Lineare Algebra II. Prof. Dr. Peter Müller

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lineare Algebra II. Prof. Dr. Peter Müller"

Transkript

1 Lineare Algebra II Prof. Dr. Peter Müller

2 Inhaltsverzeichnis 11 Polynome über Körper 3 12 Direkte Summen Minimalpolynome Bilinearformen Adjungierte und normale Endomorphismen Orthogonale und unitäre Endomorphismen Faktorräume Theorie der linearen Blockcodes 89 2

3 11 Polynome über Körper 11.1 Definition Sei K ein Körper. Dann ist ein Polynom in der Variablen x eine formale Summe f = n a i x i mit n N und a i K für 1 i n, wobei x 0 = 1 gilt. Die Elemente a i werden Koeffizienten genannt. Für a n 0 heißt a n Leitkoeffizient und es ist grad f = n der Grad des Polynoms. Dabei setzt man grad 0 =. Das Polynom f heißt normiert, falls a n = 1 gilt. Die Menge aller Polynome in x über K bezeichnet man mit K[x]. Auf dieser Menge K[x] wird dann die Addition koeffizientenweise durch n m n m a i x i + b i x i = (a i + b i )x i + b i x i i=0 i=0 i=0 i=n+1 für n m definiert. Die Multiplikation ist durch ax = xa für a K, x i x j = x i+j für i, j N und das Distributivgesetz festgelegt. i=0 Beispiel Es gilt (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 )(b 0 + b 1 x) = a 0 (b 0 + b 1 x) + a 1 x(b 0 + b 1 x) + a 2 x 2 (b 0 + b 1 x) = a 0 b 0 + a 0 b 1 x + a 1 xb 0 + a 1 xb 1 x + a 2 x 2 b 0 + a 2 x 2 b 1 x = a 0 b 0 + a 0 b 1 x + a 1 b 0 x + a 1 b 1 xx + a 2 b 0 x 2 + a 2 b 1 x 2 x = a 0 b 0 +a 0 b 1 x+a 1 b 0 x+a 1 b 1 x 2 +a 2 b 0 x 2 +a 2 b 1 x 2 = a 0 b 0 +(a 0 b 1 +a 1 b 0 )x+(a 1 b 1 +a 2 b 0 )x 2 +a 2 b 1 x 3. Bemerkung Sei K ein Körper. Dann bildet K[x] einen kommutativen Ring und einen Vektorraum. Da die Addition auf K[x] koeffizientenweise definiert ist, bildet K[x] eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0. Aus der Definition der Multiplikation folgt unmittelbar die Existenz des neutralen Elements 1, die Kommutativität und die Distributivität. Schließlich folgt die Assoziativität aus n m p n m p ( a i x i )( b j x j )( c k x k ) = a i b j c k x i+j+k. j=1 k=1 j=1 k=1 Da die Abbildung a K ax 0 K[x] injektiv ist, wird K als Teilmenge von K[x] betrachtet. Daher fasst man das Produkt a f für a = a x 0 K[x] und f K[x] als 3

4 Skalarmultiplikation auf. Die Vektorraumaxiome folgen dann aus den Ringeigenschaften von K[x] Satz Seien f, g K[x]. Dann gilt grad(f +g) max{grad f, grad g} und grad fg = grad f +grad g. Sei o.b.d.a f = a a m x m und g = b b n x n mit a m 0 und b n o sowie m n. Für m > n ist dann f + g = (a 0 + b 0 ) (a n + b n )x n + a n+1 x n a m x m, d.h. grad(f + g) = m. Für m = n gilt f + g = (a 0 + b 0 ) (a n + b n )x n, d.h. mit a n + b n 0 folgt grad(f + g) = n und mit a n + b n = 0 folgt grad(f + g) < n. Weiter ist fg = a 0 b 0 +(a 1 b 0 +a 0 b 1 )x+...+a n b m x n+m mit a n b m 0. Daher gilt grad fg = n+m. Korollar 1. K[x] ist nullteilerfrei. 2. Aus fg = hg für f, g, h K[x] und g 0 folgt stets f = h. 1 Sei f, g K[x] mit fg = 0 und f 0. Dann gilt grad f 0 und daher grad g grad g + grad f = grad gf < 0 = g = 0. 2 Sei nun fg = hg für f, g, h K[x] und g 0. Dann gilt (f h)g = fg gh = 0 = f h = 0 = f = h. Bemerkung Früher fasste man Polynome f K[x] für K = R als Abbildungen K K auf. Dies ist halbwegs gerechtfertigt, da ϕ : f K[x] ( x f(x) ) Abb(K, K) ein Ringhomomorphismus ist. Für K < ist diese Abbildung jedoch nicht injektiv. Dazu betrachte man etwa K = F 2. Dann gilt 0 x 2 + x Kern ϕ, da ϕ(x 2 + x)(0) = = 0 und ϕ(x 2 + x)(1) = = 0. 4

5 11.3 Satz (Division mit Rest) Seien f, g K[x] mit g 0. Dann gibt es eindeutige Polynome q, r K[x] mit f = qg + r und grad r < grad g. Zunächst untersuchen wir die Eindeutigkeit. Sei dazu f = qg + r und f = qg + r mit grad r < grad g und grad r < grad g. Es folgt r r = (f qg) (f qg) = qg qg = g( q q). Damit gilt nun grad g > max{grad r, grad r} grad(r r) = grad g( q q) = grad g + grad( q q) = grad( q q) < 0 = q q = 0 = q = q. Schließlich ist auch r = f qg = f qg = r. Nun sei g = b m x m b 0 mit b m 0, d.h. grad g = m. Man setze g = b 1 m g, d.h. g ist normiert mit grad g = m = grad g. Sei weiter f = q g + r für grad r < grad g eine Divsion mit Rest. Dann ist auch f = q g + r = q(b 1 m g) + r = ( qb 1 m )g + r wegen grad r < grad g = grad g eine Division mit Rest. Daher können wir im Folgenden o.e. annehmen, g K[x] ist normiert. Für grad f < grad g ist f = 0 g + f eine Division der verlangten Art. Sei also grad f grad g. Dann beweisen wir die Aussage durch vollständige Induktion über n = grad f. Für n = 0 gilt wegen g 0 und grad f grad g stets 0 grad g grad f = n = 0, d.h. grad g = 0. Da g normiert ist, folgt g = 1. Also ist f = fg + 0 wegen grad 0 = < 0 = grad g eine Division mit Rest. Sei nun a der Leitkoeffizient von f. Wegen grad f grad g ist x grad f grad g K[x] wohldefiniert. Man setze f = f ax grad f grad g g. Da g und x grad f grad g normiert sind, ist a der Leitkoeffizient von ax grad f grad g g. Wegen grad( ax grad f grad g g) = grad( a) + grad x grad f grad g + grad g = 0 + grad f grad g + grad g = grad f gilt daher grad f < n. Nach Induktionsannahme ist dann f = qg + r für grad r < grad g. Es folgt f = f + ax grad f grad g g = qg + r + ax grad f grad g g = (q + ax grad f grad g )g + r. Bemerkung Der von Satz 11.3 ist die algorithmische Beschreibung der Polynomdivision. Sei etwa f = x 6 +2x 4 +x 3 +x 2 +3x+4 und g = x Dann ist a = 1 der Leitkoeffizient von f und man setzt f = f ax grad f grad g g = f x 4 g = x 4 +x 3 +x 2 +3x+4. Mit f = qg+r = g(x 2 +x)+(2x+4) erhält man f = (q + ax grad f grad g )g + r = (x 4 + x 2 + x)g + (2x + 4). 5

6 11.4 Definition / Satz Sei R ein Ring und I R ein Ideal. Dann heißt I Hauptideal, wenn ein x I mit I = xr = (x) existiert. Wenn jedes Ideal I R ein Hauptideal ist, wird R Hauptidealring genannt. K[x] ist ein Hauptidealring. Sei I K[x] ein Ideal. Offenbar gilt I = (0) für I = {0}. Sei also I {0}. Dann existiert ein normiertes Polynom g I mit minimalem Grad. Insbesondere gilt g 0. Somit gibt es für f I nach Satz 11.3 eine Darstellung f = qg + r mit q, r K[x] und grad r < grad g. Da nun I ein Ideal ist, gilt qg I. Es folgt r = f qg I. Sei dann a der Leitkoeffizient von r. Für a 0 ist a 1 r normiert und man erhält wegen grad a 1 r = grad r < grad g einen Widerspruch. Insgesamt gilt also r = 0 = f = gq = I = (g). Bemerkung Sei I K[x] ein Ideal für I = (g). Dann ist g I bis auf einen Faktor a K \ {0} eindeutig bestimmt. Für I = {0} ist das erzeugende Element offenbar eindeutig. Sei also (h) = I = (g) für I {0}, d.h. h, g 0. Dann gilt h = qg und g = rh für 0 q, r K[x]. Es folgt h = (qr)h und daher grad h = grad qr + grad h = grad q + grad r = grad qr = 0. Wegen 0 grad q und 0 grad r folgt damit grad q = 0 = grad r, also q, r K Satz Sei a K eine Nullstelle von f K[x], d.h. f(a) = 0. Dann gibt es ein g K[x] mit f = (x a)g. Sei f = g(x a) + r mit grad r < grad(x a) eine Division mit Rest. Wegen grad(x a) = 1 folgt grad r 0 = r K. Damit gilt 0 = f(a) = g(a a) + r = 0 + r = r. 6

7 11.6 Definition / Bemerkung Sei 0 f = (x a) e g K[x] ein Polynom mit Nullstelle a K für 0 < ẽ N. Dann gilt insbesondere g 0 und es folgt grad f = grad(x a) e + grad g = ẽ + grad g ẽ. Da die Menge M = {ẽ N + f = (x a) e g für ein g K[x]} somit nach oben beschränkt ist, existiert e = max M. Man bezeichnet e als algebraische Vielfachheit der Nullstelle a. Bemerkung Sei 0 f = (x a) e g K[x]. Dann hat die Nullstelle a K genau dann die Vielfachheit e, wenn g(a) 0 gilt. Sei g(a) = 0. Nach Satz 11.5 ist dann g = (x a)h für ein h K[x]. Damit ist e wegen f = (x a) e+1 h nicht die Vielfachheit von a. Sei nun k > e die Vielfachheit von a. Dann ist (x a) e g = f = (x a) k h für h K[x], d.h. g = (x a) k e h mit k e > 0. Somit gilt g(a) = Satz Sei ein Polynom f K[x] mit grad f = n 0 gegeben. Seien weiter a 1,..., a m verschiedene Nullstellen von f mit Vielfachheiten e 1,..., e m. Dann gibt es ein f K[x] mit f = (x a 1 ) e1 (x a m ) em f. Insbesondere gilt e e m n. Sei zunächst f = (x a 1 ) e1 (x a m ) em f für f K[x]. Wegen grad f 0 = f 0 gilt f 0 = grad f 0. Damit folgt n = grad f = e e m + grad f e e m. Nun beweisen wir die erste Aussage durch vollständige Induktion über grad f = n. Der Fall n = 0 ist trivial, da dann f keine Nullstellen hat. Sei nun n 1 und a 1 eine Nullstelle von f der Vielfachheit e 1. Dann ist f = (x a 1 ) e 1 g für ein g K[x]. Sei weiter k i N die Vielfachheit der Nullstelle a i von g. Für g(a i ) 0 setze man k i = 0. Dann existiert ein h i K[x] mit g = (x a i ) k i h i und h i (a i ) 0. Mit h i = h i (x a 1 ) e 1 erhält man f = (x a i ) k i h i. Dabei gilt offenbar h i (a i ) 0 = k i = e i. Insgesamt hat also g die Nullstellen a 2,..., a m mit Vielfacheiten e 2,..., e m. 7

