Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

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1 Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Vorlesungsbegleitende Unterlagen Arbeitsmaterial: Foliensatz, Aufgabenskript, Mitschrift auf Wunsch Bücher (unterstützend): Luderer, Bernd (2003). Einstieg in die Wirtschaftsmathematik. 5. Aufl. Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden: Teubner. Opitz, O. (2004). für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Aufl. München: Oldenbourg. Schäfer, Wolfgang, Kurt Georgi, Gisela Trippler und Christa Otto (2009). -Vorkurs: Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger. 6., durchges. Aufl., [1. Nachdr.] Studium. Wiesbaden: Teubner. ISBN: Sydsaeter, Knut und Peter Hammond (2008). Essential Mathematics for Economic Analysis. 3. Aufl. Prentice Hall. ISBN: Opitz (2004) Luderer (2003) Sydsaeter und Hammond (2008) Schäfer u. a. (2009)

2 Studiengang International Management Betriebswirtschaft Vorkenntnisse, zusätzliches Interesse, Tempo normal höher normal Vorlesung (ab ) Mathe für IM Mi ab Raum B2.14 Mathe Plus Mi ab 8.00 Di ab jeweils Raum W1.05 Mathe für BW Mi ab Raum W2.10 Prüfung Klausur für IM (90 Min., 6 Credits) Zusatzklausur (30 Min., 2 Credits als Wahlfach) Klausur für BW (90 Min., 6 Credits) Prüfung Klausur: Klausur am Ende des Semesters Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erreichbare Punktzahl: 50 Hilfsmittel: Schreibzeug, Taschenrechner, der nicht 70! berechnen kann, ein Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mit handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke), Danach (optional): Für Teilnehmer der Mathe-Plus Vorlesung noch eine 30-minütige Teilklausur über zusätzliche Inhalte (2 Wahlfachcredits zusätzlich möglich)

3 Probleme,......die Sie nach dem Kurs lösen können: Sich widersprechende Politiker entlarven, Bedarf an Einzelteilen in Produktionsprozessen bestimmen, die Käuferfluktuation zwischen verschiedenen Produkten im Zeitablauf analysieren, die Nachfragereaktion von Kaffee auf Preisänderungen bestimmen Ihre Rente ausrechnen Große Kisten in kleine Ecken quetschen Möglichst viel Gewinn bei möglichst wenig Ressourcenverbrauch machen EduVote Umfragen in Vorlesung mit EduVote: System zur Abstimmung im Hörsaal Herunterladen oder direkt benutzen unter eduvote.de User-Id:

4 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 1 Aussagenlogik Einführung Aussagenverknüpfungen Argumentationstechniken 8 Differenzieren 2 9 Integration 10 Differentialgleichungen PLUS Warum beschäftigen wir uns mit der Aussagenlogik? zahlreiche Aussagen aus der Vorlesung erforden grundlegendes Verständnis der Aussagenlogik Grundlage der mathematischen Beweisführung Hilfreich zum Erlernen von Programmiersprachen Wesentliche Lernziele Kenntniss der relevanten Begriffe wie Definition, Axiom, Satz und Beweis Verständnis der wesentlichen aussagenlogischen Operatoren Auswertung logischer Aussagen hinsichtlich der Eigenschaften wahr oder falsch Beherrschung grundlegender Beweistechniken wie dem direkten und indirekten Beweis sowie der vollständigen Induktion 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 11

5 Beispiel PLUS Aussagen eines Politikers zur Wahl Die Vollbeschäftigung wird erhalten oder die Steuern dürfen nicht erhöht werden. Wenn sich Politiker um die Bevölkerung kümmern, müssen die Steuern angehoben werden. Die Politiker kümmern sich um die Bevölkerung oder die Vollbeschäftigung kann nicht erhalten werden. Es stimmt nicht, dass die Erhaltung der Vollbeschäftigung eine Steuererhöhung zur Folge haben muss. Hat sich der Politiker widersprochen? 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 12 Begriffe PLUS Axiom: Grundsachverhalt als Ausgangspunkt, wird nicht bewiesen Definition: Sachverhalt, wird durch neuen Begriff beschrieben, bezieht sich auf bereits Definiertes oder auf Axiome Aussage (math. Satz): Formulierung auf Basis bisherigen Wissens, wird als wahr oder falsch identifiziert. Aussagenverknüpfungen: Negation (A), Konjunktion (A B), Disjunktion (A B), Implikation (A B), Äquivalenz (A B) Tautologie: Verknüpfte, stets wahre Aussage Kontradiktion: Verknüpfte, stets falsche Aussage Allaussage: 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren A(1) A(2)... = x Existenzaussage: A(x) (für x = 1,2,...) = x : A(x) A(1) A(2)... = x A(x) (für x = 1,2,...) = x : A(x) 13

6 Aussagenverknüpfungen PLUS Wahrheitswerte aller möglichen Verknüpfungen der Aussagen A und B A w w f f B w f w f 1) w w w w Verknüpfung ist stets wahr 2) f f f f Verknüpfung ist stets falsch 2) f f f f Verknüpfung ist stets falsch 3) w w w f Disjunktion A B 4) w w f w Implikation B A 5) w f w w Implikation A B 6) f w w w Negierte Konjunktion A B 7) w f f f Konjunktion A B 8) f w f f Negierte Implikation A B 9) f f w f Negierte Implikation B A 10) f f f w Negierte Disjunktion A B 11) w f f w Äquivalenz A B 12) f w w f Negierte Äquivalenz A B 13) f w f w Negation B 14) f f w w Negation A 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 14 Beispiel PLUS Gegeben sind Aussagen über den Marktanteil eines weltweit vertriebenen Markterzeugnisses P in zwei Handelszonen: A: Das Produkt P hat in der Europäischen Union (EU) einen Marktanteil von mehr als 25 % B: Das Produkt P hat in Nordamerika (NA) einen Marktanteil von mehr als 25 % Abgeleitete Aussagen: A: Der Marktanteil von P in der EU beträgt höchstens 25%. A B: Der Marktanteil von P beträgt in der EU und in NA mehr als 25%. A B: Der Marktanteil von P beträgt in der EU oder in NA mehr als 25%. A B: Wenn der Marktanteil von P in der EU mehr als 25% beträgt, so liegt er auch in NA über 25 % Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren A B: der Marktanteil von P in der EU beträgt genau dann mehr als 25%, wenn er auch in NA über 25 % liegt. 15

7 Beispiel PLUS Ausgangspunkt: Aussage A mit A: Der Gewinn einer Unternehmung ist gleich dem Umsatz abzüglich der Kosten. Daraus abgeleitet: A 1 : Die Kosten wachsen. A 2 : Der Umsatz wächst. A 3 : Der Gewinn wächst. Dann ist die folgende Implikation wahr: ( A1 A 2 ) A3 : Wenn der Umsatz bei nicht steigenden Kosten wächst, so wächst auch der Gewinn Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 16 Argumentationstechniken PLUS Direkter Beweis einer Implikation A B (analog Äquivalenz A B): A C 1 C 2... B Beweis von A B durch Gegenbeispiel Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n (oft n = 0 oder n = 1 ) Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass die Aussage auch für n + 1 gültig ist Beispiel (vollst. Induktion): A(n) = n Ind.-Anfang: n = 1 : Ind.-Schluss: n+1 i = n i=1 i=1 (n+1)(n+2) 2 1 i=1 i=1 i = n(n+1) 2 ; n N i = 1 = = 1 i + (n + 1) = n(n+1) 2 + (n + 1) = n(n+1)+2(n+1) 2 = 1.1. Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 17

8 Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel PLUS Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung Daraus: Gewinn = Umsatz Kosten A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich Damit gilt: A B, andererseits aber B A. Gegenbeispiel zur Bestätigung von B A: Für zwei Produkte gegeben: Umsätze u 1 = 2, u 2 = 5 Kosten c 1 = 1, c 2 = 4 Dann ist g 1 = u 1 c 1 = 2 1 = 1 = u 2 c 2 = 5 4 = g 2, aber u 1 u 2, c 1 c Einführung 1.2. Aussagenverknüpfungen 1.3. Argumentieren 18 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 9 Integration 2 Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im R n Lineare Gleichungssysteme Inverse Matrizen Determinanten Eigenwerte 10 Differentialgleichungen

9 Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebsund volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 20 Einführung Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1, F 2, F 3 zwei Produkte P 1, P 2 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von P j (j = 1,2) werden a ij Mengeneinheiten von F i (i = 1,2,3) verbraucht. Verbrauch Grafisch dargestellt: für eine Einheit des Produkts P 1 P 2 von Einheiten F 1 a 11 a 12 der F 2 a 21 a 22 Produktionsfaktoren F 3 a 31 a 32 F 1 F 2 F 3 a 11 a 12 a 21 a 22 P 1 P 2 a 31 a Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 21

10 Einführung Beispiel 2 Fragen: Für fünf gleichartige Produkte P 1,..., P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B Ähnlichkeit von Produkten Finden von Kundensegmenten Zuordnen zu diesen Segmenten Marktforschung 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 22 Definitionen Definition Matrix Ein geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n A =.... a i1 a i2... a ij... a in = (a ij ) m,n.... a m1 a m2... a mj... a mn 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte mit m, n N heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder kurz m n-matrix (Im Folgenden: a ij R). a 11,..., a mn heißen Komponenten der Matrix. Dabei gibt i die Zeile und j die Spalte an, in der a ij steht. i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex von a ij. Sind alle Komponenten a ij reelle Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix. 23

11 Transponierte Matrix Definition Zu jeder m n-matrix a a 1n A =.. a m1... a mn heißt die n m-matrix a a m1 A T =.. a 1n... a mn die zu A transponierte Matrix ( A T ) T = A 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 24 Beispiel transponierte Matrix a) A = ( ) A T = Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte b) A T = ( A ) T T = A =

12 Vektoren Definition n 1-Matrix heißt Spaltenvektor mit n Komponenten: a = a 1. a n 1 n-matrix heißt Zeilenvektor mit n Komponenten: a T = (a 1,..., a n ) 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 26 Geometrische Veranschaulichung von Vektoren a Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra ( ) a 2 1 ( 1 2) 1 ( ) 0 1 a 1 a 3 a Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 27

13 Relationen zwischen Matrizen Definition Seien A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n reelle Matrizen mit übereinstimmender Zeilenzahl m und Spaltenzahl n. Dann wird definiert: A = B a ij = b ij für alle i = 1,..., m, j = 1,..., n A B a ij b ij für mindestens ein Indexpaar (i, j) A B a ij b ij (i, j) A < B a ij < b ij (i, j) 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte Entsprechend A B und A > B. 28 Spezielle Matrizen Definition a) A = (a ij ) n,n heißt quadratisch b) A = (a ij ) n,n mit A = A T heißt symmetrisch c) A = (a ij ) n,n heißt Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0 für i < j (untere Dreiecksmatrix) oder a ij = 0 für i > j (obere Dreiecksmatrix) d) A = (a ij ) n,n heißt Diagonalmatrix, wenn a ij = 0 für alle i j e) A = (a ij ) n,n heißt Einheitsmatrix, wenn a ii = 1 für alle i und a ij = 0 für alle j j 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 29

14 Addition und Subtraktion von Matrizen Definition Damit: Gegeben: A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n. Dann gilt: Addition: A + B = (a ij ) m,n + (b ij ) m,n = (a ij + b ij ) m,n Subtraktion: A B = (a ij ) m,n (b ij ) m,n = (a ij b ij ) m,n A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) Addition/Subtraktion nicht definiert, wenn Zeilen- bzw. Spaltenzahl nicht übereinstimmen 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 30 Skalare Multiplikation Definition Beispiel: Gegeben: A = (a ij ) m,n und r R (Skalar). Dann gilt: r A = r (a ij ) m,n = (r a ij ) m,n = (a ij r) m,n = A r Außerdem gilt: 5 ( ) 1 2 = 3 5 ( 5 ) (rs)a = r(sa) (Assoziativgesetz) (r + s)a = ra + sa (Distributivgesetz) r(a + B) = ra + rb 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 31

15 Matrixmultiplikation A B Gegeben: A = (a ik ) m,p und B = ( b kj )p,n. Dann gilt: = (a ik ) n,p (b ) kj ( p ) = a ik b kj k=1 p,q n,q a 21 b a 22 b 22 a 2p b p2 B : p Zeilen q Spalten b 11 b b 1q b 21 b b 2q b p1 b p2... b pq 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte Merke: Zeile mal Spalte! a 11 a a 1p a 21 a a 2p a n1 a n2... a np c 11 c c 1q c 21 c c 2q c n1 c n2... c nq A : n Zeilen p Spalten C = A B : n Zeilen q Spalten Quelle Grafik: Alain Matthes, altermundus.com 32 Spezialfälle und Rechenregeln Spezialfälle der Matrixmultiplikation A = (m n)-matrix, B = (n m)-matrix es existiert A B und B A A quadratisch A A = A 2 existiert A, B quadratisch A B existiert und B A1 existiert. Aber: Im Allgemeinen A B B A Ist E Einheitsmatrix, dann gilt: Spezielle Rechenregeln A E = E A = A A = (m p)-matrix, B = (p n)-matrix. Damit gilt: A B und B T A T existieren. B T A T = (A B) T A T A AA T ist symmetrische (p p)-matrix und ist symmetrische (m m)-matrix 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 33

