Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den

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1 Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den Anfangsunterricht V3 02./ Natürliche Zahlen im Anfangsunterricht V4 09./ Die Grundrechenoperationen Addition und Subtraktion V5 16./ Die Grundrechenoperationen Multiplikation und Division V6 23./ Rechengesetze und Rechenstrategien V / Rechenfakten automatisieren V8 06./ Natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften V9 20./ Schriftliche Rechenverfahren V10 27./ Rechenschwäche und Rechenbegabung V11 04./ Aufgabenformate und Übungsangebote V12 11./ Zusammenfassung und Überblick V Klausur 1

2 Programm 1 Rechengesetze und Rechenregeln beim Addieren und Subtrahieren 2 Rechenstrategien für das Addieren und Subtrahieren 2.1 Rechenstrategien beim Rechnen bis Rechenstrategien beim halbschriftlichen Rechnen 2.3 Formen der Notation beim halbschriftlichen Rechnen 2

3 1 Rechengesetze Kommutativität der Addition (Summanden kann man vertauschen - Vertauschungsgesetz): Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt: a + b = b + a Repräsentation am Zahlenstrahl 3

4 Assoziativität der Addition (Summanden kann man beliebig zusammenfassen - Verbindungsgesetz): Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: a + (b + c) = (a + b) + c 4

5 In einer Summe darf man Klammern beliebig setzen. Repräsentation am Kardinalzahlmodell Die Repräsentantenmengen der drei natürlichen Zahlen können in beliebiger Reihenfolge miteinander vereinigt werden. Die Terme 4+(3+5) und (4+3) + 5 sind also gleich, weil zu ihnen dieselbe Kardinalzahl gehört. 5

6 Das Assoziativgesetz wird z. B. beim Rechnen in Schritten angewendet z.b. bei der Strategie Zehnerübergang = = = 12 oder beim schrittweisen Rechnen mit mehrstelligen Zahlen =

7 Die Subtrakion in N ist nicht assoziativ (8-5)-2 = 3-2 = 1 8-(5-2) = 8-3 = 5 Bei Subtraktionen ist die Reihenfolge, die durch Klammern vorgegeben wird, stets einzuhalten, bzw. es sind die Differenzen schrittweise von links nach rechts zu berechnen. 7

8 Monotoniegesetz Monotoniegesetz bezüglich der Kleinerrelation Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Wenn a < b, dann ist a+c < b+c. Vergleiche 24 und 46. Vergleiche und Warum musst du die Summen nicht errechnen, um vergleichen zu können? 8

9 Monotoniegesetz bezüglich der Gleichheitsrelation Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: Wenn a = b, dann ist a+c = b+c. Das Monotoniegesetz rechtfertigt das in der Grundschule häufig genutzte Prinzip des Zurückführens auf bekannte Aufgaben. 6+2=8; 16+2=18; 26+2=28 9

10 Die Monotoniegesetze bezüglich der Gleichheits- und Kleinerrelation gelten auch für die Subtraktion in N mit den notwendigen Einschränkungen für den Zahlbereich. Für alle natürlichen Zahlen a, b, c mit a c und b c gilt: Wenn a = b ist, so ist a-c = b-c. Wenn a < b ist, so ist a-c < b-c. 10

11 Konstanzgesetze Konstanz der Summe 3+8=11, 2+9=11, 10+1=11 Wann bleibt eine Summe gleich? gegensinniges Verändern der Summanden Konstanz der Differenz 11-4=7,10-3=7, 12-5=7 Wann bleibt eine Differenz gleich? gleichsinniges Verändern von Minuend und Subtrahend 11

