Tropische Kurven zählen. Enumerative Geometrie. Alg. Geometrie. Beispiel Strategie. Geometrie. Kurven Multiplizität Correspondence Theorem Ergebnisse

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1 Alg.

2 Ebene e Hannah Markwig Technische Universität Kaiserslautern 6. Juli 2006 Alg.

3 Inhalt 1 () 2 3 Der Algorithmus zum Zählen ebener 4 Der Algorithmus Alg.

4 Algebraische Geometrische Objekte sind Nullstellengebilde von Polynomen. : das Nullstellengebilde des Polynoms x 2 y ist die Parabel: y x Alg.

5 Algebraische Wir wollen geometrische Eigenschaften des Objekts algebraisch erfassen. : der Grad des Polynoms ist ein Maß für die Gebogenheit der Kurve. Wir wollen einen algebraisch abgeschlossenen Körper, daher arbeiten wir über C. Alg.

6 Man gibt sich geometrische Objekte vor (), fordert, daß sie bestimmte Bedingungen erfüllen (zum Grad d haben, durch bestimmte Punkte gehen...), und zählt, wie viele Objekte die Bedingungen erfüllen. Die Bedingungen müssen so gewählt sein, daß tatsächlich eine endliche Zahl dabei herauskommt. Alg.

7 : Die Zahl der Geraden durch 2 gegebene Punkte ist 1. Alg. (Wenn die Punkte verschieden sind - man muß die Bedingungen in allgemeiner Lage vorgeben.) Hier zählen wir nur ebene, daher brauchen wir Polynome in 2 Veränderlichen (beziehungsweise homogene Polynome in 3 Veränderlichen).

8 # Koniken durch 5 Punkte Eine Konik ist gegeben durch ein Polynom vom Grad 2: f(x, y) = a 1 x 2 + a 2 xy + a 3 y 2 + a 4 x + a 5 y + a 6 Die Konik geht durch den Punkt (p 1, p 2 ) (p 1, p 2 ) liegt im Nullstellengebilde von f f(p 1, p 2 ) = 0 a 1 p a 2 p 1 p 2 + a 3 p a 4 p 1 + a 5 p 2 + a 6 = 0 dies ist eine lineare Gleichung in den a i! Alg.

9 # Koniken durch 5 Punkte Eine Konik ist gegeben durch ein Polynom vom Grad 2: f(x, y) = a 1 x 2 + a 2 xy + a 3 y 2 + a 4 x + a 5 y + a 6 Die Konik geht durch den Punkt (p 1, p 2 ) (p 1, p 2 ) liegt im Nullstellengebilde von f f(p 1, p 2 ) = 0 a 1 p a 2 p 1 p 2 + a 3 p a 4 p 1 + a 5 p 2 + a 6 = 0 dies ist eine lineare Gleichung in den a i! Alg.

10 # Koniken durch 5 Punkte Eine Konik ist gegeben durch ein Polynom vom Grad 2: f(x, y) = a 1 x 2 + a 2 xy + a 3 y 2 + a 4 x + a 5 y + a 6 Die Konik geht durch den Punkt (p 1, p 2 ) (p 1, p 2 ) liegt im Nullstellengebilde von f f(p 1, p 2 ) = 0 a 1 p a 2 p 1 p 2 + a 3 p a 4 p 1 + a 5 p 2 + a 6 = 0 dies ist eine lineare Gleichung in den a i! Alg.

11 # Koniken durch 5 Punkte Eine Konik ist gegeben durch ein Polynom vom Grad 2: f(x, y) = a 1 x 2 + a 2 xy + a 3 y 2 + a 4 x + a 5 y + a 6 Die Konik geht durch den Punkt (p 1, p 2 ) (p 1, p 2 ) liegt im Nullstellengebilde von f f(p 1, p 2 ) = 0 a 1 p a 2 p 1 p 2 + a 3 p a 4 p 1 + a 5 p 2 + a 6 = 0 dies ist eine lineare Gleichung in den a i! Alg.