16 Norm PLUS Gegeben Vektor a R n Definition: Absolutbetrag, Norm oder Länge eines Vektors: a = a = a T a = a a n2 = n a 2 i R + i=1 Seien a, b, c Vektoren des R n und r R ein Skalar. Dann gilt: a) a + b = b + a, a b = b a b) ra = r a c) a T b a b für n > 1 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) = a b für n = 1 d) a + b a + b (Dreiecksungleichung) e) a c c b a b a c + c b 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 34 Kosinussatz PLUS Gegeben: a, b Vektoren des R n, die den Winkel γ einschließen. Nach dem Kosinussatz gilt im Dreieck mit den Ecken 0, A, B a b 2 = a 2 + b 2 2 a b cos γ. b x 2 b a b a x 1 B b A 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte Damit gilt: a T b = ( a 1 + b 2 a 2 b 2) 2 ( a 2 + b 2 a b 2) = 1 2 = a b cos γ 35

17 Hyperebenen und Sphären PLUS Definition Hyperebene Gegeben: a R n mit a 0 und b R Dann heißt H(a, b) = { x R n : a T x = b } Hyperebene im R n Anmerkung: H teilt den R n in zwei Halbräume Definition Sphäre Gegeben: a R n, r R + Dann heißt K = {x R n : x a = r} Sphäre (Kugelfläche) im R n und dem Radius r Damit: r-umgebung von a: K < (a, r) = {x R n : x a < r} 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 36 Beispiel Hyperebene/Sphäre PLUS Beispiele H = { x R 3 : 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 6 } { } K = x R 3 : x = 1 { } = x R 3 : (x 1 3) 2 + (x 2 2) 2 + x 32 = Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 37

18 Offenheit, Abgeschlossenheit PLUS Gegeben M R n eine Punktmenge des R n und M = R n \ M deren Komplement bzgl. R n. Dann heißt: a R n innerer Punkt von M, wenn eine r-umgebung K < (a, r) von a existiert, die ganz in M liegt, also K < (a, r) M, a R n äußerer Punkt von M, wenn eine r-umgebung K < (a, r) von a existiert, die ganz in M liegt und a R n Randpunkt von M, wenn a weder innerer noch äußerer Punkt von M ist. Eine Punktmenge M R n heißt dann offen wenn jedes Element a M innerer Punkt von M ist, abgeschlossen, wenn jedes Element a M innerer Punkt von M ist, also das Komplement M offen ist Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 38 Beschränktheit, Kompaktheit PLUS Eine Punktmenge M R n heißt beschränkt nach oben, wenn ein b R n existiert mit b x für alle x M, beschränkt nach unten, wenn ein a R n existiert mit a x für alle x M, beschränkt, wenn M nach oben und unten beschränkt ist, kompakt, wenn M beschränkt und abgeschlossen ist Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte Beispiele M 1 = {x R 2 + : x 1 + 2x 2 3, x 2} M 2 = {x R 2 + : x 1 N} 39

19 Lineare Gleichungssysteme: Einführung Beispiele linearer Gleichungssysteme a) b) c) Probleme: 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen Dazu gibt es: Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatrix) das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt Einheitsmatrix) 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 40 Allgemeines lineares Gleichungssystem Ein System von Gleichungen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten. Die a ij und b i heißen Koeffizienten des Gleichungssystems. In Matrixform: Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte Lösungsmenge: Ax = b L = {x : Ax = b} 41

20 Lösungsdarstellung Beispiel für Enddarstellung: x 1 + x 3 = 4 x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 7 Dabei bezeichnet: ( ) ( ) ( ) x E R B = b x N x 1 x 2 x 3 x 4 ( ) 4 = 7 kann nach Basisvariablen aufgelöst werden: x 1 = 4 x 3, x 2 = 7 3x 3 2x 4 (allgemeine Lösung) In diesem Fall immer lösbar, zum Beispiel mit x N = ( x3 x 4 ) = ( ) 0 0 x B = ( x1 x 2 ) = ( ) 4 7 Gesucht: Verfahren zur Überführung beliebiger Gleichungssysteme in diese Form 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 42 Lösung von LGS Elementare Umformungen Das sind Umformungen der Koeffizientenmatrix, die die Lösung nicht verändern. Erlaubt ist Multiplikation einer Zeile mit beliebigen Zahlen c 0 Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Vertauschen von Zeilen oder Spalten Lösungsalgorithmus Lösung mit Verfahren von Gauß-Jordan: Systematische Umformungen nach obigem Prinzip, bis Darstellung der Koeffizientenmatrix in Einheits- und Restmatrix ensteht Algorithmus und Lösungsvarianten siehe Vorlesung 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 43

21 Invertierung von Matrizen Definition Gegeben: n n-matrix (quadratisch) Existiert eine n n-matrix X mit AX = XA = E, so heißt X die zu A inverse Matrix. Schreibweise: X = A 1 AA 1 = A 1 A = E Inverse Matrizen und Gleichungssysteme Falls A 1 existiert, gilt: Ax = b A 1 Ax = A 1 b Ex = x = A 1 b Damit existiert genau eine Lösung und zwar: x = A 1 b 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 44 LGS und Orthogonalität Berechnung inverser Matrizen durch den Gaußalgorithmus: Ansatz: Ax + Ey = 0 A 1 Ax + A 1 Ey = 0 Ex + A 1 y = 0 Also: Gaußtableau mittels elementarer Umformungen folgendermaßen umformen: Orthogonale Matrizen (A E) ( E A 1) Eine n n-matrix A heißt orthogonal, wenn gilt: AA T = A T A = E Bei orthogonalen Matrizen A gilt also: A 1 = A T. Mit A ist damit auch A T orthogonal 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 45

22 Determinanten: Vorüberlegung PLUS Permutationen und Inversionen Beispiel Sei M = {a 1,..., a n } eine n-elementige Menge. Dann: jede Anordnung (a p1,..., a pn ) der Elemente a 1,..., a n mit {p 1,..., p n } = {1,..., n} heißt eine Permutation. Wenn für ein Paar (a i, a j ) einerseits i < j, und andererseits p i > p j, gilt: Inversion. Also: Ausgehend von Permutation (a 1,..., a n ): Jede Vertauschung zweier Elemente a i und a j ist eine Inversion. Gegeben: Menge {1,2,3} 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 46 Definition Determinante PLUS Gegeben: A, eine n n-matrix. Außerdem: (1,..., n) sei geordnetes n-tupel der Zeilenindizes und p = (p 1,..., p n ) eine Permutation von (1,..., n) mit v(p) Inversionen. Determinante von A ist dann: det A = p ( 1) v(p) a 1p1 a 2p2... a npn 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte Beispiele Gegeben: A als eine n n-matrix Für n = 1 gilt dann A = (a 11 ) sowie det A = det (a 11 ) = a 11. Für n = 2 enthält die Determinante 2! = 2 Summanden, nämlich: a 11 a 22 ohne Inversion und a 12 a 21 mit einer Inversion. ( ) a11 a Damit: det A = det 12 = a a 21 a 11 a 22 a 12 a

23 Determinanten von 3 3-Matrizen PLUS Beispiel: Determinante einer 3 3-Matrix Für n = 3: Determinante hat 3! = 6 Summanden, nämlich a 11 a 22 a 33 ohne Inversion, a 12 a 23 a 31 und a 13 a 21 a 32 mit zwei Inversionen, a 11 a 23 a 32 und a 12 a 21 a 33 mit einer Inversion und a 13 a 22 a 31 mit drei Inversionen. Es gilt: det A = a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Einfacher zu merken: Regel von Sarrus (siehe Vorl.) 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 48 Zahlenbeispiel Determinanten PLUS Beispiel A = B = C = ( ) 5 4, , Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte Zeigen Sie: det A = 2, det B = 6, det C = 0 49

24 Minor, Kofaktoren PLUS Gegeben: n n-matrix A mit n 2; Streiche Zeile i und Spalte j, Matrix mit n 1 Zeilen und n 1 Spalten: a a 1,j 1 a 1j a 1,j+1... a 1n..... a i 1,1... a i 1,j 1 a i 1,j a i 1,j+1... a i 1,n A ij = a i1... a i,j 1 a ij a i,j+1... a in a i+1,1... a i+1,j 1 a i+1,j a i+1,j+1... a i+1,n..... a n1... a n,j 1 a nj a n,j+1... a nn nach dem Streichen heißt diese Matrix Minor Damit kann man das algebraische Komplement oder den Kofaktor d ij zur Komponente a ij von A berechnen: { d ij = ( 1) i+j det Aij für i + j gerade det A ij = det A ij für i + j ungerade (i, j = 1,..., n) 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 50 Kofaktoren PLUS Entwicklungssatz von Laplace Entwicklungssatz für Determinanten Gegeben: A eine n n-matrix und D die Matrix der Kofaktoren. Dann gilt für n = 2,3,... det A det A 0 AD T = det A Insbesondere wird mit: det A = a T i d i = a i1 d i a in d in (i=1,...,n) = a jt d j = a 1j d 1j a nj d nj (j=1,...,n) die Determinante von A nach der i-ten Zeile a T i der j-ten Spalte a j = a 1j. a nj von A entwickelt. = (a i1,..., a in ) bzw. nach 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 51

25 Beispiel: Entwicklungssatz PLUS Beispiele Zeigen Sie: A = det A = B = det B = Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 52 Sätze PLUS Es gilt für A, B R n n : det(ab) = det A det B (Determinantenmultiplikationssatz) aber: im allgemeinen det(a + B) det A + det B det A 0 A 1 existiert Gilt zusätzlich det A 0 Mit D = (d ij ) n,n, der Matrix der Kofaktoren zu A gilt A 1 = 1 det A DT det(a 1 ) = (det A) 1 Ist A orthogonal gilt: det A = ± Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 53

26 Cramersche Regel PLUS Lösung eindeutig bestimmter linearer Gleichungssysteme Gegeben: Lineares Gleichungssystem Ax = b Voraussetzung: Es existiert A 1, also auch det A 0 Bezeichnung: Mit A j ist die Matrix, in der gegenüber A die j-te Spalte durch b ersetzt wird, also A j = a 11 b 1 a 1n... a n1 b n a nn Dann lässt sich die Lösung x in folgender Form schreiben: Gabriel Cramer ( ) 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte (Cramersche Regel) x j = det A j det A (j = 1,..., n) 54 Beispiel Cramersche Regel PLUS Zu zeigen: A = , b = und Ax = b Damit: x T = (1, 1,1) Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 55

27 Eigenwerte: Einführendes Beispiel PLUS Bevölkerungsentwicklung Gegeben: x t > 0 die Anzahl von Männern im Zeitpunkt t und y t > 0 die Anzahl von Frauen im Zeitpunkt t. Anzahl der Sterbefälle für Männer bzw. Frauen im Zeitintervall [t, t + 1] sei proportional zum jeweiligen Bestand im Zeitpunkt t, und zwar 0,2x t für die Männer und 0,2y t für die Frauen. Anzahl der Knaben- und Mädchengeburten im Zeitintervall [t, t + 1] proportional ist zum Bestand der Frauen. Anzahl der Knabengeburten: 0,2y t, Anzahl der Mädchengeburten: 0,3y t. Für Übergang vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t + 1 damit: x t+1 = x t 0,2x t + 0,2y t = 0,8x t + 0,2y t y t+1 = y t 0,2y t + 0,3y t = 1,1y t 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 56 Beispiel Bevölkerungsentwicklung PLUS Matriziell: ( xt+1 y t+1 ) = ( 0,8 0,2 0 1,1 ) ( ) xt Forderung: Zeitliches Verhältnis von Männern und Frauen soll konstant bleiben Also: y t x t+1 = λx t y t+1 = λy t (λ R + ), Dieser Fall beschreibt einen gleichförmigen Wachstums- (λ > 1) beziehungsweise Schrumpfungsprozess (λ < 1) Matriziell: λz = Az mit A = Lösung? ( ) ( ) 0,8 0,2 xt, z =, λ R 0 1,1 y + t 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 57

