Lineare Algebra II. Prof. Dr. Peter Müller

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1 Lineare Algebra II Prof. Dr. Peter Müller

2 Inhaltsverzeichnis 11 Polynome über Körper 3 12 Direkte Summen Minimalpolynome Bilinearformen Adjungierte und normale Endomorphismen Orthogonale und unitäre Endomorphismen Faktorräume Theorie der linearen Blockcodes 89 2

3 11 Polynome über Körper 11.1 Definition Sei K ein Körper. Dann ist ein Polynom in der Variablen x eine formale Summe f = n a i x i mit n N und a i K für 1 i n, wobei x 0 = 1 gilt. Die Elemente a i werden Koeffizienten genannt. Für a n 0 heißt a n Leitkoeffizient und es ist grad f = n der Grad des Polynoms. Dabei setzt man grad 0 =. Das Polynom f heißt normiert, falls a n = 1 gilt. Die Menge aller Polynome in x über K bezeichnet man mit K[x]. Auf dieser Menge K[x] wird dann die Addition koeffizientenweise durch n m n m a i x i + b i x i = (a i + b i )x i + b i x i i=0 i=0 i=0 i=n+1 für n m definiert. Die Multiplikation ist durch ax = xa für a K, x i x j = x i+j für i, j N und das Distributivgesetz festgelegt. i=0 Beispiel Es gilt (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 )(b 0 + b 1 x) = a 0 (b 0 + b 1 x) + a 1 x(b 0 + b 1 x) + a 2 x 2 (b 0 + b 1 x) = a 0 b 0 + a 0 b 1 x + a 1 xb 0 + a 1 xb 1 x + a 2 x 2 b 0 + a 2 x 2 b 1 x = a 0 b 0 + a 0 b 1 x + a 1 b 0 x + a 1 b 1 xx + a 2 b 0 x 2 + a 2 b 1 x 2 x = a 0 b 0 +a 0 b 1 x+a 1 b 0 x+a 1 b 1 x 2 +a 2 b 0 x 2 +a 2 b 1 x 2 = a 0 b 0 +(a 0 b 1 +a 1 b 0 )x+(a 1 b 1 +a 2 b 0 )x 2 +a 2 b 1 x 3. Bemerkung Sei K ein Körper. Dann bildet K[x] einen kommutativen Ring und einen Vektorraum. Da die Addition auf K[x] koeffizientenweise definiert ist, bildet K[x] eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0. Aus der Definition der Multiplikation folgt unmittelbar die Existenz des neutralen Elements 1, die Kommutativität und die Distributivität. Schließlich folgt die Assoziativität aus n m p n m p ( a i x i )( b j x j )( c k x k ) = a i b j c k x i+j+k. j=1 k=1 j=1 k=1 Da die Abbildung a K ax 0 K[x] injektiv ist, wird K als Teilmenge von K[x] betrachtet. Daher fasst man das Produkt a f für a = a x 0 K[x] und f K[x] als 3

4 Skalarmultiplikation auf. Die Vektorraumaxiome folgen dann aus den Ringeigenschaften von K[x] Satz Seien f, g K[x]. Dann gilt grad(f +g) max{grad f, grad g} und grad fg = grad f +grad g. Sei o.b.d.a f = a a m x m und g = b b n x n mit a m 0 und b n o sowie m n. Für m > n ist dann f + g = (a 0 + b 0 ) (a n + b n )x n + a n+1 x n a m x m, d.h. grad(f + g) = m. Für m = n gilt f + g = (a 0 + b 0 ) (a n + b n )x n, d.h. mit a n + b n 0 folgt grad(f + g) = n und mit a n + b n = 0 folgt grad(f + g) < n. Weiter ist fg = a 0 b 0 +(a 1 b 0 +a 0 b 1 )x+...+a n b m x n+m mit a n b m 0. Daher gilt grad fg = n+m. Korollar 1. K[x] ist nullteilerfrei. 2. Aus fg = hg für f, g, h K[x] und g 0 folgt stets f = h. 1 Sei f, g K[x] mit fg = 0 und f 0. Dann gilt grad f 0 und daher grad g grad g + grad f = grad gf < 0 = g = 0. 2 Sei nun fg = hg für f, g, h K[x] und g 0. Dann gilt (f h)g = fg gh = 0 = f h = 0 = f = h. Bemerkung Früher fasste man Polynome f K[x] für K = R als Abbildungen K K auf. Dies ist halbwegs gerechtfertigt, da ϕ : f K[x] ( x f(x) ) Abb(K, K) ein Ringhomomorphismus ist. Für K < ist diese Abbildung jedoch nicht injektiv. Dazu betrachte man etwa K = F 2. Dann gilt 0 x 2 + x Kern ϕ, da ϕ(x 2 + x)(0) = = 0 und ϕ(x 2 + x)(1) = = 0. 4

5 11.3 Satz (Division mit Rest) Seien f, g K[x] mit g 0. Dann gibt es eindeutige Polynome q, r K[x] mit f = qg + r und grad r < grad g. Zunächst untersuchen wir die Eindeutigkeit. Sei dazu f = qg + r und f = qg + r mit grad r < grad g und grad r < grad g. Es folgt r r = (f qg) (f qg) = qg qg = g( q q). Damit gilt nun grad g > max{grad r, grad r} grad(r r) = grad g( q q) = grad g + grad( q q) = grad( q q) < 0 = q q = 0 = q = q. Schließlich ist auch r = f qg = f qg = r. Nun sei g = b m x m b 0 mit b m 0, d.h. grad g = m. Man setze g = b 1 m g, d.h. g ist normiert mit grad g = m = grad g. Sei weiter f = q g + r für grad r < grad g eine Divsion mit Rest. Dann ist auch f = q g + r = q(b 1 m g) + r = ( qb 1 m )g + r wegen grad r < grad g = grad g eine Division mit Rest. Daher können wir im Folgenden o.e. annehmen, g K[x] ist normiert. Für grad f < grad g ist f = 0 g + f eine Division der verlangten Art. Sei also grad f grad g. Dann beweisen wir die Aussage durch vollständige Induktion über n = grad f. Für n = 0 gilt wegen g 0 und grad f grad g stets 0 grad g grad f = n = 0, d.h. grad g = 0. Da g normiert ist, folgt g = 1. Also ist f = fg + 0 wegen grad 0 = < 0 = grad g eine Division mit Rest. Sei nun a der Leitkoeffizient von f. Wegen grad f grad g ist x grad f grad g K[x] wohldefiniert. Man setze f = f ax grad f grad g g. Da g und x grad f grad g normiert sind, ist a der Leitkoeffizient von ax grad f grad g g. Wegen grad( ax grad f grad g g) = grad( a) + grad x grad f grad g + grad g = 0 + grad f grad g + grad g = grad f gilt daher grad f < n. Nach Induktionsannahme ist dann f = qg + r für grad r < grad g. Es folgt f = f + ax grad f grad g g = qg + r + ax grad f grad g g = (q + ax grad f grad g )g + r. Bemerkung Der von Satz 11.3 ist die algorithmische Beschreibung der Polynomdivision. Sei etwa f = x 6 +2x 4 +x 3 +x 2 +3x+4 und g = x Dann ist a = 1 der Leitkoeffizient von f und man setzt f = f ax grad f grad g g = f x 4 g = x 4 +x 3 +x 2 +3x+4. Mit f = qg+r = g(x 2 +x)+(2x+4) erhält man f = (q + ax grad f grad g )g + r = (x 4 + x 2 + x)g + (2x + 4). 5

6 11.4 Definition / Satz Sei R ein Ring und I R ein Ideal. Dann heißt I Hauptideal, wenn ein x I mit I = xr = (x) existiert. Wenn jedes Ideal I R ein Hauptideal ist, wird R Hauptidealring genannt. K[x] ist ein Hauptidealring. Sei I K[x] ein Ideal. Offenbar gilt I = (0) für I = {0}. Sei also I {0}. Dann existiert ein normiertes Polynom g I mit minimalem Grad. Insbesondere gilt g 0. Somit gibt es für f I nach Satz 11.3 eine Darstellung f = qg + r mit q, r K[x] und grad r < grad g. Da nun I ein Ideal ist, gilt qg I. Es folgt r = f qg I. Sei dann a der Leitkoeffizient von r. Für a 0 ist a 1 r normiert und man erhält wegen grad a 1 r = grad r < grad g einen Widerspruch. Insgesamt gilt also r = 0 = f = gq = I = (g). Bemerkung Sei I K[x] ein Ideal für I = (g). Dann ist g I bis auf einen Faktor a K \ {0} eindeutig bestimmt. Für I = {0} ist das erzeugende Element offenbar eindeutig. Sei also (h) = I = (g) für I {0}, d.h. h, g 0. Dann gilt h = qg und g = rh für 0 q, r K[x]. Es folgt h = (qr)h und daher grad h = grad qr + grad h = grad q + grad r = grad qr = 0. Wegen 0 grad q und 0 grad r folgt damit grad q = 0 = grad r, also q, r K Satz Sei a K eine Nullstelle von f K[x], d.h. f(a) = 0. Dann gibt es ein g K[x] mit f = (x a)g. Sei f = g(x a) + r mit grad r < grad(x a) eine Division mit Rest. Wegen grad(x a) = 1 folgt grad r 0 = r K. Damit gilt 0 = f(a) = g(a a) + r = 0 + r = r. 6

