Propädeutikum Mathematik

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1 Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2016/2017 Prof. Dr. Dieter Leitmann Abteilung WI WiSe 2016/17 Seite 1

2 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg, Springer, 1995 Schäfer, W. et. Al.: Mathematikvorkurs, Teubner, Wiesbaden, 2002 Kemnitz, A.: Mathematik zum Studienbeginn, Vieweg, Wiesbaden, 2001 van de Craats, J. / Bosch, R.: Grundwissen Mathematik, Springer, 2009 WiSe 2016/17 Seite 2

3 Literaturhinweise Ein großer Teil der Übungsaufgaben ist dem Buch von Karl Bosch: Brückenkurs Mathematik, Oldenbourg Verlag München entnommen. Dieses Buch deckt auch inhaltlich weitgehend (aber nicht vollständig!) den im Propädeutikum behandelten Stoff ab. Hilfen findet man auch im Internet, z.b. unter Hier gibt es auch Links zu weiteren Internetseiten. WiSe 2016/17 Seite 3

4 Inhalt 1. Mengen 2. Zahlbereiche 3. Rechenregeln für reelle Zahlen 4. Bruchrechnen 5. Summen und Produkte 6. Binomische Formeln 7. Potenzen und Wurzeln WiSe 2016/17 Seite 4

5 Inhalt 8. Logarithmen 9. Gleichungen mit einer Unbekannten 10. Prozentrechnung, Dreisatz 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten 12. Gleichungssysteme 13. Grundlagen der ebenen Geometrie 14. Trigonometrische Funktionen WiSe 2016/17 Seite 5

6 1. Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Ein Objekt gehört entweder zu einer Menge oder nicht. Für jedes Objekt x gilt entweder x A oder x A. Die Objekte einer Menge heißen Elemente dieser Menge. Falls x Element der Menge A ist schreibt man: x A Falls x nicht Element von A ist schreibt man: x A WiSe 2016/17 Seite 6

7 Zur Darstellung einer Menge A gibt es folgende Möglichkeiten: 1. Beschreibung der Elemente von A durch Angabe der charakterisierenden Eigenschaften A = {x x ist eine Grundfarbe } 2. Aufzählung der Elemente von A A = { rot, gelb, blau } 3. Zeichnen eines Mengendiagramms von A A blau rot gelb Grundmenge: Menge aller zulässigen Objekte (Universum) leere Menge: Menge, die kein Element enthält Schreibweisen für die leere Menge: oder { } WiSe 2016/17 Seite 7

8 Zwei Mengen A und B sind gleich, in Zeichen A = B, wenn sie die gleichen Elemente besitzen. Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Schreibweise: A B Mengenoperatoren: Schnittmenge, Vereinigungsmenge B A A B = { x x A und x B } A B A B = { x x A oder x B } A B Hierbei wird oder im nichtausschließenden Sinn verwendet, d.h. zu A B gehören auch diejenigen Elemente, die sowohl Element von A als auch Element von B sind. WiSe 2016/17 Seite 8

9 2. Zahlbereiche Menge der natürlichen Zahlen N N = { 1, 2, 3,... } Menge der ganzen Zahlen Z Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) Q Q = { x Z, y Z, y 0 } (x: Zähler, y: Nenner) (Menge der periodischen Dezimalbrüche) Menge der reellen Zahlen R (Menge der unendlichen Dezimalbrüche) (Punkte auf der Zahlengeraden) (Q und irrationale Zahlen) Beispiele für irrationale Zahlen: =2,718 ;=3,14 ; 2 ; 3 Für die Zahlbereiche gilt: N Z Q R WiSe 2016/17 Seite 9

10 3. Rechenregeln für reelle Zahlen Für die Addition + und die Multiplikation von reellen Zahlen a, b, c gelten die Regeln: a + b = b + a; ab = ba; Kommutativgesetze (a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc); Assoziativgesetze a + 0 = 0 + a = a; 0 ist neutrales Element der Addition 1 a = a 1 = a; 1 ist neutrales Element der Multiplikation a + (-a) = a - a = 0; -a ist inverses Element der Addition a (1/a) = 1, falls a 0; 1/a ist inverses El. der Multiplikation a(b + c) = ab + ac; (a+b)c = ac + bc; Distributivgesetze WiSe 2016/17 Seite 10