28 Eigenwertprobleme PLUS Definition Damit Gegeben: n n-matrix A. Ist nun für eine Zahl λ R und einen Vektor x R n mit x o lineare Gleichungssystem Ax = λx erfüllt, so heißt λ reeller Eigenwert zu A und x reeller Eigenvektor zum Eigenwert λ. Insgesamt: Eigenwertproblem der Matrix A. David Hilbert ( ) Ax = λx Ax λx = Ax λex = (A λe)x = o Satz: Das LGS Ax = λx hat genau dann eine Lösung x o, wenn gilt: det(a λe) = Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 58 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren PLUS Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren Jedes λ, das det(a λe) = 0 löst ist ein Eigenwert von A. Anschließend: Für jedes erhaltene λ Lösen des Gleichungssystems (A λe)x = o mit x o Damit hat man für jedes λ mindestens einen reellen Eigenvektor x. Satz: Mit x o ist auch jeder Vektor rx (r R, r 0) Eigenvektor zum Eigenwert λ von A. Beispiele A = D = ( ) ( ) 0,8 0,2 1 0,2, B = 0 1,1 0,1 0, ( ) 1 3, E = , C = , Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 59

29 Sätze über Eigenwertprobleme PLUS Gegeben: A ist eine reelle, symmetrische n n-matrix Es gilt: Die Eigenwerte sind alle reell und nicht notwendigerweise verschieden und ist der Rang von A gleich k n, so ist λ = 0 ein (n k)-facher Eigenwert Zu den reellen Eigenwerten λ 1,..., λ n existieren genau n reelle, linear unabhängige Eigenvektoren x 1,..., x n Diese Eigenvektoren kann man so wählen, dass X = (x 1,..., x n ) orthogonale Matrix wird, also XX T = E λ 1 0 Gegeben zusätzlich: L = die Diagonalmatrix der 0 λ n Eigenwerte von A und A m = A... A mit m N Dann gilt: L = X T AX und A = XLX T außerdem gilt: A m besitzt die Eigenwerte λ m 1,..., λ m n 2.1. Matrizen und Vektoren 2.2. Matrixalgebra 2.3. Punktmengen im R n 2.4. Lineare Gleichungssysteme 2.5. Inverse Matrizen 2.6. Determinanten 2.7. Eigenwerte 60 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 9 Integration 10 Differentialgleichungen 3 Lineare Programme Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich Zielfunktion Graphische Lösung

30 Lineare Programe: Beispiel Ein holzverarbeitender Betrieb möchte ein Produktionsprogramm für Spanplatten festlegen. Dabei sind folgende Restriktionen zu berücksichtigen: Es werden zwei Typen von Spanplatten hergestellt: Typ A in der Quantität x 1 für den Außenbereich und Typ B in der Quantität x 2 für den Innenbereich. Zur Herstellung der Spanplatten werden zwei Arten von Furnierblättern F 1 bzw. F 2 unterschiedlicher Qualität benutzt. Die Spanplatten werden mittels einer Presse, in der die Furniere verleimt werden, hergestellt. Zur Herstellung einer Platte vom Typ A wird ein Blatt von F 1 und zwei Blätter von F 2 benötigt, während bei Typ B drei Blätter von F 1 und ein Blatt von F 2 benutzt werden. Von F 1 bzw. F 2 stehen 1500 bzw Stück zur Verfügung. Die Presse steht insgesamt 700 Minuten zur Verfügung, wobei zur Verleimung beider Plattentypen pro Stück jeweils eine Minute benötigt wird Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung 62 Lineare Produktionsplanung: Beispiel Tabellarische Darstellung der Problemdaten: Einheiten Einheiten Pressminuten Produkt Menge von F 1 von F 2 pro Stück Typ A x Typ B x Kapazitäten Zusammenhang von Daten und Variablen durch System von linearen Ungleichungen beschreibbar: Restriktionen: (1) x 1 + 3x (Vorrat F 1 ) (2) 2x 1 + x (Vorrat F 2 ) (3) x 1 + x (Kapazität Presse) (4)(5) x 1, x 2 0 (nicht-negative Mengen) 3.1. Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung 63

31 Lineare Produktionsplanung: Beispiel, Zulässigkeitsbereich Begriffe und Beobachtungen Jede (x 1, x 2 )-Kombination, die alle Restriktionen (1) bis (5) erfüllt, bezeichnet man als zulässige Lösung. Die Menge Z = ( x1 x 2 ) R 2 + : x 1 + 3x ; 2x 1 + x ; x 1 + x nennt man Zulässigkeitsbereich des Problems. Wegen Restriktion x R 2 +: Erster Quadrant des Koordinatensystems genügt für graphische Darstellung des Zulässigkeitsbereiches Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung 64 Beispiel: Graphische Darstellung Zulässigkeitsbereich Ungleichung (1) mit x 1 + 3x entspricht dreieckigem Bereich in R 2 + Begrenzung durch die drei Geraden mit x 1 + 3x 2 = 1500, x 1 = 0 und x 2 = 0 Also: Grenzpunkte (0,500), (1500,0), (0,0) Analog für die übrigen Nebenbedingungen x (1) x 1 + 3x x 1, x 2 0 x (2) 2x 1 + x x 1, x 2 0 x (3) x 1 + x x 1, x Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung x x 1 x 1 Beispiel: Graphische Darstellung der Restriktionen 65

32 Beispiel: Graphische Darstellung Zulässigkeitsbereich Die gesamte zulässige Lösungsmenge Z ergibt sich dann aus dem Durchschnitt der angegebenen Bereiche. Alle (x 1, x 2 )-Kombinationen im mit Z gekennzeichneten Bereich erfüllen damit die vorgegebenen Restriktionen Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung 66 Mögliche Fälle für Z 1 Z =, d.h., es existiert keine zulässige (x 1, x 2 )-Kombination. 2 Z = 1, d.h., es existiert genau eine zulässige (x 1, x 2 )-Kombination. Dieser Fall tritt meist dann auf, wenn die Restriktionen in Form von Gleichungen formuliert werden (Abschnitt 3.3). 3 Z > 1, d.h., es existieren mehrere zulässige Lösungen (Beispiel 1). In den ersten beiden Fällen ist durch die Restriktionen das Planungsergebnis festgelegt. Im ersten Fall können nicht alle Restriktionen gleichzeitig erfüllt werden, im zweiten Fall gibt es eine einzige Lösung, die alle Restriktionen erfüllt. Im letzten Fall entsteht weiterer Planungsbedarf, da für die Modellvariablen noch Spielraum besteht. Um diesen Spielraum weiter einzuschränken, ist eine Zielsetzung zu formulieren, die die zulässigen Lösungen bewertet. Kann diese Zielsetzung z als lineare Funktion der Modellvariablen modelliert werden, so entsteht ein lineares Optimierungsproblem mit der Zielfunktion z(x) und Nebenbedingungen in Form von Gleichungen und/oder Ungleichungen Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung 67

33 Lineare Produktionsplanung: Beispiel Der holzverarbeitende Betrieb aus Beispiel 1 verfolgt die Zielsetzung der Gewinnmaximierung. Die Spanplatten vom Typ A bringen 4, die vom Typ B 5 Gewinn pro Stück. Zusammen mit den Restriktionen aus Beispiel 1 kann nun ein mathematisches Modell in Form eines linearen Optimierungsproblems formuliert werden. Zielfunktion: z(x 1, x 2 ) = 4x 1 + 5x 2 max (Gewinnmaximierung) Nebenbedingungen: (1) x 1 + 3x (Vorrat F 1 ) (2) 2x 1 + x (Vorrat F 2 ) (3) x 1 + x (Kapazität Presse) (4)(5) x 1, x 2 0 (nicht-negative Mengen) 3.1. Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung 68 Beispiel: Graphische Lösung Zur graphischen Lösung des Problems: Zusätzlich Zielfunktion in Graphik Zu diesem Zweck: Darstellung von Isogewinngeraden Für Gewinn in Höhe von c: z(x 1, x 2 ) = 4x 1 + 5x 2 = c bzw. x 2 = c x 1. Graphische Darstellung der Optimallösung im Beispiel Nur der Achsenabschnitt = c/5 hängt vom Wert c ab, die Steigung = 4/5 jedoch nicht. Im Beispiel maximaler c-wert im Schnittpunkt der Geraden für die Nebenbedingungen (1) und (3), d.h. in (x 1, x 2 ) = (300,400). Ein höherer Zielfunktionswert als z(300,400) = = 3200 kann unter Einhaltung der Restriktionen nicht erreicht werden. Man spricht von einer optimalen Lösung Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung 69

34 Beispiel, Bereich optimaler Lösungen Variante: Gewinnbeiträge der Spanplatten aus Beispiel 1 jetzt für beide Typen gleich 4.- pro Stück, d.h. z(x 1, x 2 ) = 4x 1 + 4x 2, In diesem Fall: kein eindeutiges Optimum Bereich Z optimaler Lösungen; beschreibbar durch folgende Menge: {( ) } Z x1 = R x 2 + : 4x 1 + 4x 2 = 2800, x 1 [300,500] 2 Z entspricht der durch die Punkte C = (300,400) und D = (500,200) begrenzten Strecke. Zusammenfassung für graphische Lösung linearer Optimierungsprobleme (mit nicht-konstanter Zielfunktion): Optimale Lösungen liegen stets auf dem Rand des zulässigen Bereiches Z beziehungsweise in Ecken von Z. Mindestens eine Ecke gehört zur optimalen Lösung. Entspricht Menge der Optimallösungen genau einer Ecke von Z ist Optimallösung eindeutig. Gibt es zwei optimale Ecken, so ist die Menge aller Punkte der durch diese Ecken festgelegten Strecke optimal Nebenbedingungen und Zulässigkeitsbereich 3.2. Zielfunktion 3.3. Graphische Lösung 70 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 4 Folgen und Reihen Eigenschaften und Beispiele Konvergenz und Grenzwert Reihen 9 Integration 10 Differentialgleichungen

35 Folgen und Reihen Warum beschäftigen wir uns mit Folgen und Reihen? Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierung diskreter, zeitlicher Entwicklungen (z.b. von Aktienkursen, Absatzmengen) Grundlage der Finanzmathematik (z.b. Zinseszinsrechnung, Tilgungsrechnung) wesentlich zum Verständnis der Konzepte der Stetigkeit und Differenzierbarkeit Wesentliche Lernziele: Verständnis der Begriffe Folgen und Reihen Fähigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren Kennenlernen typischer, insbesondere der Grenzwerteigenschaften von Folgen und Reihen Fähigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen und nachzuweisen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 72 Definition und Eigenschaften Definition Eine Folge ist eine Abbildung a : N 0 R Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1),... oder a 0, a 1,... Schreibweise für Folge: (a n ) n N0 oder (a n ) Eigenschaften von Folgen: Eine Folge heißt endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder endlich (unendlich) ist gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: a n = 1 n+1 Leonardo von Pisa (ca ) rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte nötig sind Beispiel: a 0 = 0; a 1 = 1 und a n = a n 1 + a n 2 für n > 1 (Fibonacci-Folge) Spezielle Folgen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen Arithmetische Folge: (a n ) : a n+1 a n = d n N 0 mit d R Geometrische Folge: (a n ) : a n+1 a n = q n N 0 mit q R 73

36 Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel Sissa ibn Dahir, der Erfinder des Schachspieles, darf sich vom indischen König Shihram eine Belohnung wünschen. Sein Wunsch: So viele Weizenkörner, wie man auf ein Schachbrett legen kann, wenn 1. Feld : a 0 = 1 Korn 2. Feld : a 1 = 2 Körner 3. Feld : a 2 = 4 Körner 4. Feld : a 3 = 8 Körner. n. Feld : a n 1 = 2 a n 2 Körner 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 74 Konvergenz und Grenzwert Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen kleinen Bereich um einen festen Wert? Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern? Definition: a R heißt Grenzwert oder Limes von (a n ) ɛ > 0 n(ɛ) mit a n a < ɛ n > n(ɛ) Schreibweise für Grenzwert: lim a n = a n Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 75

37 Beispiel zur Definition des Grenzwerts Gegeben: a n = n n+1 Vermutung: lim a n = a = 1 n Beweis: Wenn a = 1, dann folgt a n a = n n+1 1 < ɛ n n 1 n+1 = 1 n+1 < ɛ 1 ɛ < n ɛ 1 < n Also: Für jedes ɛ findet man ein n(ɛ), so dass die Grenzwertbedingung stimmt Zum Beispiel: Wähle ɛ = 0,01 n > 1 ɛ 1 = 1 0,01 1 = = Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 76 Rechenregeln für Grenzwerte Gegeben: lim (a n) = a und lim (b n) = b n n kurz: (a n ) a und (b n ) b Dann gilt: 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen (a n + b n ) a + b (a n b n ) a b (a n b n ) a b ( an b n ) a b (b 0) (a c n) a c (a n > 0, a > 0, c R) (c a n ) c a (c > 0) 77