7 11.6 Definition / Bemerkung Sei 0 f = (x a) e g K[x] ein Polynom mit Nullstelle a K für 0 < ẽ N. Dann gilt insbesondere g 0 und es folgt grad f = grad(x a) e + grad g = ẽ + grad g ẽ. Da die Menge M = {ẽ N + f = (x a) e g für ein g K[x]} somit nach oben beschränkt ist, existiert e = max M. Man bezeichnet e als algebraische Vielfachheit der Nullstelle a. Bemerkung Sei 0 f = (x a) e g K[x]. Dann hat die Nullstelle a K genau dann die Vielfachheit e, wenn g(a) 0 gilt. Sei g(a) = 0. Nach Satz 11.5 ist dann g = (x a)h für ein h K[x]. Damit ist e wegen f = (x a) e+1 h nicht die Vielfachheit von a. Sei nun k > e die Vielfachheit von a. Dann ist (x a) e g = f = (x a) k h für h K[x], d.h. g = (x a) k e h mit k e > 0. Somit gilt g(a) = Satz Sei ein Polynom f K[x] mit grad f = n 0 gegeben. Seien weiter a 1,..., a m verschiedene Nullstellen von f mit Vielfachheiten e 1,..., e m. Dann gibt es ein f K[x] mit f = (x a 1 ) e1 (x a m ) em f. Insbesondere gilt e e m n. Sei zunächst f = (x a 1 ) e1 (x a m ) em f für f K[x]. Wegen grad f 0 = f 0 gilt f 0 = grad f 0. Damit folgt n = grad f = e e m + grad f e e m. Nun beweisen wir die erste Aussage durch vollständige Induktion über grad f = n. Der Fall n = 0 ist trivial, da dann f keine Nullstellen hat. Sei nun n 1 und a 1 eine Nullstelle von f der Vielfachheit e 1. Dann ist f = (x a 1 ) e 1 g für ein g K[x]. Sei weiter k i N die Vielfachheit der Nullstelle a i von g. Für g(a i ) 0 setze man k i = 0. Dann existiert ein h i K[x] mit g = (x a i ) k i h i und h i (a i ) 0. Mit h i = h i (x a 1 ) e 1 erhält man f = (x a i ) k i h i. Dabei gilt offenbar h i (a i ) 0 = k i = e i. Insgesamt hat also g die Nullstellen a 2,..., a m mit Vielfacheiten e 2,..., e m. 7

8 Wegen grad g < grad f ergibt sich damit aus der Induktionsannahme g = (x a 2 ) e2 (x a m ) em f. Schließlich folgt f = (x a 1 ) e 1 g = (x a 1 ) e1 (x a m ) em f. Bemerkung Satz 11.7 gilt i.a. für Polynome über Ringen nicht. Etwa hat mit R = Z 8Z das Polynom x 3 = f R[x] die Nullstellen a 1 = 0, a 2 = 2, a 3 = 4 und a 4 = 6. Für die entsprechenden Vielfachheiten folgt dann e 1 + e 2 + e 3 + e 4 4 > grad f Definition Sei f K[x] definiert durch f = n a i x i. Dann ist f = n ia i x i 1 K[x] die Ableitung von f. i=0 Bemerkung Seien f, g K[x]. Dann gilt (f + g) = f + g und (fg) = f g + fg. Sei o.b.d.a. f = n a i x i und g = m b i x i mit m n. Dann gilt f + g = (a 0 + b 0 ) (a m + i=0 i=0 b m )x m + a m+1 x m a n x n. Es folgt f + g = a a n nx n 1 + b b m mx m 1 = (a 1 + b 1 ) (a m + b m )mx m 1 + a m+1 (m + 1)x m a n nx n 1 = (f + g). Nun untersuchen wir fb r x r für b r K. Es gilt (fb r x r ) = (a 0 b r x r + a 1 b r x r a n b r x n+r ) = a 0 b r rx r 1 + a 1 b r (r + 1)x r... + a n b r (n + r)x n+r 1 = a 0 b r rx r 1 + a 1 b r rx r a n b r rx n+r 1 + a 1 b r x r a n b r nx n+r 1 = (a 0 + a 1 x a n x n )b r rx r 1 + (a a n nx n 1 )b r x r = f(b r x r ) + f (b r x r ) Damit folgt (fg) = (f m b i x i ) = ( m fb i x i ) = m (fb i x i ) = m ( f(bi x i ) + f (b i x i ) ) = i=0 i=0 i=0 i=0 m f(b i x i ) + m f (b i x i ) = f m m (b i x i ) + f b i x i = fg + f g. i=0 i=0 i=0 i=0 8

9 Bemerkung Sei f K[x]. Dann folgt aus f = 0 nicht notwendig f K. Für K = F 2 und f = x 2 gilt etwa f = 2x = 0x = Satz Sei a K eine Nullstelle des Polynoms f K[x]. Dann ist a genau dann eine einfache Nullstelle, wenn f (a) 0 gilt. Sei f = (x a)g für g K[x]. Dann ist a genau dann eine einfache Nullstelle, wenn g(a) 0 gilt. Die Behauptung folgt nun wegen f = (x a) g+(x a)g = g+(x a)g, also f (a) = g(a) Definition Ein Polynom f K[x] mit grad f 1 heißt irreduzibel, wenn es keine Zerlegung f = gh mit grad g < grad f und grad h < grad f gibt. Bemerkung Ein Polynom f K[x] mit grad f 1 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Zerlegung f = gh mit g, h K[x] \ K gibt. Sei f reduzibel. Dann existiert eine Zerlegung f = gh mit grad g < grad f und grad h < grad f. Wegen grad f = grad g + grad h gilt grad g = grad f grad h > 0 = g K. Analog folgt h K. Sei nun f = gh eine Zerlegung mit g, h K. Insbesondere gilt dann grad g > 0 und grad h > 0. Daher folgt grad f = grad g +grad h > grad h und analog grad f > grad g, d.h. f ist reduzibel. Beispiel 1. Lineare Polynome ax + b für a 0 sind stets irreduzibel. 9

10 2. Das Polynom x ist in R[x] irreduzibel und in C[x] wegen x = (x i)(x + i) reduzibel Definition Seien f, g K[x] mit g 0. Dann heißt g ein Teiler von f, wenn ein h K[x] mit f = gh existiert. Man schreibt dafür g/f Satz Sei f K[x] mit grad f 1. Dann ist 1. f ist irreduzibel 2. für alle a, b K[x] folgt aus f/ab stets f/a oder f/b äquivalent. 1 = 2 Wir zeigen die Aussage durch Widerspruch und wählen dazu ein Gegenbeispiel mit minimalem Grad. Sei also f irreduzibel und a, b K[x] mit f/ab sowie f / a und f / b. Es folgt insbesondere f/ab = fg = ab für ein g K[x] sowie f / a = a 0 und f / b = b 0. Sei zunächst ( ) f = aq + r mit grad r < grad a für grad f grad a eine Division mit Rest. Wegen grad r < grad f gilt dabei q 0. Mit rb = (f aq)b = fb abq = fb fgq = f(b gq) gilt weiter f/rb. Aus b 0 und grad r < grad a folgt dann grad rb < grad ab. Da ab ein Gegenbeispiel minimalen Grades ist, folgt mit f/rb und f / b nun f/r. Wegen q 0 gilt weiter grad r < grad a grad aq = grad(f r) max{grad f, grad r} = max{grad f, grad r} = grad f = grad r < grad f. Aus f/r erhält man daher r = 0 = f = aq. Da f aber irreduzibel ist, folgt a K = oder q K. Für a K erhält man den Widerspruch f/ab = f/b und für q K erhält man den Widerspruch f = aq = fq 1 = a = f/a. Sei nun a = fq + r mit grad r < grad f für grad a > grad f. Analog zu ( ) erhält man r = 0 = a = fq = f/a ein Widerspruch. 2 = 1 Sei f reduzibel, also f = ab mit grad a < grad f und grad b < grad f. Wegen grad f 1 gilt f 0, also a 0 und b 0. Insgesamt gilt dann f / a und f / b. 10

