2. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise

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1 2. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise Gruppe A (a) Bei dieser Aufgabe kann man die Umwandlung in eine Dezimalzahl vornehmen, indem man den Nenner auf 1000 erweitert: Aufgabe = = Man darf natürlich auch einfach dividieren: 3 8 = 3 : 8 = 0, 375. = 0, 375. Gerundet auf 2 Nachkommastellen erhält man: 0, 375 0, 38, denn man muss hier die dritte Stelle nach dem Komma betrachten, und da diese eine 5 ist, muss man aufrunden. (Beim Runden ist es auch wichtig 0, 38 von 0, 380 zu unterscheiden, denn 0, 380 ist auf drei, nicht auf zwei Nachkommastellen gerundet.) (b) Da hier der Nenner 3 ist, kann man ihn nicht auf eine Zehnerpotenz bringen, man muss also notgedrungen schriftlich dividieren: 4 3 = 4 : 3 = 1, = 1, 3. (Der Strich über der 3 gibt an, dass sich diese Zahl immer periodisch wiederholt. Es wird so aufgeschrieben, dass man immer die kleinstmögliche Periode angibt, also nicht 33, sondern 3.) Gerundet auf zwei Nachkommastellen ergibt sich: 1, 3 = 1, , 33. Denn hier muss man abrunden. Aufgabe 2 (a) Man berechnet: ( ) = ( ) 24 = 1 ( 24 7 ) = = 8 24 = 1 3 (6 Punkte)

2 (b) Hier ergibt sich: , 7 (Erstmal kürzen, damit die Zahlen nicht zu groÿ werden:) = , 7 (Jetzt Dezimalzahl in Bruch umwandeln:) = (Und dann Hauptnenner bilden:) = (Dann wie gewohnt zusammenfassen:) = (2 + 1) = = = (Und zum Schluss noch kürzen:) = Aufgabe 3 (a) Zu Sektor 1: (7 Punkte) Um die Anzahl zu ermitteln, kann man entweder den Bruch so erweitern, dass der Nenner die Anzahl der Drehungen (120) ist, oder normal den Anteil von 120 ermitteln: 7 40 Also 7 40 = = Der Zähler ist jetzt die Anzahl 21, oder 7 40 von 120: 120 : 40 = 3; 3 7 = 21. Die relative Häugkeit in Prozent kann man zum Beispiel so bestimmen: h 120 (1) = 7 40 = = = 0, 175 = 17, 5%. Zu Sektor 2:

3 Die relative Häugkeit ist h 120 (2) = = 5 24 Zu Sektor 3: Die Anzahl lässt sich ähnlich wie für Sektor 1 aus der relativen Häugkeit bestimmen: 20% = = 2 10 = , also ist die Anzahl 24. Man kann sie aber auch bestimmen, indem man die absoluten Häugkeiten für Sektor 1,2,4 und 5 zusammenzählt und diese Summe dann von 120 abzieht: 120 ( ) = = 24. Die relative Häugkeit als Bruch ist 20% = 0, 2 = 2 10 = 1 5. (Und damit lässt sich dann auch die absolute Häugkeit als 120 : 5 = 24 bestimmen). Zu Sektor 4: Die relative Häugkeit ist einfach = 3 20 = = 15%. Zu Sektor 5: Die relative Häugkeit beträgt = 8 30 = Damit erhält man schlieÿlich die Tabelle: Sektor Anzahl rel. Häugkeit (als Bruch) rel. Häugkeit (in Prozent) 17, (8 Punkte) (b) Da man bei Sektor 1 oder 3 gewinnt, ist die relative Häugkeit für einen Gewinn einfach die relative Häugkeit von Sektor 1 plus die relative Häugkeit von Sektor 3, also: h 120 (Gewinn) = h 120 (1 ) + h 120 (3) = = = = 3 8 Man darf die relative Häugkeit auch in Prozent ausrechnen: h 120 (1 ) + h 120 (3) = 17, 5% + 20% = 37, 5%. (2 Punkte) Aufgabe 4 Da jeder gleich oft eingeschenkt bekommt, berechnet man zunächst einmal, wieviel Liter man braucht, um einmal alle vier Gläser zu füllen: 0, 2 l l l + 0, 31 l = l l l l = l = 1 l