8 Wegen grad g < grad f ergibt sich damit aus der Induktionsannahme g = (x a 2 ) e2 (x a m ) em f. Schließlich folgt f = (x a 1 ) e 1 g = (x a 1 ) e1 (x a m ) em f. Bemerkung Satz 11.7 gilt i.a. für Polynome über Ringen nicht. Etwa hat mit R = Z 8Z das Polynom x 3 = f R[x] die Nullstellen a 1 = 0, a 2 = 2, a 3 = 4 und a 4 = 6. Für die entsprechenden Vielfachheiten folgt dann e 1 + e 2 + e 3 + e 4 4 > grad f Definition Sei f K[x] definiert durch f = n a i x i. Dann ist f = n ia i x i 1 K[x] die Ableitung von f. i=0 Bemerkung Seien f, g K[x]. Dann gilt (f + g) = f + g und (fg) = f g + fg. Sei o.b.d.a. f = n a i x i und g = m b i x i mit m n. Dann gilt f + g = (a 0 + b 0 ) (a m + i=0 i=0 b m )x m + a m+1 x m a n x n. Es folgt f + g = a a n nx n 1 + b b m mx m 1 = (a 1 + b 1 ) (a m + b m )mx m 1 + a m+1 (m + 1)x m a n nx n 1 = (f + g). Nun untersuchen wir fb r x r für b r K. Es gilt (fb r x r ) = (a 0 b r x r + a 1 b r x r a n b r x n+r ) = a 0 b r rx r 1 + a 1 b r (r + 1)x r... + a n b r (n + r)x n+r 1 = a 0 b r rx r 1 + a 1 b r rx r a n b r rx n+r 1 + a 1 b r x r a n b r nx n+r 1 = (a 0 + a 1 x a n x n )b r rx r 1 + (a a n nx n 1 )b r x r = f(b r x r ) + f (b r x r ) Damit folgt (fg) = (f m b i x i ) = ( m fb i x i ) = m (fb i x i ) = m ( f(bi x i ) + f (b i x i ) ) = i=0 i=0 i=0 i=0 m f(b i x i ) + m f (b i x i ) = f m m (b i x i ) + f b i x i = fg + f g. i=0 i=0 i=0 i=0 8

9 Bemerkung Sei f K[x]. Dann folgt aus f = 0 nicht notwendig f K. Für K = F 2 und f = x 2 gilt etwa f = 2x = 0x = Satz Sei a K eine Nullstelle des Polynoms f K[x]. Dann ist a genau dann eine einfache Nullstelle, wenn f (a) 0 gilt. Sei f = (x a)g für g K[x]. Dann ist a genau dann eine einfache Nullstelle, wenn g(a) 0 gilt. Die Behauptung folgt nun wegen f = (x a) g+(x a)g = g+(x a)g, also f (a) = g(a) Definition Ein Polynom f K[x] mit grad f 1 heißt irreduzibel, wenn es keine Zerlegung f = gh mit grad g < grad f und grad h < grad f gibt. Bemerkung Ein Polynom f K[x] mit grad f 1 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Zerlegung f = gh mit g, h K[x] \ K gibt. Sei f reduzibel. Dann existiert eine Zerlegung f = gh mit grad g < grad f und grad h < grad f. Wegen grad f = grad g + grad h gilt grad g = grad f grad h > 0 = g K. Analog folgt h K. Sei nun f = gh eine Zerlegung mit g, h K. Insbesondere gilt dann grad g > 0 und grad h > 0. Daher folgt grad f = grad g +grad h > grad h und analog grad f > grad g, d.h. f ist reduzibel. Beispiel 1. Lineare Polynome ax + b für a 0 sind stets irreduzibel. 9

10 2. Das Polynom x ist in R[x] irreduzibel und in C[x] wegen x = (x i)(x + i) reduzibel Definition Seien f, g K[x] mit g 0. Dann heißt g ein Teiler von f, wenn ein h K[x] mit f = gh existiert. Man schreibt dafür g/f Satz Sei f K[x] mit grad f 1. Dann ist 1. f ist irreduzibel 2. für alle a, b K[x] folgt aus f/ab stets f/a oder f/b äquivalent. 1 = 2 Wir zeigen die Aussage durch Widerspruch und wählen dazu ein Gegenbeispiel mit minimalem Grad. Sei also f irreduzibel und a, b K[x] mit f/ab sowie f / a und f / b. Es folgt insbesondere f/ab = fg = ab für ein g K[x] sowie f / a = a 0 und f / b = b 0. Sei zunächst ( ) f = aq + r mit grad r < grad a für grad f grad a eine Division mit Rest. Wegen grad r < grad f gilt dabei q 0. Mit rb = (f aq)b = fb abq = fb fgq = f(b gq) gilt weiter f/rb. Aus b 0 und grad r < grad a folgt dann grad rb < grad ab. Da ab ein Gegenbeispiel minimalen Grades ist, folgt mit f/rb und f / b nun f/r. Wegen q 0 gilt weiter grad r < grad a grad aq = grad(f r) max{grad f, grad r} = max{grad f, grad r} = grad f = grad r < grad f. Aus f/r erhält man daher r = 0 = f = aq. Da f aber irreduzibel ist, folgt a K = oder q K. Für a K erhält man den Widerspruch f/ab = f/b und für q K erhält man den Widerspruch f = aq = fq 1 = a = f/a. Sei nun a = fq + r mit grad r < grad f für grad a > grad f. Analog zu ( ) erhält man r = 0 = a = fq = f/a ein Widerspruch. 2 = 1 Sei f reduzibel, also f = ab mit grad a < grad f und grad b < grad f. Wegen grad f 1 gilt f 0, also a 0 und b 0. Insgesamt gilt dann f / a und f / b. 10

11 11.13 Korollar Jedes normierte Polynom f K[x] mit grad f 1 hat eine eindeutige Darstellung als Produkt irreduzibler, normierter Faktoren. [Existenz] Sei zunächst f irreduzibel. Dann ist f selbst ein Produkt irreduzibler, normierter Polynome. Sei nun f reduzibel, d.h. f = gh für g, h K[x]. Durch a bzw. b seien die Leitkoeffizienten von g bzw. h gegeben. Wegen f 0 gilt dabei a 0 und b 0. Dann sind a 1 g K[x] bzw. b 1 h K[x] normiert. Man beginne für g und h erneut. Mit jeder Anwendung der Zerlegung erhält man eine Darstellung f = g 1 g n. Wegen grad g i 1 für 1 i n folgt n grad g grad g n = grad f. Daher terminiert dieser Algorithmus. [Eindeutigkeit] Wir beweisen durch Widerspruch. Sei dazu f K[x] ein Gegenbeispiel mit minimalem Grad, d.h. f = p 1 p r = q 1 q s für p 1,..., p r, q 1,..., q s irreduzibel und normiert. Aus Satz folgt wegen p 1 /p 1 p r = q 1 q s zunächst p 1 /q i für ein 1 i s. Daher existiert ein h K[x] mit q i = p 1 h. Da nun q i irreduzibel ist, erhält man h K. Da weiter q i normiert ist, gilt h = 1. Insgesamt gilt also p 1 = q i. Es folgt f = p 2 p r = q 1 q i 1 q i+1 q s. Da nun f eine Gegenbeispiel minimalen Grades war, erhält man wegen grad f < grad f + grad p 1 = grad f die Identität {p 2,..., p r } = {q 1,..., q i 1, q i+1,..., q s }. Mit p 1 = q i folgt {p 1,..., p r } = {q 1,..., q s } ein Widerspruch Bemerkung / Definition Seien α, β K die Leitkoeffizienten von f, g K[x] \ K. Dann sind f = α 1 f und g = β 1 g normiert. Nach Korollar ist nun die Menge {p 1,..., p r } aller normierter, irreduzibler Teiler von f oder g eindeutig bestimmt. Es folgt f = α p e 1 1 p er r und g = β p k 1 1 p kr r mit Potenzen e i, k i N. Dabei setze man e i = 0 bzw. k i = 0, falls p i kein Teiler von f bzw. g ist. Dann ist der größte gemeinsame Teiler und ggt(f, g) = kgv(f, g) = r r p min(e i,f i ) i p max(e i,f i ) i das kleinste gemeinsame Vielfache von f und g. Dabei ist ggt(f, g) bzw. kgv(f, g) als Produkt normierter Faktoren selbst normiert. Für h = 0 setzt man ggt(f, h) = f und für h K \ {0} ist ggt(f, h) = 1. 11

12 Offenbar ist ggt(f, g) ein Teiler von f und g. Sei nun t K[x] ein weiterer gemeinsamer Teiler von f und g. Sei dann γ der Leitkoeffizient von t und t = γ t l 1 1 t ls s die eindeutige Darstellung als Produkt irreduzibler, normierter Faktoren. Es folgt t l i i /f und t l i i /g für 1 i s, d.h. t i = p j mit l i e j und l i k j für ein 1 j r. Damit gilt t/ ggt(f, g). Analog ist kgv(f, g) ein Vielfaches von f und g mit f/t g/t = kgv(f, g)/t Definition 1. Sei p K[x] irreduzibel und normiert. Dann nennt man p e für e N eine Primpotenz. 2. Polynome f, g K[x] mit etwa f 0 heißen teilerfremd, falls ggt(f, g) = 1 gilt. Bemerkung Sei I = K[x]f + K[x]g = {uf + vg u, v K[x]}. Dann ist I ein Ideal und wird von ggt(f, g) erzeugt. Offenbar gilt I und I K[x]. Sei nun a, b I. Dann folgt a = u 1 f +v 1 g und b = u 2 f +v 2 g mit u 1, v 1, u 2, v 2 K[x], d.h. a b = (u 1 u 2 )f + (v 1 v 2 )g I. Daher ist (I, +) eine Untergruppe. Weiter gilt für h K[x] stets ha = h(u 1 f + v 1 g) = (hu 1 )f + (hv 1 )g I. Insgesamt ist I ein Ideal. Nach Satz 11.4 gilt dann J = (d) für ein normiertes Polynom d K[x]. Wegen f = 1 f +0 g J = K[x]d gilt d/f. Analog erhält man d/g, also insgesamt d/ ggt(f, g). Andererseits gilt d = 1 d K[x]d = J = K[x]f + K[x]g, d.h. d = rf + sg für r, s K[x]. Mit ggt(f, g)/f = f = ggt(f, g) h 1 und ggt(f, g)/g = g = ggt(f, g) h 2 folgt d = rf + sg = (rh 1 + sh 2 ) ggt(f, g) = ggt(f, g)/d. Wegen d/ ggt(f, g) und ggt(f, g)/d gilt d = α ggt(f, g) für α K. Da d und ggt(f, g) normiert sind, ergibt sich α = Korollar (Satz von Bézout) Für f, g K[x] \ {0} existieren r, s K[x] mit rf + sg = ggt(f, g). 12

