa holt einen großen Sack mit vielen Münzen und sagt: Pass mal auf, Jens. In diesem Sack sind viele Münzen mit allen Werten, die es gibt, also 1 Cent, Cent, 5 Cent, 10 Cent, 0 Cent, 50 Cent, 1 Euro und Euro. Du darfst dir davon 0 Münzen aussuchen halt, stopp, warte aber du musst aus diesen 0 Münzen zwei Geldbeträge gleichzeitig auf den Tisch legen können; einer soll 5,34e betragen, der andere 4,66 e. Zehn Euro sind dir also sicher. Ach ja, unter den Münzen, die du dir aussuchst, soll jeder Münzwert mindestens einmal vorkommen. So, wie viel Geld schenke ich dir maximal? a) Beantworte die Frage für Jens. b) Wie viel hätte Jens maximal geschenkt bekommen, wenn er die Geldbeträge 5,35 e und 4,65e hätte legen sollen und Opa immer noch gefordert hätte, dass unter den Münzen, die Jens sich aussucht, alle Münzwerte mindestens einmal vorkommen? Aufgabe 3: Niklas hat die gegebene Figur in der rechten Abbildung gezeichnet und will die in ihr vorkommenden Vierecke zählen. Dazu überlegt er erst einmal, welche verschiedenen Formen und Größen von Vierecken vorkommen; er entschließt sich, sich auf Quadrate, Rechtecke, die keine Quadrate sind, und Parallelogramme, die keine Rechtecke sind, zu beschränken. Suche nach diesen Quadraten, Rechtecken und Parallelogrammen in der Figur. Dabei sollen sich diese Vierecke in Form oder Größe unterscheiden, sie sollen also nicht deckungsgleich sein. Zeichne für jedes der verschieden aussehenden Vierecke eine neue Grundfigur und kennzeichne das Viereck farbig. Schreibe neben jede Zeichnung, wie oft man dieses Viereck in der Grundfigur finden kann.

2 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 6. Klasse Nicht nur die eigentliche Lösung der Aufgaben, auch dein Lösungsweg ist wichtig. Notiere daher auch die notwendigen Begründungen und Nebenrechnungen. Hinweis: In Absprache mit deiner Mathelehrerin/ deinem Mathelehrer kann vereinbart werden, dass aus den folgenden vier Aufgaben drei ausgewählt werden: Aufgabe 1: Maria und Rebecca kramen auf dem Dachboden beim Opa in alten Kisten. Opa war Mathematiklehrer und hat sich gerne Kryptogramme ausgedacht. Sie finden vier Stück und wollen sie nun lösen. Beim Knobeln stellen sie fest, dass das gar nicht so einfach geht, denn es sind Kryptogramme dabei, die mehrere Lösungen haben. A B B + B B A A B + A C A B C + D E F A B C F A C C A B C Kryptogramm (1) D C B Kryptogramm () G H I Kryptogramm (3) B A G Kryptogramm (4) In einem Kryptogramm werden gleiche Buchstaben durch gleiche Ziffern ersetzt und verschiedene Buchstaben durch verschiedene Ziffern. Der erste Buchstabe jeder Zahl darf keine 0 sein. a) Finde eine Lösung des Kryptogramms (1). b) Finde alle Lösungen des Kryptogramms (). c) Finde eine Lösung des Kryptogramms (3). d) Finde drei verschiedene Lösungen des Kryptogramms (4). In jeder der drei Lösungen soll der Buchstabe A durch eine andere Ziffer ersetzt werden. Aufgabe : Jede natürliche Zahl hat eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren (PFZ). Zum Beispiel ist 36 = 3 3 = 3 oder 130 = Wir nennen in dieser Aufgabe die Anzahl der Primfaktoren einer Zahl ihre Primlänge. Die beiden Zahlen 36 und 130 haben also beide die Primlänge 4. a) Welche Primlänge können zweistellige Zahlen höchstens haben? b) Gib alle zweistelligen Zahlen an, die diese größtmögliche Primlänge aufweisen. c) Gib alle zweistelligen Zahlen mit der Primlänge 5 an. d) Finde die größte Primlänge für dreistellige Zahlen. e) Gib alle dreistelligen Zahlen an, die diese größte Primlänge aufweisen.

3 Aufgabe 3: Die drei Freunde Michi, Niki und Omar aus Hamburg kommen zum Abschluss ihrer Schulzeit auf eine ausgefallene Idee. Sie wollen einen Ausflug zur 150 km entfernten Floßburg machen. Das Ausgefallene an ihrem Plan ist, dass sie nur einen Motorroller für zwei Personen zur Verfügung haben. Natürlich können sie auch zu Fuß gehen; ein Fußgänger schafft 5 km in der Stunde. Sie sprechen mehrere Möglichkeiten durch, um ihr Vorhaben umzusetzen. a) Omar sagt: Keiner von uns soll laufen. Und wir lassen den Roller ganz gemütlich mit 60 km/h fahren. Wie können sie es machen und wie lange dauert es dann, bis alle drei an der Floßburg sind? b) Das dauert Niki zu lange. Er erklärt sich bereit, zur selben Zeit, in der seine beiden Freunde mit dem Roller zur Floßburg starten, in Hamburg loszulaufen. Er will vier Stunden gehen und dann warten, bis ihn einer seiner Freunde abholt. Er möchte aber auch, dass der Roller solange mit 70 km/h gefahren wird, bis er abgeholt wird; danach soll der Roller mit 65 km/h fahren. Wie lange wäre dann die Wartezeit für Niki, und wie lange dauert es, bis alle an der Floßburg sind? c) Michi sagt: Der Roller kann auch 75 km/h fahren. Ich laufe in Hamburg los, ihr fahrt zur Floßburg, dann soll einer sofort umdrehen und mich unterwegs aufnehmen. Wie weit muss Michi nach seiner Idee laufen? Wie lange dauert es, bis alle drei Freunde auf diese Weise zur Floßburg kommen? (Vor einer genauen Lösung ist eine Schätzung sinnvoll.) Aufgabe 4: In einem Puzzle gibt es acht verschiedene, rechtwinklige, flächengleiche Formen, die jeweils 8 Kästchen umfassen. Von jeder Form sind ausreichend viele Teile vorhanden, die auch gedreht und umgeklappt verwendet werden dürfen. (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) a) Wähle drei verschiedene Teile aus den 8 Puzzle-Formen aus und lege daraus ein Rechteck. Finde zwei Möglichkeiten, in denen alle drei Puzzle-Formen unterschiedlich sind. b) Wie viele dieser Rechtecke aus a) benötigst du, um daraus das kleinstmögliche Quadrat zu legen? Wie groß ist die Seitenlänge dieses Quadrates? c) Lege ein Quadrat (1 1 Kästchen) mit nur zwei verschiedenen Puzzle-Formen aus; sie müssen nicht in der gleichen Anzahl vorkommen. Gib zwei Möglichkeiten an, in denen nicht die beiden gleichen Puzzle-Formen verwendet werden. d) Wähle fünf verschiedene Formen aus und lege aus diesen fünf Teilen ein Rechteck. e) Wenn du Zeit und Lust hast: Lege aus acht verschiedenen Puzzle-Teilen ein Quadrat.