11 3. Rechenregeln für reelle Zahlen (Fortsetzung) a 0 = 0 a = 0 a b = 0 gilt genau dann, wenn a = 0 oder b = 0. Terme sind sinnvolle Ausdrücke bestehend aus Konstanten (Zahlen), Variablen, Rechenoperationen und Klammern. Die Reihenfolge der Auswertung (Berechnung) eines Terms wird durch Klammersetzung bzw. Vorrangregeln verschiedener Rechenoperatoren bestimmt, z.b. Punktrechnung geht vor Strichrechnung WiSe 2016/17 Seite 11

12 Teiler und Vielfache Seien a und b natürliche Zahlen. Falls es eine natürliche Zahl q mit b = q a gibt, nennt man a Teiler von b. Man sagt auch a teilt b ohne Rest. Die Zahl b wird dann Vielfaches von a genannt. Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl a kann man formal so beschreiben: V a = { b N b = q a, wobei q N} Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl b ist T b = { a N a teilt b ohne Rest} WiSe 2016/17 Seite 12

13 Teiler und Vielfache (Fortsetzung) Seien a und b natürliche Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler von a und b, kurz ggt(a, b), ist die größte natürliche Zahl, die sowohl Teiler von a als auch Teiler von b ist. ggt(a, b) = Maximum(T a T b ) Gilt ggt(a, b) = 1, so heißen a und b teilerfremd. Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b, kurz kgv(a, b), ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von a als auch Vielfaches von b ist. kgv(a, b) = Minimum(V a V b ) = ggt(, ) WiSe 2016/17 Seite 13

14 4. Bruchrechnen Erweitern und Kürzen von Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl c 0 ändert den Wert des Bruches nicht: = =: : Zwei Brüche a/b und c/d sind gleich, wenn ad = bc gilt. Um zwei Brüche zu addieren, müssen die Nenner der Brüche gleich sein: + =+ Das gilt auch für die Subtraktion zweier Brüche. WiSe 2016/17 Seite 14

15 Um zwei Brüche zu multiplizieren, rechnet man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner :! =! Dividieren durch einen Bruch bedeutet multiplizieren mit dem Kehrwert des Bruches: Darstellung als Doppelbruch: :! =! =!! = :! =! =! WiSe 2016/17 Seite 15

16 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Falls viele Summanden addiert werden, verwendet man oft folgende Schreibweise mit dem griechischen Buchstaben Sigma als sogenanntem Summenzeichen: $ " # = & + &'( + &') + + $*) + $*( + $ #%& Analog verwendet man für das Produkt mehrerer Faktoren das Produktzeichen: $ + # = & &'( &') $*) $*( $ #%& WiSe 2016/17 Seite 16

17 Für eine natürliche Zahl n wird n! (sprich: n Fakultät) definiert als das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen: n! = (n-1) n Zusätzlich wird definiert 0! = 1. Für zwei natürliche Zahlen n und k mit k n wird der Binomialkoeffizient $ # (sprich: n über k) definiert als: $ # = $! #! $ #! =$ $ ( $ )... ($ #+() #! WiSe 2016/17 Seite 17

18 Kombinatorische Bedeutung: n! gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine Menge von n Objekten in verschiedenen Reihenfolgen darzustellen. $ # gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge von n Objekten k Objekte ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen, d. h. aus einer n-elementigen Menge k-elementige Teilmengen zu bilden. WiSe 2016/17 Seite 18

19 6. Binomische Formeln (+) ) = ) + ) + ) ( ) ) = ) ) + ) (+)( ) = ) ) Allgemeiner Binomischer Lehrsatz für reelle Zahlen a und b und natürliche Zahl n: $ (+) $ =" $ # $*# # #%0 WiSe 2016/17 Seite 19