13 Mit d = ggt(f, g) erhält man d (d) = K[x]f + K[x]g, also d = rf + sg für r, s K[x] Satz (euklidischer Algorithmus) Seien f, g K[x] mit g 0. Sei weiter f = qg+r eine Division mit Rest. Dann gilt ggt(f, g) = ggt(g, r). Sei ggt(f, g) = d. Dann gilt d/f = f = dh 1 und d/g = g = dh 2, d.h. r = f qg = d(h 1 qh 2 ) = d/r. Wegen d/r und d/g gilt dann d/ ggt(g, r). Analog folgt ggt(g, r)/d. Da nun ggt(g, r) und d normiert sind, folgt ggt(g, r) = d. Beispiel Seien f, g Q[x] durch f = x 3 + x 2 + 2x und g = x 2 + x + 1 gegeben. Dann folgt aus f = x g + x g = (x + 1) x + 1 x = x sukzessive ggt(f, g) = ggt(g, x) = ggt(x, 1) = ggt(1, 0) = 1. Der euklidische Algorithmus liefert weiter die Koeffizienten aus dem Satz von Bézout. Es gilt ggt(f, g) = 1 = g (x + 1)x = g (x + 1)(f xg) = (x + 1)f + (x 2 + x + 1)g Satz Sei f K[x] \ {0}. Sind dann f und f teilerfremd, so hat f keine mehrfachen Nullstellen. 13

14 Sei d = ggt(f, f ) und habe f die mehrfache Nullstelle a. Mit Satz 11.9 folgt dann f (a) = 0. Nach Satz 11.5 gilt somit (x a)/f und (x a)/f, d.h. (x a)/d = d 1. Bemerkung Der Ring Z der ganzen Zahlen und der Polynomring K[x] weisen gewisse Analogien auf: 1. Die multiplikativ invertierbaren Elemente in Z bzw. in K[x] sind {+1, 1} bzw. {f K f 0}. 2. Für ein Element z Z gilt 1 z N oder 1 z N. Ein Polynom 0 f K[x] kann durch ein Element 0 α K normiert werden. 3. In beiden Ringen ist Division mit Rest definiert. Ebenso ist der Satz von Bézout bzw. der euklidische Algorithmus in Z und K[x] analog. 4. Einer Primzahl p Z entspricht ein irreduzibles, normiertes Polynom f K[x]. Für a, b Z sowie g, h K[x] gilt dann jeweils p/ab = p/a oder p/b sowie f/gh = f/g oder f/h. Weiter hat eine positive ganze Zahl z N \ {0} bzw. eine normiertes Polynom f K[x] \ K eine eindeutige Primfaktorzerlegung bzw. eine eindeutige Darstellung als Produkt irreduzibler, normierter Faktoren. 12 Direkte Summen 12.1 Definition Seien U 1,..., U m Unterräume eines Vektorraums, so dass jeder Vektor v V eine eindeutige Darstellung v = u u m mit u i U i für 1 i m hat. Dann ist V = U 1... U m eine direkte Summe. Beispiel Sei e 1,..., e m eine Basis von V. Dann ist U i = e i = Ke i = {λe i λ K} V für 1 i m ein Unterraum. Wegen der Eindeutigkeit der Basisdarstellung folgt V = U 1... U m. 14

15 12.2 Satz Sei V = U U m die Summe der Unterräume U i V für 1 i m. Sei weiter W i = U U i 1 + U i U m für 1 i m. Dann ist äquivalent 1. V = U 1... U m 2. U i W i = {0} für 1 i m 1 = 2 Sei u i U i W i für 1 i m. Dann ist einerseits u i W i, d.h. es gilt u i = u u i 1 +u i u m mit u j U j für j i. Daher folgt 0 = u u i 1 u i +u i u m. Andererseits gilt u i U i, also = 0 = u u m mit 0 U k und u k U k für 1 k m. Da nun V aber eine direkte Summe ist, ist die Darstellung von 0 V eindeutig. Man erhält also u k = 0 für 1 k m, d.h. insbesondere u i = 0. 2 = 1 Sei v V. Dann gilt v = u u m mit u i U i für 1 i m. Sei nun v = ũ ũ m mit ũ i U i für 1 i m eine weitere Darstellung. Wegen u i, ũ i U i folgt u i ũ i U i für 1 i m. Mit 0 = v v = (u 1 ũ 1 ) (u m ũ m ) gilt für 1 i m daher ũ i u i = (u 1 ũ 1 ) (u i 1 ũ i 1 ) + (u i+1 ũ i+1 ) (u m ũ m ) W i, also ũ i u i W i U i = {0} = ũ i = u i Definition / Bemerkung Sei α End(V ). Ein Unterraum U V heißt dann α-invariant, wenn α(u) U gilt. In diesem Fall ist α : U U wieder wohldefiniert, d.h. α End(U). Die Einschränkung von α auf U bezeichnet man mit α U. Bemerkung Gewöhnlich beschreibt man Endomorphismen α End(V ) mit n = dim V < durch Matrizen A bzgl. einer festen Basis B. Dann gilt mit der Koordinatenabbildung ϕ : V K n dieser Basis für alle Vektoren v V stets ϕ ( α(v) ) = Aϕ(v). Damit wird α α durch A A beschrieben. 15

16 Bemerkung Sei V = U 1... U m mit dim V < eine direkte Summe und b i1,..., b ini für 1 i m eine Basis von U i. Dann ist b 11,..., b 1n1,..., b m1,..., b mnm eine Basis von V. Insbesondere gilt also dim V = dim U dim U m. Da V = U 1... U m eine direkte Summe ist, hat jeder Vektor v V eine eindeutige Darstellung v = u u m mit u i U i für 1 i m. Weiter ist u i = n i λ ik b ik für 1 i m eine eindeutige Basisdarstellung. Insgesamt ist also v V eine eindeutige Linearkombination m n i v = λ ik b ik. k=1 Daher ist b 11,..., b 1n1,..., b m1,..., b mnm nach Satz 4.14 eine Basis von V. k= Satz Sei dim V < und α End(V ). Für 1 i m sei V eine direkte Summe α-invarianter Unterräume U i. Sei α Ui bzgl. einer Basis b i1,..., b ini durch A i M ni n i (K) dargestellt. Dann wird α bzgl. der Basis b 11,..., b 1n1,..., b m1,..., b mnm von V durch die Blockdiagonalmatrix A 1 M =... dargestellt. A m Man betrachte α(b ij ) für 1 i m und 1 j n i. Da U i ein α-invarianter Unterraum ist, folgt für b ij U i stets α(b ij ) U i. Daher gilt α(b ij ) = n i k=1 = n 1 λ ijk b ik 0 b 1k k=1 und es folgt die Behauptung. n i 1 k=1 0 b (i 1)k + n i k=1 λ ijk b ik + n i+1 k=1 0 b (i+1)k nm 0 b mk k=1 16

17 12.5 Definition Ein Endomorphismus α End(V ) eines endlich-dimensionalen Vektorraums V heißt diagonalisierbar, wenn α bzgl. einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird. Eine quadratische Matrix A M n n (K) heißt diagonalisierbar, wenn die lineare Abbildung v K n Av diagonalsierbar ist. Bemerkung 1. Ein Endomorphismus α End(V ) eines endlich-dimensionalen Vektorraums V ist genau dann diagonalisierbar, wenn V eine Basis aus Eigenvektoren von α besitzt. 2. Eine quadratische Matrix A M n n (K) ist genau dann diagonalisierbar, wenn A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. 1 Sei b 1,..., b n eine Basis aus Eigenvektoren. Dann gilt α(b i ) = 0 b b i 1 + λ i b i + 0 b i b n, d.h. α wird bzgl. b 1,..., b n durch eine Diagonalmatrix beschrieben. Sei nun α diagonalisierbar. Dann existiert eine Basis B, so dass M α (B, B) eine Diagonalmatrix ist. Jeder Vektor b B ist dann ein Eigenvektor. 2 Sei A diagonalisierbar. Dann wird v K n Av bzgl. einer Basis B durch eine Diagonalmatrix D dargestellt. Sei dann die Basistranfomration der Standardbasis von K n zu B durch T beschrieben. Nach Korollar 7.12 gilt nun A = T 1 DT, d.h. A und D sind ähnlich. Seien nun A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D. Dann existiert eine invertierbare Matrix T mit D = T 1 AT. Man interpretiere nun T als Basistransformation der Standardbasis von K n zu einer Basis B. Die Abbildung v K n Av wird dann bzgl. B durch D beschrieben Satz Sei n = dim V < und α End(V ). Dann gilt: 1. Seien λ 1,..., λ s die verschiedenen Eigenwerte von α mit den geometrischen Vielfachheiten g 1,..., g s. Dabei gelte g g s = n. Dann ist α diagonalisierbar. 2. Wenn α genau n verschiedene Eigenwerte hat, ist α diagonalisierbar. 17

18 1 Sei E λi für 1 i s der Eigenraum zu λ i und W i = E λ E λi 1 +E λi E λs. Sei dann 0 v W definiert durch v = e e i 1 + e i e s. Wegen v 0 seien dabei o.b.d.a. e 1,..., e j Eigenvektoren d.h. e 1,..., e j {0} und e j+1,..., e s {0}. Es folgt α(v) = α(e 1 ) α(e i 1 ) + α(e i+1 ) α(e j ) = λ 1 e λ i 1 e i 1 + λ i+1 e i λ j e j. Sei nun v E λi, d.h. α(v) = λ i v. Dann gilt 0 = α(v) α(v) = λ 1 e λ i 1 e i 1 λ i v + λ i+1 e i λ j e j. Da λ 1,..., λ j paarweise verschieden sind, ist dies nach Satz 10.2 eine Linearkombination linear unabhängiger Vektoren und es ist höchstens ein Eigenwert λ i = 0. Damit erhält man einen Widerspruch und es folgt E λi W i = {0}. Nach Satz 12.2 gilt daher E λ E λs = E λ1... E λs, d.h. dim E λ1... E λs = dim E λ dim E λs = g g s = n = dim V = E λ1... E λs = V. Daher besitzt V eine Basis aus Eigenvektoren und es folgt die Behauptung. 2 Seien v 1,..., v n Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ 1,..., λ n. Mit Satz 10.2 und dim V = n bildet v 1,..., v n eine Basis von V, d.h. α ist diagonalisierbar. Bemerkung 1. Satz 12.6 gilt analog für Matrizen. 2. Ein diagonalisierbarer Endomorphismus α End(V ) für n = dim V < hat nicht notwendig n verschiedene Eigenwerte. Etwa wird α = id stets durch eine Diagonalmatrix dargestellt, jedoch ist auch für n 2 der einzige Eigenwert λ = Sei α End(V ) diagonalisierbar und durch λ 1 A =... dargestellt. Dann zerfällt χ α (x) = χ A (x) = (x λ 1 ) (x λ n ) in Linearfaktoren. 4. Dem charakteristischen Polynom χ α (x) lässt sich i.a. nicht ablesen, ob α diagonalisierbar ist. Offenbar haben etwa ( ) ( ) A = und B = λ n