4 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 7. Klasse Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar sein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen bzw. Teilergebnissen gelangt bist. Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar. Aufgabe 1: Tim und Stefanie unterhalten sich und stellen fest, dass die Mathematik- Olympiade dieses Jahr ihren 50. Geburtstag feiert. Darauf meint Stefanie, dass sie ein gutes Rätsel kenne. Tim will es sofort hören. Also sagt Stefanie: Denke dir eine Zahl und addiere zu ihr 17, multipliziere das Ergebnis mit 3 und subtrahiere deine Zahl. Anschließend subtrahiere 1. Danach dividiere das Ergebnis durch und subtrahiere erneut die von dir gedachte Zahl, abschließend multipliziere mit. Wetten, du erhältst 50? Obwohl Tim das vorausgesagte Ergebnis erhält, will er nicht glauben, dass jede beliebige Zahl die Geburtstagszahl der Mathematik-Olympiade liefert. a) Zeige an einem selbstgewählten Beispiel, dass Stefanie bei diesem Beispiel recht hat. b) Untersuche, ob man bei jeder gedachten Zahl tatsächlich das von Stefanie vorausgesagte Ergebnis erhält. Aufgabe : Auf einem Tisch stehen 4 geschlossene Kästchen. Eines davon enthält Goldklumpen, eines Sand, eines Kieselsteine und eines Holzkugeln. Drei dieser Kästchen sind beschriftet. Auf einem steht Gold oder Sand, auf einem anderen Kieselsteine oder Holz und auf dem dritten Gold oder Holz. Anna darf sich eines dieser Kästchen auswählen und möchte natürlich das mit dem Gold bekommen. Sie erfährt, dass alle Aufschriften der Wahrheit entsprechen. Anna darf zwar keines der Kästchen anfassen, aber bevor sie eines auswählt, darf sie sich eines öffnen lassen und hineinschauen. Untersuche, ob es für Anna eine Möglichkeit gibt, mit Sicherheit das Kästchen mit dem Gold zu erhalten. Aufgabe 3: Ein Dreieck ABC hat die folgenden Eigenschaften: (1) Die Strecken AC und BC sind gleich lang. () Die Winkelhalbierende des Innenwinkels BAC schneidet die Seite BC im Punkt E. (3) Die Gerade AE steht senkrecht auf der Seite BC. Untersuche, ob sich aus diesen Angaben die Größen der Innenwinkel im Dreieck ABC eindeutig bestimmen lassen. Wenn dies der Fall ist, dann gib diese Winkelgrößen an.

5 Mathematische Grundlagen: Viele mathematische Aufgaben kann man den Grundtypen Beweisaufgabe oder Bestimmungsaufgabe zuordnen. Eine Beweisaufgabe enthält gegebene Bedingungen odergrößen. Das herzuleitende Ziel ist bekannt. Wie beim Beweis eines mathematischen Satzes lassen sich die Aussagen in Voraussetzung und Behauptung aufspalten und in der Wenn-dann-Form formulieren. Ein Beweis ist erbracht, wenn man von den Voraussetzungen ausgehend in endlich vielen Schritten über logisch abgeleitete Feststellungen zur Behauptung gelangt. Jeder Beweisschritt ist eine Schlussfolgerung. Eine Schlussfolgerung kann notiert werden, indem festgehalten wird, von welchen Voraussetzungen oder abgeleiteten Feststellungen ausgehend man zu welcher neuen Feststellung gelangt und welches Beweismittel dabei eingesetzt wurde. Als Beweismittel dürfen mathematische Sätze, Definitionen, Formeln oder Umformungsregeln verwendet werden. Jede Bestimmungsaufgabe, hier Aufgabe 3, enthält gegebene Bedingungen odergrößen und gesuchte, unbekannte Größen. Eine gesuchte Größe im mathematischen Sinne zu bestimmen heißt, diese Größe aus den gegebenen Größen und eventuell weiteren wahren Aussagen durch korrektes logisches Schließen durch Anwendung mathematischer Sätze und mathematisch zulässiger Umformungen zu ermitteln. Es ist dabei im Allgemeinen auch zu untersuchen, ob das zu bestimmende Objekt überhaupt existiert und, wenn es existiert, ob es eindeutig bestimmt ist. Die Lösung einer Bestimmungsaufgabe kann man daher im Allgemeinen in zwei Schritte gliedern: Im ersten Schritt nimmt man die Existenz der Lösung an und zeigt, dass die Lösungen zu einer hergeleiteten Menge gehören müssen. Im zweiten Schritt zeigt man, dass die Elemente dieser Menge tatsächlich Lösungen sind. Dieser Schritt heißt daher auch Existenzbeweis oder Probe. Eine Bestimmungsaufgabe kann also mehrere Beweise beinhalten. Etwas komplizierter ist die Situation bei Aufgaben, bei denen zu untersuchen ist, ob etwas existiert. Je nachdem, ob man die Nichtexistenz oder die Existenz vermutet, sind unterschiedliche Beweise zu führen. Bei der Nichtexistenz könnte es ein Widerspruchsbeweis sein und wir hätten eine Beweisaufgabe. Zum Nachweis der Existenz einer Lösung könnte man zum Beispiel eine Lösung angeben. Diese Lösung herzuleiten ist eine Bestimmungsaufgabe. Um angeben zu können, aus welcher gegebenen Bedingung eine Schlussfolgerung gezogen wurde, ist es günstig, die gegebenen Bedingungen zu bezeichnen, im Fall von Aufgabe 3 mit (1), () und (3). Dies trifft auch auf abgeleitete Feststellungen zu, auf die später zurückgegriffen wird. Diese können bei Aufgabe 3 mit (4), (5) usw. bezeichnet werden. Aus der Formulierung Ein Dreieck ABC hat ist hier zu entnehmen, dass die zu bestimmenden Innenwinkel existieren. Deren Existenz ist hier also nicht mehr zu beweisen. Zu zeigen ist aber noch, dass es unter den gegebenen Voraussetzungen nur eine Lösung gibt. Im Allgemeinen würde die Formulierung untersuche, ob die Existenz des Objektes aber offen lassen. Alternativaufgabe: Kurt spielt mit einem Satz Bauklötze. a) Er hat genau einen Würfel mit der Kantenlänge 7 cm, je fünf Würfel mit den Kantenlängen 4 cm und 3 cm, sechs Würfel mit der Kantenlänge cm und zwölf Würfel mit der Kantenlänge 1 cm. Weise nach, dass Kurt aus diesen Spielwürfeln keinen vollständigen Quader bauen kann, wenn er dabei alle Würfel verwenden will. b) Nun hat Kurt genau einen Würfel mit der Kantenlänge 6 cm, acht Würfel mit der Kantenlänge 4 cm, fünfzehn Würfel mit der Kantenlänge cm und zehn Würfel mit der Kantenlänge 1 cm zur Verfügung. Untersuche, ob Kurt aus diesen Spielwürfeln einen vollständigen Quader bauen kann, wenn er dabei wieder alle Würfel verwenden will. Begründe deine Antwort auch hier.

6 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 8. Klasse Nicht nur die eigentliche Lösung der Aufgaben, auch dein Lösungsweg ist wichtig. Notiere daher auch die notwendigen Begründungen und Nebenrechnungen. Aufgabe 1: Anlässlich des 50. Geburtstages der Mathematik-Olympiade lädt Professor Knobelfix eine gewisse Anzahl guter Schüler zu einem mathematischen Ferienlager ein. In seiner Eröffnungsrede stellt Prof. Knobelfix fest: Wenn jeder Teilnehmer am Ende der Veranstaltung mit jedem anderen genau eine Fotografie von sich selbst austauschen würde, dann müssten insgesamt genau 450 Fotos verteilt werden. Untersuche, ob aus der Feststellung von Prof. Knobelfix eindeutig bestimmt werden kann, wie viele Schüler am Ferienlager teilnehmen. Ist dies der Fall, dann gib die Anzahl dieser Schüler an. Aufgabe : Paul hat die rechts stehende Methode für das Quadrieren zweistelliger Zahlen entdeckt. a) Erkläre diese Methode und berechne auf die gleiche Weise 59, 8 und 19. b) Erkläre, warum dieses Rechenverfahren funktioniert. c) Finde und erkläre ein entsprechendes Verfahren für das Quadrieren dreistelliger Zahlen Aufgabe 3: Gegeben ist ein Dreieck ABC mit folgenden Eigenschaften: (1) Auf der Strecke AB liegt ein Punkt D. () Die Größe α des Innenwinkels BAC ist kleiner als 45. (3) Die Größe des Winkels BDC ist gleich dem Dreifachen von α. (4) Die Größen der Winkel ACB und BDC sind gleich. a) Ermittle die Größe β des Winkels CBA für den Fall, dass α = 0 gilt. b) Ermittle für alle möglichen Werte von α die Größe β des Winkels CBA in Abhängigkeit von α. c) Ermittle alle Werte α, für die ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist. Hinweis: Bei Aufgabenteil c) kann auf den Existenznachweis der Dreiecke verzichtet werden.