20 7. Potenzen und Wurzeln Für n IN und a IR ist a n die n-te Potenz der Zahl a, d.h. das n-fache Produkt der Zahl a mit sich selbst, also $ =. a heißt Basis und n Exponent. Es gelten die Potenzgesetze: $ & = $'& ( $ ) & = $ & $ $ = ( ) $ WiSe 2016/17 Seite 20

21 Für a 0und n IN definiert man 0 = ( und *$ = ( $. Damit gelten die Potenzgesetze auch für beliebige ganzzahlige Exponenten und außerdem gilt $ &=$*& $ Für > 0 ist, d. h. die n-te Wurzel aus, diejenige positive reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich ist. Das ist somit die positive Lösung der Gleichung 6 $ =. $ & = $'& ( $ ) & = $ & $ $ = ( ) $ WiSe 2016/17 Seite 21

22 Weitere Definitionen: $= ( $ ; & $ $= & ; *& $ = ( & $ = ( $ & Damit gelten die Potenzgesetze $ & = $'& $ &=$*& ( $ ) & = $ & $ $ = ( ) $ auch für beliebige rationale Exponenten, wenn a > 0 ist und dann auch für alle reellen Exponenten. WiSe 2016/17 Seite 22

23 8. Logarithmen Für 7,8 R mit 7 1 und 8 > 0 heißt die Lösung der Gleichung 6 = der Logarithmus von 8 zur Basis 7, geschrieben: 6 = ;<= log a b ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Rechenregeln: ;<= (6 >) = ;<= 6 + ;<= > Umformungsregel: ;<= (6/>) = ;<= 6 ;<= > ;<= (6 ) = ;<= 6 ;<= ( = 0; ;<= = ( ;<= 6 = ;<= 6 ;<= WiSe 2016/17 Seite 23

24 9. Gleichungen mit einer Unbekannten Für eine lineare Gleichung der Form 6 = gilt 1. Fall: falls 7 0, = 8/7 die einzige Lösung 2. Fall: falls 7=0 und 8 0, gibt es keine Lösung 3. Fall: falls 7=0 und 8=0, ist R Lösung. Bemerkung: Oft müssen gegebene Gleichungen erst durch so genannte Äquivalenzumformungen in diese Form gebracht werden. WiSe 2016/17 Seite 24

25 Eine quadratische Gleichung der Form 6 ) +A6+B=0 hat, falls A ) CB> 0 ist, die Lösungen 6 ( = A ) + A ) ) D ; 6 ) = A ) A ) ) D Falls A ) CB=0, gibt es die eindeutige Lösung A/). Falls A ) CB<0, hat die quadratische Gleichung keine Lösung in der Grundmenge der reellen Zahlen. Faktorisierung von quadratischen Termen 6 ) +A6+B : Sind x 1 und x 2 die Lösungen der quadratischen Gleichung 6 ) +A6+B=0, so gilt 6 ) +A6+B= (6 6 ( )(6 6 ) ) WiSe 2016/17 Seite 25

26 Eine normiertes Polynom n-ten Grades der Form A 6 =6 $ + $*( 6 $*( + + ( 6+ 0 hat höchstens n Nullstellen. Für n > 4 gibt es keine allgemeine Lösungsverfahren. In Spezialfällen können Ausklammern, Substitution oder Polynomdivision hilfreich sein. Ist x 0 eine Nullstelle des Polynoms p(x), so ist A(6)= B(6), wobei q(x) ein normiertes Polynom vom Grade n-1 ist. WiSe 2016/17 Seite 26