11 11.13 Korollar Jedes normierte Polynom f K[x] mit grad f 1 hat eine eindeutige Darstellung als Produkt irreduzibler, normierter Faktoren. [Existenz] Sei zunächst f irreduzibel. Dann ist f selbst ein Produkt irreduzibler, normierter Polynome. Sei nun f reduzibel, d.h. f = gh für g, h K[x]. Durch a bzw. b seien die Leitkoeffizienten von g bzw. h gegeben. Wegen f 0 gilt dabei a 0 und b 0. Dann sind a 1 g K[x] bzw. b 1 h K[x] normiert. Man beginne für g und h erneut. Mit jeder Anwendung der Zerlegung erhält man eine Darstellung f = g 1 g n. Wegen grad g i 1 für 1 i n folgt n grad g grad g n = grad f. Daher terminiert dieser Algorithmus. [Eindeutigkeit] Wir beweisen durch Widerspruch. Sei dazu f K[x] ein Gegenbeispiel mit minimalem Grad, d.h. f = p 1 p r = q 1 q s für p 1,..., p r, q 1,..., q s irreduzibel und normiert. Aus Satz folgt wegen p 1 /p 1 p r = q 1 q s zunächst p 1 /q i für ein 1 i s. Daher existiert ein h K[x] mit q i = p 1 h. Da nun q i irreduzibel ist, erhält man h K. Da weiter q i normiert ist, gilt h = 1. Insgesamt gilt also p 1 = q i. Es folgt f = p 2 p r = q 1 q i 1 q i+1 q s. Da nun f eine Gegenbeispiel minimalen Grades war, erhält man wegen grad f < grad f + grad p 1 = grad f die Identität {p 2,..., p r } = {q 1,..., q i 1, q i+1,..., q s }. Mit p 1 = q i folgt {p 1,..., p r } = {q 1,..., q s } ein Widerspruch Bemerkung / Definition Seien α, β K die Leitkoeffizienten von f, g K[x] \ K. Dann sind f = α 1 f und g = β 1 g normiert. Nach Korollar ist nun die Menge {p 1,..., p r } aller normierter, irreduzibler Teiler von f oder g eindeutig bestimmt. Es folgt f = α p e 1 1 p er r und g = β p k 1 1 p kr r mit Potenzen e i, k i N. Dabei setze man e i = 0 bzw. k i = 0, falls p i kein Teiler von f bzw. g ist. Dann ist der größte gemeinsame Teiler und ggt(f, g) = kgv(f, g) = r r p min(e i,f i ) i p max(e i,f i ) i das kleinste gemeinsame Vielfache von f und g. Dabei ist ggt(f, g) bzw. kgv(f, g) als Produkt normierter Faktoren selbst normiert. Für h = 0 setzt man ggt(f, h) = f und für h K \ {0} ist ggt(f, h) = 1. 11

12 Offenbar ist ggt(f, g) ein Teiler von f und g. Sei nun t K[x] ein weiterer gemeinsamer Teiler von f und g. Sei dann γ der Leitkoeffizient von t und t = γ t l 1 1 t ls s die eindeutige Darstellung als Produkt irreduzibler, normierter Faktoren. Es folgt t l i i /f und t l i i /g für 1 i s, d.h. t i = p j mit l i e j und l i k j für ein 1 j r. Damit gilt t/ ggt(f, g). Analog ist kgv(f, g) ein Vielfaches von f und g mit f/t g/t = kgv(f, g)/t Definition 1. Sei p K[x] irreduzibel und normiert. Dann nennt man p e für e N eine Primpotenz. 2. Polynome f, g K[x] mit etwa f 0 heißen teilerfremd, falls ggt(f, g) = 1 gilt. Bemerkung Sei I = K[x]f + K[x]g = {uf + vg u, v K[x]}. Dann ist I ein Ideal und wird von ggt(f, g) erzeugt. Offenbar gilt I und I K[x]. Sei nun a, b I. Dann folgt a = u 1 f +v 1 g und b = u 2 f +v 2 g mit u 1, v 1, u 2, v 2 K[x], d.h. a b = (u 1 u 2 )f + (v 1 v 2 )g I. Daher ist (I, +) eine Untergruppe. Weiter gilt für h K[x] stets ha = h(u 1 f + v 1 g) = (hu 1 )f + (hv 1 )g I. Insgesamt ist I ein Ideal. Nach Satz 11.4 gilt dann J = (d) für ein normiertes Polynom d K[x]. Wegen f = 1 f +0 g J = K[x]d gilt d/f. Analog erhält man d/g, also insgesamt d/ ggt(f, g). Andererseits gilt d = 1 d K[x]d = J = K[x]f + K[x]g, d.h. d = rf + sg für r, s K[x]. Mit ggt(f, g)/f = f = ggt(f, g) h 1 und ggt(f, g)/g = g = ggt(f, g) h 2 folgt d = rf + sg = (rh 1 + sh 2 ) ggt(f, g) = ggt(f, g)/d. Wegen d/ ggt(f, g) und ggt(f, g)/d gilt d = α ggt(f, g) für α K. Da d und ggt(f, g) normiert sind, ergibt sich α = Korollar (Satz von Bézout) Für f, g K[x] \ {0} existieren r, s K[x] mit rf + sg = ggt(f, g). 12

13 Mit d = ggt(f, g) erhält man d (d) = K[x]f + K[x]g, also d = rf + sg für r, s K[x] Satz (euklidischer Algorithmus) Seien f, g K[x] mit g 0. Sei weiter f = qg+r eine Division mit Rest. Dann gilt ggt(f, g) = ggt(g, r). Sei ggt(f, g) = d. Dann gilt d/f = f = dh 1 und d/g = g = dh 2, d.h. r = f qg = d(h 1 qh 2 ) = d/r. Wegen d/r und d/g gilt dann d/ ggt(g, r). Analog folgt ggt(g, r)/d. Da nun ggt(g, r) und d normiert sind, folgt ggt(g, r) = d. Beispiel Seien f, g Q[x] durch f = x 3 + x 2 + 2x und g = x 2 + x + 1 gegeben. Dann folgt aus f = x g + x g = (x + 1) x + 1 x = x sukzessive ggt(f, g) = ggt(g, x) = ggt(x, 1) = ggt(1, 0) = 1. Der euklidische Algorithmus liefert weiter die Koeffizienten aus dem Satz von Bézout. Es gilt ggt(f, g) = 1 = g (x + 1)x = g (x + 1)(f xg) = (x + 1)f + (x 2 + x + 1)g Satz Sei f K[x] \ {0}. Sind dann f und f teilerfremd, so hat f keine mehrfachen Nullstellen. 13

14 Sei d = ggt(f, f ) und habe f die mehrfache Nullstelle a. Mit Satz 11.9 folgt dann f (a) = 0. Nach Satz 11.5 gilt somit (x a)/f und (x a)/f, d.h. (x a)/d = d 1. Bemerkung Der Ring Z der ganzen Zahlen und der Polynomring K[x] weisen gewisse Analogien auf: 1. Die multiplikativ invertierbaren Elemente in Z bzw. in K[x] sind {+1, 1} bzw. {f K f 0}. 2. Für ein Element z Z gilt 1 z N oder 1 z N. Ein Polynom 0 f K[x] kann durch ein Element 0 α K normiert werden. 3. In beiden Ringen ist Division mit Rest definiert. Ebenso ist der Satz von Bézout bzw. der euklidische Algorithmus in Z und K[x] analog. 4. Einer Primzahl p Z entspricht ein irreduzibles, normiertes Polynom f K[x]. Für a, b Z sowie g, h K[x] gilt dann jeweils p/ab = p/a oder p/b sowie f/gh = f/g oder f/h. Weiter hat eine positive ganze Zahl z N \ {0} bzw. eine normiertes Polynom f K[x] \ K eine eindeutige Primfaktorzerlegung bzw. eine eindeutige Darstellung als Produkt irreduzibler, normierter Faktoren. 12 Direkte Summen 12.1 Definition Seien U 1,..., U m Unterräume eines Vektorraums, so dass jeder Vektor v V eine eindeutige Darstellung v = u u m mit u i U i für 1 i m hat. Dann ist V = U 1... U m eine direkte Summe. Beispiel Sei e 1,..., e m eine Basis von V. Dann ist U i = e i = Ke i = {λe i λ K} V für 1 i m ein Unterraum. Wegen der Eindeutigkeit der Basisdarstellung folgt V = U 1... U m. 14