7 Mathematische Grundlagen: Viele mathematische Aufgaben kann man den Grundtypen Beweisaufgabe oder Bestimmungsaufgabe zuordnen. Eine Beweisaufgabe enthält gegebene Bedingungen oder Größen. Das herzuleitende Ziel ist bekannt. Wie beim Beweis eines mathematischen Satzes lassen sich die Aussagen in Voraussetzung und Behauptung aufspalten und in der Wenn-dann-Form formulieren. Ein Beweis ist erbracht, wenn man von den Voraussetzungen ausgehend in endlich vielen Schritten über logisch abgeleitete Feststellungen zur Behauptung gelangt. Jeder Beweisschritt ist eine Schlussfolgerung. Eine Schlussfolgerung kann notiert werden, indem festgehalten wird, von welchen Voraussetzungen oder abgeleiteten Feststellungen ausgehend man zu welcher neuen Feststellung gelangt und welches Beweismittel dabei eingesetzt wurde. Als Beweismittel dürfen mathematische Sätze, Definitionen, Formeln oder Umformungsregeln verwendet werden. Jede Bestimmungsaufgabe, hier Aufgabe 3, enthält gegebene Bedingungen oder Größen und gesuchte, unbekannte Größen. Eine gesuchte Größe im mathematischen Sinne zu bestimmen heißt, diese Größe aus den gegebenen Größen und eventuell weiteren wahren Aussagen durch korrektes logisches Schließen durch Anwendung mathematischer Sätze und mathematisch zulässiger Umformungen zu ermitteln. Es ist dabei im Allgemeinen auch zu untersuchen, ob das zu bestimmende Objekt überhaupt existiert und, wenn es existiert, ob es eindeutig bestimmt ist. Die Lösung einer Bestimmungsaufgabe kann man daher im Allgemeinen in zwei Schritte gliedern: Im ersten Schritt nimmt man die Existenz der Lösung an und zeigt, dass die Lösungen zu einer hergeleiteten Menge gehören müssen. Im zweiten Schritt zeigt man, dass die Elemente dieser Menge tatsächlich Lösungen sind. Dieser Schritt heißt daher auch Existenzbeweis oder Probe. Eine Bestimmungsaufgabe kann also mehrere Beweise beinhalten. Etwas komplizierter ist die Situation bei Aufgaben, bei denen zu untersuchen ist, ob etwas existiert. Je nachdem, ob man die Nichtexistenz oder die Existenz vermutet, sind unterschiedliche Beweise zu führen. Bei der Nichtexistenz könnte es ein Widerspruchsbeweis sein und wir hätten eine Beweisaufgabe. Zum Nachweis der Existenz einer Lösung könnte man zum Beispiel eine Lösung angeben. Diese Lösung herzuleiten ist eine Bestimmungsaufgabe. Um angeben zu können, aus welcher gegebenen Bedingung eine Schlussfolgerung gezogen wurde, ist es günstig, die gegebenen Bedingungen zu bezeichnen, im Fall von Aufgabe 3 mit (1), (), (3) und (4). Dies trifft auch auf abgeleitete Feststellungen zu, auf die später zurückgegriffen wird. Diese können bei Aufgabe 3 mit (5), (6) usw. bezeichnet werden. Aus der Formulierung Gegeben ist ein Dreieck ABC ist hier zu entnehmen, dass die zu bestimmenden Innenwinkel existieren. Deren Existenz ist hier also nicht mehr zu beweisen. Zu zeigen ist aber noch, dass es unter den gegebenen Voraussetzungen bei den Aufgabenteilen a) und b) nur eine Lösung gibt. Im Allgemeinen würde die Formulierung untersuche, ob die Existenz des Objektes aber offen lassen. Alternativaufgabe: Auf einem Kreis k liegen in dieser Reihenfolge sechs paarweise voneinander verschiedene Punkte A, B, C, D, E und F. a) Ermittle die Anzahl der Dreiecke, die jeweils drei dieser sechs Punkte als Eckpunkte haben. b) Ermittle die Anzahl der konvexen Vierecke, die jeweils vier dieser sechs Punkte als Eckpunkte haben. c) Ermittle die Anzahl der konvexen Fünfecke, die jeweils fünf dieser sechs Punkte als Eckpunkte haben. Hinweis: Ein n-eck P 1 P...P n mit Ecken auf einem Kreis ist genau dann konvex, wenn seine Eckpunkte P 1, P,..., P n in dieser Reihenfolge auf diesem Kreis liegen.

8 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 9. Klasse Nicht nur die eigentliche Lösung der Aufgaben, auch dein Lösungsweg ist wichtig. Notiere daher auch die notwendigen Begründungen und Nebenrechnungen. Aufgabe 1: Jenny schreibt die ersten vier positiven Quadratzahlen auf: 1, 4, 9, 16. In der nächsten Zeile notiert sie jeweils unter dem Zwischenraum zweier benachbarter Quadratzahlen deren Differenz: 3, 5, 7. Darunter schreibt sie die Differenzen dieser Zahlen a) Bestätige am Beispiel der Zahlen 5 und 36, dass auch bei einer Verlängerung der ersten Zahlenfolge die Differenzen in der dritten Zeile nur noch den Wert annehmen. b) Führe eine entsprechende fortgesetzte Differenzbildung für die Folge der Kubikzahlen 1 3 bis 5 3 so lange durch, bis erstmals eine Zeile mit unveränderten Werten erscheint. Beweise, dass diese Differenz auch bei der Verwendung weiterer Kubikzahlen auftreten muss. c) Weite deine Untersuchungen auf Potenzen mit größeren Exponenten aus. Nutze die dabei erkannten Gesetzmäßigkeiten zur Vorhersage, nach wie vielen Zeilen bei zehnten Potenzen erstmals ein konstanter Wert auftritt und wie groß dieser sein muss. Aufgabe : Gegeben ist ein Winkel mit dem Scheitel A und mit der Größe α, wobei gilt 0 < α < 180. Auf den Schenkeln dieses Winkels wähle man sich je einen von A verschiedenen Punkt B bzw. C aus, so dass ein Dreieck ABC entsteht. In diesem Dreieck schneiden sich die durch B bzw. C verlaufenden Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC in einem Punkt I. Zeige, dass die Größe δ des Winkels <) BIC nicht von der gewählten Lage der Punkte B und C abhängt. Aufgabe 3: Man kann eine achtstellige Zahl bilden, indem man sich eine vierstellige Zahl ausdenkt und diese zweimal hintereinander schreibt. Finde a) die größte und b) die kleinste von eins verschiedene natürliche Zahl, durch die jede achtstellige Zahl dieser Form teilbar ist. Hinweis: Eine Zahl heißt n-stellig, wenn sie n Ziffern besitzt, wobei die erste nicht Null sein darf. Aufgabe 4: Aus der Menge M = {1; ; 3;...; 179} werden drei verschiedene Zahlen zufällig und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Gradzahlen der Innenwinkel eines Dreiecks sind?