38 Definition der Reihe Gegeben: (a n ) unendliche Folge in R Dann heißt (s n ) mit Beispiel: eine unendliche Reihe. s n heißt n-te Partialsumme s n = a 0 + a a n = Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen n a i n N 0 i=0 (a n ) geometrische Folge (s n ) geometrische Reihe n a n+1 s n = a i ; mit = q a n i=0 Offensichtlich gilt: a n = a n 1 q = a n 2 q 2 =... = a 0 q n 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen s n = n a 0 q i = a 0 (1 + q + q q n 1 q n+1 ) = a 0 i=0 1 q 78 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Summe aller Körner auf Schachbrett: s n = 63 i=0 Das bedeutet: 1 q 64 a i = a 0 1 q = , Körner = 1 g Weizen 1, g 1, kg 1, t = 180 Mrd. t 1 Güterwagon = 50 t Weizen 3,6 Mrd. Güterwagons 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond 79

39 Konvergenzkriterien für Reihen n Gegeben: a i Folge, s n = Divergenzkriterium i=1 a i Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: a i ist keine Nullfolge s n divergent Quotientenkriterium lim k lim k a k+1 a k a k+1 a k < 1 s n konvergent > 1 s n divergent 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen Bemerkung: Für lim a k+1 k a k Spezialfall geometrische Reihe: = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich a k+1 a k = q lim k a k+1 a k { q < 1 = q sn konvergent q 1 s n divergent 80 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 5 Finanzmathematik Zinsen Renten Tilgung Kursrechnung 8 Differenzieren 2 9 Integration 10 Differentialgleichungen

40 Zinsen Zinsen sind der Preis, den ein Schuldner für die befristete Überlassung von Kapital bezahlen muss. Der Betrag der Zinsen (Z) wird aus der Höhe des überlassenen Kapitals K und der Dauer der Überlassung berechnet. Verwendete Symbole: Symbol Bezeichnung K 0 Anfangskapital K n Endkapital n ganzzahlige Laufzeit f gebrochene Laufzeit x nicht ganzzahlige Laufzeit Z Zins p Prozentzinssatz i = p Zinssatz 100 q = 1 + i Aufzinsungsfaktor v = 1 Abzinsungsfaktor q 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 82 Einfache Verzinsung Sparzinsen können zinseszinslich angelegt werden Bei Kreditgeschäften zwischen Privatpersonen ist das illegal (BGB, 248) Deswegen: Einfache (lineare) Verzinsung gemäß K n = K 0 + Z = K 0 + K 0 i n ( = K p n ) Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 83

41 Unterjährige einfache Verzinsung In Deutschland Einteilung des Zinsjahres in 12 Monate zu je 30 Tagen (360 Tage) Dadurch Berechnung von Monats- bzw. Tageszinsen möglich Laufzeit n N in Jahren wird dann zu Laufzeit f Q in Jahren mit f = t 2 t (t 1 entspricht Tag der Einzahlung, t 2 Tag der Auszahlung) Daraus ergibt sich K n = K 0 + K 0 i Stellung eines Tages im Jahr: ( t 360 = K i ) t 360 (Aktueller Monat 1) 30 + Tag im Monat 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 84 Barwert bei einfacher Verzinsung K 0 unbekannt: Abzinsung bzw. Diskontierung bzw. Barwertberechnung Amtliche Diskontierung: K 0 = K n 1 + ni Kaufmännische Diskontierung (Nur erste Näherung): K 0 = K n (1 ni) 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 85

42 Die Zinseszinsformel Während Laufzeit Zinszahlungen mit sofortiger Wiederanlage und Verzinsung zum Zinssatz i Entwicklung des Kapitals: K 1 = K 0 + K 0 i = K 0 (1 + i) = K 0 q K 2 = K 1 (1 + i) = (K 0 q) q = K 0 q 2 K 3 = K 2 (1 + i) = ( K 0 q 2) q = K 0 q 3 Damit folgt die Zinseszinsformel, mit n (zunächst) ganzzahlig. K n = K 0 q n 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung q n heißt Aufzinsungfaktor 86 Die Zinseszinsformel Auflösung der Zinseszinsformel nach K 0, q und n: K 0 = K n q n Abzinsungs- oder Diskontierungsformel 1 heißt Abzinsungsfaktor qn Kn Kn q = n bzw. i = n 1 K 0 K Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung n = ln K n ln K 0 ln q 87

43 Gemischte Verzinsung Üblich: Einfache Verzinsung bei Restlaufzeiten kleiner einem ganzzahliges Vielfachen der Zinsperiode Genauer: Mit t 1 (Zinstage im ersten Jahr), n (die weiteren, ganzen Zinsperioden) und t 2 (Zinstage im letzten Jahr), gilt für das Endkapital K x : K x = K 0 ( 1 + i t ) ( 1 (1 + i) n 1 + i t ) Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Gemischte Zinsrechnung (unter Verwendung der 30/360 Methode), auch Sparbuchmethode. 88 Gemischte Verzinsung: Beispiel Beispiel Am wurden zu 3,75 % angelegt. Wie hoch war der Endbetrag bei Kontoauflösung am (letzter Zinstag )? Lösung: (n = 6): K x = = , ^= (9 1) = 255 t 1 = 360 (255 1) = ^= (9 1) = 260 t 2 = 260 ( 1 + ) ( 0, , ) 0, Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 89

44 Gemischte Verzinsung: Anmerkungen Würde man von t 0 ausgehend in ganze Jahre und einem Rest aufteilen, so ergäbe sich: ( K x = , , ) = , (7 Jahre von bis ; dazu 6 Tage) Würde man die Zinseszinsformel mit nicht-ganzzahligem Exponenten verwenden, so ergäbe sich Folgendes: K x = , = ,90 Gemischte Verzinsung ist also (zumindest für Kapitalanleger) verbraucherfreundlich 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 90 Gemischte Verzinsung: Anmerkungen Nachteil der gemischten Verzinsung Die gemischte Verzinsung ist inkonsistent und vom Zeitpunkt des Zinszuschlages (bzw. der Einzahlung) abhängig. Im Beispiel: Wäre der Zeitraum um einen Monat verschoben (vom bis zur Auflösung am ), so ergäbe sich... K x = = ,31 ( 1 + ) ( 0, , Die Widersprüche verschwinden, wenn eine unterjährige Verzinsung zum konformen Zinssatz vorgenommen wird. ) 0, Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 91

45 Unterjährige Verzinsung Zahlung von Zinsen nicht jährlich, sondern in kürzeren Fristen Dazu: m gleich lange Zinsperioden pro Jahr Typische Aufteilungen: m = 2, 4, 12 Zinsperioden Annahme: Laufzeit n in Jahren sei (aus Vereinfachungsgründen) ein ganzzahliges Vielfaches von 1 m (z.b. m = 2, n = 1,5 oder m = 12, n = 1,25). Ist ein Jahreszins i gegeben, so heißt: i = i m der relative Periodenzins. i der zu i konforme Periodenzins, wenn die periodische Verzinsung mit i zum selben Ergebnis führt wie die jährliche Verzinsung mit i. (1 + i ) m = (1 + i) 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 92 Unterjährige Verzinsung Betrachte den relativen Periodenzinsen i = i m, so heißt: i der nominelle Jahreszins i eff der effektive Jahreszins, wenn jährliche Verzinsung mit i eff zum selben Ergebnis führt wie die periodische Verzinsung mit i. (Entsprechendes gilt für q, q, q eff ). K 1 = K 0 q m q eff = q m = K 0 q eff 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung mit q = 1 + i = 1 + i m 93

46 Unterjährige Verzinsung: Formel Damit: Effektivzins q eff ist q eff = (1 + i ) m = ( 1 + i ) m m Endkapital K n ist: K n = K 0 (1 + i ) m n = K 0 ( 1 + i ) m n m 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Anmerkung: m n muss nach o.g. Bedingungen ganzzahlig sein. 94 Beispiel zur unterjährigen Verzinsung Beispiel Ein Betrag von soll zu 5 % nominal bei monatlicher Verzinsung angelegt werden. Welcher Betrag kann nach 16 Monaten entnommen werden? Wie hoch ist der Effektivzins? Lösung: Mit i = 5 %, m = 12 und m n = 16 gilt: K n = K 0 ( 1 + m) i m n ( = ,05 ) 16 = , Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Effektiver Jahreszins: i eff = ( 1 + 0,05 ) 12 1 = 5,12 % 12 95

47 Beispiel zur unterjährigen Verzinsung mit dem konformen Zinssatz Beispiel Widersprüche der gemischten Verzinsung aus Folie 89 verschwinden, wenn eine unterjährige Verzinsung mit dem konformen Zinssatz gemäß den Richtlinien für den internationalen Wertpapierhandel (ISMA International Securities Market Association) vorgenommen wird. Am ( ) wurden zu effektiv 3,75 % angelegt. Wie hoch war der Endbetrag bei Kontoauflösung am ( )? Lösung Wir verwenden den konformen Zins auf täglicher Basis, also p = 360 1,0375 = 1, K n = , , , = ,90 alternativ: K n = , , , = , Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 96 Stetige Verzinsung Lässt man m wachsen, so erhält man aus der obigen Formel ( K n = lim K i ) m n [ = K 0 m m lim m die Formel für die stetige Verzinsung: K n = K 0 e i n Für den effektiven Jahreszinssatz gilt damit: i eff = e i 1 Anwendung stetiger Wachstumsprozesse: Ökonomie (Bevölkerungswachstum), Physik (radioaktiver Zerfall), BWL (Portfolio- und Kapitalmarkttheorie) (( 1 + i ) m )] n ( = K 0 e i) n m 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 97

48 Beispiel zur stetigen Verzinsung Beispiel K 0 = , n = 5, nominaler Jahreszins p = 5 %. Wie hoch ist K n und p eff bei stetiger Verzinsung? Lösung: K n = K 0 e i n = e 0,05 5 = ,25 i eff = e 0,05 1 = 5,127 % Anmerkung 1: Bei Variation von m ergeben sich: m p eff 5 5,063 5,095 5,116 5,127 Anmerkung 2: Die stetige Verzinsung wird z.b. in der Portfoliotheorie verwendet, da sie mathematisch einfacher zu handhaben ist als die diskrete Verzinsung Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 98 Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik für Vergleich von Zahlungen, welche zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen. Vereinfachende Annahmen: Prinzip Zinseszinsliche Verzinsung Zahlungen stets am Anfang oder am Ende einer Zinsperiode Vergleich von 2 oder mehreren zu verschiedenen Zeitpunkten anfallende Geldbeträge: Beziehen auf den gleichen Zeitpunkt durch geeignetes Auf- oder Abzinsen. Wahl des Zeitpunktes dabei unerheblich. Meist: Zeitpunkt t = 0 oder t = n (Ende der Laufzeit) t = 0 den Anfang des ersten Zinszeitraums ( heute ). t = 1 Ende des ersten Zinszeitraums ( des ersten Jahres). t = 2 Ende des zweiten Zinszeitraumes ( des zweiten Jahres). t = n Ende des letzen Zinszeitraumes ( des n-ten Jahres) 5.1. Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 99

49 Äquivalenzprinzip: Herleitung Zwei Zahlungen, A im Zeitpunkt t A und B im Zeitpunkt t B, sind dann gleichwertig (A B), wenn ihre Zeitwerte in jedem Zeitpunkt t übereinstimmen. Beispiel Gegeben: A = , t A = 2, p = 7% Gesucht: B mit t B = 5 so, dass A B. Lösung: B = ,07 (5 2) = ,43 Eine Zahlung von ,43 nach 5 Jahren ist also gleichwertig zu einer Zahlung von nach 2 Jahren. Der Barwert ( Wert heute ) beider Zahlungen ist übrigens ,07 2 = ,43 1,07 5 = 8 734,39 [ ] Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 100 Zahlungsströme, Barwert, Endwert Ein Zahlungsstrom (A 0,..., A n ) ist eine Folge von Zahlungen mit Zahlungszeitpunkten t = 0,..., n. Summe aller auf t = 0 abgezinsten Zahlungen (Kapitalwert): K 0 = n t=0 A t q t n = A t q t t=0 Summe aller auf t = n abgezinsten Zahlungen (Endwert): K n = n t=0 q n A t q t n = A t q n t t= Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 101