15 12.2 Satz Sei V = U U m die Summe der Unterräume U i V für 1 i m. Sei weiter W i = U U i 1 + U i U m für 1 i m. Dann ist äquivalent 1. V = U 1... U m 2. U i W i = {0} für 1 i m 1 = 2 Sei u i U i W i für 1 i m. Dann ist einerseits u i W i, d.h. es gilt u i = u u i 1 +u i u m mit u j U j für j i. Daher folgt 0 = u u i 1 u i +u i u m. Andererseits gilt u i U i, also = 0 = u u m mit 0 U k und u k U k für 1 k m. Da nun V aber eine direkte Summe ist, ist die Darstellung von 0 V eindeutig. Man erhält also u k = 0 für 1 k m, d.h. insbesondere u i = 0. 2 = 1 Sei v V. Dann gilt v = u u m mit u i U i für 1 i m. Sei nun v = ũ ũ m mit ũ i U i für 1 i m eine weitere Darstellung. Wegen u i, ũ i U i folgt u i ũ i U i für 1 i m. Mit 0 = v v = (u 1 ũ 1 ) (u m ũ m ) gilt für 1 i m daher ũ i u i = (u 1 ũ 1 ) (u i 1 ũ i 1 ) + (u i+1 ũ i+1 ) (u m ũ m ) W i, also ũ i u i W i U i = {0} = ũ i = u i Definition / Bemerkung Sei α End(V ). Ein Unterraum U V heißt dann α-invariant, wenn α(u) U gilt. In diesem Fall ist α : U U wieder wohldefiniert, d.h. α End(U). Die Einschränkung von α auf U bezeichnet man mit α U. Bemerkung Gewöhnlich beschreibt man Endomorphismen α End(V ) mit n = dim V < durch Matrizen A bzgl. einer festen Basis B. Dann gilt mit der Koordinatenabbildung ϕ : V K n dieser Basis für alle Vektoren v V stets ϕ ( α(v) ) = Aϕ(v). Damit wird α α durch A A beschrieben. 15

16 Bemerkung Sei V = U 1... U m mit dim V < eine direkte Summe und b i1,..., b ini für 1 i m eine Basis von U i. Dann ist b 11,..., b 1n1,..., b m1,..., b mnm eine Basis von V. Insbesondere gilt also dim V = dim U dim U m. Da V = U 1... U m eine direkte Summe ist, hat jeder Vektor v V eine eindeutige Darstellung v = u u m mit u i U i für 1 i m. Weiter ist u i = n i λ ik b ik für 1 i m eine eindeutige Basisdarstellung. Insgesamt ist also v V eine eindeutige Linearkombination m n i v = λ ik b ik. k=1 Daher ist b 11,..., b 1n1,..., b m1,..., b mnm nach Satz 4.14 eine Basis von V. k= Satz Sei dim V < und α End(V ). Für 1 i m sei V eine direkte Summe α-invarianter Unterräume U i. Sei α Ui bzgl. einer Basis b i1,..., b ini durch A i M ni n i (K) dargestellt. Dann wird α bzgl. der Basis b 11,..., b 1n1,..., b m1,..., b mnm von V durch die Blockdiagonalmatrix A 1 M =... dargestellt. A m Man betrachte α(b ij ) für 1 i m und 1 j n i. Da U i ein α-invarianter Unterraum ist, folgt für b ij U i stets α(b ij ) U i. Daher gilt α(b ij ) = n i k=1 = n 1 λ ijk b ik 0 b 1k k=1 und es folgt die Behauptung. n i 1 k=1 0 b (i 1)k + n i k=1 λ ijk b ik + n i+1 k=1 0 b (i+1)k nm 0 b mk k=1 16

17 12.5 Definition Ein Endomorphismus α End(V ) eines endlich-dimensionalen Vektorraums V heißt diagonalisierbar, wenn α bzgl. einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird. Eine quadratische Matrix A M n n (K) heißt diagonalisierbar, wenn die lineare Abbildung v K n Av diagonalsierbar ist. Bemerkung 1. Ein Endomorphismus α End(V ) eines endlich-dimensionalen Vektorraums V ist genau dann diagonalisierbar, wenn V eine Basis aus Eigenvektoren von α besitzt. 2. Eine quadratische Matrix A M n n (K) ist genau dann diagonalisierbar, wenn A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. 1 Sei b 1,..., b n eine Basis aus Eigenvektoren. Dann gilt α(b i ) = 0 b b i 1 + λ i b i + 0 b i b n, d.h. α wird bzgl. b 1,..., b n durch eine Diagonalmatrix beschrieben. Sei nun α diagonalisierbar. Dann existiert eine Basis B, so dass M α (B, B) eine Diagonalmatrix ist. Jeder Vektor b B ist dann ein Eigenvektor. 2 Sei A diagonalisierbar. Dann wird v K n Av bzgl. einer Basis B durch eine Diagonalmatrix D dargestellt. Sei dann die Basistranfomration der Standardbasis von K n zu B durch T beschrieben. Nach Korollar 7.12 gilt nun A = T 1 DT, d.h. A und D sind ähnlich. Seien nun A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D. Dann existiert eine invertierbare Matrix T mit D = T 1 AT. Man interpretiere nun T als Basistransformation der Standardbasis von K n zu einer Basis B. Die Abbildung v K n Av wird dann bzgl. B durch D beschrieben Satz Sei n = dim V < und α End(V ). Dann gilt: 1. Seien λ 1,..., λ s die verschiedenen Eigenwerte von α mit den geometrischen Vielfachheiten g 1,..., g s. Dabei gelte g g s = n. Dann ist α diagonalisierbar. 2. Wenn α genau n verschiedene Eigenwerte hat, ist α diagonalisierbar. 17

18 1 Sei E λi für 1 i s der Eigenraum zu λ i und W i = E λ E λi 1 +E λi E λs. Sei dann 0 v W definiert durch v = e e i 1 + e i e s. Wegen v 0 seien dabei o.b.d.a. e 1,..., e j Eigenvektoren d.h. e 1,..., e j {0} und e j+1,..., e s {0}. Es folgt α(v) = α(e 1 ) α(e i 1 ) + α(e i+1 ) α(e j ) = λ 1 e λ i 1 e i 1 + λ i+1 e i λ j e j. Sei nun v E λi, d.h. α(v) = λ i v. Dann gilt 0 = α(v) α(v) = λ 1 e λ i 1 e i 1 λ i v + λ i+1 e i λ j e j. Da λ 1,..., λ j paarweise verschieden sind, ist dies nach Satz 10.2 eine Linearkombination linear unabhängiger Vektoren und es ist höchstens ein Eigenwert λ i = 0. Damit erhält man einen Widerspruch und es folgt E λi W i = {0}. Nach Satz 12.2 gilt daher E λ E λs = E λ1... E λs, d.h. dim E λ1... E λs = dim E λ dim E λs = g g s = n = dim V = E λ1... E λs = V. Daher besitzt V eine Basis aus Eigenvektoren und es folgt die Behauptung. 2 Seien v 1,..., v n Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ 1,..., λ n. Mit Satz 10.2 und dim V = n bildet v 1,..., v n eine Basis von V, d.h. α ist diagonalisierbar. Bemerkung 1. Satz 12.6 gilt analog für Matrizen. 2. Ein diagonalisierbarer Endomorphismus α End(V ) für n = dim V < hat nicht notwendig n verschiedene Eigenwerte. Etwa wird α = id stets durch eine Diagonalmatrix dargestellt, jedoch ist auch für n 2 der einzige Eigenwert λ = Sei α End(V ) diagonalisierbar und durch λ 1 A =... dargestellt. Dann zerfällt χ α (x) = χ A (x) = (x λ 1 ) (x λ n ) in Linearfaktoren. 4. Dem charakteristischen Polynom χ α (x) lässt sich i.a. nicht ablesen, ob α diagonalisierbar ist. Offenbar haben etwa ( ) ( ) A = und B = λ n

19 das gleiche charakteristische Polynom (x 1) 2. Dabei ist aber B wegen ( ) ( ) 1 1 E 1 = Kern = 0 und da λ = 1 der einzige Eigenwert ist nicht diagonalisierbar. 13 Minimalpolynome Definition Sei V ein K-Vektorraum und α End(V ). Für f = a 0 +a 1 x+...+a n x n K[x] definiert man f(α) durch f(α)(v) = n a i α i (v) mit α i (v) = α ( α i 1 (v) ) und α 0 (v) = v. Für eine quadratische Matrix A M n n (K) gilt f(a) = n a i A i. Bemerkung Sei α End(V ) fest gewählt. Dann ist ϕ : f K[x] f(α) End(V ) ein K-linearer Ringhomomorphismus. Zunächst sind K[x] und End(V ) jeweils K-Vektorräume und Ringe. Aus den Ringeigenschaften von End(V ) und α End(V ) folgt weiter f(α) End(V ), d.h. ϕ ist wohldefiniert. Seien nun f, g K[x] o.b.d.a. für m n durch f = n a i x i und g = m b i x i definiert. Dann gilt f + g = m (a i + b i )x i + n wegen α i (v) V stets i=m+1 a i x i. Aus den Eigenschaften von V folgt nun für alle v V ϕ(f)(v) + ϕ(g)(v) = n a i α i (v) + m b i α i (v) = m (a i + b i )α i (v) + n = ϕ(f + g)(v), d.h. ϕ(f) + ϕ(g) = ϕ(f + g). i=m+1 a i α i (v) 19