9 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 10. Klasse Nicht nur die eigentliche Lösung der Aufgaben, auch dein Lösungsweg ist wichtig. Notiere daher auch die notwendigen Begründungen und Nebenrechnungen. Aufgabe 1: Jenny schreibt die ersten vier positiven Quadratzahlen auf: 1, 4, 9, 16. In der nächsten Zeile notiert sie jeweils unter dem Zwischenraum zweier benachbarter Quadratzahlen deren Differenz: 3, 5, 7. Darunter schreibt sie die Differenzen dieser Zahlen a) Bestätige am Beispiel der Zahlen 5 und 36, dass auch bei einer Verlängerung der ersten Zahlenfolge die Differenzen in der dritten Zeile nur noch den Wert annehmen. b) Führe eine entsprechende fortgesetzte Differenzbildung für die Folge der Kubikzahlen 1 3 bis 5 3 so lange durch, bis erstmals eine Zeile mit unveränderten Werten erscheint. Beweise, dass diese Differenz auch bei der Verwendung weiterer Kubikzahlen auftreten muss. c) Weite deine Untersuchungen auf Potenzen mit größeren Exponenten aus. Nutze die dabei erkannten Gesetzmäßigkeiten zur Vorhersage, nach wie vielen Zeilen bei zehnten Potenzen erstmals ein konstanter Wert auftritt und wie groß dieser sein muss. Aufgabe : Zwei Kreise mit gleichem Radius r schneiden sich so, dass der Mittelpunkt jedes Kreises auf dem Rand des jeweils anderen Kreises liegt, vgl. nebenstehende Abbildung. Man bestimme den Flächeninhalt und den Umfang der schraffierten Fläche. Aufgabe 3: Man bestimme alle reellen Zahlen x, die die folgende Ungleichung erfüllen: x + < 1. x Gegeben sind ein Dreieck ABC mit dem Flächeninhalt f sowie von den Eckpunkten verschiedene Punkte D auf AB, E auf BC und F auf AC. Letztere bestimmen zusammen mit den Eckpunkten des Dreiecks vier Teildreiecke ADF, DBE, F EC und DEF, deren Flächeninhalte in dieser Reihenfolge mit v, w, x bzw. y bezeichnet seien. Die Punkte D, E, F erfüllen weiter die folgenden drei Eigenschaften: EF AB v + w = 5 f x : y = v : w Bestimmen Sie aus diesen Angaben v, w, x und y in Abhängigkeit von f. (1) () (3)

10 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die Klasse Nicht nur die eigentliche Lösung der Aufgaben, auch dein Lösungsweg ist wichtig. Notiere daher auch die notwendigen Begründungen und Nebenrechnungen. Aufgabe 1: Zwei Kreise mit gleichem Radius r schneiden sich so, dass der Mittelpunkt jedes Kreises auf dem Rand des jeweils anderen Kreises liegt, vgl. nebenstehende Abbildung. Man bestimme den Flächeninhalt und den Umfang der schraffierten Fläche. Aufgabe : Gegeben sei das Gleichungssystem x yz + w = 50 (1) x + y = 13 () x y yz + w = 0, x y = 1 (3) und es sollen nur positive reelle Lösungsquadrupel (x, y, z, w) dieses Gleichungssystems betrachtet werden. Was ist der größtmögliche Wert, den das Produkt xyzw für ein solches Lösungsquadrupel annimmt? Aufgabe 3: Man bestimme alle reellen Zahlen x, die die folgende Ungleichung erfüllen: x + < 1. x (4) Aufgabe 4: In einem Kurbad gibt es 100 Duschkabinen. In jeder Kabine befindet sich ein Hahn, der die Wasserzufuhr zur Dusche dieser Kabine regelt. Durch ein Versehen bei der Installation setzt aber jeder Hahn außerdem auch die Duschen in genau 5 anderen Kabinen in Betrieb. Man beweise, dass die Kurverwaltung dann immer 10 Kabinen auswählen kann, in denen von der Fehlfunktion nichts zu bemerken ist, wenn die übrigen 90 Kabinen gesperrt werden.

11 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 5. Klasse Aufgabe 1 - Lösung a), 3, 5, 8, 1, 17, 3, 30, 38, 47, 57 Vorschrift: + 1; + ; + 3; + 4; + 5;... Also: Es wird immer eine um 1 größere Zahl addiert als im letzten Schritt. b), 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6 Vorschrift: + 1; + 1; + 1; ; + 1; + 1;... Also: Dreimal 1 addieren, dann abziehen, dann wieder dreimal 1 addieren, usw. c), 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, 6, 63, 16, 17 Vorschrift: Abwechselnd 1 addieren und mit multiplizieren. d), 3, 4, 3, 5, 7, 5, 8, 11, 8, 1, 16, 1, 17, Vorschrift: + 1; + 1; 1, dann + ; + ;, dann + 3; + 3; 3 und weiter + 4; + 4; 4,... e), 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6 (es geht dann weiter: 6, 7) Vorschrift: Einmal die, zweimal die 3, dreimal die 4, viermal die 5, fünfmal die 6, sechsmal die 7,... f), 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33, 377 Vorschrift: Jede Zahl ist die Summe der beiden vorangehenden Zahlen. g) 1, 1,, 4, 8, 16, 3, 64, 18 Dies sind ab der zweiten Zahl die Zweierpotenzen; ebenso ist ab der zweiten Zahl aber jede Zahl der Folge die Summe aller vorangehenden Zahlen. Aufgabe - Lösung Teil a) Für Jens kann das Ziel nur sein, die beiden Geldbeträge mit möglichst wenig Münzen zusammenzustellen; für die restliche Anzahl von Münzen bis zur zwanzigsten kann er dann immer -e-münzen wählen, um möglichst viel Geld geschenkt zu bekommen. Die 5,34e kann er zusammenstellen durch -mal e, 1-mal 1e, 1-mal 0 Cent, 1-mal 10 Cent, -mal Cent. Die 4,66e kann er zusammenstellen durch -mal e, 1-mal 50 Cent, 1-mal 10 Cent, 1-mal 5 Cent, 1-mal 1 Cent. Bisher braucht Jens 13 Münzen, und alle acht Münzwerte kommen vor. Für die restlichen sieben Münzen kann Jens also -e-münzen wählen. Also erhält er von Opa (10e+14e =) 4e. Teil b) Für die neuen Beträge kommt Jens mit 11 Münzen aus: 5,35e = e + 1e + 0 Cent + 10 Cent + 5 Cent (das sind sechs Münzen) und 4,65e = e + 50 Cent + 10 Cent + 5 Cent (das sind fünf Münzen). Wenn er noch jeweils einmal Münzen zu Cent und 1 Cent hinzunimmt, hat er die Bedingungen erfüllt und 13 Münzen verbraucht. Zusammen mit sieben -e-münzen kommt er auf 4,03 e. 1

12 Aufgabe 3 - Lösung Es ist sinnvoll, nach verschiedenen Arten von Vierecken zu suchen und sie dann zu kennzeichnen. Quadrate: 1-mal 1-mal 4-mal 4-mal Rechtecke: Parallelogramme: 4-mal 4-mal 8-mal

