Dichte besitzt Messing bei einer Temperatur von 35 C? (1 cm³ Messing vergrößert seinen Rauminhalt beim Erwärmen um 1 K um 0, cm³).

Transkript

1 Aufaben Länen- und oluenausdehnun 0. Mit eine tahlaßband, das für eine Teperatur von 0 eeicht ist, wird bei einer Teperatur von 5 die Läne der eite eines Gartens eessen. Welche Aussae ist richti? a) Die Läne wird zu klein bestit. b) Die Läne wird exakt eessen. c) Die Läne wird zu roß bestit. 68. in chied will einen stählernen Reifen auf ein Rad aufziehen. Der Durchesser des Rades beträt 0,74, der innere Durchesser des Reifens aber nur 0,75. Die Teperatur der Uebun beträt 5. Auf welche Teperatur uss der chied den Reifen erwären, dait er ihn ühelos auf das Rad aufziehen kann? (Mühelos heißt, der innere Durchesser des Reifens hat die leiche Größe wie das Rad) 0. in Zinkstab hat einen Querschnitt von,5 c. Ih wird Wäre vo Betra 0 kj zueführt. Berechnen ie die Länenänderun des tabes. 00. in Bietallstreifen besteht aus je eine dicken Messin- und streifen. Bei 0 ist der treifen erade. Welchen rüunsradius R hat dieser Boen, wenn der Bietallstreifen auf 400 erwärt wird? α 9 0, α 0 4. Das tahlehäuse (α *0-6 -) eines Transforators vo Leervoluen 00 l (bei 0 ) ist it Öl (γ Ö 0, ) efüllt. Der darin befindliche Transforator besteht in der Hauptsache aus 500 k ( 7,75 c -, α *0-6 - ) und 500 k upfer ( 8,9 c -, α 4*0-6 - ). Wie viel Öl fließt bei der Betriebsteperatur von 60 in das Ausleichsefäß über? 7. Bei einer Rauteperatur von 8 beträt die Dichte von Messin 8, /c³. Welche Dichte besitzt Messin bei einer Teperatur von 5? ( c³ Messin verrößert seinen Rauinhalt bei rwären u u 0, c³). 0. Die toßfue zwischen den 0 lanen und 0 c dicken Betonplatten einer traße ist it Teer auseossen. Bei 5 sind die Fuen 0 breit. Wie viel Teer quillt je 0 c Fuenläne heraus, wenn sich die Platten i oer auf 50 erwären? 5 ( α 0, γ 55 0 ) Beton Teer 4. Wasser hat bei 0 eine Dichte von 0,998 /c³ und bei 00 eine von 0,9585/c³. Wie roß ist der ittlere oluenausdehnunskoeffizient für diesen Teperaturbereich?

2 Lösunen 0. c) Die Läne wird zu roß bestit. Bei der Teperatur von 5 zieht sich das tahlessband etwas zusaen, der Garten nicht! Dait werden die Abstände zwischen den Markierunen kleiner und auf die leiche Läne des Gartens ehen ehr Markierunen. 68. e.: Lösun: Antwort: d R 0,74 es.: d 0,75 i ϑ 5 Der Reifen uss so stark erwärt werden, dass sein Durchesser ebenfalls 0,74 roß ist. Der Reifen kann als ein eboener tab betrachtet werden. Die Läne dieses tabes ist der Ufan des Reifens.. Aus de Durchesser wird der Durchesser des Rades und des Reifens berechnet: u π d u R,5 ui,0 Der Ufan des Rades ist u 0,05 rößer als der Ufan des Reifens. Also uss der Reifen so weit erwärt werden, dass er 0,05 läner wird.. Berechnun der Teperaturänderun: Die Läne l entspricht de Ufan des Reifens. l l α T l T l α 0,05 T,0, 0 5 T 590 Der Reifen uss also u 590 erwärt werden. Da seine Anfansteperatur bereits 5 betru, ist die ndteperatur 605 roß. Der Reifen uss auf 605 erwärt werden. ϑ