20 Für ax n, bx m K[x] und λ K folgt für alle v V weiter ϕ(ax n ) ( ϕ(bx m )(v) ) = aα n( bα m (v) ) = abα n+m (v) = ϕ(abx n+m )(v) = ϕ(ax n bx m )(v), d.h. ϕ(ax n ) ϕ(bx m ) = ϕ(ax n bx m ), sowie ϕ(λax n )(v) = λaα n (v) = λϕ(ax n )(v), d.h. ϕ(λax n ) = λϕ(ax n ). Damit folgt ϕ(f g) = ϕ(f) ϕ(g) und ϕ(λf) = λϕ(f) aus der Additivität von ϕ. Zuletzt gilt für v V stets ϕ(1)(v) = v = ( id)(v), also ϕ(1) = 1. Bemerkung Endomorphismen f(α), g(α) mit f, g K[x] und α End(V ) kommutieren. Man betrachte den K-linearen Ringhomomorphismus ϕ : f K[x] f(α) End(V ). Es folgt dann aus der Kommutativität in K[x] stets f(α) g(α) = ϕ(f) ϕ(g) = ϕ(f g) = ϕ(g f) = ϕ(g) ϕ(f) = g(α) f(α). Beispiel Es gilt etwa α f(α) = f(α) α. Dies ist einsichtig mit α = g(α) für g = x Lemma Sei n = dim V < und α End(V ). Dann existiert ein 0 f K[x] mit f(α) = 0. Dem Endomorphismenraum End(V ) entspricht der Vektorraum M n n (K) aller quadratischer (n n)-matrizen. Nach Lemma 6.2 gilt daher dim End(V ) = dim M n n (K) = n 2. Damit sind die n 2 +1 Endomorphismen 1, α,..., α n2 linear abhängig, d.h. es existieren a i K mit a 0 +a 1 α+...+a n 2α n2 = 0 und a i 0 für ein 1 i n 2. Setze f = a 0 +a 1 x+...+a n 2x n2. 20

21 13.2 Bemerkung / Definition Sei dim V < und α End(V ). Da ϕ : f K[x] f(α) End(V ) ein Ringhomomorphismus ist, ist I = Kern ϕ = {f K[x] f(α) = 0} ein Ideal von K[x]. Da nach Lemma 13.1 I {0} gilt, existiert nach Satz 11.4 ein normiertes Polynom m α mit I = K[x]m α. Damit gilt für jedes Polynom f K[x] mit f(α) = 0 stets f K[x]m α = f = hm α für ein h K[x] = m α /f. Also ist m α ist das kleinste normierte Polynom, das α annulliert. Man nennt m α das Minimalpolynom von α. Das Minimalpolynom quadratischer Matrizen definiert man analog. Bemerkung Lemma 13.1 gibt eine Möglichkeit an, das Minimalpolynom von α End(V ) für dim V < zu bestimmen. Man finde dazu k = max{k N 1, α,..., α k 1 linear unabhängig}. Dann gilt rang m α = k. Die Koeffizienten a i von m α erhält man aus der nicht-trivialen Linearkombination a 0 + a 1 α a k α k = Lemma Sei α End(V ) und f, g K[x]. Dann gilt: 1. α-invariante Unterräume von V sind f(α)-invariant. 2. Bild f(α) und Kern f(α) sind α-invariant. 3. Sei V = U 1... U m direkte Summe α-invarianter Unterräume. Dann ist Kern f(α) = m U i Kern f(α). 4. Für f/g gilt Kern f(α) Kern g(α) und Bild g(α) Bild f(α). 5. Kern f(α) Kern g(α) = Kern ggt(f, g)(α). 1 Sei U α-invariant. Dann gilt für u U auch α k (u) U für alle k N, denn α 0 (u) = u U und α k+1 (u) = α ( α k (u) ) U für α k (u) U. Da U ein Unterraum ist, liegt dann auch jede Linearkombination f(α)(u) = α i (u) in U. k i=0 λ i α i (u) der 21

22 2 Sei v Bild f(α), also v = f(α)(w) für ein w V. Dann ist auch α(w) V und daher α(v) = α ( f(α)(w) ) = f(α) ( α(w) ) Bild f(α). Sei nun v Kern f(α), also f(α)(v) = 0. Dann ist auch f(α) ( α(v) ) = α ( f(α)(v) ) = α(0) = 0, also α(v) Kern f(α). 3 Wegen U i Kern f(α) Kern f(α) für alle i = 1,..., m, gilt m U i Kern f(α) Kern f(α). Es bleibt also Kern f(α) m U i Kern f(α) zu zeigen. Sei dazu v Kern f(α). Wegen V = U 1... U m hat dann v eine eindeutige Darstellung v = u u m mit u i U i. Es folgt 0 = f(α)(v) = f(α)(u u m ) = f(α)(u 1 )+...+f(α)(u m ). Nach 1 ist U i auch f(α)-invariant, d.h. es ist f(α)(u i ) U i. Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung der 0 V gilt dann f(α)(u i ) = 0, also u i Kern f(α) u i U i Kern f(α) v = m u i m U i Kern f(α). 4 Sei f, g K[x] und f ein Teiler von g, d.h. g = f h für ein h K[x]. Sei weiter v Kern f(α), d.h. f(α)(v) = 0. Dann gilt g(α)(v) = (h f)(α)(v) = h(α) ( f(α)(v) ) = h(α)(0) = 0, also v Kern g(α). Sei nun v Bild g(α), d.h. v = g(α)(w) für ein w V. Dann ist auch h(α)(w) V und es folgt v = g(α)(w) = (f h)(α)(w) = f(α) ( h(α)(w) ) Bild f(α). 5 Sei d = ggt(f, g). Wegen d/f und d/g folgt nach 4 zunächst Kern d(α) Kern f(α) Kern g(α). Nun gibt es nach dem Satz von Bézout r, s K[x] mit r f + s g = d. Für v Kern f(α) Kern g(α), d.h. f(α)(v) = 0 und g(α)(v) = 0, gilt dann d(α)(v) = (r f + s g)(α)(v) = r(α) ( f(α)(v) ) + s(α) ( g(α)(v) ) = r(α)(0) + s(α)(0) = 0, also v Kern d(α). Korollar Sind f, g K[x] teilerfremd, so ist Kern f(α) Kern g(α) = {0}. 22

23 Es gilt f, g teilerfremd ggt(f, g) = 1 ggt(f, g)(α) = id Kern f(α) Kern g(α) = Kern id = {0}. Bemerkung Im Folgenden sei stets dim V < Lemma Sei ein Endomorphismus α End(V ) gegeben, für dessen Minimalpolynom grad m > 1 gilt. Sei weiter p K[x] ein normierter Teiler von m mit 1 grad p < grad m. Dann ist U = Bild m p (α) ein α-invarianter Unterraum mit {0} U V. Ferner ist p das Minimalpolynom von α U. Da p ein Teiler von m ist, gilt m = pq für ein q K[x]. Damit ist U = Bild m (α) = Bild q(α) p nach Lemma 13.3 α-invariant. Weiter gilt p(α)(u) = p(α) ( Bild q(α) ) = p(α) ( q(α)(v ) ) = (pq)(α)(v ) = m(α)(v ) = 0(V ) = {0}. Mit 1 grad p ist p 0. Wegen grad p < grad m folgt damit p(α) 0 = p(α)(v ) {0}. Insgesamt ergibt sich also U V. Nun ergibt sich aus 0 m = pq zunächst q 0. Wegen grad m = grad p+grad q 1+grad q > grad q folgt dann weiter q(α) 0. Damit gilt U = q(α)(v ) {0}. Sei schließlich p K[x] das Minimalpolynom von α U : U U. Mit p(α U )(U) = p(α)(u) = {0} folgt dann einerseits p/p. Andererseits gilt ( pq)(α)(v ) = p(α) ( q(α)(v ) ) = p(α)(u) = {0}, d.h. pq = m/ pq = pq = pqh für ein h K[x] = p = ph = p/ p. Da nun p und p normiert sind, folgt p = p Satz Sei m K[x] das Minimalpolynom von α End(V ). Dabei sei m = pq für ggt(p, q) = 1. Dann gilt 1. Kern p(α) = Bild q(α) und Kern q(α) = Bild p(α) 2. V = Kern p(α) Kern q(α) und V = Bild p(α) Bild q(α) 23