13 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 6. Klasse Aufgabe 1 - Lösung Teil a) Die Ziffer C muss als Übertrag 1 sein. In der Zehnerspalte ergibt sich dann durch den Übertrag aus der Einerspalte B = 9. Schließlich muss A = sein. Die einzige Lösung ist = 191. Teil b) Wegen B + C = B in der Einerspalte muss C = 0 gelten. In der Zehnerspalte gilt dann A + A = 10, woraus A = 5 und D = 1 folgt. Nur B ist jetzt noch nicht festgelegt; für B kommen noch die Ziffern, 3, 4, 6, 7, 8 und 9 in Frage dies ergibt genau sieben Lösungen. Teil c) Eine Lösung ist z. B = 590. Teil d) Wegen C C = G in der Einerspalte muss G = 0 gelten. Der Hunderterspalte ist zu entnehmen, dass A > B gilt. Der Zehnerspalte ist dann zu entnehmen, dass nicht A + A = B (ohne Übertrag), sondern nur A + A = B + 10 gelten kann, woraus A > 5 und daher A {6, 7, 8, 9} folgt. Aus jedem zulässigen A kann man dann zunächst das zugehörige B und hieraus dann F berechnen. Für C bleiben dann die noch nicht verwendeten Ziffern übrig. Für A = 9 erhält man B = 8 und hieraus F = 0. Da die erste Ziffer einer Zahl niemals eine Null ist, kann A = 9 nicht gelten. Für A {6, 7, 8} erhält man dann folgende Lösungen des Kryptogramms (4): 6 C 3 6 C 6 0 C {1, 4, 5, 7, 8, 9} Aufgabe - Lösung 7 4 C 7 C C {1, 3, 5, 6, 8, 9} 8 6 C 1 8 C C {, 3, 4, 5, 7, 9} Teil a) Wenn man bei Zahlen mit begrenzter Ziffernzahl möglichst viele Primfaktoren haben möchte, so müssen die Primfaktoren möglichst klein sein. Die kleinste Primzahl ist, also haben die Zweierpotenzen unter allen Zahlen mit gleicher Ziffernzahl die größte Primlänge. Die größte Zweierpotenz unterhalb von 100 ist die Zahl 64 (64 = 6 ), die eine Primlänge von 6 hat. Also können zweistellige Zahlen höchstens die Primlänge 6 aufweisen. Teil b) Neben der 64 ist die 96 die einzige andere Zahl unterhalb von 100 mit der Primlänge 6 (denn 96 = 3). Ersetzt man einen der sechs Faktoren durch eine größere Primzahl als 3 (die nächstgrößere Primzahl ist 5), so ergibt sich bereits eine Zahl über 100, ebenso, wenn man zwei der Faktoren durch Primzahlen größer als ersetzt (denn 5 = 160 und 3 3 = 144). Teil c) Es sind die Zahlen 3 (3 = 5 ), 48 (48 = 4 3), 80 (80 = 4 5) und 7 (7 = 3 3 ). Wenn man bei bei den letzten beiden Zahlen eine der Zweien durch eine Drei ersetzt, ist die entstehende Zahl größer als

14 Teil d) Da die Zahl 51 (51 = 9 ) die größte Zweierpotenz unterhalb von 1000 ist, haben alle dreistelligen Zahlen höchstens die Primlänge 9. Teil e) Auch hier gibt es wieder nur zwei Zahlen, nämlich die 51 und die 768 (768 = 8 3), denn die Zahlen 115 (115 = 7 3 3) und 180 (180 = 8 5) sind bereits größer als Aufgabe 3 - Lösung Teil a) Der Roller muss mit zwei Leuten hin, mit einem zurück und wieder mit zweien hin fahren, also zusammen 450 km. Das dauert dann (450/60 =) 7 1 / Stunden. Teil b) Niki will vier Stunden laufen, also 0 km. Der Roller muss daher 80 km fahren, bis er am Treffpunkt mit Niki ankommt, was bei der Geschwindigkeit von 70 km/h ebenfalls vier Stunden dauert. Also muss Niki gar nicht warten. Für die restlichen 130 km zur Floßburg braucht der Roller mit 65 km/h genau zwei Stunden, so dass der gesamte Transport in sechs Stunden abgewickelt ist. Teil c) Nach zwei Stunden ist der Roller in Floßburg, Niki ist 10 km gelaufen, es bleiben noch 140 km. Wenn der Roller ihm entgegenkommt, fährt er 15-mal so schnell wie Niki, er legt also 15 des Weges von 140 km, also 131,5 km, zurück. Den Rest läuft Niki, das sind 16 ( ,5 =) 8,75 km. Niki muss also insgesamt 18,75 km laufen. Für die Fahrtstrecke von 131,5 km braucht der Roller (131,5/75 =) 7 /4 Stunden, so dass die gesamte Transportzeit nun h + 7 /4 h + 7 /4 h = 5 h30 min beträgt. Elegante Alternativlösung: In einer Stunde legen Michi und der Roller zusammen 80 km zurück. Sie treffen sich nach genau 300 km Gesamtstrecke. Daraus folgt, dass das Treffen nach 3 h45 min erfolgt, oder nach 18,75 km für Michi. Insgesamt dauert die Reise 3 h45 min + 1 h45 min = 5 h30 min. Aufgabe 4 - Lösung Teil a) Drei Puzzle-Teile haben einen Flächeninhalt von (3 8 =) 4 Kästchen. Mögliche Seitenlängen für das Rechteck sind 1 4, 1, 3 8 und entfällt, weil alle Teile breiter sind. 1 entfällt, weil nur zwei Teile der Breite vorhanden sind. Das 3 8-Rechteck kann man nicht mit drei verschiedenen Teilen auslegen, man braucht immer eine Form doppelt. Für das 4 6-Rechteck kann man z.b. die folgenden Möglichkeiten finden: (), (3), (1) (5), (8), (1) (5), (4), (7) 4

15 Teil b) Da 4 = 3 3 gilt, ist 4 3 = 144 die kleinste Quadratzahl als Vielfaches von 4 und man kann aus sechs dieser Rechtecke ein Quadrat legen, wie in der nebenstehenden Abbildung gezeigt. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 1 Kästchenlängen. Teil c) Die Beispiele zeigen mögliche Lösungen: (1) & (3) () & (5) (1) & () () & (5) Teil d) Hier sind drei mögliche Lösungen angegeben: (1), (), (4), (7), (8) (1), (3), (4), (5), (7) (), (3), (4), (5), (7) Teil e) Das Beispiel zeigt eine mögliche Lösung: 5

16 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 7. Klasse Aufgabe 1 - Lösung Teil a) Stefanies Behauptung kann beispielhaft und übersichtlich in folgender Tabelle überprüft werden, wobei die rechte Spalte schon Teil der Lösung von Aufgabenteil b) ist: Schritt Teilaufgabe Beispiel Allgemein 1. Denke dir eine Zahl, 1 x. addiere 17, ( =) 9 x multipliziere mit 3, (9 3 =) 87 (x + 17) 3 4. subtrahiere deine Zahl, (87 1 =) 75 (x + 17) 3 x 5. subtrahiere 1, (75 1 =) 74 (x + 17) 3 x 1 (x + 17) 3 x 1 6. dividiere durch, (74 : =) 37 (x + 17) 3 x 1 7. subtrahiere deine Zahl, (37 1 =) 5 x ( (x + 17) 3 x 1 8. multipliziere mit. (5 =) 50 x ) Teil b) Bezeichnet man mit x die gedachte Zahl, dann folgt aus der Erzählung für die letzte Zahl ((x ) ( ) + 17) 3 x 1 x = x + 50 x = (x + 5 x) = 5 = 50. Daher liefert Stefanies Verfahren für jede beliebige gedachte Zahl als Ergebnis die 50, also die Geburtstagszahl der Mathematik-Olympiade. Aufgabe - Lösung Wir bezeichnen das Kästchen mit der Aufschrift Gold oder Sand mit K 1, das Kästchen mit der Aufschrift Kieselsteine oder Holz mit K, das Kästchen mit der Aufschrift Gold oder Holz mit K 3 und das Kästchen ohne Aufschrift mit K 4. Da jedes Kästchen nur ein Material enthält, kann keines der Materialien mehrfach vorkommen. Käme eines mehrfach vor, gäbe es für die anderen Materialien zu wenige Kästchen. Wir zeigen nun durch eine vollständige Fallunterscheidung, dass Anna mit Sicherheit das Kästchen mit Gold erhalten kann, wenn sie sich das Kästchen ohne Aufschrift zeigen lässt: Fall 1: Wenn K 4 Gold enthält, so hat sie das richtige Kästchen schon gefunden. Fall : Wenn K 4 Sand enthält, so muss K 1 Gold enthalten, da K 1 nicht noch einmal Sand enthalten kann. Fall 3: Wenn K 4 Kieselsteine enthält, so muss K Holz enthalten, da K nicht noch einmal Kieselsteine enthalten kann. Da K 3 nun nicht noch einmal Holz enthalten kann, muss K 3 Gold enthalten. Fall 4: Wenn K 4 Holz enthält, so muss K 3 Gold enthalten, da K 3 nicht noch einmal Holz enthalten kann. 6