3 0. e.: Lösun: Antwort: A,5 c² es.: l Q 0 0 α,6 0 5 c 9J k 7, 0 J k c Auf den ersten Blick scheint es so, als wenn die Aufabe nicht lösbar ist. U eine Länenänderun zu berechnen, üsste wenistens die Läne des tabes eeben sein. s zeit sich aber, dass die Länenänderun unabhäni von der Ausansläne ist. Die Wäre verteilt sich auf den esaten tab. in kurzer tab wird seine Teperatur ehr erhöhen als ein laner tab. Da die Länenänderun aber von der Läne des tabes und der Teperaturänderun abhänt, ist a nde die Läne des tabes nicht wichti, sie kürzt sich bei der Berechnun raus. Alleein ilt: l α l T Weiterhin: A l l A und: Q c T Q T c Das wird einesetzt: Q l α A c Masse und oluen sind unbekannt. Aber es ist die Dichte bekannt: Dait wird dann: Q l α A c α Q l A c Dait stehen auf der rechten eite nur noch eebene Größen und die Länenänderun kann berechnet werden. Die Läne des tabes ändert sich u 0,58 c.

4 00. e.: Lösun: α d 0 es.: R 9 0 α 0 Wenn sich der Bietallstreifen krüt, ist der rüunswinkel bei beiden Metallstreifen leich. s werden die unteren anten der treifen betrachtet. Die Radien bei eboenen Bietall sind dann für : R R und für Messin: R R + d Der Zentriwinkel α ist der Quotient von Boenläne und Radius (Definition des Boenaßes. Dait wird: l l α R R + d Die Länen der Mittelstreifen lassen sich aus der ursprünlichen Läne und der Teperaturerhöhun berechnen: l l 0 ( + α ϑ) In die obere Gleichun einesetzt eribt das: l 0 ( + α ϑ) R l + α ϑ R + d 0 ( ) ( + α ϑ) R ( + α ϑ) R + d In dieser Gleichun steht nur noch der rüunsradius R als unbekannte Größe, so dass danach uestellt werden uss:

5 R + R α R + R α R α R ( + α ϑ) ( + α ϑ) + d ( + α ϑ) ( R + d) ( + α ϑ) R α ϑ + d + α ( α ϑ + α ϑ ) d( + α ϑ ) ϑ + ϑ + d + α ϑ R R α R α d R ϑ 0 R 400 ( + α ϑ ) ( + α ϑ ) ( α α ) ( ) ( ) R 0,7 Antwort: Der Bietallstreifen hat einen rüunsradius von 0,7. R R ϑ d α ϑ d R + R α d ϑ ϑ ϑ + α R ϑ d d ϑ

6 4. e.: Lösun: α γ α α Ö 0 00l ϑ 0 ϑ 60 9, k 7,75 8,9 c 0 500k c es.: Das Öl i Trafoehäuse dient der ühlun. s leitet keinen tro und lässt das nicht rosten. Wird der Trafo betrieben, erwärt sich die esate Anlae und dehnt sich aus. Berücksichtit werden uss, dass jedes Material einen anderen Ausdehnunskoeffizienten hat, sich also unterschiedlich stark ausdehnt. Das Öl verrößert bei rwärun sein oluen und würde überlaufen. Zu dieser oluenverrößerun uss die oluenverrößerun des upfers und des s addiert werden. Da das tahlehäuse ebenfalls rößer wird, uss dessen oluenverrößerun wieder abezoen werden.. Wie viel Öl ist i Gehäuse? Wäre das Gehäuse leer, würden sich darin 00 l Öl befinden. Der Trafo aus und upfer nit aber ebenfalls Rau ein. Also uss dieses oluen zuerst berechnet werden. 500k k ,065 64,5l 56l

7 Dait befinden sich i Trafoehäuse 00 l 64,5 l 56 l 79,5 l. U wie viel dehnt sich das Öl sowie upfer und aus? T γ Ö Ö Ö Ö 79,5l 40 9,6 0 6,9l 0,09l Ö 4 0,094l Der Inhalt i Trafoehäuse dehnt sich insesat 7,09 l aus.. U wie viel wird das tahlehäuse rößer? Will an die oluenverrößerun eines Hohlkörpers berechnen, kann an annehen, dass an es it eine ollkörper zu tun hat. Bei beiden ist die oluenänderun leich. Der oluenausdehnunskoeffizient ist der fache lineare Ausdehnunskoeffizient. T α 00l ,4l 4. Wie viel läuft nun aus? Die Ausdehnun des tahlehäuses uss von de bei. berechneten oluen abezoen werden. Dait erhält an einen Überlauf von 6,66 l. Antwort: Bei einer Betriebsteperatur von 60 laufen 6,66 l Öl in das Ausleichsefäß.