50 Gleichheit zweier Zahlungsströme Zwei Zahlungsströme (A t ), (B t ), t = 0,..., n sind genau dann äquivalent, wenn sie zu einem beliebigen Zeitpunkt T den gleichen Zeitwert besitzen: n (A t ) (B t ) t=0 A t q T t = n t=0 B t q T t q T n t=0 A t q t = q T n t=0 B t q t n t=0 (A t B t ) q t = 0 (A t ) (B t ) n t=0 A t B t q t = Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 102 Investitionsrechnung: Beispiel Beispiel p = 5 %, Welches Projekt ist zu bevorzugen? Jahr t A t B t Lösung: Kapitalwert von (A t ): 5 t=0 A t 1,05 t = 0 1, , , , , ,05 5 = 2 599,74 Kapitalwert von (B t ): 5 t=0 B t 1,05 = 400 t 1, , , , , ,05 = 2 625,80 5 Alternative B ist der Alternative A vorzuziehen Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Nominal- und Effektivzins Stetige Verzinsung Zeitwert 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 103

51 Rentenrechnung Definition Rente: Zahlungsstrom mit Zahlungen in gleichen zeitlichen Abständen und (meistens) in konstanter Höhe Unterscheidung zwischen Renten mit Zahlung am Ende einer Rentenperiode (nachschüssig) mit Zahlung zu Beginn einer Rentenperiode vorschüssig) 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung mit endlicher Laufzeit (endliche Renten) mit unendlicher Laufzeit (ewige Renten) 104 Rentenrechnung: Symbole Symbol Bezeichnungen r t Rentenrate in Periode t n Laufzeit (t = 1,..., n) m Anzahl der Rentenzahlungen pro Zinsperiode p Prozentzinssatz R 0 Barwert der Rente R t Zeitwert der Rente Endwert der Rente R n 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 105

52 Nachschüssige konstante (endliche) Renten Rentenzahlung jeweils am Ende einer Zinsperiode, jeweils in Höhe von r 1 = r 2 = = r n = const. = r Rentenendwert R n : R n = r q n 1 + r q n r q + r = r (q n 1 + q n q + 1 ) = r n 1 t=0 q t = r qn 1 q 1 (geometrische Reihe) 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 106 Rentenendwert und Rentenbarwert Endwert R n der Rente: R n = r qn 1 q 1 = r NREF p,n NREF: Nachschüssiger Rentenendwertfaktor für endliche konstante Rente. Barwert der Rente: R 0 = R n q n = r q n 1 q n (q 1) = r q n 1 q n+1 q n = r NRBF p,n 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung NRBF: Nachschüssiger Rentenbarwertfaktor 107

53 Beispiel Rentenendwert Beispiel Genau 10 Jahre lang wurde jeweils zum Jahresende ein Betrag von zum Zinssatz von 4% angelegt. Wieviel kann zu Beginn des 11. Jahres (entspricht dem Ende des 10. Jahres) abgehoben werden? Lösung: Mit n = 10, q = 1,04 und r = gilt Folgendes: R 10 = , ,04 1 = , = ,28 [ ] 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 108 Beispiel Rentenbarwert Beispiel Aus welchem zum Zeitpunkt 0 eingezahlten Betrag kann 10 Jahre lang bei 4% Zins eine konstante nachschüssige Rente von bezahlt werden? Lösung: Frage nach dem Barwert einer Rente. Mit n = 10, q = 1,04 und r = gilt: R 0 = , , , , ,75 [ ] 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 109

54 Umformung der Rentenbar- und -endwertformel Je nach Fragestellung: Laufzeit n, Rentenzahlung r, Verzinsungsfaktor q. Rentenzahlung r: r = R 0 = R 0 qn+1 q n NRBF p,n q n 1 = R n NREF p,n = R n q 1 q n Zinsen Laufzeit n aus R n : ( ) ln 1 + R n i r n = ln q Laufzeit n aus R 0 : ( ) ln 1 R 0 i r n = ln q q aus R 0 : R 0 q n+1 (R 0 + r)q n + r! = 0. q aus R n : r q n R n q + R n r! = 0. Berechnung von q im Allgemeinen nur näherungsweise (iterativ) möglich 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 110 Beispiel nachschüssige Rente Beispiel Ein Steuerberater kauft die Kanzlei eines älteren Kollegen und muss als Kaufpreis 10 Jahre lang jährlich nachschüssig je zahlen. Durch welchen Betrag könnte der Steuerberater diese Zahlungsverpflichung sofort bei Vertragsabschluss ablösen, wenn mit 8% Zinsen kalkuliert wird? Lösung: Gesucht ist der Rentenbarwert mit r = , q = 1,08 und n = 10. Es gilt dann: 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung R 0 = , , ,08 10 = , = ,01 [ ] 111

55 Beispiel nachschüssige Rente Beispiel Der Barwert einer über 15 Jahre laufenden nachschüssigen Jahresrente beträgt bei 5%-iger Verzinsung Wie hoch sind die jährlichen Rentenzahlungen? Lösung: Gesucht sind die Rentenzahlungen r mit R 0 = , q = 1,05 und n = 15. Es gilt dann: r = ,0516 1, , = , = 1 000,03 [ ] 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 112 Vorschüssige konstante Renten Rentenbetrag wird jeweils zu Beginn der Zinsperiode in Höhe von r 1 = r 2 = = r n = r bezahlt. Äquivalenzprinzip Endwert der Rente: vorschüssige Rentenzahlung r nachschüssige Rentenzahlung r r = r q R n = r q qn 1 q 1 VREF: Vorschüssiger Rentenendwertfaktor = r VREF p,n 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Barwert der Rente: R 0 = R n q n = r q n 1 q q n (q 1) = r q n 1 q n q n 1 = r VRBF p,n VRBF: Vorschüssiger Rentenbarwertfaktor 113

56 Unterjährige Raten und jährliche Verzinsung Aufteilung der Zinsperiode in mehrere gleich lange Rentenperioden, d.h. m Rentenzahlungen pro Zinsperiode (= Jahr). Dazu: Rechnung mit einfacher Verzinsung innerhalb der Zinsperiode Rentenzahlungen nachschüssig (also am Ende jeder unterj. Rentenperiode) oder vorschüssig möglich Lösung: Errechnung von konformen (gleichwertigen) jährlich nachschüssigen Ersatzzahlungen zu den m unterjährigen Zahlungen. Definition r e heißt konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate einer nachschüssigen (oder vorschüssigen) unterjährigen Rentenrate r Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 114 Konforme jährliche nachschüssige Ersatzrentenrate Berechnung von r e : falls unterjährige Rente nachschüssig: r e = r + r (1 + 1m ) i + r (1 + 2m ) i +... ( + r 1 + m 1 ) m i = r m 1 + i r ( (m 1)) m [ r e = r m + i m 1 ] 2 falls unterjährige Rente vorschüssig: r e = r (1 + 1m ) i + r (1 + 2m ) i r (1 + m ) m i = r m + i r r e = r 1 ( m) m [ m + i m + 1 ] Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Aus Ersatzrentenrate r e : Weiterrechnen mit Formeln für jährliche nachschüssige Rente 115

57 Beispiel konforme Ersatzrentenraten Beispiel Ein Sparer legt monatliche nachschüssig auf ein Konto. Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren bei einem Zinssatz von 4%? Lösung: Gesucht ist der Rentenendwert auf Basis der konformen Rentenraten. Mit n = 10, m = 12, q = 1,04 und r = ergibt sich Folgendes: [ ] 0,04 11 R 10 = }{{} 12,22 1, ,04 1 = , = ,63 Beim Zinssatz von i = 4% kann eine monatlich nachschüssige Rente von durch eine jährlich nachschüssige Rentenzahlung von gleichwertig ersetzt werden. Der Kontostand nach 10 Jahren beträgt , Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung 116 Ewige Renten Eine Rente heißt ewige Rente, wenn Anzahl n der Ratenzahlungen nicht begrenzt, n also beliebig groß wird (n ). Berechnung des Rentenendwertes dann nicht möglich Rentenbarwert R 0 existiert jedoch: R 0 = lim n = r lim n (r NRBF) = r lim ( ) 1 1 q n = r q 1 n 1 q n qn 1 q 1 1 q 1 = r i Damit: Rentenbarwert einer nachschüssigen ewigen Rente: 5.1. Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung R 0 = r i 117

58 Ewige Renten: Beispiel Beispiel Wie groß ist der Barwert einer ewigen nachschüssigen Rente von pro Jahr, wenn der Zins bei 8% liegt? Lösung: R 0 = ,08 = Zinsen 5.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Anmerkung: Geht man von einer vorschüssigen ewigen Rente aus, so ergibt sich für den Rentenbarwert: R 0 = r + r i 118 Tilgungsrechnung Rückzahlung oder Tilgung größerer Darlehen oft in mehreren Raten Hier betrachtet: Tilgung in mehreren Teilbeträgen, in konstanten Zeitabständen Jede zu bezahlende Rate beinhaltet Zinsen und Tilgung Verwendete Symbole: Symbol Bezeichnung S Darlehenssumme, Anfangsschuld R k Restschuld zu Beginn des k-ten Jahres n Tilgungsdauer ( N) Z k Zinsquote am Ende des k-ten Jahres T k Tilgungsquote am Ende des k-ten Jahres Annuität am Ende des k-ten Jahres A k 5.1. Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung Ratentilgung Annuitätentilgung 5.4. Kursrechnung Unterscheidung zwischen Ratentilgung und Annuitätentilgung 119

59 Ratentilgung Während Laufzeit sind Tilgungsquoten konstant. Daraus folgt: und damit: R k = S (k 1) T Z k = R k i A k = Z k + T T k = T = S n Restschuld zu Beginn des k-ten Jahres Zinsquote am Ende des k-ten Jahres Annuität am Ende des k-ten Jahres 5.1. Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung Ratentilgung Annuitätentilgung 5.4. Kursrechnung 120 Annuitätentilgung Problem der Ratentilgung: Belastung anfangs hoch, später geringer Ausweg: Konstanthalten der Annuitäten über Rentenformel Daraus ergibt sich: A k = A = S qn (q 1) q n Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung Ratentilgung Annuitätentilgung 5.4. Kursrechnung R k = S qn q k 1 q n 1 Z k = R k i = A (1 q k n 1) T k = A Z k = A q k n 1 Restsch. zu Beg. des k-ten J. Zinsen im k-ten Jahr Tilgung im k-ten Jahr 121

60 Kursrechnung Festverzinsliche Wertpapiere Wertpapier: Investor erwirbt für bestimmten Preis ein Recht auf Zahlungen Hier: Gesamtfällige festverzinsliche Wertpapiere Emission (Erstausgabe): Investor zahlt pro 100 Nennwert einen Preis C 0 (Emissionskurs) Emittend: Zahlt während Laufzeit Zinsen (Kuponszahlung) und (meist nach Ablauf ) Tilgung (Rücknahmekurs) Kuponzahlung: mittels nominellen Jahreszinses i (oder Jahreszinsfuß p ) auf den Nennwert an Investor, meist jährlich nachschüssig Falls i = 0: Null-Kupon-Anleihen oder Zerobonds Rücknahmekurs: Tilgung in einem Betrag am Ende der Laufzeit C n als Prozentsatz des Nennwertes Rendite: i eff Jährlicher Effektivzins, der Leistung des Investors und des Emittenden gleichwertig macht 5.1. Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Emissionskurs Duration 122 Kursrechnung Äquivalenzgleichung für Emissionskurs Dabei: C 0 = p qn 1 q 1 q n + C n q n n : Laufzeit in Jahren C 0 : Emissionskurs p : Nominalzinsfuß, jährliche Zinszahlung pro 100 Nennwert C n : Rücknahmekurs am Ende der Laufzeut q = 1 + i eff : Effektiver Jahreszins bzw. Rendite des festverz. Wertpapiers Anmerkungen: Gleichung i.a. nicht elementar nach q auflösbar Deswegen oft: Näherung durch Iteration (z.b. regula falsi) Emissionskurs ^= mit Rendite abgezinster Kapitalwert sämtlicher zukünftiger Leistungen des Wertpapiers 5.1. Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Emissionskurs Duration 123

61 Kursrechnung Ganzzahlige Restlaufzeiten Festverzinsliche Wertpapiere können meist jederzeit gehandelt werden Annahme zunächst: Handel nur unmittelbar nach Kuponzahlung möglich Gesucht: Kurs C t für eine Restlaufzeit von t Jahren Lösung: Preis eines Wertpapiers ist zu jedem Zeitpunkt der Kapitalwert aller in der Restlaufzeit noch ausstehenden Leistungen Abgezinst wird dabei mit dem Marktzins (auch: Umlaufrendite) C t = p qt 1 q 1 q t + C n q t 5.1. Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Emissionskurs Duration 124 Kursrechnung Risikoanalyse Duration Änderung des Marktzinses: Abhängig von Zeitpunkt Auswirkung auf aktuellen Wert des Papiers Fall 1 (Zins steigt): C 0 ist niedriger, aber Wiederanlage der Kuponzahlungen erbringen mehr Rendite Fall 2 (Zins fällt): C 0 ist höher, aber Wiederanlage der Kuponzahlungen erbringen weniger Rendite Vermutung: An einem (Zeit-)Punkt heben sich diese beiden Effekte auf Dieser Zeitpunkt heißt Duration D. Aktueller Wert D 5 i = 6 % i = 4 % i = 2 % Zeit t 5.1. Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Emissionskurs Duration 125