4 Pro einer Einschenkrunde braucht man also 1 l. Da man 3 l zur Verfügung hat, kann man das 3 l : 1 l = 3 mal machen. Jeder in der Runde bekommt also 3 Gläser. (4 Punkte) a) Am besten sollte man dort kaufen, wo man am meisten für sein Geld bekommt, also dort, wo ein Becher am meisten Punsch enthält. Hierzu, und auch für Teil (b) muss man berechnen, wieviel Punsch jeweils in einem Becher bei den einzelnen Anbietern ist. Aufgabe 5 Bei Kolping: Er verteilt 64 l auf 308 Becher, also ist sind in einem Becher 64 l 308 = 32 l 154 = 16 l 77. Bei Danzer: 40 l 176 = 20 l 88 = 10 l 44 = 5 l 22 Bei Elfriede: 90 l 330 = 9 l 33 = 3 l 11 Um nun zu entscheiden, welcher Becher am meisten enthält, muss man die Brüche 16 77, 5 22 und 3 11 vergleichen. Dazu bringt man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Der Nenner muss ein gemeinsames Vielfaches von 77; 22 und 11 sein. Da 22 = 2 11 ist, muss man nur ein gemeinsames Vielfaches von 77 und 22 suchen. Es ist 77 = 7 11 und 22 = 2 11, also ist das kleinste gemeinsame Vielfache: = 154. Jetzt bekommt man: = (Kolping) 5 22 = (Danzer) 3 11 = (Elfriede) Bei Elfriede erhält man also am meisten Fruchtpunsch für sein Geld, und deshalb sollte man dort kaufen. (Hinweis: Man kann auch einfach die jeweiligen Becherinhalte als Dezimalzahl bestimmen, zum Beispiel = 0, , das ist aber mit erheblichem Rechenaufwand verbunden und sehr fehleranfällig. Auÿerdem müsste man dann für Teil (b) mit unendlich-periodischen Dezimalbrüchen rechnen... ) (4 Punkte) b) Hier muss man einfach die Inhalte der einzelnen Becher zusammenzählen. Zum Glück haben wir ja schon den Hauptnenner für das Addieren oben ermittelt:

5 16 l l l l l 11 = 32 l l l l l = l = l = l = l.

6 Gruppe B (a) Bei dieser Aufgabe kann man die Umwandlung in eine Dezimalzahl vornehmen, indem man den Nenner auf 1000 erweitert: Aufgabe = = Man darf natürlich auch einfach dividieren: 5 8 = 3 : 8 = 0, 625. = 0, 625. Gerundet auf 2 Nachkommastellen erhält man: 0, 625 0, 63, denn man muss hier die dritte Stelle nach dem Komma betrachten, und da diese eine 5 ist, muss man aufrunden. (Beim Runden ist es auch wichtig 0, 63 von 0, 630 zu unterscheiden, denn 0, 630 ist auf drei, nicht auf zwei Nachkommastellen gerundet.) (b) Da hier der Nenner 3 ist, kann man ihn nicht auf eine Zehnerpotenz bringen, man muss also notgedrungen schriftlich dividieren: 7 3 = 7 : 3 = 2, = 2, 3. (Der Strich über der 3 gibt an, dass sich diese Zahl immer periodisch wiederholt. Es wird so aufgeschrieben, dass man immer die kleinstmögliche Periode angibt, also nicht 33, sondern 3.) Gerundet auf zwei Nachkommastellen ergibt sich: 2, 3 = 2, , 33. Denn hier muss man abrunden. Aufgabe 2 (a) Man berechnet: ( ) = ( ) 24 = 1 ( 24 5 ) = = 6 24 = 1 4 (6 Punkte)

7 (b) Hier ergibt sich: , 6 (Erstmal kürzen, damit die Zahlen nicht zu groÿ werden:) = , 6 (Jetzt Dezimalzahl in Bruch umwandeln:) = (Und dann Hauptnenner bilden:) = (Dann wie gewohnt zusammenfassen:) = (2 + 3) = = = = (Und zum Schluss noch kürzen:) = = Aufgabe 3 (a) Zu Sektor 1: (7 Punkte) Um die Anzahl zu ermitteln, kann man entweder den Bruch so erweitern, dass der Nenner die Anzahl der Drehungen (120) ist, oder normal den Anteil von 120 ermitteln: 9 40 Also 9 40 = = Der Zähler ist jetzt die Anzahl 27, oder 9 40 von 120: 120 : 40 = 3; 3 9 = 27. Die relative Häugkeit in Prozent kann man zum Beispiel so bestimmen: h 120 (1) = 9 40 = = = 0, 225 = 22, 5%. Zu Sektor 2:

8 Die relative Häugkeit ist h 120 (2) = = 7 40 Zu Sektor 3: Die Anzahl lässt sich ähnlich wie für Sektor 1 aus der relativen Häugkeit bestimmen: 15% = = 3 20 = , also ist die Anzahl 18. Man kann sie aber auch bestimmen, indem man die absoluten Häugkeiten für Sektor 1,2,4 und 5 zusammenzählt und diese Summe dann von 120 abzieht: 120 ( ) = = 18. Die relative Häugkeit als Bruch ist 15% = = Zu Sektor 4: Die relative Häugkeit ist einfach = 4 20 = 1 5 = 20%. Zu Sektor 5: Die relative Häugkeit beträgt = 3 12 = 1 4. Damit erhält man schlieÿlich die Tabelle: Sektor Anzahl rel. Häugkeit (als Bruch) rel. Häugkeit (in Prozent) 22, (8 Punkte) (b) Da man bei Sektor 1 oder 3 gewinnt, ist die relative Häugkeit für einen Gewinn einfach die relative Häugkeit von Sektor 1 plus die relative Häugkeit von Sektor 3, also: h 120 (Gewinn) = h 120 (1 ) + h 120 (3) = = = = 3 8 Man darf die relative Häugkeit auch in Prozent ausrechnen: h 120 (1 ) + h 120 (3) = 22, 5% + 15% = 37, 5%. (2 Punkte) Aufgabe 4 Da jeder gleich oft eingeschenkt bekommt, berechnet man zunächst einmal, wieviel Liter man braucht, um einmal alle vier Gläser zu füllen: 0, 2 l l l + 0, 23 l = l l l l = l = 1 l Pro einer Einschenkrunde braucht man also 1 l. Da man 4 l zur Verfügung hat, kann man das 4 l : 1 l = 4 mal machen. Jeder in der Runde bekommt also 4 Gläser. (4 Punkte)

9 a) Am besten sollte man dort kaufen, wo man am meisten für sein Geld bekommt, also dort, wo ein Becher am meisten Punsch enthält. Hierzu, und auch für Teil (b) muss man berechnen, wieviel Punsch jeweils in einem Becher bei den einzelnen Anbietern ist. Aufgabe 5 Bei Kolping: Er verteilt 56 l auf 260 Becher, also ist sind in einem Becher 56 l 260 = 28 l 130 = 14 l 65. Bei Danzer: 40 l 208 = 20 l 104 = 10 l 52 = 5 l 26 Bei Elfriede: 90 l 390 = 9 l 39 = 3 l 13 Um nun zu entscheiden, welcher Becher am meisten enthält, muss man die Brüche 14 65, 5 26 und 3 13 vergleichen. Dazu bringt man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Der Nenner muss ein gemeinsames Vielfaches von 65; 26 und 13 sein. Da 26 = 2 13 ist, muss man nur ein gemeinsames Vielfaches von 65 und 26 suchen. Es ist 65 = 5 13 und 26 = 2 13, also ist das kleinste gemeinsame Vielfache: = 130. Jetzt bekommt man: = (Kolping) 5 26 = (Danzer) 3 13 = (Elfriede) Bei Elfriede erhält man also am meisten Fruchtpunsch für sein Geld, und deshalb sollte man dort kaufen. (Hinweis: Man kann auch einfach die jeweiligen Becherinhalte als Dezimalzahl bestimmen, zum Beispiel = 0, , das ist aber mit erheblichem Rechenaufwand verbunden und sehr fehleranfällig. Auÿerdem müsste man dann für Teil (b) mit unendlich-periodischen Dezimalbrüchen rechnen... ) (4 Punkte) b) Hier muss man einfach die Inhalte der einzelnen Becher zusammenzählen. Zum Glück haben wir ja schon den Hauptnenner für das Addieren oben ermittelt: 14 l l l l l 13 = 28 l l l l l = l = l = l = l.

10 Punkteschlüssel: Punkte Note 34, , , , ,