Studiengänge) Beispiele

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1 Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert.

2 DETERMINANTEN Determinanten Beispiel. Bestimmen Sie die Determinante Lösungshinweise Lösung Beispiel.2 Bestimmen Sie die Determinante t Lösungshinweise Lösung Beispiel.3 Bestimmen Sie x R so, daß die folgende Determinantengleichung erfüllt ist. 0 x = Lösungshinweise Lösung Beispiel.4 Bestimmen Sie die Determinante a a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 a 3 a 4 a 5 für a R. Lösungshinweise Lösung Beispiel.5 Bestimmen Sie die Determinante e x + e x e x e x e x e x e x + e x für x R. Lösungshinweise Lösung

3 DETERMINANTEN Beispiel.6 Bestimmen Sie die Determinante n! (n + )! (n + )! (n + 2)! für eine natürliche Zahl n. Lösungshinweise Lösung Beispiel.7 Gegeben seien die Matrizen A = ( ), B = ( k ), C = k + 2 k k k 3, k R. Berechnen Sie M = A T B + kc und bestimmen Sie alle k R, für die M singulär ist. Lösungshinweise Lösung Weitere Beispiele zur Determinantenberechnung findet man in den Abschnitten Lineare Unabhängigkeit und Analytische Geometrie etwa bei der Berechnung von Spatprodukten oder Vektorprodukten. Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher tauchen sie in Form von Funktionaldeterminanten auf, etwa bei der Bestimmung von relativen Extremwerten.

4 DETERMINANTEN Hinweise zu Beispiel.: Man kann zunächst elementar umformen, um weitere Nullen zu erzeugen und dann entwickeln, oder direkt die Regel von Sarrus anwenden. Hinweise zu Beispiel.2: Formen Sie zunächst elementar um, bevor Sie nach einer geeigneten Zeile oder Spalte entwickeln. Beachten Sie, daß die Regel von Sarrus direkt noch nicht anwendbar ist! Hinweise zu Beispiel.3: Formen Sie zunächst elementar um, bevor Sie nach einer geeigneten Zeile oder Spalte entwickeln. Beachten Sie, daß die Regel von Sarrus direkt noch nicht anwendbar ist! Hinweise zu Beispiel.4: Formen Sie zunächst elementar um, bevor Sie nach einer geeigneten Zeile oder Spalte entwickeln. Beachten Sie, daß die Regel von Sarrus direkt noch nicht anwendbar ist! Hinweise zu Beispiel.5: Beachten Sie die Definition der hyperbolischen Funktionen und ihren Zusammenhang. Hinweise zu Beispiel.6: Ziehen Sie so viele gemeinsame Faktoren wie möglich aus den Zeilen bzw. Spalten heraus. Hinweise zu Beispiel.7: Eine Matrix ist genau dann singulär, wenn ihre Determinante verschwindet.

5 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel.: Addiert man zunächst das 2fache der dritten Zeile auf die erste, so erhält man = Diese Determinante kann man jetzt nach der ersten Spalte entwickeln: = Diese 2 2-Determinante kann man schließlich direkt berechnen 4 = ( ) ( 2) 4 3 = 2 2 = Man kann natürlich auch die Regel von Sarrus auf die gegebene Determinante anwenden: = ( 2) ( ) ( 2) = =

6 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel.2: Da es sich um eine 4 4-Determinante handelt, ist die Regel von Sarrus nicht anwendbar. Man kann entweder direkt entwickeln oder zuerst einige elementare Umformungen durchführen. Zieht man beispielsweise die zweite Spalte von der vierten ab, so ergibt sich t = t Zieht man nun das 2fache der dritten Zeile von der zweiten ab, so erhält man t = t Jetzt kann man nach der letzten Spalte entwickeln: t = ( ) t Diese Determinante kann ebenfalls sofort nach der letzten Spalte entwickelt werden, oder man kann sie direkt nach der Regel von Sarrus berechnen. ( ) t = ( ) ( 5) t = 5(2t 2) = 0(t 6).

7 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel.3: Zur Vermeidung von Brüchen wird die 2 zunächst in die dritte Spalte hineinmultipliziert: 0 x = 5. Nun wird die letzte Zeile auf die zweite Zeile addiert, um in der letzten Spalte eine weitere 0 zu erzeugen: 0 x = 5. Jetzt wird nach der letzten Spalte entwickelt: 0 x = 0 x = 5. Die 3 3-Determinante kann entweder nach der Regel von Sarrus berechnet werden oder man entwickelt nach der. Spalte: 0 x = 2 x 7 = 2(7x ) = 5. Diese letzte Gleichung hat die einzige Lösung x = 2.

8 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel.4: Da es sich um eine 4 4-Determinante handelt, darf die Regel von Sarrus nicht angewandt werden, sondern man muß die Determinante nach einer Zeile oder Spalte entwickeln. Zweckmäßigerweise formt man erst elementar um, bevor man entwickelt. Zunächst wird das a-fache der dritten Zeile von der vierten Zeile abgezogen, um dort möglichst viele Einträge 0 zu erzeugen. a a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 a 3 a 4 a 5 = Entwicklung nach der letzten Zeile führt zu ( a) a a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 a a a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 Zieht man jetzt aus der letzten Zeile den gemeinsamen Faktor a heraus, so werden zweite und dritte Zeile gleich. Also ist die Determinante gleich 0...

9 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel.5: Wegen cosh(x) = 2 (ex +e x ) und sinh(x) = 2 (ex e x ) lautet die zu berechnende Determinante 2 cosh(x) 2 sinh(x) 2 sinh(x) 2 cosh(x). Entwickelt man diese Determinante und berücksichtigt die Gleichung cosh 2 (x) sinh 2 (x) =, so ergibt sich unmittelbar der Wert 4 für diese Determinante.

10 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel.6: Zieht man aus der ersten Zeile den Faktor n! und aus der zweiten Zeile den Faktor (n + )! heraus, so erhält man n! (n + )! (n + )! (n + 2)! = n! (n + )! (n + ) (n + 2) = n! (n + )!((n + 2) (n + )) = n! (n + )!.

11 DETERMINANTEN Lösung zu Beispiel.7: Es ist und also A T B = kc = ( k ) = k 2 + 2k k 2 k k k k k k 2 k 2 3k 2 k 2 k 4 2k, M = = k 2 + 2k + k 2 k 2 2k k + k 2 2k k 2 k 2 4 5k (k + ) 2 (k 2)(k + ) 2k k + k 2 2k (k + )(k ) (k + 2)(k 2) 5k. Hieraus ergibt sich für die Determinante M = (k + )(k 2)k k + k k k Mit k + k = k k k 2 k k = ( 2k)(k + 2 (k )) = 6k erhält man M = 6(k + )(k 2)k 2. Also ist M genau für k {, 0, 2} singulär.