19 das gleiche charakteristische Polynom (x 1) 2. Dabei ist aber B wegen ( ) ( ) 1 1 E 1 = Kern = 0 und da λ = 1 der einzige Eigenwert ist nicht diagonalisierbar. 13 Minimalpolynome Definition Sei V ein K-Vektorraum und α End(V ). Für f = a 0 +a 1 x+...+a n x n K[x] definiert man f(α) durch f(α)(v) = n a i α i (v) mit α i (v) = α ( α i 1 (v) ) und α 0 (v) = v. Für eine quadratische Matrix A M n n (K) gilt f(a) = n a i A i. Bemerkung Sei α End(V ) fest gewählt. Dann ist ϕ : f K[x] f(α) End(V ) ein K-linearer Ringhomomorphismus. Zunächst sind K[x] und End(V ) jeweils K-Vektorräume und Ringe. Aus den Ringeigenschaften von End(V ) und α End(V ) folgt weiter f(α) End(V ), d.h. ϕ ist wohldefiniert. Seien nun f, g K[x] o.b.d.a. für m n durch f = n a i x i und g = m b i x i definiert. Dann gilt f + g = m (a i + b i )x i + n wegen α i (v) V stets i=m+1 a i x i. Aus den Eigenschaften von V folgt nun für alle v V ϕ(f)(v) + ϕ(g)(v) = n a i α i (v) + m b i α i (v) = m (a i + b i )α i (v) + n = ϕ(f + g)(v), d.h. ϕ(f) + ϕ(g) = ϕ(f + g). i=m+1 a i α i (v) 19

20 Für ax n, bx m K[x] und λ K folgt für alle v V weiter ϕ(ax n ) ( ϕ(bx m )(v) ) = aα n( bα m (v) ) = abα n+m (v) = ϕ(abx n+m )(v) = ϕ(ax n bx m )(v), d.h. ϕ(ax n ) ϕ(bx m ) = ϕ(ax n bx m ), sowie ϕ(λax n )(v) = λaα n (v) = λϕ(ax n )(v), d.h. ϕ(λax n ) = λϕ(ax n ). Damit folgt ϕ(f g) = ϕ(f) ϕ(g) und ϕ(λf) = λϕ(f) aus der Additivität von ϕ. Zuletzt gilt für v V stets ϕ(1)(v) = v = ( id)(v), also ϕ(1) = 1. Bemerkung Endomorphismen f(α), g(α) mit f, g K[x] und α End(V ) kommutieren. Man betrachte den K-linearen Ringhomomorphismus ϕ : f K[x] f(α) End(V ). Es folgt dann aus der Kommutativität in K[x] stets f(α) g(α) = ϕ(f) ϕ(g) = ϕ(f g) = ϕ(g f) = ϕ(g) ϕ(f) = g(α) f(α). Beispiel Es gilt etwa α f(α) = f(α) α. Dies ist einsichtig mit α = g(α) für g = x Lemma Sei n = dim V < und α End(V ). Dann existiert ein 0 f K[x] mit f(α) = 0. Dem Endomorphismenraum End(V ) entspricht der Vektorraum M n n (K) aller quadratischer (n n)-matrizen. Nach Lemma 6.2 gilt daher dim End(V ) = dim M n n (K) = n 2. Damit sind die n 2 +1 Endomorphismen 1, α,..., α n2 linear abhängig, d.h. es existieren a i K mit a 0 +a 1 α+...+a n 2α n2 = 0 und a i 0 für ein 1 i n 2. Setze f = a 0 +a 1 x+...+a n 2x n2. 20

21 13.2 Bemerkung / Definition Sei dim V < und α End(V ). Da ϕ : f K[x] f(α) End(V ) ein Ringhomomorphismus ist, ist I = Kern ϕ = {f K[x] f(α) = 0} ein Ideal von K[x]. Da nach Lemma 13.1 I {0} gilt, existiert nach Satz 11.4 ein normiertes Polynom m α mit I = K[x]m α. Damit gilt für jedes Polynom f K[x] mit f(α) = 0 stets f K[x]m α = f = hm α für ein h K[x] = m α /f. Also ist m α ist das kleinste normierte Polynom, das α annulliert. Man nennt m α das Minimalpolynom von α. Das Minimalpolynom quadratischer Matrizen definiert man analog. Bemerkung Lemma 13.1 gibt eine Möglichkeit an, das Minimalpolynom von α End(V ) für dim V < zu bestimmen. Man finde dazu k = max{k N 1, α,..., α k 1 linear unabhängig}. Dann gilt rang m α = k. Die Koeffizienten a i von m α erhält man aus der nicht-trivialen Linearkombination a 0 + a 1 α a k α k = Lemma Sei α End(V ) und f, g K[x]. Dann gilt: 1. α-invariante Unterräume von V sind f(α)-invariant. 2. Bild f(α) und Kern f(α) sind α-invariant. 3. Sei V = U 1... U m direkte Summe α-invarianter Unterräume. Dann ist Kern f(α) = m U i Kern f(α). 4. Für f/g gilt Kern f(α) Kern g(α) und Bild g(α) Bild f(α). 5. Kern f(α) Kern g(α) = Kern ggt(f, g)(α). 1 Sei U α-invariant. Dann gilt für u U auch α k (u) U für alle k N, denn α 0 (u) = u U und α k+1 (u) = α ( α k (u) ) U für α k (u) U. Da U ein Unterraum ist, liegt dann auch jede Linearkombination f(α)(u) = α i (u) in U. k i=0 λ i α i (u) der 21

22 2 Sei v Bild f(α), also v = f(α)(w) für ein w V. Dann ist auch α(w) V und daher α(v) = α ( f(α)(w) ) = f(α) ( α(w) ) Bild f(α). Sei nun v Kern f(α), also f(α)(v) = 0. Dann ist auch f(α) ( α(v) ) = α ( f(α)(v) ) = α(0) = 0, also α(v) Kern f(α). 3 Wegen U i Kern f(α) Kern f(α) für alle i = 1,..., m, gilt m U i Kern f(α) Kern f(α). Es bleibt also Kern f(α) m U i Kern f(α) zu zeigen. Sei dazu v Kern f(α). Wegen V = U 1... U m hat dann v eine eindeutige Darstellung v = u u m mit u i U i. Es folgt 0 = f(α)(v) = f(α)(u u m ) = f(α)(u 1 )+...+f(α)(u m ). Nach 1 ist U i auch f(α)-invariant, d.h. es ist f(α)(u i ) U i. Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung der 0 V gilt dann f(α)(u i ) = 0, also u i Kern f(α) u i U i Kern f(α) v = m u i m U i Kern f(α). 4 Sei f, g K[x] und f ein Teiler von g, d.h. g = f h für ein h K[x]. Sei weiter v Kern f(α), d.h. f(α)(v) = 0. Dann gilt g(α)(v) = (h f)(α)(v) = h(α) ( f(α)(v) ) = h(α)(0) = 0, also v Kern g(α). Sei nun v Bild g(α), d.h. v = g(α)(w) für ein w V. Dann ist auch h(α)(w) V und es folgt v = g(α)(w) = (f h)(α)(w) = f(α) ( h(α)(w) ) Bild f(α). 5 Sei d = ggt(f, g). Wegen d/f und d/g folgt nach 4 zunächst Kern d(α) Kern f(α) Kern g(α). Nun gibt es nach dem Satz von Bézout r, s K[x] mit r f + s g = d. Für v Kern f(α) Kern g(α), d.h. f(α)(v) = 0 und g(α)(v) = 0, gilt dann d(α)(v) = (r f + s g)(α)(v) = r(α) ( f(α)(v) ) + s(α) ( g(α)(v) ) = r(α)(0) + s(α)(0) = 0, also v Kern d(α). Korollar Sind f, g K[x] teilerfremd, so ist Kern f(α) Kern g(α) = {0}. 22

23 Es gilt f, g teilerfremd ggt(f, g) = 1 ggt(f, g)(α) = id Kern f(α) Kern g(α) = Kern id = {0}. Bemerkung Im Folgenden sei stets dim V < Lemma Sei ein Endomorphismus α End(V ) gegeben, für dessen Minimalpolynom grad m > 1 gilt. Sei weiter p K[x] ein normierter Teiler von m mit 1 grad p < grad m. Dann ist U = Bild m p (α) ein α-invarianter Unterraum mit {0} U V. Ferner ist p das Minimalpolynom von α U. Da p ein Teiler von m ist, gilt m = pq für ein q K[x]. Damit ist U = Bild m (α) = Bild q(α) p nach Lemma 13.3 α-invariant. Weiter gilt p(α)(u) = p(α) ( Bild q(α) ) = p(α) ( q(α)(v ) ) = (pq)(α)(v ) = m(α)(v ) = 0(V ) = {0}. Mit 1 grad p ist p 0. Wegen grad p < grad m folgt damit p(α) 0 = p(α)(v ) {0}. Insgesamt ergibt sich also U V. Nun ergibt sich aus 0 m = pq zunächst q 0. Wegen grad m = grad p+grad q 1+grad q > grad q folgt dann weiter q(α) 0. Damit gilt U = q(α)(v ) {0}. Sei schließlich p K[x] das Minimalpolynom von α U : U U. Mit p(α U )(U) = p(α)(u) = {0} folgt dann einerseits p/p. Andererseits gilt ( pq)(α)(v ) = p(α) ( q(α)(v ) ) = p(α)(u) = {0}, d.h. pq = m/ pq = pq = pqh für ein h K[x] = p = ph = p/ p. Da nun p und p normiert sind, folgt p = p Satz Sei m K[x] das Minimalpolynom von α End(V ). Dabei sei m = pq für ggt(p, q) = 1. Dann gilt 1. Kern p(α) = Bild q(α) und Kern q(α) = Bild p(α) 2. V = Kern p(α) Kern q(α) und V = Bild p(α) Bild q(α) 23