12 Eigenschaften von Operationen kann man auch mit Hilfe von Verknüpfungstafeln verdeutlichen. So zeigt sich die Kommutativität der Addition in N in der Symmetrie der Tafel bezüglich der eingezeichneten Hauptdiagonalen. Deutlich wird auch, dass Null das neutrale Element bezüglich der Addition in N ist, s. Vergleich der Eingangsspalte mit der 1. Spalte. Für alle natürlichen Zahlen a gilt: a+0=a 0+a=a Ersichtlich ist auch: Für alle natürlichen Zahlen a und b gilt: Wenn a+b=0, so ist a=0 und b=0. 12

13 In der Subtraktionstafel bleiben Felder leer. Die Subtraktion in N ist nicht stets ausführbar. Die Ergebnisse sind nicht symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Die Subtraktion in N ist also nicht kommutativ. Differenzen a-b und b-a existieren nur, wenn a=b ist. In jedem Feld der Hauptdiagonalen steht die Zahl 0. Stets gilt a-a=0. 13

14 2 Rechenstrategien Anwenden der Rechengesetze Quellen: - Padberg (2005) - Radatz/Schipper; Wittmann/Müller - Strategien der Kinder 14

15 2.1 Rechenstrategien beim Rechnen bis Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Monotoniegesetz, Konstanzgesetze Aufgaben im ersten Zehner: 5+3, 6-4, 9-8, 1+7, 15

16 Welche Rechengesetze werden genutzt? ; 8+3+3; 6+4+4; ; ; 8+5+1; ; 7+3+3; 6+6+1; 7+7-1; =6 dann ist 12+4=16; , 10+6= ; ; ; ; 8+?=12; ; 8+4=12 dann ist 12-8=4 16

17 Bezeichnungen für Rechenstrategien in didaktischer Literatur beim Rechnen bis 20 Zählstrategien Zehnerergänzung Kraft der Fünf Verdoppeln Nutzen von (leichteren) Nachbaraufgaben Nutzen von Tauschaufgaben Nutzen von Analogien Ergänzen vom Subtrahenden zum Minuenden 17

18 Strategien für den Zehnerübergang Zehnerergänzung (10 als Zwischenergebnis) 8+5= = Zehnerübergang mit Hilfe des Verdoppelns bzw. Halbierens 8+8=16; 8+9=17 (16+1) 16-8=8; 16-9= 7 ältere Empfehlung: gleitendes Überschreiten (Addieren/Subtrahieren von 2 bzw. 3) 7+2, 8+2, , 10-2,

19 2.2 Rechenstrategien beim halbschriftlichen Rechnen Aufgabentypen Kl. 1 Rechnen bis 20 z.b. 12+5; 18+2 Kl. 2 Rechnen bis 100 z.b. 50+7; 54+3; 54+6; 54+8; Schwerpunkt 54+20; 54+23; 54+26; Kl. 3 Rechnen bis 1000 z.b ; ; ; ;... 19

20 (Quelle: Padberg 2005, S. 167 ff.) 1 Schrittweises Rechnen 2 Stellenweises Rechnen 3 Hilfsaufgabe 4 Vereinfachen 5 Ergänzen (Subtraktion) s. auch: Wittmann/Müller Handbuch prod. Rechenübungen I; Radatz/Schipper u. a. Handbuch 2. Kl. 20

21 stellenweise ( Zehner extra, Einer extra ; Stellenwerte extra ) Rechenglieder werden nach ihren Stellenwerten zerlegt schrittweise: ein Rechenglied wird zerlegt Hilfsaufgabe durch Auf- oder Abrunden eines Summanden durch Nutzen von Analogien Aufgabe vereinfachen Konstanzgesetze nutzen Ergänzen (gilt nur für die Subtraktion) Wenn Minuend und Subtrahend nahe beieinander liegen, ist es oft sinnvoll vom Subtrahenden zum Minuenden zu ergänzen. 21

22 Rechenbeispiele =70 6+7= = = = =17 4+3=7 stellenweise Hilfsaufgabe = =83 schrittweise = =83 Aufgabe vereinfachen Ergänzen 86+8=94 22