12 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2 Lineare Gleichungssysteme Beispiel 2. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem 2x +x 2 = 5 4x +ax 2 +2x 3 = 4 3x x 2 ax 3 = b Für welche Werte von a, b R besitzt dieses System keine, genau eine, unendlich viele Lösungen? Lösungshinweise Lösung Beispiel 2.2 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem 3x +ax 2 5x 3 = 0 x +2x 2 2x 3 = 3 4x 2 +2x 3 = b Für welche Werte von a, b R besitzt dieses System keine, genau eine, unendlich viele Lösungen? Geben Sie die Lösungsmenge für den Fall a = 4 und b = 2 an. Lösungshinweise Lösung Beispiel 2.3 Bestimmen Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems a +c = 0 b +2c +d = b +c +2d = 2 a +b +d = 5. Lösungshinweise Lösung Beispiel 2.4 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x x 2 +2x 3 = 7 x +x 2 +x 3 = ( a)x +3x 2 +3x 3 = b a) Für welche Werte von a, b R besitzt dieses System keine, genau eine, unendlich viele Lösungen? b) Für welche Werte von a und b besitzt das zugehörige homogene Gleichungssystem nichttriviale Lösungen? Geben Sie diese Lösungen an. Lösungshinweise Lösung

13 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Beispiel 2.5 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem 3x +x 3 2x 4 = 4 2x +x 2 +3x 3 +7x 4 = 2 x 2x 2 +2x 3 3x 4 = 5x +2x 2 x 3 2x 4 = 6 a) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. b) Wie lautet die Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems? c) Geben Sie den Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix an. Lösungshinweise Lösung Beispiel 2.6 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x +2x 3 +2x 4 = 2 2x +x 2 x 4 = 3x +2x 2 +2x 3 = 0 x x 2 2x 3 x 4 = x 2x 2 2x 3 +4x 4 = 2 a) Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix. b) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Lösungshinweise Lösung Beispiel 2.7 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem 2x +x 2 +4x 3 +2x 4 = 2 3x +2x 2 3x 3 2x 4 = 2 2x +2x 2 +2x 3 +x 4 = 2x +2x 2 +2x 3 +x 4 = a) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. b) Bestimmen Sie die Lösung des zugehörigen homogenen Systems. Lösungshinweise Lösung Weitere Beispiele für lineare Gleichungssysteme (mit genau einer Lösung) treten im Abschnitt Partialbruchzerlegung auf. Auch Tests auf lineare (Un)abhängigkeit von Vektoren kann man mittels eines linearen Gleichungssystems durchführen.

14 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Hinweise zu Beispiel 2.: Verwenden Sie das Gaußsche Eliminationsverfahren. Hinweise zu Beispiel 2.2: Verwenden Sie das Gaußsche Eliminationsverfahren. Hinweise zu Beispiel 2.3: Verwenden Sie das Gaußsche Eliminationsverfahren. Das Gleichungssystem stammt aus dem Koeffizientenvergleich der Partialbruchzerlegung aus Beispiel 9.7. Die Lösung wird daher eindeutig sein. Hinweise zu Beispiel 2.4: Verwenden Sie das Gaußsche Eliminationsverfahren. Hinweise zu Beispiel 2.5: Wenn das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, so ist der Wert der Determinante klar. Hinweise zu Beispiel 2.6: Verwenden Sie das Gaußsche Eliminationsverfahren. Hinweise zu Beispiel 2.7: Verwenden Sie in beiden Fällen das Gaußsche Eliminationsverfahren.

15 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lösung zu Beispiel 2.: Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ist also folgende Matrix mittels elementarer Umformungen in Zeilenstufenform zu transformieren a a b Als Leitelement kann man beispielsweise a, = 2 wählen. Addiert man folglich das Doppelte der ersten Zeile auf die zweite Zeile und das 3 -fache der ersten Zeile 2 auf die dritte Zeile, so hat man x eliminiert und erhält das gleichwertige System a a b Zur Vereinfachung der Zahlen kann man die dritte Zeile mit 2 durchmultiplizieren: a a 2b + 5 Zur Elimination von x 3 kann man das Leitelement a 2,3 = 2 verwenden. Addiert man folglich das a-fache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile, so erhält man a a + a 2 0 2b a Nach Vertauschung von x 2 mit x 3 besitzt das lineare Gleichungssystem Zeilenstufenform a a + a 2 2b a Dieses Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn a 2 + 2a + = (a + ) 2 0 ist. Dies ist genau für a der Fall. Für a = ergeben sich zwei Fälle. Ist dann 2b a = 2b + 0, also b, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Für b = gibt es dagegen 2 2 unendlich viele Lösungen. Im letzten Fall (a =, b = ) erhält man sämtliche Lösungen aus dem folgenden Gleichungssystem, wobei man beachten muß, daß bei der Elimination x 2 2 und x 3 vertauscht wurden

16 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Wählt man x 2 = t als Parameter, so folgt aus der zweiten Gleichung 2x 3 = 4 t, also x 3 = 7 t 2, und aus der ersten Gleichung 2x = 5 t, also x = t 2. Die allgemeine Lösung lautet also {(x, x 2, x 3 ) = ( 5, 0, 7) + t(, 2, ) t R}. 2

17 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lösung zu Beispiel 2.2: Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ist also folgende Matrix mittels elementarer Umformungen in Zeilenstufenform zu transformieren 3 a b Als Leitelement kann man beispielsweise a 2, = wählen. Subtrahiert man dann das 3fache der zweiten Zeile von der ersten, so hat man bereits x eliminiert (wobei noch die erste und zweite Zeile vertauscht werden): a b Wählt man jetzt a 2,3 = als Leitelement, so kann man auch x 3 eliminieren, indem man das Doppelte der zweiten Zeile von der dritten abzieht: a a 0 b 2 Vertauscht man jetzt x 2 mit x 3, so liegt bereits die Zeilenstufenform vor: a a b 2 Dieses Gleichungssystem hat genau dann eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn 8 2a 0, also wenn a 4 gilt. Für a = 4 ergeben sich zwei Fälle. Ist dann b 2, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Für b = 2 erhält man die Lösung aus Setzt man x 2 = t, so ergibt sich aus der zweiten Gleichung x 3 = + 2t und aus der ersten Gleichung dann x = 3 2t+2(+2t) = 5+2t. Die allgemeine Lösung in diesem Fall lautet daher {(x, x 2, x 3 ) = (5, 0, ) + t(2,, 2) t R}.

18 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lösung zu Beispiel 2.3: Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ist also folgende Matrix mittels elementarer Umformungen in Zeilenstufenform zu transformieren Subtrahiert man die erste Zeile von der letzten, so ist bereits die erste Unbekannte a eliminiert: Addiert man jetzt die dritte Zeile auf die zweite und vierte Zeile, so ist auch die zweite Unbekannte b eliminiert: Vertauscht man noch die zweite und die dritte Zeile, so liegt bereits die Zeilenstufenform vor: Insbesondere liest man ab, daß die Lösung eindeutig ist, da die 4 4-Koeffizientenmatrix keine Nullzeile enthält. Aus der vierten Zeile ergibt sich d = und damit aus der dritten Zeile c = 2. Beides zusammen ergibt in der zweiten Zeile b = 2 2 ( ) 2 = 2, also b = 2. Schließlich folgt aus der ersten Zeile a = c = 2.