17 In jedem Fall kann Anna folglich nach der Prüfung des Inhalts des Kästchens ohne Aufschrift eindeutig ermitteln, welches Kästchen Gold enthält und sich dann für dieses Kästchen entscheiden. Hinweis: Aus der Aufgabenstellung kann für die jeweiligen Fälle (nach Prüfung des Inhalts des Kästchens ohne Aufschrift) der Inhalt der anderen Kästchen ermittelt werden. Dies wird jedoch laut Aufgabenstellung nicht gefordert. Aufgabe 3 - Lösung Die Größen der Innenwinkel im Dreieck ABC werden wie üblich mit α, β und γ bezeichnet, siehe Abbildung L3a. Zusätzlich wurde mit die Gleichschenkligkeit gekennzeichnet. Die mathematische Formalisierung der drei Angaben lautet dann: C γ E (1) AC = BC. () <) BAE = <) EAC = 1 α und E liegt auf BC. (3) <) AEB = 90. A α 1 α β B Wegen (1) ist das Dreieck ABC gleichschenklig und mit dem Basiswinkelsatz folgt Abbildung L 3 a α = β. (4) Aus () und (3) folgt für das Dreieck ABE mit dem Innenwinkelsatz 1 α + β + 90 = 180, also 1 α + β = 90 und daher α + β = 180. Aus (4) und (5) folgt durch Einsetzen α + α = 180, also 3α = 180 und daher α = 60. Wegen (4) folgt hieraus β = 60. Mit dem Innenwinkelsatz für das Dreieck ABC folgt dann γ = 60. Somit ist nachgewiesen, dass sich aus den Angaben (1), () und (3) die Größen der Innenwinkel im Dreieck ABC eindeutig ermitteln lassen, und es gilt α = β = γ = 60. Hinweis: Zur Überprüfung der logischen Korrektheit der Lösung kann der Lösungsgraph in Abbildung L3b hilfreich sein. (5) (1) () Bws Iws (4) (5) E; U E α = 60 β = 60 Iws γ = 60 (3) Abbildung L 3 b Dabei werden links die gegebenen Bedingungen notiert und die abgeleiteten Feststellungen durch Kanten mit diesen verbunden. Die Kanten des Graphen werden dabei mit den zur 7

18 Begründung verwendeten Sätzen und Schlussregeln belegt. Es wurden die Abkürzungen Basiswinkelsatz (Bws), Innenwinkelsatz (Iws), Einsetzen (E) und Umformen (U) verwendet. Aufgabe 4 ( Alternativaufgabe ) - Lösung Teil a) Wir ermitteln das in Kubikzentimeter gemessene Gesamtvolumen V aller Würfel: = = 343, = 5 64 = 30, = 5 7 = 135, 6 3 = 6 8 = 48, = 1 1 = 1, V = 858. Wenn es einen Quader gibt, der sich aus allen diesen Würfeln zusammensetzen lässt, dann muss V = a b c gelten, wobei die positiven ganzen Zahlen a, b und c die Maßzahlen der Kantenlängen des zu bauenden Quaders sind. Da der größte Würfel die Kantenlänge 7 cm hat, muss ohne Beschränkung der Allgemeinheit 7 a b c gelten. Aus der Primfaktorenzerlegung 858 = folgt jedoch a 6. Folglich kann Kurt aus den vorhandenen Würfeln keinen Quader bauen, wenn er dabei alle Würfel verwenden will. Damit ist nachgewiesen, dass die zu zeigende Aussage gilt. Teil b) Angenommen, es wäre möglich, einen Quader aus allen vorgegebenen Würfeln zu bauen. Wir ermitteln wieder das in Kubikzentimeter gemessene Gesamtvolumen V aller Würfel: = 1 16 = 16, = 8 64 = 51, 15 3 = 15 8 = 10, = 10 1 = 10, V = 858. Wegen 858 = und da der größte zur Verfügung stehende Würfel die Kantenlänge 6 cm hat, muss der Quader die Kantenlängen 6 cm, 11 cm, 13 cm haben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit habe er die Höhe 6 cm. Wir schauen nun von oben auf den Quader. Wir sehen ein Rechteck mit der Länge 13 cm und mit der Breite 11 cm, dieses hat einen Flächeninhalt von (11 cm 13 cm =) 143 cm. Von diesem Flächeninhalt werden 36 cm schon vom Würfel mit der Kantenlänge 6 cm beansprucht. Da die Höhe nur 6 cm beträgt, können keine der Würfel mit der Kantenlänge 4 cm auch nur teilweise übereinander liegen. In der Draufsicht müssen die Grundflächen dieser 8 Würfel folglich in den Restflächeninhalt von (143 cm 36 cm =) 107 cm hineinpassen. Sie benötigen dafür jedoch (8 4 cm 4 cm =) 18 cm. Wir erhalten also einen Widerspruch. Kurt kann also wieder keinen Quader unter Verwendung aller zur Verfügung gestellten Würfel bauen. 8

19 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 8. Klasse Aufgabe 1 - Lösung I. Es bezeichne x die Anzahl der teilnehmenden Schüler. Dann erhält beim Fototausch jeder Schüler x 1 Fotos. Also gilt x (x 1) = 450. (1) Weil = 450 gilt, ist 50 eine Lösung von (1). II. Da für ganze Zahlen x mit x > 50 x (x 1) > (x 1) 50 > 450 gilt und da für ganze Zahlen x mit 0 < x < 50 x (x 1) < x 49 < 450 gilt, können keine weiteren ganzen Zahlen Lösung von (1) sein. Aus I. und II. folgt, dass die Anzahl der Schüler, die am Ferienlager teilgenommen haben, eindeutig bestimmt werden kann und dass diese Anzahl 50 ist. Hinweis: Auch aus der Primfaktorzerlegung 450 = 5 7 erhält man durch systematisches Probieren nur 50 als einzige Lösung der Aufgabe. Aufgabe - Lösung Teil a) Das angewendete Verfahren lautet: Schreibe in die zweite und in die vierte Zeile des Schemas das Produkt der beiden Ziffern der zu quadrierenden Zahl als zweistellige Zahl (bei einem einstelligen Produkt durch Voranstellen einer 0). Die erste Ziffer des Produkts steht jeweils an der Hunderterstelle. Schreibe in die dritte Zeile des Schemas die vierstellige Zahl, die man erhält, indem man das Quadrat der Zehnerziffer und das Quadrat der Einerziffer der zu quadrierenden Zahl nebeneinander schreibt. Einstellige Quadrate sind dabei durch eine vorangestellte 0 zu ergänzen. Die erste Ziffer dieser Zahl steht an der Tausenderstelle. Addiere die drei in der angegebenen Anordnung eingetragenen Zahlen unter Berücksichtigung der Stellen. Nach dem Verfahren ergeben sich für die Quadratzahlen von 59, 8 und 19 folglich:

20 Teil b) Für jede zweistellige Zahl x mit der Zehnerziffer a und der Einerziffer b gilt x = 10a+b. Hieraus folgt x = (10a + b) = 100a + 0ab + b = 10ab + (100a + b ) + 10ab. (1) Da 100a auf zwei Nullen endet und a und b höchstens zweistellig sind, ist 100a + b eine höchstens vierstellige Zahl, bei der die beiden Quadratzahlen von a und b nebeneinander stehen, wobei b links durch eine 0 ergänzt werden muss, wenn b einstellig ist. An der Stellung von ab in der Addition erkennt man, dass eigentlich 10ab unter dem oberen und über dem unterem Strich steht. Die Rechnung lautet daher (10a + b) 10ab 100a + b + 10ab 100a + 0ab + b und ist wegen (1) richtig. Teil c) Es sei nun x = 100a + 10b + c eine dreistellige Zahl mit den Ziffern a, b und c. Dann gilt x = (100a + 10b + c) = 10000a ab + 100ac ab + 100b + 10bc + 100ac + 10bc + c = 100ac + (1000ab + 10bc) + (10000a + 100b + c ) + (1000ab + 10bc) + 100ac. () Dies kann schematisch dargestellt werden als (100a + 10b + c) 100ac 1000ab + 10bc 10000a + 100b + c 1000ab + 10bc + 100ac 10000a ab + 100ac ab + 100b + 10bc + 100ac + 10bc + c Das Produkt ac ist also in der zweiten und sechsten Zeile um zwei Stellen nach links einzurücken. In der dritten Zeile und fünften Zeile ist das Produkt ab um drei Stellen nach links, das Produkt bc um eine Stelle nach links einzurücken. Da bc nur höchstens zweistellig ist, müssen die fehlenden Stellen mit 0 besetzt werden. In der vierten Zeile werden a um vier Stellen nach links, b um zwei Stellen nach links eingerückt und c eingetragen. Da die Quadrate höchstens zweistellig sind, müssen eventuell fehlende Stellen mit 0 besetzt werden. 10

21 Das gefundene Verfahren lautet: Schreibe in die zweite und in die sechste Zeile des Schemas das Produkt der ersten und der dritten Ziffer der zu quadrierenden Zahl. Ein einstelliges Produkt ist dabei durch eine vorangestellte 0 zu ergänzen. Die erste Ziffer dieser Zahl steht jeweils an der Tausenderstelle. Schreibe in die dritte und in die fünfte Zeile des Schemas die vierstellige Zahl, die man erhält, indem man das Produkt aus der ersten und der zweiten Ziffer und das Produkt aus der zweiten und der dritten Ziffer der zu quadrierenden Zahl nebeneinander schreibt. Einstellige Produkte sind dabei wieder durch eine vorangestellte 0 zu ergänzen. Die erste Ziffer der zu bildenden Zahl steht an der Zehntausenderstelle. Schreibe in die vierte Zeile des Schemas die sechsstellige Zahl, die man erhält, indem man die Quadrate der drei Ziffern nebeneinander schreibt. Einstellige Quadrate sind dabei wieder durch eine vorangestellte 0 zu ergänzen. Die erste Ziffer der zu bildenden Zahl steht an der Hunderttausenderstelle. Addiere die eingetragenen Zahlen analog wie bei dem Verfahren für zweistellige Zahlen. Wir berechnen nun 54 = 74576, einmal indem wir die Zahlen wie oben beschrieben anordnen, und einmal indem wir das Einrücken durch Nullen kennzeichnen: Aufgabe 3 - Lösung Nach Aufgabenstellung bezeichnen α und β die Größen der Innenwinkel BAC und CBA im Dreieck ABC. Weiterhin bezeichne γ die Größe des Innenwinkels ACB und δ die Größe des Winkels BDC. Die mathematische Formalisierung der vier Angaben lautet dann: (1) D liegt auf AB. () α < 45. (3) δ = 3α. (4) γ = δ. Wir lösen zuerst Aufgabenteil b). A α C γ 3α D Abbildung L 3 a Teil b) Aus (3) und (4) folgt durch Einsetzen γ = 3α. Aus dem Innenwinkelsatz für das Dreieck ABC folgt hieraus β = 180 α γ = 180 α 3α, also β = 180 4α. Wegen () gilt β = 180 4α > 0. Teil a) Aus α = 0 und (5) folgt β = 180 4α = , also β = β B (5)

22 Teil c) (Die Aufgabenstellung Ermittle alle erfordert (I.) die Bestimmung aller möglichen Werte und (II.) den Nachweis, dass zu diesen Werten auch tatsächlich ein Dreieck mit den geforderten Eigenschaften existiert. Laut Aufgabenstellung darf hier auf II. verzichtet werden, wird aber für den interessierten Schüler trotzdem abgedruckt.) I. Wegen () können nur die Winkel ACB und CBA die Größe 90 haben. Wenn β = 90 gilt, so folgt aus (5), dass 90 = 180 4α gilt und daher α =,5 gelten muss. Wenn γ = 90 gilt, dann folgt aus (3) und (4), dass 90 = γ = δ = 3α gilt und daher α = 30 gelten muss. II. Es existiert ein Dreieck ABC mit den Winkelgrößen α =,5, β = 90 und γ = 67,5, da die Summe dieser Größen 180 ist. Offenbar ist dieses Dreieck rechtwinklig und es gilt (). Es gibt genau eine Gerade g, welche durch den Eckpunkt C verläuft, mit der Geraden BC den Winkel,5 einschließt und die Strecke AB schneidet. Letzteres ist möglich, weil,5 < γ gilt. Damit erfüllt der Schnittpunkt D von g mit AB die Bedingung (1). Aus dem Innenwinkelsatz für das Dreieck DBC folgt <) BDC = 67,5. Daher sind auch (3) und (4) erfüllt. Es existiert auch ein Dreieck ABC mit den Winkelgrößen α = 30, β = 60 und γ = 90, da auch hier die Summe dieser Größen 180 ist. Offenbar ist dieses Dreieck rechtwinklig und es gilt (). Es sei D der Lotfußpunkt des Punktes C auf die Gerade AB. Da das Dreieck ABC rechtwinklig bei C ist, folgt (1) und <) BDC = 90 = 3α = γ. Daher sind auch (3) und (4) erfüllt. Aus I. und II. folgt, dass ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Eigenschaften (1), (), (3) und (4) genau dann existiert, wenn α =,5 oder α = 30 gilt. Hinweis: Um für den Aufgabenteil b) einen Lösungsweg zu finden, ist es günstig, zunächst den Teil a) zu lösen, indem man in eine geeignet gezeichnete (u. U. sogar konstruierte) Figur für α und 3α die gegebenen Werte 0 und 60 einträgt. Dann lassen sich alle anderen Winkel allein mit Hilfe des Innenwinkelsatzes und des Nebenwinkelsatzes berechnen. Beim Darstellen der Lösung ist es günstig, mit Teil b) zu beginnen, da man dann die Lösung von Teil a) sofort durch Einsetzen erhalten kann. Durch Verwenden des (aus dem Nebenwinkelsatz und dem Innenwinkelsatz folgenden) Außenwinkelsatzes lässt sich die dargestellte Lösung verkürzen. Aufgabe 4 ( Alternativaufgabe ) - Lösung Teil a) Wählt man A und B als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte C, D, E, F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 4 verschiedene Dreiecke dieser Art. Wählt man A und C als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte D, E, F als dritter Eckpunkt infrage, da das Dreieck ABC bereits gezählt wurde. Im Folgenden werden bereits gezählte Objekte nicht mehr erwähnt. Folglich gibt es 3 verschiedene Dreiecke dieser Art. Wählt man A und D als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte E, F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es verschiedene Dreiecke dieser Art. Wählt man A und E als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt nur noch F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 1 Dreieck dieser Art. 1