12 # Koniken durch 5 Punkte Eine Konik ist gegeben durch ein Polynom vom Grad 2: f(x, y) = a 1 x 2 + a 2 xy + a 3 y 2 + a 4 x + a 5 y + a 6 Die Konik geht durch den Punkt (p 1, p 2 ) (p 1, p 2 ) liegt im Nullstellengebilde von f f(p 1, p 2 ) = 0 a 1 p a 2 p 1 p 2 + a 3 p a 4 p 1 + a 5 p 2 + a 6 = 0 dies ist eine lineare Gleichung in den a i! Alg.

13 # Koniken durch 5 Punkte Eine Konik ist gegeben durch ein Polynom vom Grad 2: f(x, y) = a 1 x 2 + a 2 xy + a 3 y 2 + a 4 x + a 5 y + a 6 Die Konik geht durch den Punkt (p 1, p 2 ) (p 1, p 2 ) liegt im Nullstellengebilde von f f(p 1, p 2 ) = 0 a 1 p a 2 p 1 p 2 + a 3 p a 4 p 1 + a 5 p 2 + a 6 = 0 dies ist eine lineare Gleichung in den a i! Alg.

14 zum Zählen Finde einen Modulraum, der die Objekte parametrisiert. Die Objekte, die eine Bedingung erfüllen, bilden einen Unterraum. Schneide die Unterräume und zähle die Punkte im Schnitt. Finde Algorithmen zum Zählen der Punkte im Schnitt. Man braucht einen kompakten Modulraum, der Rand ist gesondert zu behandeln. Alg.

15 zum Zählen Finde einen Modulraum, der die Objekte parametrisiert. Die Objekte, die eine Bedingung erfüllen, bilden einen Unterraum. Schneide die Unterräume und zähle die Punkte im Schnitt. Finde Algorithmen zum Zählen der Punkte im Schnitt. Man braucht einen kompakten Modulraum, der Rand ist gesondert zu behandeln. Alg.

16 zum Zählen Finde einen Modulraum, der die Objekte parametrisiert. Die Objekte, die eine Bedingung erfüllen, bilden einen Unterraum. Schneide die Unterräume und zähle die Punkte im Schnitt. Finde Algorithmen zum Zählen der Punkte im Schnitt. Man braucht einen kompakten Modulraum, der Rand ist gesondert zu behandeln. Alg.

17 zum Zählen Finde einen Modulraum, der die Objekte parametrisiert. Die Objekte, die eine Bedingung erfüllen, bilden einen Unterraum. Schneide die Unterräume und zähle die Punkte im Schnitt. Finde Algorithmen zum Zählen der Punkte im Schnitt. Man braucht einen kompakten Modulraum, der Rand ist gesondert zu behandeln. Alg.

18 zum Zählen Finde einen Modulraum, der die Objekte parametrisiert. Die Objekte, die eine Bedingung erfüllen, bilden einen Unterraum. Schneide die Unterräume und zähle die Punkte im Schnitt. Finde Algorithmen zum Zählen der Punkte im Schnitt. Man braucht einen kompakten Modulraum, der Rand ist gesondert zu behandeln. Alg.

19 Ein weiteres : Die Zahl der Koniken, die durch 4 gegebene Punkte gehen und außerdem tangential an eine gegebene Gerade sind, ist 2: Alg.

20 Eine wichtige enumerative Invariante Definition bezeichne die Zahl der vom Grad d und Geschlecht g, die durch 3d + g 1 Punkte in allgemeiner Lage gehen. Kontsevich: rekursive Formel zum Bestimmen von N(d, 0). ist eine Invariante. Caporaso und Harris: rekursive Formel zum Bestimmen von. d N(d, 0) Alg.

21 Kontsevichs Idee: Zähle nicht in der komplexen Ebene, sondern ihre Bilder unter der Abbildung Log: Log : (C ) 2 R 2 : (z, w) (log z, log w ) und einem Schrumpfungsprozess kombinatorische Lösungsansätze : Sei L (C ) 2 (bzw. P 2 ) eine Gerade. Wie sieht Log(L) aus? Alg.

22 Die geschrumpfte Amöbe Geschrumpft: Alg. Beachte, daß die Summe der drei Richtungen 0 ist: ` 1 0 ` 0 1 `1 1

23 geschrumpfte von Koniken Alg.