19 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lösung zu Beispiel 2.4: a) Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ist also folgende Matrix mittels elementarer Umformungen in Zeilenstufenform zu transformieren a 3 3 b Als Leitelement kann man beispielsweise a,2 = wählen. Addiert man dann die erste Zeile auf die zweite und das Dreifache der ersten Zeile auf die dritte Zeile, so ist die Unbekannte x 2 eliminiert: a b Wählt man jetzt a 2,3 = 3 als Leitelement und subtrahiert das Dreifache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile, so ist auch die Unbekannte x 3 eliminiert: a b Nun kann man aus der letzten Zeile folgendes Lösungsverhalten ablesen. Für a 2 hat das Gleichungssystem stets genau eine Lösung. Für a = 2 und b 3 hat das Gleichungssystem keine Lösung. Für a = 2 und b = 3 hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. b) Wendet man auf das homogene Gleichungssystem dieselben Eliminationsschritte wie bei a) an, so ergibt sich a Dieses Gleichungssystem hat nichttriviale Lösungen genau für a = 2. Setzt man in diesem Fall etwa x = t als Parameter, so ergibt sich aus der zweiten Gleichung x 3 = t und damit aus der ersten Gleichung x 2 = 2t + 2t = 0. Die Lösungsmenge des homogenen Systems ist also {(x, x 2, x 3 ) = t(, 0, ) t R}.

20 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lösung zu Beispiel 2.5: a) Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ist also folgende Matrix mittels elementarer Umformungen in Zeilenstufenform zu transformieren Wählt man jetzt a 2,2 = als Leitelement und addiert das Doppelte der zweiten Zeile auf die dritte und subtrahiert das Doppelte von der vierten Zeile, so ist die Unbekannte x 2 eliminiert: Wählt man nun a 3, = 3 als Leitelement und addiert die dritte Zeile auf die erste und das Dreifache der dritten Zeile auf die vierte Zeile, so ist die Unbekannte x eliminiert: Nun kann man die erste Zeile durch 9 dividieren und dann das 7-fache von der letzten Zeile subtrahieren, um die Unbekannte x 3 zu eliminieren: Aus der letzten Zeile liest man ab, daß das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Wählt man nun x 4 = t als Parameter, so erhält man aus der ersten Zeile x 3 = t. Setzt man dies in die dritte Gleichung ein, so ergibt sich 3x = 5 t 8 + 8t und daher x = + t. Schließlich erhält man aus der zweiten Gleichung x 2 = 2 7t 3 + 3t t = 2t. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist daher {(x, x 2, x 3, x 4 ) = (,,, 0) + t(, 2,, ) t R}. b) Hieraus ergibt sich sofort die Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems zu {(x, x 2, x 3, x 4 ) = t(, 2,, ) t R}.

21 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME c) Da das homogene Gleichungssystem nichttriviale Lösungen hat (oder da das gegebene Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat), muß die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwinden.

22 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lösung zu Beispiel 2.6: Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ist also folgende Matrix mittels elementarer Umformungen in Zeilenstufenform zu transformieren Wählt man a, = als Leitelement, so kann man x eliminieren: Wählt man jetzt a 2,2 = 2 als Leitelement, so kann man x 2 eliminieren: Teilt man jetzt die dritte Zeile durch 4 und addiert dann ihr Doppeltes jeweils auf die vierte und fünfte Zeile, so erhält man bereits die Zeilenstufenform: Aus der letzten Zeile liest man ab, daß der Rang der Koeffizientenmatrix 3 ist und das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Wählt man nun x 4 = t als Parameter, so erhält man aus der dritten Zeile x 3 = 3 t. Damit ergibt sich 4 aus der zweiten Zeile x 2 = 3 + 4x 3 + 5x 4 = t + 5t = t. (Daß x 2 = x 4 gelten muß konnte man auch aus der letzten Zeile des zweiten Gleichungssystems oben ablesen!) Schließlich ergibt sich aus der ersten Zeile x = 2 2x 3 2x 4 = 2 3 2t 2t = 4t. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist daher 2 2 {(x, x 2, x 3, x 4 ) = ( 2, 0, 3, 0) + t( 4,,, ) t R}. 4

23 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Lösung zu Beispiel 2.7: a) Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ist also folgende Matrix mittels elementarer Umformungen in Zeilenstufenform zu transformieren Wählt man a 4,2 = als Leitelement, so kann man zunächst x 2 ekiminieren: Wählt man jetzt a,4 = 3 als Leitelement, so kann man x 4 eliminieren: Aus der zweiten und dritten Gleichung liest man jetzt ab, daß dieses Gleichungssystem keine Lösung besitzt. Also gilt dasselbe für das Ausgangssystem. b) Man kann dieselben Rechnungen für das homogene System durchführen, indem man alle rechten Seiten gleich 0 setzt. Man erhält also Wählt man jetzt x = t als Parameter, so ergibt sich aus der zweiten (und dritten) Gleichung x 3 = 5t. Nun folgt aus der ersten Gleichung 3x 4 = x 5x 3 = t 25t = 24t, also x 4 = 8t, und damit aus der vierten Gleichung x 2 = x +x 3 +x 4 = 2t. Die allgemeine Lösung des homogenen Systems ist daher {(x, x 2, x 3, x 4 ) = t(, 2, 5, 8) t R}.

24 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT 3 Lineare Unabhängigkeit Beispiel 3. Gegeben sind die Vektoren a = (, 2, ) T, b = (0,, 3) T, c = (2, a, ) T im R 3. Bestimmen Sie a R so, daß diese drei Vektoren eine Basis des R 3 bilden. Wann bilden diese Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem? Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.2 Gegeben sind die Vektoren a = ( 2, 0, ) T, b = (, 3, 0) T, c = (0, 2, 2) T im R 3. Prüfen Sie, ob diese Vektoren eine Basis des R 3 bilden. Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.3 Gegeben sind die Vektoren im R 4. a = (4,,, 3) T, b = (3, 0, 3, 0) T, c = (, 5,, ) T a) Prüfen Sie, ob diese Vektoren linear unabhängig sind. b) Für welche r R liegt der Vektor d = (4, r, 2, ) T in dem von a, b und c erzeugten Unterraum des R 4? c) Gibt es Werte von r R, für die a, b, c und d eine Basis des R 4 bilden? Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.4 Gegeben sind die Vektoren a = (2,, 0, t) T, b = (,, 3, 0) T, c = (t, 0, t, ) T, d = (0,, 2, ) T im R 4 für t R. a) Wie muß t gewählt werden, damit a, b und c linear unabhängig sind? b) Setzen Sie t = und geben Sie alle Linearkombinationen von c durch a, b und d an. Lösungshinweise Lösung