24 Sei nun m = n p e i i Polynome. Für U i = Kern p e i i 3. V = n U i 4. U i ist α-invariant die eindeutige Zerlegung von m in verschiedene normierte und irreduzible (α) gilt dann 5. p e i i ist das Minimalpolynom von α Ui Sei zunächst v Bild p(α), d.h. v = p(α)(w) für ein w V. Es folgt q(α)(v) = q(α) ( p(α)(w) ) = (qp)(α)(v) = m(α)(v) = 0, d.h. v Kern q(α). Analog gilt für v Bild q(α) stets v Kern p(α). Damit erhalten wir ( 1 ) Bild p(α) Kern q(α) und Bild q(α) Kern p(α). Da p und q teilerfremd sind, gilt mit ( 1 ) weiter ( 2 ) Kern p(α) Kern q(α) = {0} und Bild p(α) Bild q(α) = {0}. Nun gilt offenbar Bild p(α) + Bild q(α) V. Andererseits existieren nach Bézout r, s K[x] mit pr+qs = ggt(p, q) = 1. Damit folgt für v V stets v = (pr+qs)(α)(v) = p(α) ( r(α)(v) ) + q(α) ( s(α)(v) ) Bild p(α) + Bild q(α). Insgesamt gilt mit ( 1 ) also ( 3 ) V = Bild p(α) + Bild q(α) und V = Kern p(α) + Kern q(α). Mit ( 2 ) und ( 3 ) sowie Satz 12.2 erhalten wir dann V = Kern p(α) Kern q(α) und V = Bild p(α) Bild q(α). Insbesondere gilt also ( 4 ) dim Kern p(α) + dim Kern q(α) = dim Bild p(α) + dim Bild q(α). Wegen ( 1 ) gilt nun dim Bild p(α) dim Kern q(α) und dim Bild q(α) dim Kern p(α). Aus ( 4 ) folgt daher dim Bild p(α) = dim Kern q(α) und dim Bild q(α) = dim Kern p(α). Nach ( 1 ) erhält man damit Kern p(α) = Bild q(α) und Kern q(α) = Bild p(α). Bisher haben wir die Aussagen 1 und 2 bewiesen. Weiter folgt 4 unmittelbar aus Lemma Es bleibt also 3 und 5 zu zeigen. Diese Aussagen weisen wir durch vollständige Induktion über n nach. Für n = 1 ist wegen m = p e 1 1 und U 1 = Kern p e 1 1 (α) = Kern m(α) = V also α U1 = α der Fall klar. Sei nun m = p e 1 1 (p e 2 2 p en n ). Da die p i für 1 i n irreduzibel und verschieden sind, sind nach Satz die Polynome p e 1 1 und p e 2 2 p en n teilerfremd. Mit 2 folgt daher V = 24

25 Kern p e 1 1 (α) Kern(p e 2 2 p en n )(α). Aus 1 ergibt sich nun U 1 = Kern p e 1 1 (α) = Bild m p e 1 (α). 1 Daher ist p e 1 1 nach Lemma 13.4 das Minimalpolynom von α U1. Nach 1 und Lemma 13.4 ist weiter U = Kern(p e 2 2 p en n )(α) = Bild m p e 1 (α) ein α-invarianter 1 Unterraum und p e 2 2 p en n das Minimalpolymon von α U. Die Anwendung der Induktionsannahme auf U liefert dann die Behautung. Bemerkung Nach Satz 12.4 lässt sich nun ein Endomorphismus α End(V ) mit einer Primzerlegung m = n des Minimalpolynoms durch eine Blockdiagonalmatrix p e i i A 1... darstellen, so dass für 1 i n und U i = Kern p e i i (α) der Endomorphismus α U i durch die Matrix A i berschrieben wird. Weiter ist dann p e i i das Minimalpolynom von α Ui. Daher ist die Untersuchung von α auf die Untersuchung solcher Endomorphismen zurückgeführt, deren Minimalpolynome Primpotenzen sind. A n 13.6 Definition Sei α End(V ) und U = v, α(v), α 2 (v),... = {α i (v) i N} für v V. Dann heißt U der von v erzeugte α-zyklische Unterraum von V. Man schreibt U = v α Lemma Sei α End(V ) und v V. Dann ist 1. U = v α der kleinste α-invariante Unterraum von V, der v enthält. Sei weiter m K[x] das Minimalpolynom von α U mit grad m = d. Dann gilt 2. v α = v, α(v),..., α d 1 (v). 1 Sei w v α, d.h. w = n a i α i (v). Dann gilt auch α(w) = α ( n a i α i (v) ) = n a i α i+1 (v) i=0 v α, d.h. v α ist α-invariant. Sei nun W ein α-invarianter Unterraum von V mit v W. 25 i=0 i=0

26 Dann gilt offenbar {v, α(v), α 2 (v),...} W, also v α = v, α(v), α 2 (v),... W. 2 Da zunächst U ein α-invarianter Unterraum ist, gilt α U End(U). Für v v α = U ist dann α(v) = α U (v) und daher m(α)(v) = m(α U )(v) = 0. Sei nun x i = q i m + r i mit q i, r i K[x] und grad r i < grad m = d für i N eine Division mit Rest. Dann ist α i (v) = (q i m + r i )(α)(v) = q i (α) ( m(α)(v) ) + r i (α)(v) = q i (α)(0) + r i (α)(v) = r i (α)(v). Wegen grad r i < d gilt weiter r i = a 0 + a 1 x a d 1 x d 1. Daher folgt α i (v) = r i (α)(v) = a 0 v + a 1 α(v) a d 1 α d 1 (v), also α i (v) v, α(v),..., α d 1 (v) für alle i N. Dies liefert v α = v, α(v), α 2 (v),... = v, α(v),..., α d 1 (v) Lemma Sei α End(V ) und U = v α mit v V. Für das Minimalpolynom m von α U dim U = grad m. gilt dann Sei dim U = n und grad m = d. Nach Lemma 13.7 gilt dann V = v, α(v),..., α d 1 (v), d.h. n d. Wegen dim U = n sind nun v, α(v),..., α n (v) v α = U linear abhängig. Daher existieren a 1,..., a n K mit n a i α i (v) = 0 i=0 und a i 0 für ein 1 i n. Man setze f = n a i x i K[x], d.h. f(α)(v) = 0 und grad f n. Sei nun w = n b i α i (v) U. Dann gilt i=0 i=0 n f(α)(w) = f(α)( b i α i (v)) = i=0 n b i f(α) ( α i (v) ) = i=0 n b i α i( f(α)(v) ) = i=0 n b i α i (0) = 0, i=0 also f(α U )(U) = f(α)(u) = {0}. Wegen f 0 folgt daher d = grad m grad f n. Insgesamt erhalten wir also d = n. 26

27 13.9 Lemma Sei das Minimalpolynom von α End(V ) eine Primpotenz p k mit k 1. Dann existiert ein α-zyklischer Unterraum U von V mit dim U = grad p k. Insbesondere ist V dann α-zyklisch, falls grad p k = dim V gilt. Wegen grad p k 1 < grad p k und p k 1 0 gilt p k 1 (α) 0. Daher existiert ein v V mit p k 1 (α)(v) 0. Sei dann U = v α und m das Minimalpolynom von α U. Nach Lemma 13.8 gilt dim U = grad m. Nun gilt aber p k (α U )(U) = p k (α)(u) = {0}, d.h. m/p k. Da p irreduzibel ist, folgt m = p i für ein 0 i k. Wegen p k 1 (α)(v) 0 = p k 1 (α) 0 ist dabei i = k. Insgesamt erhalten wir also dim U = grad p k. Für grad p k = dim V folgt schließlich U = V Satz Sei m das Minimalpolynom von α End(V ). Dann gilt grad m dim V. Wir zeigen die Aussage durch vollständige Induktion über dim V. Für dim V = 1 gilt dabei V = v = Kv. Dann ist α(v) = λv für λ V. Wegen w V = w = µv = α(w) λw = α(µv) λµv = µα(v) λµv = µλv λµv = 0 gilt (x λ)(α)(v ) = {0}, d.h. grad m grad(x λ) = 1 = dim V. Nun betrachten wir zwei Fälle: 1 Sei V = U W die direkte Summe α-invarianter Unterräume mit dim U 1 und dim W 1. Wegen dim V = dim(u W ) = dim U +dim W gilt dann dim U < dim V und dim W < dim V. Seien nun m U bzw. m W die Minimalpolynome von α U bzw. α W. Nach Induktionsannahme gelte dabei grad m U dim U und grad m W dim W. 27

28 Sei nun v V = U W, d.h. v = u + w für u U und w W. Es folgt (m U m W )(α)(v) = (m U m W )(α)(u + w) = (m W m U )(α)(u) + (m U m W )(α)(w) = m W (α) ( m U (α)(u) ) + m U (α) ( m W (α)(w) ) = m W (α) ( m U (α U )(u) ) + m U (α) ( m W (α W )(w) ) = m W (α)(0) + m U (α)(0) = 0, also (m U m W )(α)(v ) = {0}. Wegen m U 0 und m W 0 folgt damit grad m grad m U m W = grad m U + grad m W dim U + dim W = dim V. 2 Sei nun V keine direkte Summe α-invarianter Unterräume U mit dim U 1. Nach Lemma 13.5 gilt für m = pq mit ggt(p, q) = 1 aber stets V = Bild p(α) Bild q(α). Es folgt daher dim Bild p(α) = 0 oder dim Bild q(α) = 0. Sei o.b.d.a. dim Bild p(α) = 0 Bild p(α) = {0} p(α) = 0. Wegen p 0 folgt damit p = m q = 1. Daher ist m eine Primpotenz p k. Für k = 0 ist die Aussage wegen m = 1 = grad m = 0 trivial. Sei also k 1. Dann existiert nach Lemma 13.9 ein Unterraum U mit grad m = dim U dim V Lemma Das Minimalpolynom von α End(V ) habe die Form p k mit p K[x] irreduzibel und normiert. Sei n = dim V = grad p k. Dann ist V keine direkte Summe α-invarianter Unterräume U mit dim U < dim V. Ferner gilt Kern p i (α) = Bild p k i (α). Sei V = U W direkte Summe α-invarianter Unterräume mit dim U < dim V und dim W < dim V. Seien dann m U und m W die Minimalpolynome von α U und α W. Dann gilt p k (α U )(U) = p k (α)(u) = {0} = m U /p k und analog m W /p k. Mit Satz gilt weiter grad m U dim U < dim V = grad p k und analog grad m W < grad p k. Da p irreduzibel ist, sind m U und m W Teiler von p k 1 d.h. p k 1 (α)(u) = {0} und p k 1 (α)(w ) = {0}. Daher gilt für v V mit v = u + w für u U und w W stets 28

29 p k 1 (α)(v) = p k 1 (α)(u + w) = p k 1 (α)(u) + p k 1 (α)(w) = 0, also p k 1 (α)(v ) = {0} im Widerspruch zu p k minimal. Nun zeigen wir Kern p i (α) = Bild p k i (α). Zunächst gilt w = p k i (α)(v) = p i (α)(w) = p i (α) ( p k i (α)(v) ) = p k (α)(v) = 0, d.h. Bild p k i (α) Kern p i (α). Wegen dim V = grad p k existiert nach Lemma 13.9 ein v V mit V = v α. Mit dim V = n bildet dann v, α(v),..., α n 1 (v) eine Basis von V. Sei nun w Kern p i (α) mit w = n 1 a j α j (v) für a j K. Setze g = n 1 j=0 a j x j K[x], also w = g(α)(v). Dann gilt 0 = p i (α)(w) = p i (α) ( g(α)(v) ) = (p i g)(α)(v). Da aber V von v erzeugt wird, folgt u V = u = n 1 λ j α j (v) und damit (p i g)(α)(u) = (p i g)(α) ( n 1 = n 1 j=0 j=0 λ j α j (v) ) = n 1 j=0 j=0 λ j (p i g)(α) ( α j (v) ) λ j (α j ) ( (p i g)(α)(v) ) = n 1 λ j (α j )(0) = 0. Daher gilt (p i g)(α) = 0 = p k /p i g = p k i /g und mit Lemma 13.3 ist Bild g(α) Bild p k i (α). Insgesamt existiert also für jedes w Kern p i (α) ein Polynom g K[x] mit w Bild g(α) Bild p k i (α), d.h. Kern p i (α) Bild p k i (α). j=0 j=0 Definition Sei α End(V ) und U ein α-invarianter Unterraum von V. Dann ist ein α-invariantes Komplement W von U ein α-invarianter Unterraum mit V = U W Satz Sei das Minimalpolynom von α End(V ) eine Primpotenz p k. Sei weiter U ein α-zyklischer Unterraum von V mit dim U = grad p k. Dann existiert ein α-invariantes Komplement W von U. Offenar gilt U {0} = {0}. Daher existiert ein bzgl. Inklusion maximaler α-invarianter Unterraum W mit U W = {0}. Nach Satz 12.2 gilt dann U + W = U W. Für U W = V folgt unmittelbar die Behauptung. 29