62 Kursrechnung Risikoanalyse Duration Der aktuelle Wert eines Papiers C t (q) = q t C 0 (q) ändert sich also nicht bzgl. Änderungen von q, wenn t = D damit gilt für die Duration D C D (q) q = ( qd C 0 (q) ) = D q D 1 C 0 (q)+q D C 0(q) q q Da q D 1 immer positiv ist muss also für D gelten D C 0 (q) + q C 0(q) q = 0 und damit: = Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Emissionskurs Duration D = C 0(q) q q C 0 (q) = q C 0 (q) C 0 (q) Weitere mögliche Interpretation der Duration als Bruttozinselastizität des Barwertes. 126 Kursrechnung Partielle Ableitung des Kapitalwertes Für die Berechnung von D ist C 0(q) zu bestimmen; bei einem festverzinslichen Wertpapier ergibt sich so C 0(q) = n q n+1 Varianten der Duration Modifizierte Duration: MD = D q = C 0(q) C 0 (q) ( ) p qn 1 q 1 + C n + p q n qn 1 (q 1) (q n 1) n (q 1) 2 Auswirkungen von Zinsänderungen Elastizität (von i): ε C0,i = C 0(i) C 0 (i) i = i q D = MD i Bei bekanntem Emissionskurs: Auswirkungen kleiner Zinsänderungen über Duration 5.1. Zinsen 5.2. Renten 5.3. Tilgung 5.4. Kursrechnung Emissionskurs Duration C 0 (i + i) C 0 (i) (1 MD i) 127

63 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 6 Reelle Funktionen Grundbegriffe Elementare Funktionen Stetigkeit reeller Funktionen 9 Integration 10 Differentialgleichungen Warum beschäftigen wir uns mit reellen Funktionen? allgemein: kompakte und präzise Beschreibung von Abhängigkeiten zwischen mehreren Faktoren speziell: Modellierung technischer und ökonomischer Systeme Basis für Analyse und Optimierung von Systemen / Prozessen Wesentliche Lernziele Fähigkeit mit den wesentlichen Begriffen im Zusammenhang mit Funktionen umzugehen Kennenlernen der wichtigsten Klassen reeller Funktionen Beherrschen des Stetigkeitsbegriffs 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit 129

64 Beispiel Kostenfunktion Unternehmen ermittelt empirisch Kosten K für die Herstellung von x Einheiten eines Produktes Dargestellt als Wertetabelle und als Grafik x K 1 4,25 2 6,00 3 8, , , , , ,00 K(x) x 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit 130 Beispiel Kostenfunktion Jetzt: Betrachte zusätzlich Funktion K(x) = 1 4 x2 + x + 3 für Definitionsbereich D = {1,...,8} K(x) Darstellung durch Funktion: kompakt, eindeutig Möglicher Ausgangspunkt für Prognosen (Kosten für 9, 10,... Einheiten) 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit x 131

65 Begriff reelle Funktion Definition f : D R heißt reellwertige Abbildung mit Definitionsbereich D Mit D R n heißt f reelle Funktion von n Variablen Darstellung von Funktionen Durch Funktionsgleichungen f(x 1,..., x n ) = y x = (x 1,..., x n ): unabhängige (exogene) Variablen y: abhängige (endogene) Variablen Durch Wertetabellen Durch Graphen Für D R: Darstellung im kartesischen Koordinatensystem Für D R 2 : 3-dimensionale Darstellung oder Niveaulinien f(x) = c mit c R 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit 132 Beispiel Cobb-Douglas-Funktion neoklassische Produktionsfunktion der Form f(x 1,..., x n ) = a 0 x a 1 1 x a x a n n Beispiel für zwei Produktionsfaktoren f(x 1, x 2 ) = 1 x 1/2 1 x 1/2 2 = x 1 x 2 Dreidimensionale Darstellung Niveaulinien für f(x 1, x 2 ) = c mit c = 1/2,..., Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit , ,5 0,5 2 2, ,5 1 1,5 0, ,5 1, ,

66 Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion f : D W mit D R n und W R heißt: surjektiv, wenn zu jedem y W ein x D mit f(x) = y existiert, injektiv, wenn für alle x, x D gilt x x f(x) f( x), bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist. Komposition von Funktionen Voraussetzung: Funktionen f : D f R und g : D g R mit D f R n und f(d f ) D g R Zusammengesetzte Funktion: g f : D f R: Zuordnung des Werts (g f)(x) = g (f(x)) für alle x D f Inverse Funktion / Umkehrfunktion Voraussetzung: bijektive Funktion f : D W mit D, W R Inverse Funktion: f 1 : W D, y f 1 (y), wobei y für alle x D mit y = f(x) zugeordnet wird 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit 134 Invertierung: Beispiel Beispiel b) f : R R, f(x) = x f(x) Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit x 135

67 Satz: Operationen zwischen Funktionen Gegeben: f, g : D R reelle Funktionen mit identischem Definitionsbereich D R. Dann sind auch die folgenden Abbildungen relle Funktionen: f + g : D R mit x D (f + g)(x) = f(x) + g(x) f g : D R mit x D (f g)(x) = f(x) g(x) f g : D R mit x D (f g)(x) = f(x) g(x) f g : D 1 R mit x D 1 ( ) f (x) = f(x) g g(x) 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit D 1 = {x D : g(x) 0} 136 Besondere Punkte bei Funktionen Gegeben: Reelle Funktion f : D R mit D R n Definitionen c-stelle von f: x c D mit f(x c ) = c Mit c = 0 heißt c-stelle dann 0-Stelle von f Maximalstelle oder globales Maximum: x max D mit f(x max ) f(x) für alle x D Minimalstelle oder globales Minimum: x min D mit f(x min ) f(x) für alle x D x D mit f(x ) ( ) f(x) für x [x a, x +a] D heißt lokale Maximalstelle (Minimalstelle), f(x ) lokales Maximum 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit Weitere Sprechweisen: Extremal-, Optimalstelle, Extremum, Optimum 137

68 Beispiel: Maximal-, bzw. Minimalstellen Umsatzmaximierung für zwei Produkte mit Absatzquantitäten x 1, x 2 und Preisen p 1, p 2 : Gegeben: Preis-Absatz-Funktionen x 1 = 10 p 1 und x 2 = 12 p 2 Wegen x 1, x 2 0 und p 1, p 2 0 folgt p 1 [0,10] und p 2 [0,12] Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit Gesamtumsatz? Maximalstelle? Minimalstellen? 138 Weitere Eigenschaften reeller Funktionen f beschränkt es gibt c 0, c 1 R mit c 0 f(x) c 1 f monoton wachsend (x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 )) f monoton fallend (x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 )) bei strenger Monotonie entfällt = f konvex (x 1 x 2 f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 )) f konkav (x 1 x 2 f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 )) λ (0,1) bei strenger Konkavität entfällt = f periodisch mit Periode p > 0 f(x) = f(x ± p) f gerade (ungerade) f(x) = f( x) ( f(x) = f( x)) 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit 139

69 Polynome Definition p : R R mit p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = heißt Polynom n-ten Grades Schreibweise: grad(p) = n n a i x i (mit a n 0) i= Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit Satz Summen, Differenzen und Produkte von Polynomen sind wieder Polynome. p(x 1 ) = 0 u(x) = p(x) x x 1 grad(u) = grad(p) 1 ist wieder Polynom mit 140 Rationale Funktionen Definition Satz q : D R mit q(x) = p 1(x) p 2 (x) heißt Rationale Funktion. (mit p 1, p 2 ( 0) sind Polynome) Jedes Polynom ist auch rationale Funktione (z.b. p 2 (x) = c). Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (falls definiert) von rationalen Funktionen sind wieder rationale Funktionen Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit 141

70 Weitere Funktionen Potenzfunktion f : R + R + mit f(x) = x a, (a R) heißt Potenzfunktion. f ist streng monoton wachsend für a > 0 und streng monoton fallend für a < 0. Für a 0 existiert eine inverse Funktion f 1 zu f Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion f : R R + mit f(x) = a x, (a > 0, a 1) heißt Exponentialfunktion zur Basis a. g : R + R mit g(y) = log a (y), (a > 0, a 1) heißt Logarithmusfunktion zur Basis a mit g = f 1. Satz: f, g wachsen streng monoton für a > 1 und fallen streng monoton für a < Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit 142 Grenzwert einer Funktion Ausgangssituation Gegeben: Funktion f : D R mit D R n Grenzwert von f aufbauend auf Konvergenz von Zahlenfolgen Dazu betrachte: Alle Folgen a m = ( a m 1,..., ) T am n D mit Grenzwert a R n, also a m a für m Untersuche Grenzwerte lim f a m a (am ). Definition des Grenzwerts einer Funktion f heißt an der Stelle a R n (die nicht notwendig zu D gehören muss) konvergent gegen f R, wenn a) mindestens eine Folge (a m ) mit a m D, a m a und a m a existiert ( d.h. a ist kein isolierter Punkt ) b) für alle Folgen (a m ) mit a m D und a m a 0 gilt f(a m ) f. f heißt dann Grenzwert von f(a m ) Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit Schreibweise für alle gegen a konvergierende Folgen (a m ): lim a m a f ( a m) = f oder kurz lim x a f(x) = f 143

71 Begriff der Stetigkeit Gegeben Funktion f : D R mit D R n Definition Satz f heißt stetig in x 0 lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) f heißt stetig in T D f ist für alle x T stetig Ist f für ein x D nicht stetig, so heißt x Unstetigkeitsstelle oder Sprungstelle Für stetige Funktionen f, g gilt: f ± g, f g, f/g (g(x) 0) sind stetig f, f g, sind stetig Falls f auf einem Intervall definiert und invertierbar: f 1 stetig Alle elementaren Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit 144 Zwischenwertsatz Gegeben: f : [a, b] R stetig Dann gilt: f(a) < f(b) y [f(a), f(b)] x [a, b] mit f(x) = y f(b) f(x) 6.1. Grundbegriffe 6.2. Elementare Funktionen 6.3. Stetigkeit a b x f(a) 145

72 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 7 Differenzieren 1 Differentialquotient und Ableitung Änderungsrate und Elastizität Kurvendiskussion 8 Differenzieren 2 9 Integration 10 Differentialgleichungen Warum Differentialrechnung? Anwendungen Analyse und ökonomische Interpretation wirtschaftswissenschaftlicher Gesetzmäßigkeiten durch Untersuchung der Charakteristika von Funktionen Ermittlung von optimalen Lösungen betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme wie zum Beispiel Absatzmengenplanung, Loßgrößenplanung etc. Wesentliche Lernziele Verständnis des Differentialquotienten Fähigkeit, eine Funktion zu differenzieren Bestimmung und Interpretation von Änderungsraten und Elastizitäten Durchführung und Interpretation von Kurvendiskussionen 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 147

73 Preisbestimmung beim Angebotsmonopol Bekannt sind folgende Zusammenhänge: p(x) = c 1 c 2 x (Preis-Absatz-Funktion) K(x) = c 3 + c 4 x (Kostenfunktion) (mit c 1, c 2, c 3, c 4 R + Konstanten) Damit ergibt sich: Fragen: Umsatzfunktion: U(x) = c 1 x c 2 x 2 Gewinnfunktion: G(x) = U(x) K(x) = c 1 x c 2 x 2 (c 3 + c 4 x) Welche Menge/Welcher Preis ist Umsatz-/Gewinnmaximal? Welche Veränderung des Umsatzes ergibt sich bei einer Veränderung der Absatzmenge? 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 148 Differenzenquotient: Idee Tour de France: Anstieg nach L Alpe d Huez Länge des Anstiegs: 13,9 km Auf einer Höhe von 740 m beginnen die 21 Kehren Zielankunft liegt auf 1850 m Bestimmung von Steigungen: Höhendifferenz Distanz 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 149