25 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Beispiel 3.5 Gegeben sind die Vektoren a = (2,,, 3) T, a 2 = (, 0, t, ) T, a 3 = (,, 3, 0) T, a 4 = (, 0, t, 3) T und b = (3, 2, 0, 7) T im R 4 für t R. a) Für welche t bildet {a, a 2, a 3, a 4 } eine Basis des R 4? b) Setzen Sie t = und geben Sie die Linearkombination von b bezüglich dieser Basis an. Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.6 Gegeben sind die Vektoren im R 3. a = (2,, 2) T, b = (0,, ) T und c = ( 2,, 4) T Läßt sich der Vektor x = (, 5, 4) T als Linearkombination von a, b und c darstellen? Wenn ja, geben Sie eine Darstellung an, andernfalls begründen Sie, warum eine Darstellung nicht möglich ist. Lösungshinweise Lösung Beispiel 3.7 Bezüglich einer Orthonormalbasis {e, e 2, e 3, e 4 } des R 4 seien die Vektoren a = e + e 2 + e 3 + e 4, a 2 = e + 2e 2 + 2e 3 e 4 und a 3 = 2e 2 e 3 gegeben. Läßt sich a 3 als Linearkombination von a und a 2 schreiben? Was kann man über die lineare Abhängigkeit der Vektoren a i folgern? Lösungshinweise Lösung

26 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Hinweise zu Beispiel 3.: Die lineare (Un)abhängigkeit von drei Vektoren im R 3 läßt sich mittels einer Determinante (Spatprodukt!) entscheiden. Dieselbe Determinante liefert auch eine Entscheidung, ob es sich dann um ein Rechtssystem handelt. Hinweise zu Beispiel 3.2: Die lineare (Un)abhängigkeit von drei Vektoren im R 3 Determinante (Spatprodukt!) entscheiden. läßt sich mittels einer Hinweise zu Beispiel 3.3: a) Die lineare (Un)abhängigkeit von drei Vektoren im R 4 läßt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit vier Gleichungen und drei Unbekannten entscheiden. b) und c) Die lineare (Un)abhängigkeit von vier Vektoren des R 4 läßt sich mittels einer Determinante entscheiden. Hinweise zu Beispiel 3.4: a) Die lineare (Un)abhängigkeit von drei Vektoren im R 4 läßt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit vier Gleichungen und drei Unbekannten entscheiden. b) Die Linearkombinationen lassen sich durch ein lineares Gleichungssystem ermitteln. Hinweise zu Beispiel 3.5: a) Die lineare (Un)abhängigkeit von vier Vektoren des R 4 läßt sich mitels einer Determinante testen. b) Die Linearkombination läßt sich durch ein lineares Gleichungssystem ermitteln. Hinweise zu Beispiel 3.6: Eine Linearkombination läßt sich gegebenenfalls durch ein lineares Gleichungssystem ermitteln. Hinweise zu Beispiel 3.7: Eine Linearkombination läßt sich gegebenenfalls durch ein lineares Gleichungssystem ermitteln. Die Unmöglichkeit der linearen Kombinierbarkeit eines der Vektoren aus den anderen zeigt noch nicht die lineare Unabhängigkeit aller Vektoren!

27 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Lösung zu Beispiel 3.: Die drei Vektoren a, b und c im R 3 sind genau dann linear unabhängig und bilden folglich eine Basis des R 3, wenn die Determinante abc von 0 verschieden ist. Es ist aber etwa nach der Regel von Sarrus a 3 = a 0 = 3a 9 = 3(a 3). Diese Determinante ist genau für a 3 von 0 verschieden. Also bilden genau für a R \ {3} die drei Vektoren a, b und c eine Basis von R 3. Die drei Vektoren bilden in der gegebenen Reihenfolge genau dann ein Rechtssystem, wenn die Determinante positiv ist. Dies ist offensichtlich genau für a > 3 der Fall.

28 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Lösung zu Beispiel 3.2: Die drei Vektoren a, b und c im R 3 sind genau dann linear unabhängig und bilden folglich eine Basis des R 3, wenn die Determinante abc von 0 verschieden ist. Es ist aber etwa nach der Regel von Sarrus = = 0.

29 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Lösung zu Beispiel 3.3: a) Die drei Vektoren a, b und c sind genau dann linear abhängig, wenn es drei Skalare x, y, z R gibt, die nicht alle gleich 0 sind, so daß xa + yb + zc = o gilt, also genau dann, wenn das mit den Koordinaten der Vektoren gebildete homogene lineare Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung hat. Man kann die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ermitteln: Wählt man a 2, = als Leitelement, so kann man die erste Unbekannte x eliminieren, indem man das Vierfache der zweiten Zeile von der ersten abzieht, die zweite Zeile von der dritten abzieht und das Dreifache der zweiten Zeile zur vierten addiert: Jetzt sieht man aus den letzten drei Zeilen, das das Gleichungssystem aus diesen Gleichungen nur die triviale L soung x = y = z = 0 hat. Dann gilt dasselbe aber für das gesamte System und damit sind die drei gegebenen Vektoren linear unabhängig. b) und c) Da die drei Vektoren a, b und c nach Teil a) linear unabhängig sind, liegt d genau in dem von ihnen erzeugten Unterraum, wenn alle vier Vektoren linear abhängig sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante abcd gleich 0 ist. Im anderen Fall bilden diese Vektoren eine Basis des R 4. Es ist aber r = r = r 3 wenn man die dritte Zeile von der ersten abzieht und dann nach der zweiten Spalte entwickelt. Nun ist aber, etwa nach der Regel von Sarrus r = 5 6r r + 2 = 207 9r = 9(23 + r). 3 Die Determinante verschwindet also genau für r = 23. In diesem Fall liegt d in dem von den anderen drei Vektoren aufgespannten Unterrraum. Für r 23 bilden die vier Vektoren eine Basis des R 4.,

30 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Lösung zu Beispiel 3.4: a) Die Vektoren a, b, c sind genau dann linear unabhängig, wenn das homogene lineare Gleichungssystem xa + yb + zc = o nur die triviale Lösung x = y = z = 0 hat. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems läßt sich nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren ermitteln: 2 t t 0 t 0 0 Wählt man a 2, = als Leitelement, so kann man die Unbekannte x eliminieren, indem man das Doppelte der zweiten Zeile von der ersten Zeile subtrahiert und das t-fache der zweiten Zeile von der letzten Zeile subtrahiert: 0 3 t t 0 0 t 0 Da die erste und die dritte Zeile identisch sind, kann man eine von ihnen streichen, etwa die erste: t 0 0 t 0 Wählt man nun hierin a 3,3 = als Leitelement, so kann man die Unbekannte z eliminieren, indem man das t-fache der dritten Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert: t t 0 Dieses homogene lineare Gleichungssystem hat genau dann nur die triviale Lösung, wenn 3 t 2 0 gilt. Also sind für t 3 und t 3 die drei Vektoren linear unabhängig. b) Es sind alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems zu ermitteln xa + yb + zd = c, wobei t = zu setzen ist. Dies kann wiederum mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren geschehen:

31 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Wählt man a 2, = als Leitelement, so kann man die Unbekannte x eliminieren, indem man das Doppelte der zweiten Zeile von der ersten Zeile subtrahiert und die zweite Zeile auf die letzte Zeile addiert: Da die erste Zeile und die dritte Zeile identisch sind, kann eine von ihnen fortgelassen werden, etwa die erste: Wählt man hierin a 3,2 = als Leitelement, so kann man die Unbekannte y eliminieren, indem man das Dreifache der letzten Zeile zur zweiten Zeile addiert: Dieses Gleichungssystem hat genau eine Lösung: Aus der zweiten Zeile liest man z = ab und aus der dritten Zeile y =. Dann folgt aus der ersten Zeile aber x = 0. Die einzige Linearkombination für c ist demnach b + d = = 0 = c.