27 10. Dreisatz und Prozentrechnung Einfacher Dreisatz: Zwei Größen A und B stehen in konstantem Verhältnis zueinander (sind proportional, je mehr von A, umso mehr von B ). Hat man a Einheiten von A und b Einheiten von B gegeben und sucht die Anzahl x Einheiten von A, die in demselben Verhältnis zu d Einheiten von B stehen, so gilt: D. h. der Quotient der Größen ist konstant. Umgekehrter Dreisatz: Zwei Größen A und B stehen in umgekehrt proportionalem Verhältnis zueinander ( je mehr von A, umso weniger von B ). Hat man a Einheiten von A und b Einheiten von B gegeben und sucht die Anzahl x Einheiten von A, die zu d Einheiten von B gehören, so gilt: D. h. das Produkt der Größen ist konstant. 6! = 6!= WiSe 2016/17 Seite 27

28 Prozent bedeutet von Hundert, d.h. p % sind p Hundertstel, also p/100. Hat man einen prozentualen Anteil p gegeben und sucht die zugehörige absolute Zahl, so multipliziert man die absolute Größe der Grundgesamtheit (den Grundwert) mit p/100 (entspricht dem einfachen Dreisatz). Zinssätze werden üblicherweise in Prozent angegeben. Bei der sogenannten Verzinsung mit Zinseszins lautet der fundamentale Zusammenhang zwischen Anfangskapital K 0, jährlichem Zinssatz F= A, Anlagezeitraum n in Jahren und (00 Endkapital K n : G $ =G 0 (+ A (00 $ =G 0 (+H $ WiSe 2016/17 Seite 28

29 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten Für zwei beliebige reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei Beziehungen a < b a = b a ist kleiner als b, falls a auf dem Zahlenstrahl links von b liegt a a ist gleich b, falls a und b denselben Punkt auf dem Zahlenstrahl darstellen b a = b a > b a ist größer als b, falls a auf dem Zahlenstrahl rechts von b liegt. b a WiSe 2016/17 Seite 29

30 Lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten löst man analog linearen Gleichungen durch Äquivalenzumformungen, wobei zu beachten ist, das bei Multiplikation bzw. Division der Ungleichung mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird. WiSe 2016/17 Seite 30

31 Zur Lösung quadratischer Ungleichungen kann man folgendermaßen vorgehen: 1. Schritt: Ungleichung in Normalform x 2 + px + q > 0 (bzw. < 0) bringen 2. Schritt: Faktorisierung in (x x 1 )(x x 2 ) > 0 (bzw. < 0) (siehe Kapitel 9) 3. Schritt: Ermittlung der Lösungsmenge durch Fallunterscheidung Im 3. Schritt verwendet man: Ein Produkt ist genau dann > 0, wenn beide Faktoren > 0 sind oder wenn beide Faktoren < 0 sind, bzw. ein Produkt ist genau dann < 0, wenn ein Faktor > 0 ist und ein Faktor < 0 ist. WiSe 2016/17 Seite 31

32 12. Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten kann man mit der Einsetzungsmethode (Substitutionsmethode) oder mit der Additionsmethode lösen. Die Einsetzungsmethode lässt sich folgendermaßen skizzieren: WiSe 2016/17 Seite 32

33 1. Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Variablen. 2. Einsetzen des für diese Variable erhaltenen Ausdrucks in die andere Gleichung. 3. Auflösung dieser Gleichung nach der (verbliebenen) Variablen. 4. Einsetzen dieser Variablen in 1. Falls in 3. ein Widerspruch entsteht, hat das System keine Lösung. Falls in 3. eine Identität entsteht hat das System unendlich viele Lösungen, die durch die Gleichung in 1. beschrieben werden können. WiSe 2016/17 Seite 33

34 13. Grundlagen der ebenen Geometrie Jeder Punkt P in der Ebene lässt sich durch ein Paar (x P y P ) reeller Zahlen beschreiben, wobei x P die x-koordinate von P ist und y P die y-koordinate von P. Die Punktmenge einer Geraden g in der Ebene lässt sich durch eine lineare Gleichung y = mx + n beschreiben, g = { (x y) x IR, y IR, y = mx + n}. Hierbei ist m die Steigung von g und n der Schnittpunkt von g mit der y-achse des Koordinatensystems. &=I$(J)= > 6 => ( > 0 6 ( 6 0 $=> ( & 6 ( Zwei Geraden g und h mit den Steigungen m 1 bzw. m 2 sind parallel, falls m 1 = m 2. Die Geraden stehen senkrecht zueinander, falls & ( & ) = (. Die Schnittpunkte der Geraden bestimmt man durch Lösen des linearen Gleichungssystems (der Geradengleichungen). $ >=& 6+ $ WiSe 2016/17 Seite 34