30 Sei also U W < V ein echter Unterraum und v V mit v U W. Wegen p 0 (α)(v) = v U W und p k (α)(v) = 0 U W existiert eine minimale Potenz 1 s k mit p s (α)(v) U W. Dann existiert eine eindeutige Darstellung p s (α)(v) = u + w mit u U und w W. Es folgt 0 = p k (α)(v) = p k s (α) ( (p s )(α)(v) ) = p k s (α)(u + w) = p k s (α)(u) + p k s (α)(w). Da U und W jeweils α-invariant sind, folgt p k s (α)(u) U und p k s (α)(w) W. Mit der Eindeutigkeit der Darstellung von 0 U W erhält man dann p k s (α)(u) = p k s (α)(w) = 0. Sei nun m U das Minimalpolynom von α U. Es folgt p k (α U ) = p k (α)(u) = {0} = m U /p k. Da p irreduzibel ist, gilt somit m U = p i für i k. Da U weiter α-zyklisch ist, erhält man dim U = grad m U mit Lemma Aus der Voraussetzung dim U = grad p k folgt dann m U = p k. Lemma angewandt auf U und α U End(U) liefert damit Kern p k s (α U ) = Bild p k (k s) (α U ) = Bild p s (α U ). Es folgt p k s (α U )(u) = p k s (α)(u) = 0 = u Kern p k s (α U ) = u Bild p s (α U ) = u = p s (α U )(y) = p s (α)(y) für ein y U. Man setze nun z = v y, d.h. p s (α)(z) = p s (α)(v) p s (α)(y) = u + w u = w W. Sei p s 1 (α)(z) U W. Da U α-invariant ist, folgt mit y U auch p s 1 (α)(y) U. Insgesamt ergibt sich also p s 1 (α)(v) = p s 1 (α)(v) p s 1 (α)(y) + p s 1 (α)(y) = p s 1 (α)(z) + p s 1 (α)(y) U W ein Widerspruch zur Wahl von s. Daher gilt p s 1 (α)(z) U W. Man setze nun W 1 = W + z α. Man betrachte dann für d = grad p s 1 die Division mit Rest x i = q i p s + r i mit grad r i < d + 1. Dabei gilt α i (z) = q i (α) ( p s (α)(z) ) + r i (α)(z) = q i (α)(w) + r i (α)(z) und r i = a 0 + a 1 x a d x d. Da W α-invariant ist, ist W nach Lemma 13.3 auch q i (α)-invariant d.h. q i (α)(w) = w W. Es folgt α i (z) = w + a 0 z + a 1 α(z) a d α d (z) W + z, α(z),..., α d (z). Da dies für alle i N gilt, erhält man W 1 = W + z α = W + z, α(z),..., α d (z). Da W und z α jeweils α-invariant sind, folgt w 1 W 1 = w 1 = w + z mit w W und z z α = α(w 1 ) = α( w) + α( z) W + z α = W 1. Daher ist auch W 1 ein α-invarianter Unterraum. Sei nun z W. Dann gilt mit y U auch v = z + y U + W im Widerspruch zur Wahl von v, d.h. z W. Wegen z W + z α = W 1 und W W + z α = W 1 folgt dim W < dim W 1. Nun ist aber W ein bzgl. Inklusion maximaler α-invarianter Unterraum mit U W = {0}, d.h. es existiert ein 0 u U W 1. Insbesondere ist u W 1 = u = w+b 0 z+b 1 α(z)+...+b d α d (z) mit w W und b i K. Damit ist u = w + g(α)(z) für ein Polynom g = b 0 + b 1 x b d x d K[x] mit grad g d = grad p s 1 = grad g < grad p s. Es gilt weiter g(α)(z) = u w. Sei nun nach Bézout t = ggt(g, p k ) = Ag+Bp k für A, B K[x]. Da U bzw. W α-invariant ist, 30

31 ist U bzw. W nach Lemma 13.3 auch A(α)-invariant. Damit gilt t(α)(z) = A(α) ( g(α)(z) ) + B(α) ( p k (α)(z) ) = A(α)(u w) + B(α)(0) = A(α)(u) A(α)(w) U + W. Man nehme g = 0 an. Dann ergibt sich durch u = w + g(α)(z) = w W = u U W = u = 0 ein Widerspruch, d.h. g 0. Aus t = ggt(g, p k )/g folgt daher grad t grad g < grad p s = s grad p. Da p irreduzibel ist, erhält man weiter t = ggt(g, p k )/p k = t = p i mit i grad p = grad p i = grad t < s grad p = i < s. Da nun U ein α-invarianter Unterraum ist, ist U auch p i (α)-invariant. Daher folgt y U = p i (α)(y) U. Mit p i (α)(z) = t(α)(z) U + W gilt schließlich p i (α)(v) = p i (α)(v y + y) = p i (α)(z + y) = p i (α)(z) + p i (α)(y) U + W. Dies liefert wegen i < s einen Widerspruch zur Wahl von s d.h. V = U W Definition Ein Vektorraum V mit α End(V ) heißt α-unzerlegbar, falls V keine direkte Summe α- invarianter Unterräume U {0} ist Satz Sei das Minimalpolynom von α End(V ) eine Primpotenz p k. 1. Dann ist V genau dann α-unzerlegbar, wenn grad p k = dim V gilt. 2. Sei V α-unzerlegbar und für 0 i k sei U i = Kern p i (α). Dann gilt dim U i = i grad p. Weiter ist U i α-unzerlegbar und jeder α-invariante Unterraum ist einer der U i. 1 Sei zunächst dim V = grad p k. Dann ist nach Lemma V keine direkte Summe α- invarianter Unterräume U mit dim U < dim V und somit α-unzerlegbar. Sei nun V α-unzerlegbar. Da p irreduzibel ist, gilt grad p k > 0. Nach Satz gilt allgemein dim p k dim V. Man nehme dabei nun dim p k < dim V an. Nach Lemma 13.9 existiert ein α-zyklischer Unterraum U mit dim U = grad p k, d.h. 0 < dim U < dim V. Nach Satz existiert ein α-invariantes Komplement W von U mit dim V = dim U + dim W = 0 < dim W < dim V. Insgesamt ist also V im Widerspruch zur Annahme α-zerlegbar. 31

32 2 Sei v U i = Kern p i (α). Dann folgt p i+1 (α)(v) = p(α) ( p i (α)(v) ) = p(α)(0) = 0 = v Kern p i+1 (α) = U i+1, d.h. ( ) U i U i+1. Da V α-unzerlegbar ist, gilt nach 1 nun dim V = grad p k und mit Lemma gilt folgt U i = Bild p k i (α) und U i+1 = Bild p k i 1 (α). Man erhält daher U i = p k i (α)(v ) = p(α) ( p k i 1 (α)(v ) ) = p(α)(u i+1 ). Somit ist die lineare Abbildung p(α) Ui+1 : u U i+1 p(α)(u) U i surjektiv und mit der Dimensionsformel folgt dim U i+1 = dim Bild p(α) Ui+1 + dim Kern p(α) Ui+1 = dim U i + dim Kern p(α) Ui+1. Nun gilt v Kern p(α) Ui+1 v U i+1 p(α)(v) = 0 v U i+1 Kern p(α) = U 1, d.h. Kern p(α) Ui+1 Kern p(α) Ui+1 = U 1, also = U i+1 U 1. Mit ( ) folgt sukzessive U 1... U i+1 und man erhält ( ) dim U i+1 = dim U i + dim U 1 dim U i+1 dim U i = dim U 1. Die Summation von ( ) für alle 0 i k 1 liefert dann dim U k dim U 0 = dim U k dim U k 1 + dim U k 1... dim U 1 + dim U 1 dim U 0 = k dim U 1. Dabei gilt dim U k = dim Kern p k (α) = dim Kern 0 = dim V = grad p k sowie dim U 0 = dim Kern p 0 (α) = dim Kern id = dim{0} = 0, d.h. grad p k = k dim U 1 = grad p = dim U 1. Die Summation von ( ) für alle 0 i j 1 liefert analog dim U j = j dim U 1 = j grad p. Wegen U i = Bild p k i (α) = Bild pk p i (α) ist p i nach Lemma 13.4 das Minimalpolynom von α Ui. Daher ist U i wegen dim U i = i grad p = grad p i nach 1 α-unzerlegbar. Sei nun U V ein beliebiger α-invarianter Unterraum und m das Minimalpolynom von α U. Dabei gilt U k = V, d.h. wir können o.b.d.a. U V annehmen. Mit Satz folgt dann grad m dim U < dim V = grad p k. Wegen p k (α)(u) = {0} = m/p k erhält man dann m = p i für i < k. Damit ergibt sich ( ) U = Kern p i (α U ) Kern p i (α) = U i. Die Aussage folgt nun durch vollständige Induktion über dim V. Für dim V = 1 ist der Fall wegen dim U < dim V = dim U = 0 = U = {0} = U 0 klar. Mit i < k gilt zuerst dim U i = i grad p < k grad p = grad p k = dim V. Weiter ist p i das Minimalpolynom von α Ui und U i ist α-unzerlegbar, d.h. insbesondere α Ui -unzerlegbar. Da U wegen ( ) ein α-invarianter Unterraum von U i ist, erhält man für j i nach Induktionsannahme U = Kern p j (α Ui ) = {v U i p j (α Ui )(v) = 0} = {v U i p j (α)(v) = 32

33 0} = {v V p j (α)(v) = 0} U i = Kern p j (α) Kern p i (α) = Kern ggt(p j, p i )(α) = Kern p j (α) = U j Lemma Sei V für α End(V ) ein α-unzerlegbarer Vektorraum. Dann ist V α-zyklisch und das Minimalpolynom von α ist eine Primpotenz p k mit grad p k = dim V. Sei m das Minimalpolynom von α. Für m = pq mit ggt(p, q) = 1 gilt nach Satz 13.5 nun V = Bild p(α) Bild q(α). Da V aber α-unzerlegbar ist, folgt o.b.d.a. Bild p(α) = {0} = p = m = q = 1. Daher ist m eine Primpotenz. Nach Satz 13.4 gilt dann grad m = dim V und V ist nach Lemma 13.9 α-zyklisch. Bemerkung Ein α-zyklischer Vektorraum V mit α End(V ) ist jedoch i.a. nicht α-unzerlegbar Lemma Sei α End(V ). Dann ist V eine direkte Summe α-unzerlegbarer Unterräume U j. Sei m = p k i i die Primzerlegung des Minimalpolynoms von α. Setze V pi = Kern p k i i (α). Dann gilt V = V pi und jeder Unterraum V pi ist eine direkte Summe gewisser U j. Weiter ist p k i i das Minimalpolynom von α Vpi. Zunächst ist V entweder selbst α-unzerlegbar oder eine direkte Summe V = U W mit dim U < dim V und dim W < dim V. Nun beginne man für U und W erneut. Wegen dim V < und dim U j = dim U j erhält man schließlich eine endliche Zerlegung. Weiter folgt aus Lemma 13.5 unmittelbar V = Kern p k i i (α) = V pi. Sei nun U j ein α-unzerlegbarer Summand von V = U j und sei m Uj das Minimalpolynom von α Uj. Nach Lemma 13.5 ist m Uj eine Primpotenz. Wegen m(u j ) = {0} = m Uj /m ist daher m Uj = p l r für l k r. Es folgt u U j = p l r(α)(u) = 0 = p kr r (α)(u) = p kr l r (α) ( p l r(α)(u) ) = p kr l r (α)(0) = 0 = u Kern p kr r (α) = V pr, also U j V pr. Wegen V = V pi gilt dann V pr V ps = {0} = U j V ps = {0} für alle s r. 33