32 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Lösung zu Beispiel 3.5: a) Die vier Vektoren a i sind genau dann linear unabhängig und bilden folglich eine Basis des R 4, wenn die aus ihren Koordinaten gebildete Determinante einen von 0 verschiedenen Wert besitzt. Nun ist aber t 3 t = t 2 t wobei geeignete Vielfache der zweiten Zeile zu den anderen Zeilen addiert wurden. Jetzt kann man nach der ersten Spalte entwickeln und erhält t 2 t = ( ) t 2 t 3 3 = ( ), 0 2 t 2t wobei im letzten Schritt geeignete Vielfache der ersten Zeile zu den anderen Zeilen addiert wurden. Entwickelt man jetzt nach der ersten Spalte, so erhält man als Wert der ursprünglichen Determinante ( )(4 2t 8t) = 0t 4. Also bilden die vier Vektoren genau für t 2 5 eine Basis des R4. b) Da nach Teil a) die vier Vektoren a i für t = eine Basis bilden, gibt es eindeutig bestimmte Zahlen x i R mit x a + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 = b. Zu ihrer Bestimmung ist das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen Wählt man a 2, = als Leitelement, so kann man x eliminieren: ,

33 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Wählt man nun a,2 = als Leitelement, so kann man x 2 eliminieren: Wählt man jetzt a 3,3 = als Leitelement, so kann man noch x 3 eliminieren: Aus der letzten Zeile liest man x 4 = 2 ab, und aus der dritten Zeile dann x 3 = 3 4 =. Die zweite Zeile liefert dann x = 2 = und die erste Zeile schließlich x 2 = = 2. (Es empfiehlt sich, nach diesen Rechnungen die Probe zu machen!)

34 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Lösung zu Beispiel 3.6: Gesucht sind also Zahlen x i R mit x a + x 2 b + x 3 c = x. Zu ihrer Bestimmung ist das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen Wählt man zunächst a 2,2 = als Leitelement, so kann man x 2 eliminieren: Wählt man jetzt a, = 2 als Leitlement, so kann man x eliminieren: Aus der letzten Zeile folgt nun die Unlösbarkeit dieses Gleichungssystems. Also läßt sich x nicht als Linearkombination darstellen.

35 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Lösung zu Beispiel 3.7: Gesucht sind also Zahlen x i R mit x a + x 2 a 2 = a 3. Schreibt man die Vektoren mittels ihrer Koordinaten bezüglich der angegebenen Orthonormalbasis, so ist zur Bestimmung von x i ist das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen Aus der zweiten und dritten Gleichung liest man unmittelbar die Unlösbarkeit dieses Gleichungssystems ab. Daher läßt sich a 3 nicht aus a und a 2 linear kombinieren, ist also von ihnen linear unabhängig. Nun sind aber auch a und a 2 untereinander linear unabhängig, da ersichtlich a 2 kein skalares Vielfaches von a ist, denn sämtliche skalaren Vielfache von a haben stets vier identische Koordinaten. Insgesamt sind also alle drei Vektoren a i linear unabhängig.

36 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE 4 Analytische Geometrie Beispiel 4. Gegeben sind die Vektoren mit a R. a = (, 2, 3) T, b = (2, 0, 2) T, c = (a,, 4) T a) Bestimmen Sie alle Vektoren r, die sowohl auf a als auch auf b senkrecht stehen. b) Wie muß a gewählt werden, damit das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spates V = b > 0 beträgt? c) Für welche a R liegen die drei Vektoren in einer Ebene? Geben Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene an, die dann durch diese Vektoren aufgespannt wird und den Ursprung enthält. Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.2 Gegeben sind die Punkte mit den Koordinaten P = (0,, ), P 2 = (, 2, 3), P 3 = (,, 0). a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E, die P, P 2 und P 3 enthält. b) Zeigen Sie, daß x = s eine Parameterdarstellung von E ist t 0 3, s, t R c) Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden von E und der x, y-ebene. Lösungshinweise Lösung

37 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Beispiel 4.3 Gegeben sind die Punkte mit den Koordinaten P = (0,, ), P 2 = ( 2,, ), P 3 = (0, 3, 0). a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E, die P, P 2 und P 3 enthält. b) Bestimmen Sie den Abstand von Q = (2, 2, 0) zu E. c) Vom Punkt Q ist das Lot auf E zu fällen. Berechnen Sie den Lotfußpunkt F. Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.4 Durch 2x y + 3z = ist eine Ebene E im R 3 bestimmt. Geben Sie eine Parametergleichung von E an. Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.5 Gegeben sind die Punkte mit den Koordinaten P = (0,, 2), P 2 = (,, 0), P 3 = (, 0, ). a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E, die P, P 2 und P 3 enthält. b) Bestimmen Sie den Abstand von E zum Koordinatenursprung. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten P, P 2, P 3. Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.6 Gegeben sind die Ebene E durch und für a R die Ebene E 2 durch 2 2 x = + s 0 0 2x + 2y + z 3 = 0 + t 0 a, s, t R. a) In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneidet E die x-achse? b) Für welches a R sind die Ebenen orthogonal? c) Bestimmen Sie a so, daß der Schnittwinkel zwischen E und E 2 genau π ist. 3 Lösungshinweise Lösung

38 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Beispiel 4.7 Gegeben sind die Ebene E durch und für a, c, d R die Ebene E 2 durch 2x + 2y z = 2 ax y + cz = d. a) Geben Sie eine Parameterdarstellung von E an. b) Bestimmen Sie a, c, d so, daß E und E 2 parallel sind und den Abstand 4 haben. c) Es sei g die Gerade durch den Ursprung, die senkrecht auf E steht. Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel von g mit E 2 für den Fall a = c = d =. Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.8 Gegeben sind die Ebene E durch x = (,, 0) T + r(,, ) T + s(0,, 2) T, r, s R, die Geradenschar g a für a R durch x = (, 2, 6) T + t(a, a, a) T, t R und die Gerade h durch x = (, 2, 6) T + t(,, 3) T, t R. a) Welchen Abstand hat E vom Ursprung? b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel von g mit E. c) Für welche Werte von a steht g a senkrecht auf E? d) Zeigen Sie, daß h parallel zu E ist und bestimmen Sie den Abstand zu E. e) Bestimmen Sie die Gleichung der senkrechten Projektion von g in E. Lösungshinweise Lösung Beispiel 4.9 Von einem Dreieck sind die beiden Eckpunkte P = (2,, 6), P 2 = ( 3,, 4) und der Schnittpunkt H = (2,, 3 ) der Höhenlinien gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten des dritten Eckpunktes P 3 2. Lösungshinweise Lösung