35 C O A α β Drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bilden ein Dreieck. Die den Punkten gegenüberliegenden Seiten (und ihre Längen) werden mit a, b und c bezeichnet, die Winkel mit α, β, γ. Für die Summe der Winkel im Dreieck gilt α + β + γ = (L0 <. Für die Seitenlängen gelten die Dreiecksungleichungen < + ; < + ; < +. Ist h c die zur Seite c gehörige Höhe des Dreiecks, so gilt für den Flächeninhalt F des Dreiecks: M = ( ) N. (Entsprechende Formeln gelten für die Seiten a und b). B WiSe 2016/17 Seite 35

36 C Gegenkathete zu β Ankathete zu α γ =P0 Gegenkathete zu α Ankathete zu β h c A α Hypotenuse β B Sind a und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse c (also γ = 90 o ), so gilt der Satz des Pythagoras: ) + ) = ). WiSe 2016/17 Seite 36

37 Ein Viereck mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck. Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel. Sind a und b die Seitenlängen des Rechtecks, so berechnet sich sein Flächeninhalt F nach der Formel Für den Umfang U gilt M =. R = ) + ). Ein Rechteck mit vier gleichen Seitenlängen heißt Quadrat. WiSe 2016/17 Seite 37

38 d M r Die Menge aller Punkte der Ebene, die zu einem Punkt M den gleichen Abstand r haben, bilden einen Kreis. Der Punkt M ist dann der Mittelpunkt des Kreises, der Abstand r ist der Radius des Kreises. Der doppelte Radius d heißt Durchmesser des Kreises. Für den Flächeninhalt F und den Umfang U eines Kreises mit Radius r gelten folgende Formeln: M = S T ) R = )S T WiSe 2016/17 Seite 38

39 14. Trigonometrische Funktionen Im rechtwinkligen Dreiecken mit γ = 90 o gilt: Gegenkathete zu β Ankathete zu α b C γ =P0 Gegenkathete zu α Ankathete zu β a A α h c Hypotenuse c β B UFV J = =WX=X$#INXIX Y>A<INX$Z[X \][ J = = ^$#INXIX Y>A<INX$Z[X _`V J = =WX=X$#INXIX ^$#INXIX Winkelmessungen lassen sich im Kreis in Grad (eine volle Umdrehung entspricht 360 o ) oder in Bogenmaß (eine volle Umdrehung entspricht dem Kreisumfang 2πr) durchführen. Ein Winkel α entspricht der r α b Kreisbogenlänge =)ST J ab0 WiSe 2016/17 Seite 39

40 Der Einheitskreis hat Radius r = 1 und Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems. [H$ I <[ I Ein Kreisbogen der Länge t definiert einen Punkt auf dem Einheitskreis, dessen Koordinaten mit cos t und sin t definiert werden. Dies erweitert die Definition der trigonometrischen Funktionen sinus und cosinus im rechtwinkligen Dreieck auf beliebige reelle Zahlen t. WiSe 2016/17 Seite 40

41 Gemäß Definition sind diese Funktionen periodisch mit Periode 2π, d.h. es gilt: [H$ (6+)π) = [H$ 6 und <[ (6 + )π) = <[ 6 für alle reellen Zahlen x. Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich direkt die Gleichung [H$ ) 6 +<[ ) 6 = ( für alle reellen Zahlen x. Weitere nützliche Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen sind _`V6= [H$ 6 <[ 6 und <[ 6=[H$ 6+ S ) WiSe 2016/17 Seite 41