74 Differenzenquotient Gegeben: Reelle Funktion f : D R mit D R Dann heißt der Ausdruck f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 Differenzenquotient (Steigung) von f im Intervall [x 1, x 2 ] D Alternative Schreibweise, dabei Ersetzen von x 2 durch x 1 + x 1 f (x 1 + x 1 ) f (x 1 ) x 1 = f (x 1) x 1 f(x 1 + x 1 ) f(x 1 ) f(x) B A }{{} x 1 x 1 x 1 + x 1 f(x 1 ) x 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 150 Differentialquotient Eine reelle Funktion f : D R mit D R heißt an der Stelle x 1 D differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(x 1 ) lim x 1 0 x 1 Ist f an der Stelle x 1 differenzierbar, heißt f(x 1 ) lim x 1 0 x 1 f(x 1 + x 1 ) f(x 1 ) = lim x 1 0 x 1 df = (x 1 ) = f (x 1 ) dx 1 Differentialquotient oder erste Ableitung von f an der Stelle x 1. f heißt in D differenzierbar, wenn f für alle x D differenzierbar ist. G. W. Leibniz ( ) I. Newton ( ) 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 151

75 Ableitungsregeln Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (soweit definiert) von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar. Summenregel: Produktregel: (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) (f g) (x) = f(x) g(x) + f(x) g (x) Daraus ergibt sich für eine Konstante c: (c f) (x) = c f (x) Quotientenregel: 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion Kettenregel: ( ) z (x) = z (x) n(x) z(x) n (x) n (n(x)) 2 (g f) (x) = [g (f(x))] = g (f(x)) f (x) 152 Ableitung elementarer Funktionen Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R. Dann gilt: f(x) f (x) 1 ln x x 1 log a x x ln a e x e x a x x b sin x cos x a x ln a bx b 1 cos x sin x 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 153

76 Ableitungen höherer Ordnung Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R Wenn der Differentialquotient f : D R in x D differenzierbar ist, dann heißt df (x) dx = d2 f(x) (dx) 2 = f (x) zweite Ableitung oder Differentialquotient zweiter Ordnung von f in x D. Analog für n = 2,3,...: ( ) d ( ) f (n 1) (x) = d d (n 1) f(x) = f (n) (x) dx dx (dx) (n 1) f (n) (x) bezeichnet dabei die n-te Ableitung von f in x D. f heißt n-mal stetig differenzierbar in D, wenn f in D stetig und in jedem Punkt x D n-mal differenzierbar ist 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 154 Definition Elastizität Voraussetzung: D R und f : D R ist differenzierbar. Dann heißt ρ f (x) = f (x) f(x) Änderungsrate von f und ɛ f (x) = f (x) f(x) x = f (x) x f(x) = ρ f (x) x 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion Elastizität von f. 155

77 Elastische versus unelastische Funktionen Definition Beispiel Für ɛ f (x) > 1 reagiert die relative Änderung von f(x) überproportional auf relative Änderungen von x, die Funktion f heißt im Punkt x elastisch. Für ɛ f (x) < 1 bezeichnen wir die Funktion f im Punkt x als unelastisch. f(x) = ae bx mit a, b 0 ρ f (x) = f (x) f(x) = abebx ae bx = b und ɛ f(x) = x ρ f (x) = bx Die Änderungsrate der Exponentialfunktion ist also konstant Die Elastizität wächst linear mit x Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 156 Steigung und erste Ableitung Gegeben: f : [a, b] R ist stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann gilt: f monoton wachsend in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f monoton fallend in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f konstant in [a, b] f (x) = 0 für alle x (a, b) f (x) > 0 für alle x (a, b) f streng monoton wachsend in [a, b] f (x) < 0 für alle x (a, b) f streng monoton fallend in [a, b] 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 157

78 Krümmung und zweite Ableitung Gegeben: f : [a, b] R ist stetig und zweimal differenzierbar auf (a, b). Dann gilt: f konvex in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f konkav in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f beschreibt eine Gerade in [a, b] f (x) = 0 für alle x (a, b) f (x) > 0 für alle x (a, b) f streng konvex in [a, b] f (x) < 0 für alle x (a, b) f streng konkav in [a, b] 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 158 Beispiel f : R R mit f(x) = xe x f (x) = e x xe x = (1 x)e x f(x) Damit: f (x) 0 für x 1 und f (x) 0 für x 1 f mon. wachsend für x 1 und f mon. fallend für x 1 f global maximal bei x = 1 f (x) = e x (1 x)e x = (x 2)e x f (x) 0 für x 2 und f (x) 0 für x 2 e 1 2e 2 3e x 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion f konvex für x 2 und f konkav für x 2 159

79 Charakteristische Punkte Definition Wendepunkt f(x) hat in x 0 (a, b) einen Wendepunkt wenn es ein r > 0 gibt mit f ist in [x 0 r, x 0 ] streng konvex und f ist in [x 0, x 0 + r] streng konkav und (oder umgekehrt) Definition Terrassenpunkt x 0 ist Terrassenpunkt wenn x 0 Wendepunkt ist und f (x) = Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 160 Extremumsbedingung Voraussetzung f zweimal stetig differenzierbar in (a, b) und f (x 0 ) = 0 mit (x 0 (a, b)) Dann gilt f (x 0 ) < 0 x 0 ist lokales Maximum von f f (x 0 ) > 0 x 0 ist lokales Minimum von f f (x) < 0 für alle x (a, b) x 0 ist globales Maximum von f f (x) > 0 für alle x (a, b) x 0 ist globales Minimum von f 7.1. Differentialquotient und Ableitung 7.2. Änderungsrate und Elastizität 7.3. Kurvendiskussion 162

80 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 8 Differenzieren 2 Partielle Ableitung Kurvendiskussion Optimierung mit Nebenbedingungen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 9 Integration 10 Differentialgleichungen Partielle Differenzierbarkeit Betrachtet werden Funktionen f : D R, D R n mit x = (x 1,..., x n ) f(x) = f(x 1,..., x n ) = z außerdem: i-ter Einheitsvektor e i = (0,...,0,1,0,...,0) und: x + h e i D mit h > 0 Definition f heißt im Punkt x partiell differenzierbar bei Existenz des Genzwerts: f(x + h e i ) f(x) lim h 0 h In diesem Fall heißt dieser Grenzwert f xi (x) die erste partielle Ableitung von f nach x i im Punkt x. Schreibweisen: 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen f i (x) = f xi (x) = f(x) x i 164

81 Partielle Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit auf D 1 D Gradient Die Funktion f : D R n R heißt in D 1 D partiell differenzierbar wenn f für alle x D 1 partiell differenzierbar ist Ist die Funktion f : D R n R im Punkt x nach allen Variablen x 1,..., x n differenzierbar, dann heißt grad f(x) = f(x) = f(x) x 1. f(x) x n 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen Gradient von f im Punkt x D 165 Tangentialhyperebenen Tangentialebene Gegeben: f : D R 2 R und ein Punkt x = ( x 1, x 2 ) Gesucht: Ebene, die f in x berührt Tangentialebene: T(x 1, x 2 ) = f(x) + f x 1 ( x) (x 1 x 1 ) + f x 2 ( x) (x 2 x 2 ) Tangentialhyperebene Gegeben: f : D R n R und ein Punkt x Gesucht: Ebene, die f in x berührt Tangentialhyperebene: 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen H(x) = f( x) + ( f( x)) T (x x) 166

82 Beispiel Tangential(hyper)ebene Gegeben: f : R 2 R mit f(x, y) = 4x 3 y 2 + 2y Gesucht: Tangentialebene im Punkt (1, 2, f(1, 2)) Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen Richtungsableitungen Voraussetzungen f : R n D R und ein Punkt x D mit stetig partiellen Ableitungen in D und ein Punkt x D und ein Richtungsvektor r D mit r = 1. Außerdem: Es existiert sowohl ein ɛ > 0 mit [x ɛr; x + ɛr] D als auch der Grenzwert Richtungsableitung Dann heißt f(x + t r) f(x) lim t 0 t x 2 r f(ˆx + r) ˆx + r f(x) f(ˆx) ˆx x Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen ( f(x)) T r Richtungsableitung von f an der Stelle x in Richtung r 168

83 Beispiel Tangential(hyper)ebene Gegeben: f : R 2 R mit f(x, y) = x e y + cos(xy) Gesucht: Ableitung im Punkt (2,0) in Richtung des Vektors ( ) Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen Höhere partielle Ableitungen Voraussetzungen Funktion f : D R, D R n in D nach allen Variablen x 1,..., x n partiell differenzierbar, auch partiell differenzierbar: alle partiellen Ableitungen f x1,..., f xn. Dann heißt f zweimal partiell nach allen Variablen differenzierbar. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung für i, j = 1,..., n: 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen f ij (x) = f xi x j (x) = x j ( ) f(x) = 2 f(x) x i x j x i Achtung: Zuerst nach x i, dann nach x j differenzieren 170

84 Satz von Schwarz Voraussetzungen f : R n D R ist zweimal stetig partiell differenzierbar in D 2. partielle Ableitungen: 2 f(x) x i x j mit i, j {1,..., n} Dann gilt für alle x D 2 f(x) = 2 f(x) x i x j x j x i Hermann Schwarz ( ) 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen 171 Hessematrix Gegeben Zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion f : R n D R Definition Die symmetrische Matrix H f (x) = ( 2 f x i x j ) = 2 f x 1 x 1 2 f x 2 x 1. 2 f x n x 1 2 f x 1 x 2 2 f x 1 x n 2 f x 2 x 2 2 f x 2 x n f x n x 2 2 f x n x n 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen heißt Hessematrix 172

85 Lokale Extrema und der Gradient Notwendige Bedingung für lokale Extrema Gegeben: Funktion f : R n D R stetig partiell nach allen Variablen differenzierbar f hat im Punkt x ein lokales Minimum oder Maximum Dann gilt: f( x) = Partielle Ableitung Beispiel f : R 2 R f(x, y) = sin 2 (x) cos(4y) Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen 173 Definitheitseigenschaften der Hessematrix Am Punkt x heißt die Hessematrix H f ( x) positiv definit, wenn x T H f ( x) x > 0, positiv semidefinit, wenn x T H f ( x) x 0, negativ definit, wenn x T H f ( x) x < 0, negativ semidefinit, wenn x T H f ( x) x 0 jeweils für alle x gilt. Andernfalls heißt H f ( x) indefinit Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen 174

86 Einfache Kriterien zu Definitheitseigenschaften Hauptunterdeterminanten Satz Gegeben: Symmetrische n n-matrix A Dann heißt a 11 a 1i det H i = det.. a i1 a ii die i-te Hauptunterdeterminante (i = 1,..., n) von A. Matrix A positiv definit det H i > 0 alle Eigenwerte von A sind positiv 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen Matrix A negativ definit ( 1) i det H i > 0 alle Eigenwerte von A sind negativ 175 Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Voraussetzungen Satz D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar Es gibt ein x, für das f( x) = 0 H f ( x) ist negativ definit x ist lokale Maximalstelle von f H f ( x) ist positiv definit x ist lokale Minimalstelle von f H f ( x) ist indefinit x ist keine lokale Extremalstelle von f H f (x) ist positiv definit für alle x D x ist einziges globales Minimum von f H f (x) ist negativ definit für alle x D x ist globales Maximum von f 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen 176

87 Konvexität und Konkavität Voraussetzungen D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar Satz H f (x) ist positiv definit für alle x D f ist streng konvex in D H f (x) ist negativ definit für alle x D f ist streng konkav in D H f (x) ist positiv semidefinit für alle x D f ist konvex in D H f (x) ist negativ semidefinit für alle x D f ist konkav in D 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen 177 Beispiel Problem Betrachte f : R 2 R mit f(x, y) = x 2 + 2y 2 Gesucht: Punkt in R 2 mit kleinstem Wert von f auf der Geraden 2y + x 3 = Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen 178

88 Allgemeines Problem Aufgabe Maximiere (oder minimiere) Funktion f : R n R in Abhängigkeit von x = (x 1,..., x n ), so dass die Nebenbedingungen g i (x) = 0 mit g i : R n R und i = 1,..., m erfüllt sind Kurz: f(x) max NB: g 1 (x) = 0. g m (x) = 0 (min) 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen 179 Der Ansatz von Lagrange Idee von Lagrange Gut wäre: Transformation des Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen in eines ohne NB. Im Optimum: Gradient der zu optimierenden Funktion und Gradient der NB sind parallel Lagrangefunktion Gegeben: Optimierungsproblem (O) mit f(x) max(min) unter den Nebenbedingungen g j (x) = 0 für j = 1,..., m Dazu wird definiert: Lagrangefunktion L : R n+m R 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen m L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = L(x, λ) = f(x) + λ j g j (x) j=1 180