34 Damit folgt für ein festes i und alle j stets V pi U j = U j oder V pi U j = {0}. Damit ist (Vpi U j ) eine direkte Summe gewisser U j. Nach Lemma und Lemma 13.7 sind die U j α- invariant. Mit Lemma 13.3 folgt damit schließlich V pi = Kern p k i i (α) = ( U j Kern p k i i (α)) = (Uj V pi ). Zuletzt ist p k i i wegen V pi = Kern p k i i (α) nach Lemma 13.5 das Minimalpolynom von α Vpi. Bemerkung Die Zerlegung V = U j in Lemma ist in der Regel nicht eindeutig. Wir sehen jedoch in Lemma 13.17, dass die Dimensionen der U j und die Minimalpolynome der α Ui eindeutig sind Lemma Sei das Minimalpolynom von α End(V ) eine Primpotenz p k. Sei V = U 1... U n eine direkte Summe α-unzerlegbarer Unterräume. Dann ist p k i mit k i k das Minimalpolynom von α Ui und es gilt dim U i = k i grad p. Dabei ist das Tupel (k 1,..., k n ) bis auf Permutation eindeutig. Ferner gilt k i = k für mindestens ein i. Da stets p k (α)(u i ) = {0} gilt, ist das Minimalpolynom von α Ui eine Primpotenz p k i man dim U i = grad p k i = k i grad p. ein Teiler von p k und damit mit k i k. Mit der α-unzerlegbarkeit von U i und Lemma erhält Man nehme nun k i < k k i k 1 für alle 1 i n an. Dann gilt p k 1 (α)(u i ) = p k 1 k i (α) ( p k i (α)(u i ) ) = {0} und daher v V = U 1... U n = v = u u n = p k 1 (α)(v) = p k 1 (α)(u 1 ) p k 1 (α)(u n ) = 0 = p k 1 (α)(v ) = {0} = p k 1 (α) = 0. Mit grad p k 1 < grad p k liefert dies einen Widerspruch, d.h. es gilt k i = k für ein 1 i n. Sei nun o.b.d.a. k 1... k n und 0 t k. Nach Lemma ist U i α-zyklisch, d.h. es gilt U i = u α für ein u U i. Nach Lemma 7.4 gilt p t (α)(u i ) = p t (α)( u α ) = p t (α)(u) α, d.h. p t (α)(u i ) ist ebenfalls α-zyklisch. Mit p t (α)(u i ) = Bild p t (α Ui ) = Bild pk i p k i t (α Ui ) und Lemma 13.4 ist p k i t für t k i das Minimalpolynom von α p t (α)(u i ). Nach Lemma 13.8 gilt dann für t k i auch dim p t (α)(u i ) = grad p k i t = (k i t) grad p. Für t > k i folgt p t (α)(u i ) = p t k i (α) ( p k i (α)(u i ) ) = {0}, also dim p t (α)(u i ) = 0. Sei nun v V = U 1... U n definiert durch v = u u n. Dann gilt p t (α)(v) = p t (α)(u 1 )+ 34

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9

Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9 Prof Dr Katrin Wendland Priv Doz Dr Katrin Leschke Christoph Tinkl SS 27 Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9 Aufgabe (4 Punkte) Sei 2 3 4 A = 5 6 Berechnen Sie A k für alle k N und verifizieren

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

2 Die Dimension eines Vektorraums

2 Die Dimension eines Vektorraums 2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1

Mehr

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2

Mehr

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

4 Elementare Vektorraumtheorie

4 Elementare Vektorraumtheorie 4. ELEMENTARE VEKTORRAUMTHEORIE 51 4 Elementare Vektorraumtheorie Im folgenden sei K stets ein Körper. Definition. (i) Eine homogene Gleichung in den Unbekannten ξ 1,..., ξ n ist ein Ausdruck der Gestalt

Mehr

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben

Mehr

Übungen zur Linearen Algebra 1

Übungen zur Linearen Algebra 1 Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/2015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.2015, 11 Uhr Auf diesem

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar.

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar. Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Hinweis:

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 25 J ai décidé d être heureux parce que c est bon pour la santé Voltaire Trigonalisierbare Abbildungen

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Skript Lineare Algebra II Mitschrift der Vorlesung Lineare Algebra II von Prof. Dr. Arthur Bartels

Skript Lineare Algebra II Mitschrift der Vorlesung Lineare Algebra II von Prof. Dr. Arthur Bartels aktuellste Version hier Skript Lineare Algebra II Mitschrift der Vorlesung Lineare Algebra II von Prof. Dr. Arthur Bartels Jannes Bantje 19. Juli 2013 Erstellt mit L A TEX Inhaltsverzeichnis 1. Isometrien

Mehr

Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome

Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome Proseminar Lineare Algebra SS10 Symmetrische Polynome,Diskriminante und Resultante, Fermatscher Satz für Polynome Natalja Shesterina Heinrich-Heine-Universität ASymmetrische Polynome Definition 1 Sei n

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Vektoren in der Ebene Zwei Punkten P, Q in der Ebene

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Lineare Algebra II. Sommersemester Wolfgang Ebeling

Lineare Algebra II. Sommersemester Wolfgang Ebeling Lineare Algebra II Sommersemester 2009 Wolfgang Ebeling 1 c Wolfgang Ebeling Institut für Algebraische Geometrie Leibniz Universität Hannover Postfach 6009 30060 Hannover E-mail: ebeling@mathuni-hannoverde

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b

Mehr

1 Mengen und Abbildungen

1 Mengen und Abbildungen 1 MENGEN UND ABBILDUNGEN 1 1 Mengen und Abbildungen Wir starten mit einigen einführenden Definitionen und Ergebnissen aus der Theorie der Mengen und Abbildungen, die nicht nur Grundlage der Linearen Algebra

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I 22. Februar 2008 KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I. Februar 008 MUSTERLÖSUNG Diese Klausur wurde je nach Sitzreihe in zwei verschiedenen Versionen geschrieben. Die andere Version unterscheidet sich von der vorliegenden jedoch

Mehr

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch

Mehr

6 Hauptachsentransformation

6 Hauptachsentransformation 6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten

Mehr

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x

Mehr

Geometrie von Flächen und Algebraischen Kurven Der Satz von Pascal

Geometrie von Flächen und Algebraischen Kurven Der Satz von Pascal Geometrie von Flächen und Algebraischen Kurven Der Satz von Pascal Laura Hinsch November 005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 Algebraische Kurven 1 3 Singularitäten 3 4 Der Satz von Pascal 5 i 1 Einleitung

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Vortrag 1: Ideale kommutativer Ringe

Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Vortrag 1: Ideale kommutativer Ringe Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Vortrag 1: Ideale kommutativer Ringe Sebastian Dobrzynski 17042014 1 Grundsätzliches zu Idealen Vorab legen wir fest: Alle im Vortrag betrachteten Ringe sind

Mehr

1 Angeordnete Körper. 1.1 Anordnungen und Positivbereiche

1 Angeordnete Körper. 1.1 Anordnungen und Positivbereiche 1 1 Angeordnete Körper 1.1 Anordnungen und Positivbereiche Definition 1.1. Eine zweistellige Relation auf einer Menge heißt partielle Ordnung, falls für alle Elemente a, b, c der Menge gilt: (i) a a (ii)

Mehr

Elementare Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie Euklid-1 Euklid sche Ringe (Das Rechnen in Z und in K[T]). Ist K ein Körper und f K[T] ein Polynom, so nennt man f normiert, falls f 0 gilt und der höchste Koeffizient von f gleich 1 ist. (Natürlich gilt:

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,

Mehr

x y f : R 2 R 3, Es gilt: Bild f = y : wobei x,y R Kern f = 0 (wird auf der nächsten Folie besprochen)

x y f : R 2 R 3, Es gilt: Bild f = y : wobei x,y R Kern f = 0 (wird auf der nächsten Folie besprochen) Def Wiederholung Sei f : V U eine lineare Abbildung Das Bild von f ist die folgende Teilmenge von U: Bild f = {u U so dass es gibt ein Element v V mit f (v) = u} (Andere Bezeichnung: f (V) wird in Analysis-Vorlesung

Mehr

Kapitel III. Lineare Abbildungen

Kapitel III. Lineare Abbildungen Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,

Mehr

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit Kapitel 2 Ganze Zahlen In diesem Kapitel setzen wir voraus, dass die Menge Z der ganzen Zahlen, ihre Ordnung und die Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen dem Leser vertraut sind.

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 19 Algebraisch abgeschlossene Körper Wir haben zuletzt erwähnt, dass ein lineares Polynom X a über einem Körper stets irreduzibel

Mehr

2. Der Grad von Körpererweiterungen

2. Der Grad von Körpererweiterungen 2. Der Grad von Körpererweiterungen 15 2. Der Grad von Körpererweiterungen Wenn wir untersuchen wollen, ob eine gegebene Konstruktion in der Ebene mit Zirkel und Lineal durchführbar ist, haben wir im vorigen

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester Transformation auf Dreiecksgestalt

Lineare Algebra II. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester Transformation auf Dreiecksgestalt Lineare Algebra II Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2006 1 Transformation auf Dreiecksgestalt Sei K ein Körper. Definition 1.1 Zwei Matrizen A und A M n (K) heißen ähnlich (oder konjugiert), wenn es

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008 Grundlagen 1 Grundlagen

Mehr

Lineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m

Lineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m Kapitel 4 Lineare Abbildungen In diesem Abschnitt lernen Sie erstmals eine Klasse von strukturerhaltenden Abbildungen kennen. Diese Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Algebra. Grob gesagt geht

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 205/206 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 9 Basiswechsel Wir wissen bereits, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge

Mehr

Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus

Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Max Zoller 14. April 8 1 Der klassische euklidische Algorithmus Beispiel: ggt 15, 56? 15 = 1 56 + 49 56 = 1 49 + 7 49 = 7 7 + =

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

x,y A = t xay v i,v j A = e i,e j t PAP

x,y A = t xay v i,v j A = e i,e j t PAP 75 Lineare Algebra II SS 2005 Teil 6 Bilinearformen 6A Kongruenz quadratischer Matrizen Sei K ein Körper, sei A M(n n, K) eine quadratische Matrix Wie wir zu Beginn von Teil 3 gesehen haben, liefert A

Mehr

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra II. 1.) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel.