8 7. e.: Lösun: Antwort: ϑ 8 ϑ 5 es.: 8, c 5 γ 5,7 0 Die neue Dichte ist die Masse, die sich bei der Abkühlun nicht ändert, durch das neue oluen, das sich bei der Abkühlun verkleinert. + + γ T (+ γ T) (+ γ T) 8, 5 c ( 5, , c Die neue Dichte beträt 8, /c³.

9 0. e.: Lösun: α Beton γ Teer ϑ ϑ 5 50 b c l d 0 c 5 es.: Teer f 0 c Wenn sich die Betonplatten ausdehnen, wird der Zwischenrau zwischen den Platten kleiner. Dadurch quillt Teer heraus. Aber auch der Teer dehnt sich bei rwärun aus, so dass dadurch die Mene des austretenden Teers noch rößer wird.. U welches oluen verkleinert sich der Zwischenrau? * oluen bei 5 b d f c 0 c 0 c 00 c * oluen bei 50 Durch die rwärun dehnen sich die Platten aus. Dabei wird nur die Länenausdehnun berücksichtit und die Höhen- und Breitenausdehnun vernachlässit, da sie so klein sind, dass sie keine Rolle spielen. Läne der Betonplatte bei 50 l l + α ϑ 0 l 0 ( ) Beton ( ) l 0,0054 Die Platte wird u 0,54 c läner und denach die Fue u diesen Wert kleiner. Die neue Fuenbreite beträt 0,46 c. (Hinweis: die Fue wird von zwei Platten ebildet, die sich beide Ausdehnen. Trotzde uss nur die Ausdehnun einer Platte berücksichtit werden, da sich die Platte ja nach beiden eiten ausdehnt. Die berechnete erkleinerun kot eientlich durch die Ausdehnun von Platten u den halben Betra zustande) b d f 0,46 c 0 c 0 c 9c Durch die rwärun der Betonplatten verkleinert sich das oluen u 08 c³.

10 . U welches oluen dehnt sich der Teer aus? Das Anfansvoluen entspricht de oluen der Fue bei 5, also 00c³. + γ ϑ 00 c ( ) 5 ( ) 05 c³ Der Teer dehnt sich u 5 c³ aus. Dait ereben sich insesat c³ Teer, der aus der Fue austritt. Bei der Abkühlun eht der Teer dann wieder in die Fue hinein. Antwort: s treten c³ Teer aus.

11 4 e.: Lösun: ϑ 0 es.: γ 0,998 c ϑ 00 0,9585 c s ilt anz alleein: 0 γ T und nach der esuchten Größe uestellt: γ 0 T Die Teperaturänderun ist it 80 bekannt. Über die oluenänderun und das Ausansvoluen üssen noch Aussaen eacht werden. Die Dichte hänt it de oluen über zusaen. Dait ist das Anfansvoluen 0 Das brint uns scheinbar noch nicht weiter, da zwar die Anfansdichte bekannt, aber die Masse unbekannt sind. Die Masse kann an aber als konstant betrachten. Wenn eine bestite Wasserene von 0 auf 00 erwärt wird, ändert sich die Dichte i aneebenen Maß, die Masse bleibt dabei konstant. Die oluenänderun ist das ndvoluen inus das Anfansvoluen, also oder it Masse und Dichte Das könnte an nun in die Gleichun zur Berechnun der esuchten Größe einsetzten, foren es aber vorher noch so u, dass die Masse alleine steht. icher kann an sie dann kürzen. Also: rweitern: und zusaenfassen, da die Brüche jetzt leichnai sind: Den Zähler kann an weiter vereinfachen: ( )

12 Das setzt an nun in die Gleichun für den oluenausdehnunskoeffizienten ein: ( ) γ T in Doppelbruch! Man kann den Zähler aber auch it de ehrwert des Nenner ultiplizieren und dann sieht es leich viel freundlicher aus: ( ) γ T Wie an sieht, kürzt sich die Masse raus. ( ) γ T ( ) γ T Nun einsetzten und rechnen: 0,998 0,9585 c c γ 0, c 4 γ 5, 0 Antwort: Der oluenausdehnunskoeffizient ist 5, 0 4.