23 Problematisch wird die Strategie stellenweise für die Subtraktion =70 6+7= =40 3-7? 70+13= = = =36 Mischung aus stellenweise und schrittweise 23

24 Ordnen Sie die Additions- und Subtraktionsstrategien (1-5) für: 36+29; zu. 24

25 Subtraktionsstrategien Kl. 3? Alternativen Wittmann/Müller:Handbuch prod. Rechenübungen. Bd. 2 25

26 2.3 Formen der Notation beim halbschriftlichen Rechnen a. Teilrechnungen und Zwischenergebnisse notieren 38+45= 38+45= 38+45= 38+40= = = = = = = =83 schrittweise stellenweise Aufgabe vereinfachen 26

27 andere Variante: Teilrechnungen unten, Zwischenergebnisse rechts (s. auch Folie 25) 27

28 andere Variante: Operatorschreibweise Der zweite Summand bekommt eine spezielle Funktion er wird zum Operator. Nachteil: nur für die Strategie schrittweise geeignet 28

29 b. nur Zwischenergebnisse 38+45=70+13= =78+ 5= =40+43= =33+50=83 c. nur Teilrechnungen (z.b.: Matheprofis ) 38+45= 38+45= 38+45=

30 Notation einer Schülerin Kl. 3 Beispiel aus einer Examensarbeit 30

31 Zu bedenken: Durch eine für alle Schüler gleiche (ausführliche) Form des Mitschreibens von Zwischenrechnungen und Teilergebnissen besteht die Gefahr, dass die Flexibilität des Rechnens zu kurz kommt. Der Blick auf die Zahlen, die zu verknüpfen sind, unterbleibt häufig. Vorteilhafte Rechenstrategien werden kaum verwendet. Die Prozedur des Notierens ist hierfür zu kompliziert. 31

32 Fazit Für die Kinder das Mitschreiben nach eigenen Möglichkeiten gestatten (Das Mitschreiben lockerer halten. ) Zu Notizen unter der Aufgabe anregen. Diese Notizen sind schülerabhängig und unterliegen nicht der Wertung. Vorstellbar: Zwischenergebnis(se) notieren = = , 13 Evtl. für schwache Schüler den Weg unter der Aufgabe notieren lassen wie in Matheprofis : = 83 oder = Kinder mit Rechenstörungen sollten die Zahlen untereinander schreiben dürfen. Sie haben dadurch eine bessere Orientierung bezüglich der Stellenwerte Ziel ist eigentlich die Erweiterung des Kopfrechnens, also das Mitschreiben sollte im Verlauf der Übungszeit entbehrt werden können (Ausnahme: Schüler/innen mit Rechendefiziten). 32

33 Problembereiche des halbschriftlichen Rechnens Gefahr der Normierung der Verfahren individuelle Wege unterstützen (Strategiekonferenzen, Nutzen von Zahlbeziehungen und Zusammenhängen) Die schwierigsten Aufgabentypen (ZE+/-ZE m Ü) sind für leistungsschwache (insbesondere für rechenschwache) Kinder in der Regel kaum zu meistern (vor allem bei der Subtraktion). Besonders sorgfältig aufbereiten (Veranschaulichung, Notation) bzw. auf eine Form des Ziffernrechnens verweisen. s. auch folgende Fallbeispiele vgl. Padberg (2005), S. 194 ff. 33

34 Sarah, Kl. 4 34

35 Sarah, Kl. 4 35

36 Marie, Kl ist 40, 40-5 (zählt) ist 35 und 35-2 ist ist 60 minus 6 ist 54, 54-1=53 36

37 Aufgabe zur Vorbereitung auf die Übung Woche vom Lösen Sie 4 Aufgaben, die man dem halbschriftlichen Addieren und Subtrahieren zuordnen kann, mit verschiedenen Rechenstrategien. Ordnen Sie Rechengesetze zu, die dabei zur Anwendung kommen. 37

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