39 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Hinweise zu Beispiel 4.: a) Das Vektorprodukt liefert derartige Vektoren. b) Das Spatprodukt liefert das Volumen. c) Das Spatprodukt muß verschwinden. Die Ebene ist durch einen Normalenvektor festgelegt, der Abstand vom Ursprung ist 0. Hinweise zu Beispiel 4.2: Richtungsvektoren von E findet man als Verbindungsvektoren von je zwei Punkten, der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf sämtlichen Richtungsvektoren. Die x, y-ebene hat die Gleichung z = 0. Hinweise zu Beispiel 4.3: Richtungsvektoren von E findet man als Verbindungsvektoren von je zwei Punkten, der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf sämtlichen Richtungsvektoren. Das Lot von Q auf E verläuft senkrecht zu E. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene wird senkrecht zur Ebene gemessen und kann mit der Hesseschen Normalform ermittelt werden. Hinweise zu Beispiel 4.4: Die Richtungsvektoren von E stehen senkrecht auf dem Normalenvektor, d. h. das Skalarprodukt muß verschwinden. Hinweise zu Beispiel 4.5: Richtungsvektoren von E findet man als Verbindungsvektoren von je zwei Punkten, der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf sämtlichen Richtungsvektoren. Aus der Hesseschen Normalform kann man den Abstand der Ebene vom Ursprung ablesen. Der gesuchte Flächeninhalt hängt mit einem Vektorprodukt zusammen. Hinweise zu Beispiel 4.6: a) Bestimmen Sie zunächst den Schnittwinkel zwischen der x-achse und einem Normalenvektor von E. b) Die Ebenen sind genau dann orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind. Ein Normalenvektor von E 2 ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

40 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE c) Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Hinweise zu Beispiel 4.7: a) Bestimmen Sie zwei linear unabhängige Richtungsvektoren von E, die senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. b) Bestimmen Sie Hessesche Normalformen von E und E 2 und wählen Sie d so, daß beide Ebenen den gewünschten Abstand haben. c) Der Schnittwinkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und einem Normalenvektor der Ebene ist der Komplementwinkel des gesuchten Schnittwinkels. Hinweise zu Beispiel 4.8: a) Den Abstand einer Ebene zum Ursprung kann man aus ihrer Hesseschen Normalform ablesen. b) Der Schnittwinkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und einem Normalenvektor der Ebene ist der Komplementwinkel des gesuchten Schnittwinkels. c) Der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene müssen linear abhängig sein. d) Der Richtungsvektor der Geraden muß senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein. Den Abstand eines Punktes (der Geraden) von der Ebene erhält man aus der Hesseschen Normalform. e) Die senkrechte Projektion erhält man als Verbindungsgerade von zwei Lotfußpunkten. Einer davon kann als Schnittpunkt gewählt werden. Hinweise zu Beispiel 4.9: Die zweiten Koordinaten aller gegebenen Punkte sind gleich. Es handelt sich also um ein zweidimensionales Problem, das Dreieck liegt parallel zur x, z-ebene. Die zweite Koordinate von P 3 muß also ebenfalls sein.

41 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.: a) Alle Vektoren r, die auf a und b senkrecht stehen, sind skalare Vielfache des Vektorproduktes a b. Dieses Vektorprodukt läßt sich mitels der folgenden Determinante durch Entwicklung nach der ersten Zeile bestimmen a b = e e 2 e Also gilt r = t(,, ) mit t R. = 4e ( 4)e 2 4e 3 = (4, 4, 4) T. b) Das Spatprodukt der drei Vektoren läßt sich durch die folgende Determinante etwa nach der Regel von Sarrus berechnen (a b) c = a 4 = 0 + 4a = 4a + 20 = 4(a + 5). Da das Volumen gleich dem Betrag des Spatproduktes ist, muß gelten V = b = 4(a + 5), also a + 5 = b. Hieraus ergibt sich a + 5 = b, also a = b 5, oder a + 5 = b, also a = b c) Die drei Vektoren liegen genau dann in einer Ebene, wenn ihr Spatprodukt verschwindet. Dies ist nach b) genau für a = 5 der Fall. Dann steht ein Normalenvektor dieser Ebene auf allen drei Vektoren senkrecht, was nach a) insbesondere für r = (,, ) der Fall ist. Jede Ebene mit diesem Normalenvektor hat die parameterfreie Darstellung x + y z = d. Da die Ebene den Ursprung enthalten soll, muß d = 0 gelten, also x + y z = 0.

42 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.2: a) Richtungsvektoren der Ebene durch die Punkte erhält man als Verbindungsvektoren verschiedener Punkte, also etwa und a = (, 2, 3) T (0,, ) T = (,, 2) T b = (,, 0) T (0,, ) T = (, 2, ) T. Ein Normalenvektor n von E ergibt sich dann als Kreuzprodukt n = a b = 2 2 Damit lautet eine Normalformdarstellung von E 3x y + z = d. = Den Wert von d erhält man durch Einsetzen eines Punktes, etwa von P, in diese Gleichung: d = ( 3) 0 + ( ) = 2. Die ergibt also 3 3x y + z = 2 oder 3x + y z = 2. (Man kann leicht die Probe machen, indem man die Koordinaten der anderen beiden Punkte einsetzt!) Die Hessesche Normalform gewinnt man hieraus durch Normierung des Normalenvektors. Dessen Norm berechnet man mittels des Skalarproduktes n = n n = ( 3) 2 + ( ) =. Also lautet die Hessesche Normalform von E 3 x + y z = 2.. b) Die angegebene Parametergleichung beschreibt genau dann dieselbe Ebene, wenn der Aufpunkt (2, 3, ) in E liegt und die beiden Richtungsvektoren senkrecht auf dem Normalenvektor von E stehen. Nun gilt aber 3 2+ ( 3) = 2 und für die Skalarprodukte = = 0 und d.h. die Richtungsvektoren stehen senkrecht auf n = 3 3 = 0,

43 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE c) Da die x, y-ebene durch die Gleichung z = 0 beschrieben wird, muß diese Bedingung für die dritte Koordinate der Punkte aus E gelten: 2s + 3t = 0 oder s = t. Setzt man dies in die Parametergleichung von E ein, so erhält man für die Schnittgerade von E und der x, y-ebene die Parametergleichung x = = s t + t t 0 3 = t 3 0.