24 Definition Eine e Kurve vom Grad d ist ein Tupel (Γ, h), wobei Γ ein gewichteter Graph ist (das heißt, jede Kante e hat ein Gewicht ω(e)) mit 3d unbeschränkten Kanten und h : Γ R 2 eine Abbildung, für die folgendes gilt: Jede Kante e wird von h auf eine Gerade mit rationaler Steigung abgebildet. Für eine Ecke V von e bezeichne u(v, e) den primitiven ganzzahligen Vektor, der von h(v ) aus in Richtung der Gerade h(e) zeigt. An jeder Ecke V von Γ ist die Gleichgewichtsbedingung erfüllt: X ω(e) u(v, e) = 0. e V e Von den unbeschränkten Kanten werden d Stück in Richtung ( 1, 0) abgebildet, d in Richtung (0, 1) und d in Richtung (1, 1). Alg.

25 Definition Eine e Kurve vom Grad d ist ein Tupel (Γ, h), wobei Γ ein gewichteter Graph ist (das heißt, jede Kante e hat ein Gewicht ω(e)) mit 3d unbeschränkten Kanten und h : Γ R 2 eine Abbildung, für die folgendes gilt: Jede Kante e wird von h auf eine Gerade mit rationaler Steigung abgebildet. Für eine Ecke V von e bezeichne u(v, e) den primitiven ganzzahligen Vektor, der von h(v ) aus in Richtung der Gerade h(e) zeigt. An jeder Ecke V von Γ ist die Gleichgewichtsbedingung erfüllt: X ω(e) u(v, e) = 0. e V e Von den unbeschränkten Kanten werden d Stück in Richtung ( 1, 0) abgebildet, d in Richtung (0, 1) und d in Richtung (1, 1). Alg.

26 Definition Eine e Kurve vom Grad d ist ein Tupel (Γ, h), wobei Γ ein gewichteter Graph ist (das heißt, jede Kante e hat ein Gewicht ω(e)) mit 3d unbeschränkten Kanten und h : Γ R 2 eine Abbildung, für die folgendes gilt: Jede Kante e wird von h auf eine Gerade mit rationaler Steigung abgebildet. Für eine Ecke V von e bezeichne u(v, e) den primitiven ganzzahligen Vektor, der von h(v ) aus in Richtung der Gerade h(e) zeigt. An jeder Ecke V von Γ ist die Gleichgewichtsbedingung erfüllt: X ω(e) u(v, e) = 0. e V e Von den unbeschränkten Kanten werden d Stück in Richtung ( 1, 0) abgebildet, d in Richtung (0, 1) und d in Richtung (1, 1). Alg.

27 Definition Eine e Kurve vom Grad d ist ein Tupel (Γ, h), wobei Γ ein gewichteter Graph ist (das heißt, jede Kante e hat ein Gewicht ω(e)) mit 3d unbeschränkten Kanten und h : Γ R 2 eine Abbildung, für die folgendes gilt: Jede Kante e wird von h auf eine Gerade mit rationaler Steigung abgebildet. Für eine Ecke V von e bezeichne u(v, e) den primitiven ganzzahligen Vektor, der von h(v ) aus in Richtung der Gerade h(e) zeigt. An jeder Ecke V von Γ ist die Gleichgewichtsbedingung erfüllt: X ω(e) u(v, e) = 0. e V e Von den unbeschränkten Kanten werden d Stück in Richtung ( 1, 0) abgebildet, d in Richtung (0, 1) und d in Richtung (1, 1). Alg.

28 Die Gleichgewichtsbedingung Alg. ω = 2 ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( 1 1)

29 er Allgemeine e sind 3-valent. haben eine, die gleich der Zahl der komplexen ist, die unter Log und dem Schrumpfungsprozeß auf die e Kurve abbilden. Man kann die kombinatorisch definieren: Alg.

30 er Definition Sei C = (Γ, h) eine 3-valente e Kurve und V eine Ecke von Γ. Seien e 1, e 2 und e 3 die Kanten, die bei V enden. Die Eckenmultiplizität von V ist die Fläche des Parallelogramms, das von den zwei primitiven Vektoren u(v, e 1 ) und u(v, e 2 ) aufgespannt wird, mal den Gewichten ω(e 1 ) und ω(e 2 ). Die von C ist das Produkt der Eckenmultiplizitäten. Alg.