89 Satz von Lagrange Voraussetzungen Dann gilt: f : R n D R, zweimal stetig partiell differenzierbar Optimierungsproblem (O) mit f(x) max (min) unter den Nebenbedingungen g j (x) = 0 für j = 1,..., m Hessematrix der Lagrangefunktion: ^H L (x, λ) = 2 L(x,λ) x 1 x 1. 2 L(x,λ) x n x 1 Eine Lösung ( x, λ) des Systems L(x, λ) = 0 2 L(x,λ) x 1 x n. 2 L(x,λ) x n x n 8.1. Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen ^H L ( x, λ) negativ definit x ist lokales Maximum von (O) ^H L ( x, λ) positiv definit x ist lokales Minimum von (O) ^H L (x, λ) negativ definit für alle x x ist globales Maximum von (O) ^H L (x, λ) positiv definit für alle x x ist globales Minimum von (O) 181 Variable Lagrange Multiplikatoren Voraussetzungen f : R n D R, zweimal stetig partiell differenzierbar Optimierungsproblem (O) mit f(x) max (min) unter den Nebenbedingungen g j (x) = 0 für j = 1,..., m Lagrangefunktion ^L(x) = f(x) + m λ(x)g j (x) j= Partielle Ableitung 8.2. Kurvendiskussion 8.3. Optimierung mit Nebenbedingungen Dann gilt: Ist x eine Maximalstelle bzw. Minimalstelle von ^L mit g j ( x) = 0 für alle j = 1,..., m dann ist x auch Maximalstelle bzw. Minimalstelle von (O) 182

90 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 9 Integration 9 Integration Unbestimmte Integrale Bestimmte Integrale Uneigentliche Integrale Mehrdimensionale Integrale 10 Differentialgleichungen Einleitung Umkehrung der Fragestellung der Differentialrechnung Jetzt gesucht: Funktion, deren Änderungsverhalten bekannt ist Beispiel: Bekannt: Geschwindigkeit eines Körpers in Abhängigkeit der Zeit Gesucht: Ort in Abhängigkeit der Zeit Gliederung 1 Unbestimmte Integrale 2 Riemannsche Summen und bestimmte Integrale 3 Uneigentliche Integrale 4 Anmerkungen zu mehrdimensionalen Integralen 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 184

91 Stammfunktion Eine differenzierbare Funktion F : D R mit D R heißt Stammfunktion der Funktion f : D R, wenn für alle x D gilt F (x) = f(x) Sind F, ^F beliebige Stammfunktionen von f, gilt für alle x D: ^F(x) F(x) = konstant Also: Hat man eine Stammfunktion F gefunden, gilt für alle anderen Stammfunktionen ^F(x) = F(x) + c 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 185 Unbestimmtes Integral Ist F : D R eine Stammfunktion von f : D R, so heißt f(x) dx = F (x) dx = F(x) + c für beliebiges c R das unbestimmte Integral der Funktion f. Weitere Bezeichnungen: x : Integrationsvariable f(x) : Integrand c : Integrationskonstante Unbestimmte Integration ist Umkehrung der Differentiation 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 186

92 Einige unbestimmte Integrale Sei f eine reelle Funktion und c R eine beliebige Konstante. Dann gilt: a) f(x) = a (a R) f(x) dx = ax + c b) f(x) = x n (n N, x R) f(x) dx = 1 n + 1 xn+1 + c f(x) = x m 1 (m = 2, 3,..., x 0) f(x) dx = m + 1 xm+1 + c f(x) = x r (r R, r 1, x > 0) f(x) dx = 1 r + 1 xr+1 + c c) f(x) = x 1 (x 0) f(x) dx = ln x + c d) f(x) = sin x (x R) f(x) dx = cos x + c f(x) = cos x (x R) f(x) dx = sin x + c e) f(x) = e x (x R) f(x) dx = e x + c f(x) = a x (a > 0, a 1, x R) f(x) dx = 1 ln a ax + c 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 187 Rechenregeln Summen und konstante Faktoren Für die reellen Funktionen f, g : D R, D R existiere das unbestimmte Integral. Dann gilt: a) b) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx af(x) dx = a f(x) dx für alle a R Partielle Integration Für zwei stetig differenzierbare Funktionen f, g : D R, D R gilt: f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 188

93 Rechenregeln Substitutionsregel Die Funktion f : D R, D R besitze eine Stammfunktion F und g : D 1 R, D 1 R, g(d 1 ) D sei stetig differenzierbar. Dann existiert die zusammengesetzte Funktion f g : D 1 R mit z = f(y) = f(g(x)) = (f g) (x) und es gilt mit y = g(x) f(g(x))g (x) dx = f(y) dy = F(y) + c = F(g(x)) + c = (F g) (x) + c 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale mit c R beliebig. 189 Riemannsche Summen Gegeben: Beschränkte und stetige Funktion f : [a, b] R mit a < b und f 0 Unterteilen von [a, b] in [a, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x i 1, x i ],..., [x n 1, b] mit a = x 0, b = x n In jedem Teilintervall: Wähle Maximum und Minimum: f(u i ) = min {f(x) : x [x i 1, x i ]} f(v i ) = max {f(x) : x [x i 1, x i ]}. und f(x) f(v i ) f(u i ) f 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale a = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4... x i 1 x i... b = x n x 190

94 Riemannsche Summen Untere und obere Grenze I n min I In max für Flächeninhalt unter Kurve mit: n I n min = n f(u i )(x i x i 1 ), I n max = f(v i )(x i x i 1 ) i=1 Jetzt: Verfeinerung der Unterteilung von [a, b] Folgen (I n min ) und (In max) Existieren für n die Grenzwerte der beiden Folgen und gilt für den wahren Flächeninhalt I unter der Kurve lim n In min = lim n In max = I dann heißt f Riemann-integrierbar im Intervall [a, b] Schreibweise: I = b a f(x) dx Bezeichnungen: I Bestimmtes Integral von f im Intervall [a, b] x Integrationsvariable f(x) Integrand a, b Integrationsrenzen i=1 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 191 Existenz von bestimmten Integralen Gegeben: Reelle Funktion f : [a, b] R. Dann gilt: a) f stetig in [a, b] b a f(x) dx existiert b) f monoton in [a, b] b Beispiele: Gesucht: +1 1 f i(x) dx für { 2 für x < 0 f 1 (x) = und 1 für x 0 f 2 (x) = x f 1 (x) 2 1 a f(x) dx existiert f 2 (x) 1 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 1 1 x 1 1 x 192

95 Sätze zu bestimmten Integralen Gegeben: Integrierbare Funktionen f, g : [a, b] R. Dann gilt: a) b a b cf(x) dx = c f(x) dx a b) f(x) g(x) für alle x [a, b] c) b a f(x) dx = c a f(x) dx + Definiert wird außerdem: b c für alle c R b a f(x) dx b a g(x) dx f(x) dx für alle c (a, b) 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale a a f(x) dx = 0, a b f(x) dx = b a f(x) dx 193 Zusammenhang bestimmtes und unbestimmtes Integral Zusammenhang Gegeben f : D R, D R eine in D stetige Funktion. Dann existiert eine Stammfunktion F von f mit F (x) = f(x) sowie das unbestimmte Integral f(x)dx = F(x) + c und das bestimmte Integral Unterschiede b a f(x) dx = F(b) F(a) 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale Bestimmtes Integral entspricht einer reellen Zahl Unbestimmtes Integral entspricht Schar von Funktionen 194

96 Integrationsregeln a) Für integrierbare Funktionen f, g : [a, b] R gilt die Additionsregel b a (f(x) + g(x)) dx = b a f(x) dx + b a g(x) dx. b) Für stetig differenzierbare Funktionen f, g : [a, b] R gilt die Regel der partiellen Integration b a f(x)g (x) dx = f(x)g(x) b a b a f (x)g(x) dx c) Ist f : [α, β] R integrierbar mit der Stammfunktion F und g : [a, b] R mit g[a, b] [α, β] stetig differenzierbar, so gilt die Substitutionsregel b a f(g(x)) g (x) dx = F(g(x)) b a = F(g(b)) F(g(a)) = g(b) g(a) f(y) dy. 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 195 Grenzen bei ± Die reelle Funktion f sei für alle x R definiert und integrierbar. Dann heißt der Grenzwert lim b b a f(x) dx, falls er existiert, das konvergente uneigentliche Integral von f im Intervall [a, ), und man schreibt b lim f(x) dx = f(x) dx. b a a Andernfalls spricht man von einem divergenten uneigentlichen Integral. Entsprechend definiert man das konvergente uneigentliche Integral von f im Intervall (, b], falls folgender Grenzwert existiert: Sind beide Integrale auch b b lim f(x) dx = f(x) dx a a a f(x) dx und f(x) dx = a a f(x) dx + f(x) dx konvergent, so existiert a f(x) dx. 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 196

97 Beliebige Grenzen Geg.: Reelle Funktion f : [a, b) R, die für alle x [a, b ɛ] mit ɛ (0, b a) integrierbar. Dann heißt Grenzwert lim f(x) dx (falls er ɛ 0 b ɛ a existiert) konvergentes uneigentliches Integral von f im Intervall [a, b]. Schreibweise: b ɛ b lim f(x) dx = f(x) dx. ɛ 0 a a Andernfalls: Divergentes uneigentliches Integral Analog für alle x [a + ɛ, b] mit ɛ (0, b a), konvergentes uneigentliches Integral von f in [a, b], mit b b lim f(x) dx = f(x) dx. ɛ 0 a+ɛ a Ist f in (a, b) definiert und sind für c (a, b) die uneigentlichen Integrale c a f(x) dx und b c f(x) dx konvergent, dann ist auch folgendes Integral konvergent: b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 197 Parameterintegral: Satz f(x 1, x 2 ) f(x 1, b 2 ) f(b 1, x 2 ) 0 F x 1 (b 2 ) F 2 (b 1 ) 2 b x 2 b 1 1 Ist die Funktion f : [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] R stetig, so ist auch F 1 : [a 2, b 2 ] R mit F 1 (x 2 ) = F 2 : [a 1, b 1 ] R mit F 2 (x 1 ) = b1 a 1 f(x 1, x 2 ) dx 1 und b2 a 2 f(x 1, x 2 ) dx 2 stetig. 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 198

98 Vertauschung: Intergration und Differentiation Gegeben: stetige Funktion f : [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] R und f ist nach beiden Variablen stetig partiell differenzierbar. Dann sind die Funktionen F 1, F 2 mit F 1 (x 2 ) = b1 a 1 f(x 1, x 2 ) dx 1 und F 2 (x 1 ) = stetig differenzierbar, und es gilt: df 1 = d dx 2 dx 2 df 2 = d dx 1 dx 1 b1 a 1 f(x 1, x 2 ) dx 1 = b2 a 2 f(x 1, x 2 ) dx 2 = b1 b2 a 2 f(x 1, x 2 ) dx 2 f(x 1, x 2 ) dx 1 a 1 x 2 b2 a 2 f(x 1, x 2 ) x 1 dx 2 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale Also: Differentiation und Integration können vertauscht werden. 199 Satz von Fubini Die stetige Funktion f : [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] R sei nach beiden Variablen stetig partiell differenzierbar. Dann gilt: b 2 a 2 b 1 a 1 f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = b 1 a 1 b 2 a 2 f(x 1, x 2 ) dx 2 dx 1 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 200

99 Interpretation über Riemannsche Summen Existieren die Grenzwerte der unteren und oberen Schranke von I analog dem eindimensionalen Fall für n und sind sie identisch, so heißt die Funktion f : [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] R in ihrem Definitionsbereich integrierbar. Ist f stetig und stetig partiell differenzierbar, so gilt I = b 2 a 2 b 1 a 1 f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 = b 1 a 1 b 2 a 2 f(x 1, x 2 ) dx 2 dx 1. Man bezeichnet das Doppelintegral I als das bestimmte Integral von f im Bereich [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], ferner x 1, x 2 als Integrationsvariable, f(x 1, x 2 ) als Integrand und a 1, b 1, a 2, b 2 als Integrationsgrenzen 1. Unbestimmte Integrale 2. Bestimmte Integrale 3. Uneigentliche Integrale 4. Mehrdimensionale Integrale 201 : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen und Reihen 5 Finanzmathematik 6 Reelle Funktionen 7 Differenzieren 1 8 Differenzieren 2 10 Differentialgleichungen Einführung Grundlegende Begriffe Qualitative Analyse von Systemen Beispiele für analytisch lösbare DGL Lineare Differentialgleichungen 9 Integration 10 Differentialgleichungen

100 Weltkarte PLUS Einführung Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen Grundlegende Begriffe Qualitative Analyse von Systemen Beispiele für analytisch lösbare DGL Lineare DGl 203 Kartenanamorphose der Bevölkerungsverteilung PLUS Quelle: worldmapper.com Einführung Ein makroökonomisches Modell Analyse von Differentialgleichungen Grundlegende Begriffe Qualitative Analyse von Systemen Beispiele für analytisch lösbare DGL Lineare DGl 204

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