44 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.3: a) Richtungsvektoren der Ebene durch die Punkte erhält man als Verbindungsvektoren verschiedener Punkte, also etwa und a = ( 2,, ) T (0,, ) T = ( 2, 0, 2) T b = (0, 3, 0) T (0,, ) T = (0, 2, ) T. Ein Normalenvektor n von E ergibt sich dann als Kreuzprodukt n = a b = 0 2 = Damit lautet eine Normalformdarstellung von E 4x + 2y 4z = d. Den Wert von d erhält man durch Einsetzen eines Punktes, etwa von P, in diese Gleichung: d = ( ) = 6. Dies ergibt also 4x + 2y 4z = 6 oder 2x y + 2z = 3. (Man kann leicht die Probe machen, indem man die Koordinaten der anderen beiden Punkte einsetzt!) Die Hessesche Normalform gewinnt man hieraus durch Normierung des Normalenvektors. Dessen Norm berechnet man mittels des Skalarproduktes n = n n = ( ) = 9 = 3. Also lautet die Hessesche Normalform von E 2 3 x 3 y z + = 0. b) Den Abstand a eines Punktes Q von einer Ebene E erhält man, indem man die Koordinaten von Q in die Hessesche Normalform einsetzt: a = ( 2) = 3. c) Das Lot von Q auf E ist die Gerade durch Q, die senkrecht auf E steht, also deren Richtungsvektor Normalenvektor von E ist: x = 2 + s

45 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Man kommt nun von Q zum Lotfußpunkt F, indem man von Q aus auf diesem Lot den Abstand a zurücklegt. Da der Richtungsvekor dieses Lotes die Länge hat, muß man gerade s = a setzen: F = (2, 2, 0) 3( 2 3, 3, 2 ) = (0,, 2) 3 (Probe: Die Koordinaten dieses Punktes müssen die Ebenengleichung erfüllen, der Abstand von Q zu F muß gleich a sein.)

46 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.4: Der Normalenvektor von E lautet also n = (2,, 3) T. Gesucht sind also linear unabhängige Richtungsvektoren a = (a, a 2, a 3 ) und b = (b, b 2, b 3 ) mit a n = 0 und a n = 0. Aus der ersten Bedingung erhält man 2a a 2 + 3a 3 = 0, aus der zweiten 2b b 2 + 3b 3 = 0 Wählt man a 3 = 0 und a = sowie b = 0 und b 3 =, so erreicht man zunächst, daß a und b linear unabhängig sind. Die hergeleiteten Bedingungen führen dann auf a 2 = 2 und b 2 = 3. Nun ist noch ein Aufpunkt zu bestimmen. Dessen Koordinaten müssen die Ebenengleichung erfüllen. Hier kann man x = und z = 0 wählen und so y = bestimmen. Damit ergibt sich die Ebenengleichung zu x = 0 + s t 0 3.

47 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.5: a) Richtungsvektoren der Ebene durch die Punkte erhält man als Verbindungsvektoren verschiedener Punkte, also etwa und a = (,, 0) T (0,, 2) T = (, 2, 2) T b = (, 0, ) T (0,, 2) T = (,, ) T. Ein Normalenvektor n von E ergibt sich dann als Kreuzprodukt n = a b = 2 2 Damit lautet eine Normalformdarstellung von E y + z = d. = Den Wert von d erhält man durch Einsetzen eines Punktes, etwa von P, in diese Gleichung: d = 2 =. Dies ergibt also y + z =. (Man kann leicht die Probe machen, indem man die Koordinaten der anderen beiden Punkte einsetzt!) Die Hessesche Normalform gewinnt man hieraus durch Normierung des Normalenvektors. Dessen Norm berechnet man mittels des Skalarproduktes n = n n = = 2. Also lautet die Hessesche Normalform von E 2 2 y z = b) Aus der Hesseschen Normalform liest man sofort ab, daß die Entfernung des Nullpunktes von E gerade d = 2 2 beträgt. c) Die Länge des Kreuzproduktes a b = n ist gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms, also dem Doppelten der gesuchten Dreiecksfläche. Damit ist diese Dreiecksfläche gleich der halben Länge des Normalenvektors n oder gleich 2 2.

48 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.6: a) Für jeden Punkt der x-achse gilt y = z = 0. Also gilt für den Schnittpunkt von E mit der x-achse 2x 3 = 0 oder x = 3. Der Schnittpunkt ist also 2 S = ( 3, 0, 0). Ein Normalenvektor der Ebene E 2 ist (2, 2, ) T mit der Länge = 3, ein Vektor in Richtung der x-achse ist (, 0, 0) T. Damit ergibt sich für den Winkel α zwischen diesen beiden Vektoren aus der Definition des Skalarproduktes cos(α) = 2. Also gilt α = arccos( 2 ). Der gesuchte Schnittwinkel 3 3 ist dann π α. Der numerische Wert ist 2 4.8o. b) Die beiden Ebenen sind genau dann orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind. Ein Normalenvektor von E 2 ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: a = a 2a 2. Das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren ist daher Es verschwindet also genau für a = 3. 2a 4a + 2. c) Für den Winkel β zwischen den Normalenvektoren der beiden Ebenen ergibt sich aus ihrem Skalarprodukt cos(β) = 2 6a 3 5a Wegen cos( π) = muß also gelten = 2 6a a oder 3 5a = 4 2a oder (5a 2 + 4) = 6 96a + 44a 2 oder 99a 2 96a 20 = 0. Die Nullstellen von a 2 32a 20 = 0 sind a /2 = 6 ± Numerisch ergeben sich a =.5 und a 2 = 0.8.

49 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.7: a) Ein Normalenvektor von E ist n = (2, 2, ) T. Zwei linear unabhängige (Richtungs-)Vektoren, die jeweils senkrecht auf n stehen sind (, 0, 2) T und (0,, 2) T. (Die ersten beiden Komponenten zeigen nämlich ihre lineare Unabhängigkeit und das jeweilige Skalarprodukt mit n ist 0.) Ein Punkt von E ist z. B. (, 0, 0). Damit ergibt sich eine Parameterdarstellung zu x y z = s t 0 2, s, t R. b) Die beiden Ebenen sind genau dann parallel, wenn sie linear abhängige Normalenvektoren besitzen. Ein Normalenvektor von E 2 ist n 2 = (a,, c) T, also sind n und n 2 genau dann linear abhängig, wenn ein λ R existiert mit 2 2 = λ Aus der zweiten Koordinate folgt λ = 2, und damit aus der ersten a = und aus der dritten c = 2. Normiert man nun n und n 2 für diesen Fall, so erhält man die Hesseschen Normalformen von E und E 2 a c. 2 3 x y 3 z = x y 2 3 z = 2 3 d. Damit diese beiden Ebenen den Abstand 4 haben, muß also entweder 2 2d = 4 3 sein oder d = 4. Aus der ersten Gleichung ergibt sich d = 4 = 6, also d = 7, aus der zweiten Gleichung + d = 6, also d = 5. c) Die Ursprungsgerade g in Richtung des Normalenvektors n von E hat die Gleichung (x, y, z) T = t(2, 2, ) T, t R. E 2 hat für a = c = d = die Gleichung x y + z =. Der Schnittpunkt S ergibt sich daher aus 2t 2t t =, also t =, zu S = ( 2, 2, ). Das Skalarprodukt von n und n 2 = (,, ) T ist n n 2 =. Da n die Länge 3 hat und n 2 die Länge 3, ergibt sich für den Cosinus des Winkels zwischen ihnen der Wert 3. Hieraus ergibt sich der Winkel zu arccos( 3 ) = o. Der gesuchte Schnittwinkel ist damit 80 o 68.9 o =.09 o.