24 Sei nun m = n p e i i Polynome. Für U i = Kern p e i i 3. V = n U i 4. U i ist α-invariant die eindeutige Zerlegung von m in verschiedene normierte und irreduzible (α) gilt dann 5. p e i i ist das Minimalpolynom von α Ui Sei zunächst v Bild p(α), d.h. v = p(α)(w) für ein w V. Es folgt q(α)(v) = q(α) ( p(α)(w) ) = (qp)(α)(v) = m(α)(v) = 0, d.h. v Kern q(α). Analog gilt für v Bild q(α) stets v Kern p(α). Damit erhalten wir ( 1 ) Bild p(α) Kern q(α) und Bild q(α) Kern p(α). Da p und q teilerfremd sind, gilt mit ( 1 ) weiter ( 2 ) Kern p(α) Kern q(α) = {0} und Bild p(α) Bild q(α) = {0}. Nun gilt offenbar Bild p(α) + Bild q(α) V. Andererseits existieren nach Bézout r, s K[x] mit pr+qs = ggt(p, q) = 1. Damit folgt für v V stets v = (pr+qs)(α)(v) = p(α) ( r(α)(v) ) + q(α) ( s(α)(v) ) Bild p(α) + Bild q(α). Insgesamt gilt mit ( 1 ) also ( 3 ) V = Bild p(α) + Bild q(α) und V = Kern p(α) + Kern q(α). Mit ( 2 ) und ( 3 ) sowie Satz 12.2 erhalten wir dann V = Kern p(α) Kern q(α) und V = Bild p(α) Bild q(α). Insbesondere gilt also ( 4 ) dim Kern p(α) + dim Kern q(α) = dim Bild p(α) + dim Bild q(α). Wegen ( 1 ) gilt nun dim Bild p(α) dim Kern q(α) und dim Bild q(α) dim Kern p(α). Aus ( 4 ) folgt daher dim Bild p(α) = dim Kern q(α) und dim Bild q(α) = dim Kern p(α). Nach ( 1 ) erhält man damit Kern p(α) = Bild q(α) und Kern q(α) = Bild p(α). Bisher haben wir die Aussagen 1 und 2 bewiesen. Weiter folgt 4 unmittelbar aus Lemma Es bleibt also 3 und 5 zu zeigen. Diese Aussagen weisen wir durch vollständige Induktion über n nach. Für n = 1 ist wegen m = p e 1 1 und U 1 = Kern p e 1 1 (α) = Kern m(α) = V also α U1 = α der Fall klar. Sei nun m = p e 1 1 (p e 2 2 p en n ). Da die p i für 1 i n irreduzibel und verschieden sind, sind nach Satz die Polynome p e 1 1 und p e 2 2 p en n teilerfremd. Mit 2 folgt daher V = 24

25 Kern p e 1 1 (α) Kern(p e 2 2 p en n )(α). Aus 1 ergibt sich nun U 1 = Kern p e 1 1 (α) = Bild m p e 1 (α). 1 Daher ist p e 1 1 nach Lemma 13.4 das Minimalpolynom von α U1. Nach 1 und Lemma 13.4 ist weiter U = Kern(p e 2 2 p en n )(α) = Bild m p e 1 (α) ein α-invarianter 1 Unterraum und p e 2 2 p en n das Minimalpolymon von α U. Die Anwendung der Induktionsannahme auf U liefert dann die Behautung. Bemerkung Nach Satz 12.4 lässt sich nun ein Endomorphismus α End(V ) mit einer Primzerlegung m = n des Minimalpolynoms durch eine Blockdiagonalmatrix p e i i A 1... darstellen, so dass für 1 i n und U i = Kern p e i i (α) der Endomorphismus α U i durch die Matrix A i berschrieben wird. Weiter ist dann p e i i das Minimalpolynom von α Ui. Daher ist die Untersuchung von α auf die Untersuchung solcher Endomorphismen zurückgeführt, deren Minimalpolynome Primpotenzen sind. A n 13.6 Definition Sei α End(V ) und U = v, α(v), α 2 (v),... = {α i (v) i N} für v V. Dann heißt U der von v erzeugte α-zyklische Unterraum von V. Man schreibt U = v α Lemma Sei α End(V ) und v V. Dann ist 1. U = v α der kleinste α-invariante Unterraum von V, der v enthält. Sei weiter m K[x] das Minimalpolynom von α U mit grad m = d. Dann gilt 2. v α = v, α(v),..., α d 1 (v). 1 Sei w v α, d.h. w = n a i α i (v). Dann gilt auch α(w) = α ( n a i α i (v) ) = n a i α i+1 (v) i=0 v α, d.h. v α ist α-invariant. Sei nun W ein α-invarianter Unterraum von V mit v W. 25 i=0 i=0

26 Dann gilt offenbar {v, α(v), α 2 (v),...} W, also v α = v, α(v), α 2 (v),... W. 2 Da zunächst U ein α-invarianter Unterraum ist, gilt α U End(U). Für v v α = U ist dann α(v) = α U (v) und daher m(α)(v) = m(α U )(v) = 0. Sei nun x i = q i m + r i mit q i, r i K[x] und grad r i < grad m = d für i N eine Division mit Rest. Dann ist α i (v) = (q i m + r i )(α)(v) = q i (α) ( m(α)(v) ) + r i (α)(v) = q i (α)(0) + r i (α)(v) = r i (α)(v). Wegen grad r i < d gilt weiter r i = a 0 + a 1 x a d 1 x d 1. Daher folgt α i (v) = r i (α)(v) = a 0 v + a 1 α(v) a d 1 α d 1 (v), also α i (v) v, α(v),..., α d 1 (v) für alle i N. Dies liefert v α = v, α(v), α 2 (v),... = v, α(v),..., α d 1 (v) Lemma Sei α End(V ) und U = v α mit v V. Für das Minimalpolynom m von α U dim U = grad m. gilt dann Sei dim U = n und grad m = d. Nach Lemma 13.7 gilt dann V = v, α(v),..., α d 1 (v), d.h. n d. Wegen dim U = n sind nun v, α(v),..., α n (v) v α = U linear abhängig. Daher existieren a 1,..., a n K mit n a i α i (v) = 0 i=0 und a i 0 für ein 1 i n. Man setze f = n a i x i K[x], d.h. f(α)(v) = 0 und grad f n. Sei nun w = n b i α i (v) U. Dann gilt i=0 i=0 n f(α)(w) = f(α)( b i α i (v)) = i=0 n b i f(α) ( α i (v) ) = i=0 n b i α i( f(α)(v) ) = i=0 n b i α i (0) = 0, i=0 also f(α U )(U) = f(α)(u) = {0}. Wegen f 0 folgt daher d = grad m grad f n. Insgesamt erhalten wir also d = n. 26

27 13.9 Lemma Sei das Minimalpolynom von α End(V ) eine Primpotenz p k mit k 1. Dann existiert ein α-zyklischer Unterraum U von V mit dim U = grad p k. Insbesondere ist V dann α-zyklisch, falls grad p k = dim V gilt. Wegen grad p k 1 < grad p k und p k 1 0 gilt p k 1 (α) 0. Daher existiert ein v V mit p k 1 (α)(v) 0. Sei dann U = v α und m das Minimalpolynom von α U. Nach Lemma 13.8 gilt dim U = grad m. Nun gilt aber p k (α U )(U) = p k (α)(u) = {0}, d.h. m/p k. Da p irreduzibel ist, folgt m = p i für ein 0 i k. Wegen p k 1 (α)(v) 0 = p k 1 (α) 0 ist dabei i = k. Insgesamt erhalten wir also dim U = grad p k. Für grad p k = dim V folgt schließlich U = V Satz Sei m das Minimalpolynom von α End(V ). Dann gilt grad m dim V. Wir zeigen die Aussage durch vollständige Induktion über dim V. Für dim V = 1 gilt dabei V = v = Kv. Dann ist α(v) = λv für λ V. Wegen w V = w = µv = α(w) λw = α(µv) λµv = µα(v) λµv = µλv λµv = 0 gilt (x λ)(α)(v ) = {0}, d.h. grad m grad(x λ) = 1 = dim V. Nun betrachten wir zwei Fälle: 1 Sei V = U W die direkte Summe α-invarianter Unterräume mit dim U 1 und dim W 1. Wegen dim V = dim(u W ) = dim U +dim W gilt dann dim U < dim V und dim W < dim V. Seien nun m U bzw. m W die Minimalpolynome von α U bzw. α W. Nach Induktionsannahme gelte dabei grad m U dim U und grad m W dim W. 27

28 Sei nun v V = U W, d.h. v = u + w für u U und w W. Es folgt (m U m W )(α)(v) = (m U m W )(α)(u + w) = (m W m U )(α)(u) + (m U m W )(α)(w) = m W (α) ( m U (α)(u) ) + m U (α) ( m W (α)(w) ) = m W (α) ( m U (α U )(u) ) + m U (α) ( m W (α W )(w) ) = m W (α)(0) + m U (α)(0) = 0, also (m U m W )(α)(v ) = {0}. Wegen m U 0 und m W 0 folgt damit grad m grad m U m W = grad m U + grad m W dim U + dim W = dim V. 2 Sei nun V keine direkte Summe α-invarianter Unterräume U mit dim U 1. Nach Lemma 13.5 gilt für m = pq mit ggt(p, q) = 1 aber stets V = Bild p(α) Bild q(α). Es folgt daher dim Bild p(α) = 0 oder dim Bild q(α) = 0. Sei o.b.d.a. dim Bild p(α) = 0 Bild p(α) = {0} p(α) = 0. Wegen p 0 folgt damit p = m q = 1. Daher ist m eine Primpotenz p k. Für k = 0 ist die Aussage wegen m = 1 = grad m = 0 trivial. Sei also k 1. Dann existiert nach Lemma 13.9 ein Unterraum U mit grad m = dim U dim V Lemma Das Minimalpolynom von α End(V ) habe die Form p k mit p K[x] irreduzibel und normiert. Sei n = dim V = grad p k. Dann ist V keine direkte Summe α-invarianter Unterräume U mit dim U < dim V. Ferner gilt Kern p i (α) = Bild p k i (α). Sei V = U W direkte Summe α-invarianter Unterräume mit dim U < dim V und dim W < dim V. Seien dann m U und m W die Minimalpolynome von α U und α W. Dann gilt p k (α U )(U) = p k (α)(u) = {0} = m U /p k und analog m W /p k. Mit Satz gilt weiter grad m U dim U < dim V = grad p k und analog grad m W < grad p k. Da p irreduzibel ist, sind m U und m W Teiler von p k 1 d.h. p k 1 (α)(u) = {0} und p k 1 (α)(w ) = {0}. Daher gilt für v V mit v = u + w für u U und w W stets 28