23 Wählt man B und C als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte D, E, F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 3 verschiedene Dreiecke dieser Art. Wählt man B und D als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte E, F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es verschiedene Dreiecke dieser Art. Wählt man B und E als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt nur noch F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 1 Dreieck dieser Art. Wählt man C und D als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt noch einer der Punkte E, F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es verschiedene Dreiecke dieser Art. Wählt man C und E als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt nur noch F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 1 Dreieck dieser Art. Wählt man D und E als Eckpunkte eines Dreiecks aus, so kommt nur noch F als dritter Eckpunkt infrage. Folglich gibt es 1 Dreieck dieser Art. Wegen = 0 kann man folglich genau 0 verschiedene Dreiecke zeichnen. Teil b) Bei der Auswahl von zwei nicht benachbarten Sehnen (und damit vier Eckpunkten) für ein Sehnenviereck wird dieses genau dann konvex, wenn man dabei nur solche Sehnen beachtet, die einander nicht schneiden. Wählt man AB als eine Seite des Sehnenvierecks, dann können mit den Sehnen CD, CE, CF, DE, DF und EF insgesamt 6 verschiedene Sehnenvierecke gebildet werden. Wählt man AC als eine Seite des Sehnenvierecks, dann können mit den Sehnen DE, DF und EF insgesamt 3 verschiedene Sehnenvierecke gebildet werden. Wählt man AD als eine Seite des Sehnenvierecks, dann kann nur mit der Sehne EF noch 1 Sehnenviereck gebildet werden. Wählt man BC als eine Seite des Sehnenvierecks, dann können mit den Sehnen DE, DF und EF insgesamt 3 verschiedene Sehnenvierecke gebildet werden. Wählt man BD als eine Seite des Sehnenvierecks, dann kann nur mit der Sehne EF noch 1 Sehnenviereck gebildet werden. Wählt man CD als eine Seite des Sehnenvierecks, dann kann nur mit der Sehne EF noch 1 Sehnenviereck gebildet werden. Wegen = 15 gibt es genau 15 verschiedene Sehnenvierecke der geforderten Art. Teil c) Jeweils einer der sechs Punkte kommt als Eckpunkt eines Fünfecks nicht infrage. Aus den verbleibenden 5 Punkten kann man jeweils nur ein konvexes Fünfeck bilden, so dass es genau 6 verschiedene konvexe Fünfecke der geforderten Art gibt. 13

24 50. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulstufe) Aufgaben für die 9. Klasse Aufgabe 1 - Lösung Teil a) Auch bei Fortsetzung der Folge der Quadratzahlen liefert die zweite Differenzenfolge den Wert : Teil b) Bei Kubikzahlen ergibt die dritte Differenzenfolge den konstanten Wert 6: Diese an Beispielen gewonnene Aussage lässt sich unter Verwendung von (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 beweisen. Es seien n 3, (n + 1) 3, (n + ) 3 und (n + 3) 3 vier beliebige aufeinander folgende Kubikzahlen. Es gilt (n + 1) 3 = n 3 + 3n + 3n + 1 (n + ) 3 = n 3 + 6n + 1n + 8 (n + 3) 3 = n 3 + 9n + 7n + 7 Die entsprechende Differenzenbildung lautet: n 3 (n + 1) 3 (n + ) 3 (n + 3) 3 3n + 3n + 1 3n + 9n + 7 3n + 15n n + 6 6n Teil c) Betrachten wir noch einmal die ersten zwei Differenzenfolgen der Quadratzahlen a, (a + 1), und (a + ), wobei wir statt (a + ) auch (a + 1) + 1 schreiben können. Die ersten Differenzen sind dann a+1 bzw. (a+1)+1, die Differenz daraus ist. Wir halten fest: Die zweite Differenz aus der Folge der Quadratzahlen ist konstant. Für Kubikzahlen gilt (a + 1) 3 = a a + 3a + 1. Damit haben die aufeinander folgenden Kubikzahlen a 3, (a+1) 3, ((a+1)+1) 3 und ((a+)+1) 3 folgende erste Differenzen: 3a +3a+1, 3 (a+1) +3 (a+1)+1 und 3 (a+) +3 (a+)+1. In der zweiten Differenzenfolge verschwindet jeweils der letzte Summand 1, denn 1 1 ist immer Null. Die mittleren Summanden 3a, 3 (a + 1) und 3 (a + ) haben jeweils die konstante Differenz 3, die ihrerseits in der dritten Differenzenfolge zu Null wird. Damit wird die dritte Differenzenfolge nur durch zweimalige Differenzbildung der Werte 3a, 3 (a+1) und 3 (a+) aus der ersten Differenzenfolge gebildet. Wenn aber die zweite Differenz aus der Folge a, (a + 1), (a + ) konstant war, muss die 14

25 zweite Differenz aus 3a, 3 (a + 1) und 3 (a + ) konstant 3 = 6 sein. Wir halten fest: Die dritte Differenz aus der Folge der dritten Potenzen ist konstant 6 = 3 = 3!. Für vierte Potenzen gilt (a + 1) 4 = a a 3 + 6a + 4a + 1. Die Differenzen zwischen den aufeinander folgenden vierten Potenzen sind damit 4a 3 +6a +4a+1, 4 (a+1) 3 +6(a+1) + 4 (a + 1) + 1, 4 (a + ) (a + ) + 4 (a + ) + 1 und 4 (a + 3) (a + 3) + 4 (a + 3) + 1. Bei mehrfacher Differenzenbildung verschwinden die letzten Summanden, maßgebend ist die dritte Differenz der Teilfolge 4a 3, 4 (a + 1) 3, 4 (a + ) 3, 4 (a + 3) 3. Da wir hier das Vierfache von Kubikzahlen haben, hat die vierte Differenzenfolge der vierten Potenzen den konstanten Wert 4 = 4 3 = 4! Eine Fortsetzung dieser Betrachtungen mit (a + 1) 5 = a 5 +5a a 3 +10a + 5a +1, ergibt, dass die fünfte Differenzenfolge der fünften Potenzen den konstanten Wert 10 = = 5! hat. Die bisherigen Ergebnisse lassen auf folgende Vermutung schließen: Bei zehnten Potenzen tritt erstmals bei der zehnten Differenzenfolge ein konstanter Wert auf. Dieser Wert ist 10! = Diese Vermutung kann u. a. mittels händischer Rechnung überprüft werden. Potenzen der Form (a + 1) 10 können durch fortlaufendes Ausmultiplizieren (a + 1)(a + 1)(a + 1) (a + 1) oder mit dem Binomischen Satz (siehe auch Pascalsches Dreieck) entwickelt werden. Hinweis: Die Aufgabenstellung zu Teil c) fordert eine Vorhersage, es ist nicht verlangt, den exakten Nachweis zu führen. Aufgabe - Lösung (Der Schnittpunkt I der Innenwinkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt und liegt deshalb im Inneren des Dreiecks ABC.) Die Winkelgrößen von <) CBA und <) ACB seien mit β und γ bezeichnet. γ C Aus der Innenwinkelsumme in den Dreiecken BCI und ABC ergibt sich δ = <) BIC = (β + γ) = (180 α) A α I δ = α Die Größe des Winkels hängt also in der Tat nicht von der Lage der Punkte B und C auf den Schenkeln ab. B β Abbildung L Aufgabe 3 - Lösung Die ausgedachte vierstellige Zahl bestehe aus der Ziffernfolge [abcd], daraus wird die achtstellige Zahl [abcdabcd]. Nun gilt [abcdabcd] = [abcd] + [abcd] = [abcd] 15

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