50 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.8: a) Einen Normalenvektor zu E erhält man als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, also n = 0 2 = Dieser Vektor hat die Länge 6. Die Hessesche Normalform von E lautet daher (x + 2y z) = Die rechte Seite ist gerade der gesuchte Abstand vom Ursprung. b) Aus der Gleichung von g ergeben sich für die Koordinaten die Gleichungen x = + t, y = 2 und z = 6 t. Setzt man diese in die Gleichung von E ein, so erhält man +t+4 6+t = 3 oder t = 3. Hiermit ergibt sich der Schnittpunkt zu S = (2, 2, 3). Den Komplementwinkel des gesuchten Schnittwinkels α erhält man aus dem Skalarprodukt des Normalenvektors von E mit dem Richtungsvektor von g. Es ist also sin(α) = (, 2, ) T (, 0, ) T = =. 3 Hieraus ergibt sich α = 35.3 o. c) Die Gerade steht genau dann senkrecht auf der Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden und ein Normalenvektor der Ebene linear abhängig sind. Es muß also gelten (a, a, a) = λ(, 2, ). Aus der ersten (und dritten) Koordinate ergibt sich λ = a und damit aus der zweiten a = 2a oder a =. d) Die Gerade ist genau dann parallel zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht zu einem Normalenvektor der Ebene steht, wenn also das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 0 wird. Dieses Skalarprodukt ist aber (,, 3) T (, 2, ) T = = 0. Der Abstand der Geraden von der Ebene ist nun aber der Abstand d des Aufpunktes (, 2, 6) von der Ebene. Diesen Abstand erhält man durch Einsetzen in die Hessesche Normalform: d = 6 ( ) = 6. e) Die senkrechte Projektion von g in E wird bestimmt durch zwei Lotfußpunkte von zwei Punkten der Geraden in E. Als ein Punkt kann dabei der oben ermittelte Schnittpunkt S = (2, 2, 3) genommen werden, der mit seinem Lotfußpunkt

51 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE übereinstimmt. Als zweiter Punkt kann der Aufpunkt der Geraden gewählt werden. Das Lot durch diesen Punkt ist dann (x, y, z) T = (, 2, 6) T + t(, 2, ) T. Setzt man nun x = + t, y = 2 + 2t und z = 6 t in die Ebenengleichung ein, so erhält man + t t 6 + t = 3 oder t =. Der Lotfußpunkt ist also (0, 4, 5). Damit hat die gesuchte Gerade die Gleichung (x, y, z) T = (2, 2, 3) T + λ( 2, 2, 2) T, λ R.

52 4 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lösung zu Beispiel 4.9: Da alle gegebenen Punkte dieselbe y-koordinate haben, liegt das gesuchte Dreieck parallel zur x, z-ebene in der Höhe. Dies ist dann auch die y-koordinate des gesuchten dritten Punktes P 3. Zur Vereinfachung der Rechnung werden im folgenden nur die erste und dritte Koordinate geschrieben. Die Verbindungsgerade g 2 von P und P 2 hat die Gleichung (x, z) T = (2, 6) T + t(, 2) T, t R. Der Richtungsvektor der Höhe h 3 durch P 3 und H steht auf diesem Richtungsvektor senkrecht. Er kann also als (2, ) T gewählt werden. Damit ergibt sich die Gleichung von h 3 zu (x, z) T = (2, 3 2 )T + t(2, ) T, t R. Die Höhe h durch P und H hat die Gleichung (x, z) T = (2, 6) T + t(0, 5 2 )T. Der Richtungsvektor der Verbindungsgerade g 23 durch P 2 und P 3 steht senkrecht auf diesem Richtungsvektor, er kann also als (, 0) T gewählt werden. Damit hat g 23 die Gleichung (x, z) T = ( 3, 4) T + s(, 0) T, s R. Nun ergibt sich P 3 als Schnittpunkt von g 23 und h 3 aus ( 3, 4) T + s(, 0) T = (2, 3 2 )T + t(2, ) T. Aus der letzten Koordinate liest man 4 = 3 t oder t = 5 ab. Setzt man dies 2 2 in h 3 ein, so ergibt sich (x, z) T = (2, 3 2 )T + 5(2, 2 )T = (7, 4) T. Der gesuchte Punkt ist also P 3 = (7,, 4).

53 5 ABLEITUNGEN 5 Ableitungen Bestimmen Sie die (angegebenen) Ableitungen der folgenden Funktionen Beispiel 5. f(x) = ln 2 (x e) (. und 2. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 5.2 f(x) = (ln 2 (x e)) x (. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 5.3 f(x) = ( e ax b)2 für a 0. (. und 2. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 5.4 f(x) = Lösungshinweise (x a)2 e 2x für a R. (. Ableitung) 2 Lösung Beispiel 5.5 f(x) = x n e x2, n N (. und 2. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 5.6 f(x) = + 2 cos(x) 4 cos 2 (x) (. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 5.7 f(x) = x n e x, n N (. Ableitung) Lösungshinweise Lösung Beispiel 5.8 f(x) = x 2 2 (x+a) (. und 2. Ableitung) Lösungshinweise Lösung

54 5 ABLEITUNGEN Hinweise zu Beispiel 5.: Es ist im wesentlichen ln 2 (y) nach der Kettenregel abzuleiten. Hinweise zu Beispiel 5.2: Schreiben Sie zunächst die Exponentialfunktion zur Basis a = ln 2 (x e) als Exponentialfunktion zur Basis e. Hinweise zu Beispiel 5.3: Es ist f(x) = (e ax b) 2 nach der Kettenregel abzuleiten. Hinweise zu Beispiel 5.4: Es ist die Produktregel anzuwenden und bei der Ableitung von e 2x ist die Kettenregel zu beachten. Hinweise zu Beispiel 5.5: ist die Ket- Es ist die Produktregel anzuwenden und bei der Ableitung von e x2 tenregel zu beachten. Hinweise zu Beispiel 5.6: Die Funktionsgleichung läßt sich vereinfachen, indem man den Nenner binomisch zerlegt. Hinweise zu Beispiel 5.7: ist die Ket- Es ist die Produktregel anzuwenden und bei der Ableitung von e x tenregel zu beachten. Hinweise zu Beispiel 5.8: Die Exponentialfunktion zur Basis 2 kann in die Exponentialfunktion zur Basis e umgeschrieben werden. Beim Ableiten ist die Produktregel anzuwenden. Bei der Exponentialfunktion muß die Kettenregel beachtet werden.