29 p k 1 (α)(v) = p k 1 (α)(u + w) = p k 1 (α)(u) + p k 1 (α)(w) = 0, also p k 1 (α)(v ) = {0} im Widerspruch zu p k minimal. Nun zeigen wir Kern p i (α) = Bild p k i (α). Zunächst gilt w = p k i (α)(v) = p i (α)(w) = p i (α) ( p k i (α)(v) ) = p k (α)(v) = 0, d.h. Bild p k i (α) Kern p i (α). Wegen dim V = grad p k existiert nach Lemma 13.9 ein v V mit V = v α. Mit dim V = n bildet dann v, α(v),..., α n 1 (v) eine Basis von V. Sei nun w Kern p i (α) mit w = n 1 a j α j (v) für a j K. Setze g = n 1 j=0 a j x j K[x], also w = g(α)(v). Dann gilt 0 = p i (α)(w) = p i (α) ( g(α)(v) ) = (p i g)(α)(v). Da aber V von v erzeugt wird, folgt u V = u = n 1 λ j α j (v) und damit (p i g)(α)(u) = (p i g)(α) ( n 1 = n 1 j=0 j=0 λ j α j (v) ) = n 1 j=0 j=0 λ j (p i g)(α) ( α j (v) ) λ j (α j ) ( (p i g)(α)(v) ) = n 1 λ j (α j )(0) = 0. Daher gilt (p i g)(α) = 0 = p k /p i g = p k i /g und mit Lemma 13.3 ist Bild g(α) Bild p k i (α). Insgesamt existiert also für jedes w Kern p i (α) ein Polynom g K[x] mit w Bild g(α) Bild p k i (α), d.h. Kern p i (α) Bild p k i (α). j=0 j=0 Definition Sei α End(V ) und U ein α-invarianter Unterraum von V. Dann ist ein α-invariantes Komplement W von U ein α-invarianter Unterraum mit V = U W Satz Sei das Minimalpolynom von α End(V ) eine Primpotenz p k. Sei weiter U ein α-zyklischer Unterraum von V mit dim U = grad p k. Dann existiert ein α-invariantes Komplement W von U. Offenar gilt U {0} = {0}. Daher existiert ein bzgl. Inklusion maximaler α-invarianter Unterraum W mit U W = {0}. Nach Satz 12.2 gilt dann U + W = U W. Für U W = V folgt unmittelbar die Behauptung. 29

30 Sei also U W < V ein echter Unterraum und v V mit v U W. Wegen p 0 (α)(v) = v U W und p k (α)(v) = 0 U W existiert eine minimale Potenz 1 s k mit p s (α)(v) U W. Dann existiert eine eindeutige Darstellung p s (α)(v) = u + w mit u U und w W. Es folgt 0 = p k (α)(v) = p k s (α) ( (p s )(α)(v) ) = p k s (α)(u + w) = p k s (α)(u) + p k s (α)(w). Da U und W jeweils α-invariant sind, folgt p k s (α)(u) U und p k s (α)(w) W. Mit der Eindeutigkeit der Darstellung von 0 U W erhält man dann p k s (α)(u) = p k s (α)(w) = 0. Sei nun m U das Minimalpolynom von α U. Es folgt p k (α U ) = p k (α)(u) = {0} = m U /p k. Da p irreduzibel ist, gilt somit m U = p i für i k. Da U weiter α-zyklisch ist, erhält man dim U = grad m U mit Lemma Aus der Voraussetzung dim U = grad p k folgt dann m U = p k. Lemma angewandt auf U und α U End(U) liefert damit Kern p k s (α U ) = Bild p k (k s) (α U ) = Bild p s (α U ). Es folgt p k s (α U )(u) = p k s (α)(u) = 0 = u Kern p k s (α U ) = u Bild p s (α U ) = u = p s (α U )(y) = p s (α)(y) für ein y U. Man setze nun z = v y, d.h. p s (α)(z) = p s (α)(v) p s (α)(y) = u + w u = w W. Sei p s 1 (α)(z) U W. Da U α-invariant ist, folgt mit y U auch p s 1 (α)(y) U. Insgesamt ergibt sich also p s 1 (α)(v) = p s 1 (α)(v) p s 1 (α)(y) + p s 1 (α)(y) = p s 1 (α)(z) + p s 1 (α)(y) U W ein Widerspruch zur Wahl von s. Daher gilt p s 1 (α)(z) U W. Man setze nun W 1 = W + z α. Man betrachte dann für d = grad p s 1 die Division mit Rest x i = q i p s + r i mit grad r i < d + 1. Dabei gilt α i (z) = q i (α) ( p s (α)(z) ) + r i (α)(z) = q i (α)(w) + r i (α)(z) und r i = a 0 + a 1 x a d x d. Da W α-invariant ist, ist W nach Lemma 13.3 auch q i (α)-invariant d.h. q i (α)(w) = w W. Es folgt α i (z) = w + a 0 z + a 1 α(z) a d α d (z) W + z, α(z),..., α d (z). Da dies für alle i N gilt, erhält man W 1 = W + z α = W + z, α(z),..., α d (z). Da W und z α jeweils α-invariant sind, folgt w 1 W 1 = w 1 = w + z mit w W und z z α = α(w 1 ) = α( w) + α( z) W + z α = W 1. Daher ist auch W 1 ein α-invarianter Unterraum. Sei nun z W. Dann gilt mit y U auch v = z + y U + W im Widerspruch zur Wahl von v, d.h. z W. Wegen z W + z α = W 1 und W W + z α = W 1 folgt dim W < dim W 1. Nun ist aber W ein bzgl. Inklusion maximaler α-invarianter Unterraum mit U W = {0}, d.h. es existiert ein 0 u U W 1. Insbesondere ist u W 1 = u = w+b 0 z+b 1 α(z)+...+b d α d (z) mit w W und b i K. Damit ist u = w + g(α)(z) für ein Polynom g = b 0 + b 1 x b d x d K[x] mit grad g d = grad p s 1 = grad g < grad p s. Es gilt weiter g(α)(z) = u w. Sei nun nach Bézout t = ggt(g, p k ) = Ag+Bp k für A, B K[x]. Da U bzw. W α-invariant ist, 30

31 ist U bzw. W nach Lemma 13.3 auch A(α)-invariant. Damit gilt t(α)(z) = A(α) ( g(α)(z) ) + B(α) ( p k (α)(z) ) = A(α)(u w) + B(α)(0) = A(α)(u) A(α)(w) U + W. Man nehme g = 0 an. Dann ergibt sich durch u = w + g(α)(z) = w W = u U W = u = 0 ein Widerspruch, d.h. g 0. Aus t = ggt(g, p k )/g folgt daher grad t grad g < grad p s = s grad p. Da p irreduzibel ist, erhält man weiter t = ggt(g, p k )/p k = t = p i mit i grad p = grad p i = grad t < s grad p = i < s. Da nun U ein α-invarianter Unterraum ist, ist U auch p i (α)-invariant. Daher folgt y U = p i (α)(y) U. Mit p i (α)(z) = t(α)(z) U + W gilt schließlich p i (α)(v) = p i (α)(v y + y) = p i (α)(z + y) = p i (α)(z) + p i (α)(y) U + W. Dies liefert wegen i < s einen Widerspruch zur Wahl von s d.h. V = U W Definition Ein Vektorraum V mit α End(V ) heißt α-unzerlegbar, falls V keine direkte Summe α- invarianter Unterräume U {0} ist Satz Sei das Minimalpolynom von α End(V ) eine Primpotenz p k. 1. Dann ist V genau dann α-unzerlegbar, wenn grad p k = dim V gilt. 2. Sei V α-unzerlegbar und für 0 i k sei U i = Kern p i (α). Dann gilt dim U i = i grad p. Weiter ist U i α-unzerlegbar und jeder α-invariante Unterraum ist einer der U i. 1 Sei zunächst dim V = grad p k. Dann ist nach Lemma V keine direkte Summe α- invarianter Unterräume U mit dim U < dim V und somit α-unzerlegbar. Sei nun V α-unzerlegbar. Da p irreduzibel ist, gilt grad p k > 0. Nach Satz gilt allgemein dim p k dim V. Man nehme dabei nun dim p k < dim V an. Nach Lemma 13.9 existiert ein α-zyklischer Unterraum U mit dim U = grad p k, d.h. 0 < dim U < dim V. Nach Satz existiert ein α-invariantes Komplement W von U mit dim V = dim U + dim W = 0 < dim W < dim V. Insgesamt ist also V im Widerspruch zur Annahme α-zerlegbar. 31