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra II. 1.) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel. Blatt 1 21.4.97 1.) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel. 3x 1 x 2 + 5x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2.) Zeigen Sie: det 1 1 0 0.......... 0 1

Mehr

Körper- und Galoistheorie

Körper- und Galoistheorie Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2011 Körper- und Galoistheorie Vorlesung 17 Kummererweiterungen Ernst Eduard Kummer (1810-1893) Wir haben in der letzten Vorlesung gesehen, dass sich einige Eigenschaften

Mehr

Konstruktion und Struktur endlicher Körper

Konstruktion und Struktur endlicher Körper Université du Luxembourg Faculté des Sciences, de la Technologie et de la Communication Bachelorarbeit Konstruktion und Struktur endlicher Körper Hoeltgen Laurent Luxemburg den 28. Mai 2008 Betreuer: Prof.

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016 Name: Vorname: Studiengang: Legi-Nr.: Algebra I D-MATH, HS 2015 Prof. Richard Pink Algebra I Zwischenprüfung Wichtig: 19. Februar 2016 Die Prüfung dauert 120 Minuten. Bitte legen Sie Ihre Legi (Studierendenausweis)

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

5 Grundlagen der Zahlentheorie

5 Grundlagen der Zahlentheorie 5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. Karl-H. Neeb. Sommersemester 2003 Version 23. Februar 2004 (10:33)

Lineare Algebra II. Prof. Dr. Karl-H. Neeb. Sommersemester 2003 Version 23. Februar 2004 (10:33) Lineare Algebra II Prof. Dr. Karl-H. Neeb Sommersemester 3 Version 3. Februar 4 (:33) Inhaltsverzeichnis 7 Eigenvektoren und Eigenwerte 63 7. Eigenvektoren und Eigenwerte..............................

Mehr

Affine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version)

Affine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version) Affine Geometrie (Einfachere, konstruktive Version) Def. Affiner Raum der Dimension n über Körper K ist nach Definition K n. Bemerkung. Man könnte Theorie von affinen Raumen auch axiomatisch aufbauen mit

Mehr

9 Vektorräume mit Skalarprodukt

9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden

Mehr

Integritätsbereiche und Teilbarkeit

Integritätsbereiche und Teilbarkeit Kapitel 5 Integritätsbereiche und Teilbarkeit 5.1 Einfache Teilbarkeitsregeln 5.1.1 Definition. Sei (I,+, 0,,, 1) ein Integritätsbereich. Sind a, b I, dann heißt a durch b teilbar und b ein Teiler von

Mehr

45 Eigenwerte und Eigenvektoren

45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.

Mehr

Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.

Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn. Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich

Mehr

7 Der kleine Satz von Fermat

7 Der kleine Satz von Fermat 7 Der kleine Satz von Fermat Polynomkongruenz modulo p. Sei p eine Primzahl, n 0 und c 0,..., c n Z. Wir betrachten die Kongruenz ( ) c 0 + c 1 X +... + c n 1 X n 1 + c n X n 0 mod p d.h.: Wir suchen alle

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen

3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen technische universität dortmund Dortmund, im November 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung von Kapitel 3 3. Zahlbereiche

Mehr

Lineare Algebra. I. Vektorräume. U. Stammbach. Professor an der ETH-Zürich

Lineare Algebra. I. Vektorräume. U. Stammbach. Professor an der ETH-Zürich Lineare Algebra U Stammbach Professor an der ETH-Zürich I Vektorräume Kapitel I Vektorräume 1 I1 Lineare Gleichungssysteme 1 I2 Beispiele von Vektorräumen 7 I3 Definition eines Vektorraumes 8 I4 Linearkombinationen,

Mehr

Seminar zur Zahlentheorie Spezialfälle des Satzes von Fermat

Seminar zur Zahlentheorie Spezialfälle des Satzes von Fermat Seminar zur Zahlentheorie Spezialfälle des Satzes von Fermat Vortrag von Kristina Rupp und Benjamin Letschert am 29.01.2008 Inhaltsverzeichnis 13 Speziallfälle des Satzes von Fermat 1 13.1 Der Große Satz

Mehr

Elemente von S n = Aut([1, n]) heißen Permutationen. Spezielle Permutationen sind Transpositionen und Zyklen. (Vergl. Skript S

Elemente von S n = Aut([1, n]) heißen Permutationen. Spezielle Permutationen sind Transpositionen und Zyklen. (Vergl. Skript S Begriffe Faser: Es sei f : M N eine Abbildung von Mengen. Es sei n N. Die Menge f 1 ({n}) M nennt man die Faser in n. (Skript Seite 119). Parallel: Zwei Vektoren v und w heißen parallel, wenn für einen

Mehr

Stichwortliste zur Vorlesung. Lineare Algebra II. Gabriela Weitze-Schmithüsen. Saarbrücken, Sommersemester 2016

Stichwortliste zur Vorlesung. Lineare Algebra II. Gabriela Weitze-Schmithüsen. Saarbrücken, Sommersemester 2016 Stichwortliste zur Vorlesung Lineare Algebra II Gabriela Weitze-Schmithüsen Saarbrücken, Sommersemester 2016 Kapitel I Jordansche Normalform Ziel: Wir möchten Matrizen bis aus Ähnlichkeit klassifizieren.

Mehr

Halbgruppen, Gruppen, Ringe

Halbgruppen, Gruppen, Ringe Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter

Mehr

Lösungen - Serie 2 zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie

Lösungen - Serie 2 zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie Lösungen - Serie zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie Aufgabe : Berechnen Sie für die folgenden Elemente x in einer Körpererweiterung L K die Norm Nm L K (x) und die Spur T r

Mehr

Übungsblatt 13. Lineare Algebra I, Prof. Dr. Plesken, SS (β α) tr = α tr β tr.

Übungsblatt 13. Lineare Algebra I, Prof. Dr. Plesken, SS (β α) tr = α tr β tr. Übungsblatt 13 Lineare Algebra I, Prof Dr Plesen, SS 2008 Aufgabe 1 (Transponierte lineare Abbildung) Sei α : V W linear Zeige: α tr ist injetiv (surjetiv) genau dann, wenn α surjetiv (injetiv) ist Ist

Mehr

reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe

reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe 1 Lernliste 1.1 Relationen reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Äquivalenzrelation, Kongruenzrelation Klasseneinteilung Hauptsatz über Äquivalenzrelationen Jede

Mehr

7 Vektorräume und Körperweiterungen

7 Vektorräume und Körperweiterungen $Id: vektor.tex,v 1.3 2009/05/25 15:03:47 hk Exp $ 7 Vektorräume und Körperweiterungen Wir sind gerade bei der Besprechung derjenigen Grundeigenschaften des Tensorprodukts, die mit vergleichsweise wenig

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein

Mehr

Computeralgebra, WS 10/11

Computeralgebra, WS 10/11 M. Künzer Computeralgebra, WS 10/11 Lösung 5 Aufgabe 16 (1) Nach Konstruktion ist (R, +) eine abelsche ruppe, mit 0 R = 0 R 1. Seien g r g g, g s g g, g t g g R. Neutrales Element der Multiplikation. Sei

Mehr

Definition 7.1. Der Coxeter Graph zu W ist der ungerichtete gewichtete Graph Γ W = (V, E), mit Eckenmenge V und Kantenmenge E, gegeben durch V = und

Definition 7.1. Der Coxeter Graph zu W ist der ungerichtete gewichtete Graph Γ W = (V, E), mit Eckenmenge V und Kantenmenge E, gegeben durch V = und 7. Coxeter Graphen Um die endlichen Spiegelungsgruppen zu klassifizieren, wollen wir ihnen nun Graphen zuordnen, die die Gruppen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen. Im Folgenden sei wie vorher Π Φ

Mehr

Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen

Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen KAPITEL 4 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen 1. Lineare Abbildungen Definition 4.1 (Lineare Abbildungen). Seien V und W zwei Vektorräume über den selben Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt

Mehr

46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen

46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 46.1 Motivation Symmetrische Matrizen (a ij = a ji für alle i, j) kommen in der Praxis besonders häufig vor. Gibt es für sie spezielle Aussagen über

Mehr

Klausur Linearen Algebra 1 Musterlösung: Aufgabe A

Klausur Linearen Algebra 1 Musterlösung: Aufgabe A Klausur Linearen Algebra 1 Musterlösung: Aufgabe A Wir betrachten den Unterraum V = K[X] 4 aller Polynome vom Grad 4 und die lineare Abbildung f : V K 2 ; P (P (1), P (0)). Es bezeichne v 1,..., v 5 die

Mehr

II. Lineare Gleichungssysteme. 10 Matrizen und Vektoren. 52 II. Lineare Gleichungssysteme

II. Lineare Gleichungssysteme. 10 Matrizen und Vektoren. 52 II. Lineare Gleichungssysteme 52 II Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme 10 Matrizen und Vektoren 52 11 Der Gaußsche Algorithmus 58 12 Basen, Dimension und Rang 62 13 Reguläre Matrizen 66 14 Determinanten 69 15 Skalarprodukte

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Übungen zur Linearen Algebra I

Übungen zur Linearen Algebra I Aufgabe 1.1. Wir betrachten die folgenden Punkte im R 2 P 1 = (2,3) P 2 = ( 2,4) P 3 = (3, 1),. (i) Geben Sie die Gerade G durch P 1 und P 2 in einer Parameterdarstellung an! (ii) Geben Sie die Gerade

Mehr

11 Normalformen von Matrizen

11 Normalformen von Matrizen 11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell

Mehr

Kap 1: VEKTORRÄUME. (c) (λµ) v = λ (µ v) (b) λ (v + w) = (λ v) + (λ w) (d) 1 v = v

Kap 1: VEKTORRÄUME. (c) (λµ) v = λ (µ v) (b) λ (v + w) = (λ v) + (λ w) (d) 1 v = v Kap 1: VEKTORRÄUME Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung ϕ : I X, i ϕ(i) = x i, wobei die Menge I in diesem Zusammenhang auch Indexmenge genannt wird. Man schreibt vereinfacht

Mehr

MC-Serie 11: Eigenwerte

MC-Serie 11: Eigenwerte D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung

Mehr

Seminararbeit zur Zahlentheorie. Die Gaußschen Zahlen

Seminararbeit zur Zahlentheorie. Die Gaußschen Zahlen Universität Paderborn WS 2007/2008 Warburger Str. 100 33098 Paderborn Seminararbeit zur Zahlentheorie Die Gaußschen Zahlen Tatjana Linkin, Svetlana Krez 20. November 2007 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen

Mehr

Erweiterte Koordinaten

Erweiterte Koordinaten Erweiterte Koordinaten Sei K n ein n dimensionaler affiner Raum Die erweiterten Koordinaten des Punktes x x n K n sind x x n Kn+ (Das ist für alle K sinnvoll, weil in jedem Körper K wohldefiniert ist In

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

Michael Artin. Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin

Michael Artin. Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin Michael Artin Algebra Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin INHALTSVERZEICHNIS Vorwort Hinweise viii x Kapitel 1 MATRIZEN 1 1. Matrizenkalkül 1 2. Zeilenreduktion

Mehr

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen [ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen

Mehr