32 2 Sei v U i = Kern p i (α). Dann folgt p i+1 (α)(v) = p(α) ( p i (α)(v) ) = p(α)(0) = 0 = v Kern p i+1 (α) = U i+1, d.h. ( ) U i U i+1. Da V α-unzerlegbar ist, gilt nach 1 nun dim V = grad p k und mit Lemma gilt folgt U i = Bild p k i (α) und U i+1 = Bild p k i 1 (α). Man erhält daher U i = p k i (α)(v ) = p(α) ( p k i 1 (α)(v ) ) = p(α)(u i+1 ). Somit ist die lineare Abbildung p(α) Ui+1 : u U i+1 p(α)(u) U i surjektiv und mit der Dimensionsformel folgt dim U i+1 = dim Bild p(α) Ui+1 + dim Kern p(α) Ui+1 = dim U i + dim Kern p(α) Ui+1. Nun gilt v Kern p(α) Ui+1 v U i+1 p(α)(v) = 0 v U i+1 Kern p(α) = U 1, d.h. Kern p(α) Ui+1 Kern p(α) Ui+1 = U 1, also = U i+1 U 1. Mit ( ) folgt sukzessive U 1... U i+1 und man erhält ( ) dim U i+1 = dim U i + dim U 1 dim U i+1 dim U i = dim U 1. Die Summation von ( ) für alle 0 i k 1 liefert dann dim U k dim U 0 = dim U k dim U k 1 + dim U k 1... dim U 1 + dim U 1 dim U 0 = k dim U 1. Dabei gilt dim U k = dim Kern p k (α) = dim Kern 0 = dim V = grad p k sowie dim U 0 = dim Kern p 0 (α) = dim Kern id = dim{0} = 0, d.h. grad p k = k dim U 1 = grad p = dim U 1. Die Summation von ( ) für alle 0 i j 1 liefert analog dim U j = j dim U 1 = j grad p. Wegen U i = Bild p k i (α) = Bild pk p i (α) ist p i nach Lemma 13.4 das Minimalpolynom von α Ui. Daher ist U i wegen dim U i = i grad p = grad p i nach 1 α-unzerlegbar. Sei nun U V ein beliebiger α-invarianter Unterraum und m das Minimalpolynom von α U. Dabei gilt U k = V, d.h. wir können o.b.d.a. U V annehmen. Mit Satz folgt dann grad m dim U < dim V = grad p k. Wegen p k (α)(u) = {0} = m/p k erhält man dann m = p i für i < k. Damit ergibt sich ( ) U = Kern p i (α U ) Kern p i (α) = U i. Die Aussage folgt nun durch vollständige Induktion über dim V. Für dim V = 1 ist der Fall wegen dim U < dim V = dim U = 0 = U = {0} = U 0 klar. Mit i < k gilt zuerst dim U i = i grad p < k grad p = grad p k = dim V. Weiter ist p i das Minimalpolynom von α Ui und U i ist α-unzerlegbar, d.h. insbesondere α Ui -unzerlegbar. Da U wegen ( ) ein α-invarianter Unterraum von U i ist, erhält man für j i nach Induktionsannahme U = Kern p j (α Ui ) = {v U i p j (α Ui )(v) = 0} = {v U i p j (α)(v) = 32

33 0} = {v V p j (α)(v) = 0} U i = Kern p j (α) Kern p i (α) = Kern ggt(p j, p i )(α) = Kern p j (α) = U j Lemma Sei V für α End(V ) ein α-unzerlegbarer Vektorraum. Dann ist V α-zyklisch und das Minimalpolynom von α ist eine Primpotenz p k mit grad p k = dim V. Sei m das Minimalpolynom von α. Für m = pq mit ggt(p, q) = 1 gilt nach Satz 13.5 nun V = Bild p(α) Bild q(α). Da V aber α-unzerlegbar ist, folgt o.b.d.a. Bild p(α) = {0} = p = m = q = 1. Daher ist m eine Primpotenz. Nach Satz 13.4 gilt dann grad m = dim V und V ist nach Lemma 13.9 α-zyklisch. Bemerkung Ein α-zyklischer Vektorraum V mit α End(V ) ist jedoch i.a. nicht α-unzerlegbar Lemma Sei α End(V ). Dann ist V eine direkte Summe α-unzerlegbarer Unterräume U j. Sei m = p k i i die Primzerlegung des Minimalpolynoms von α. Setze V pi = Kern p k i i (α). Dann gilt V = V pi und jeder Unterraum V pi ist eine direkte Summe gewisser U j. Weiter ist p k i i das Minimalpolynom von α Vpi. Zunächst ist V entweder selbst α-unzerlegbar oder eine direkte Summe V = U W mit dim U < dim V und dim W < dim V. Nun beginne man für U und W erneut. Wegen dim V < und dim U j = dim U j erhält man schließlich eine endliche Zerlegung. Weiter folgt aus Lemma 13.5 unmittelbar V = Kern p k i i (α) = V pi. Sei nun U j ein α-unzerlegbarer Summand von V = U j und sei m Uj das Minimalpolynom von α Uj. Nach Lemma 13.5 ist m Uj eine Primpotenz. Wegen m(u j ) = {0} = m Uj /m ist daher m Uj = p l r für l k r. Es folgt u U j = p l r(α)(u) = 0 = p kr r (α)(u) = p kr l r (α) ( p l r(α)(u) ) = p kr l r (α)(0) = 0 = u Kern p kr r (α) = V pr, also U j V pr. Wegen V = V pi gilt dann V pr V ps = {0} = U j V ps = {0} für alle s r. 33

34 Damit folgt für ein festes i und alle j stets V pi U j = U j oder V pi U j = {0}. Damit ist (Vpi U j ) eine direkte Summe gewisser U j. Nach Lemma und Lemma 13.7 sind die U j α- invariant. Mit Lemma 13.3 folgt damit schließlich V pi = Kern p k i i (α) = ( U j Kern p k i i (α)) = (Uj V pi ). Zuletzt ist p k i i wegen V pi = Kern p k i i (α) nach Lemma 13.5 das Minimalpolynom von α Vpi. Bemerkung Die Zerlegung V = U j in Lemma ist in der Regel nicht eindeutig. Wir sehen jedoch in Lemma 13.17, dass die Dimensionen der U j und die Minimalpolynome der α Ui eindeutig sind Lemma Sei das Minimalpolynom von α End(V ) eine Primpotenz p k. Sei V = U 1... U n eine direkte Summe α-unzerlegbarer Unterräume. Dann ist p k i mit k i k das Minimalpolynom von α Ui und es gilt dim U i = k i grad p. Dabei ist das Tupel (k 1,..., k n ) bis auf Permutation eindeutig. Ferner gilt k i = k für mindestens ein i. Da stets p k (α)(u i ) = {0} gilt, ist das Minimalpolynom von α Ui eine Primpotenz p k i man dim U i = grad p k i = k i grad p. ein Teiler von p k und damit mit k i k. Mit der α-unzerlegbarkeit von U i und Lemma erhält Man nehme nun k i < k k i k 1 für alle 1 i n an. Dann gilt p k 1 (α)(u i ) = p k 1 k i (α) ( p k i (α)(u i ) ) = {0} und daher v V = U 1... U n = v = u u n = p k 1 (α)(v) = p k 1 (α)(u 1 ) p k 1 (α)(u n ) = 0 = p k 1 (α)(v ) = {0} = p k 1 (α) = 0. Mit grad p k 1 < grad p k liefert dies einen Widerspruch, d.h. es gilt k i = k für ein 1 i n. Sei nun o.b.d.a. k 1... k n und 0 t k. Nach Lemma ist U i α-zyklisch, d.h. es gilt U i = u α für ein u U i. Nach Lemma 7.4 gilt p t (α)(u i ) = p t (α)( u α ) = p t (α)(u) α, d.h. p t (α)(u i ) ist ebenfalls α-zyklisch. Mit p t (α)(u i ) = Bild p t (α Ui ) = Bild pk i p k i t (α Ui ) und Lemma 13.4 ist p k i t für t k i das Minimalpolynom von α p t (α)(u i ). Nach Lemma 13.8 gilt dann für t k i auch dim p t (α)(u i ) = grad p k i t = (k i t) grad p. Für t > k i folgt p t (α)(u i ) = p t k i (α) ( p k i (α)(u i ) ) = {0}, also dim p t (α)(u i ) = 0. Sei nun v V = U 1... U n definiert durch v = u u n. Dann gilt p t (α)(v) = p t (α)(u 1 )+ 34