31 er Definition Sei C = (Γ, h) eine 3-valente e Kurve und V eine Ecke von Γ. Seien e 1, e 2 und e 3 die Kanten, die bei V enden. Die Eckenmultiplizität von V ist die Fläche des Parallelogramms, das von den zwei primitiven Vektoren u(v, e 1 ) und u(v, e 2 ) aufgespannt wird, mal den Gewichten ω(e 1 ) und ω(e 2 ). Die von C ist das Produkt der Eckenmultiplizitäten. Alg.

32 er Definition Sei C = (Γ, h) eine 3-valente e Kurve und V eine Ecke von Γ. Seien e 1, e 2 und e 3 die Kanten, die bei V enden. Die Eckenmultiplizität von V ist die Fläche des Parallelogramms, das von den zwei primitiven Vektoren u(v, e 1 ) und u(v, e 2 ) aufgespannt wird, mal den Gewichten ω(e 1 ) und ω(e 2 ). Die von C ist das Produkt der Eckenmultiplizitäten. Alg.

33 für die ω = 2 ` 1 0 ` 1 1 `1 1 Alg. 2

34 Eine e Kurve vom Geschlecht 1 Alg.

35 Definition N trop (d, g) bezeichne die Zahl der en vom Grad d und Geschlecht g durch 3d + g 1 Punkte in allgemeiner Lage. Satz (Mikhalkin) N trop (d, g) = Alg.

36 Zentrale der Arbeit in Zusammenarbeit mit Andreas Gathmann er Beweis der Invarianz von N trop (d, g) er Beweis für Kontsevichs Formel zum Bestimmen von N trop (d, 0) er Beweis für Caporasos und Harris Formel zum Bestimmen von N trop (d, g) Alg.

37 Zentrale der Arbeit in Zusammenarbeit mit Andreas Gathmann er Beweis der Invarianz von N trop (d, g) er Beweis für Kontsevichs Formel zum Bestimmen von N trop (d, 0) er Beweis für Caporasos und Harris Formel zum Bestimmen von N trop (d, g) Alg.

38 Zentrale der Arbeit in Zusammenarbeit mit Andreas Gathmann er Beweis der Invarianz von N trop (d, g) er Beweis für Kontsevichs Formel zum Bestimmen von N trop (d, 0) er Beweis für Caporasos und Harris Formel zum Bestimmen von N trop (d, g) Alg.

39 Zentrale der Arbeit in Zusammenarbeit mit Andreas Gathmann er Beweis der Invarianz von N trop (d, g) er Beweis für Kontsevichs Formel zum Bestimmen von N trop (d, 0) er Beweis für Caporasos und Harris Formel zum Bestimmen von N trop (d, g) Alg.

40 Der Algorithmus Idee: Spezialisiere die Lage der Punkte: ein Punkt nach dem anderen auf eine Gerade. Die Gerade kann als Komponente abspalten. Die Objekte, die zerfallen, müssen mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden. Es können auftreten, die Tangentialbedingungen an die Gerade erfüllen. Alg.

41 Der Algorithmus Idee: Spezialisiere die Lage der Punkte: ein Punkt nach dem anderen auf eine Gerade. Die Gerade kann als Komponente abspalten. Die Objekte, die zerfallen, müssen mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden. Es können auftreten, die Tangentialbedingungen an die Gerade erfüllen. Alg.

42 Der Algorithmus Idee: Spezialisiere die Lage der Punkte: ein Punkt nach dem anderen auf eine Gerade. Die Gerade kann als Komponente abspalten. Die Objekte, die zerfallen, müssen mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden. Es können auftreten, die Tangentialbedingungen an die Gerade erfüllen. Alg.

43 Der Algorithmus Idee: Spezialisiere die Lage der Punkte: ein Punkt nach dem anderen auf eine Gerade. Die Gerade kann als Komponente abspalten. Die Objekte, die zerfallen, müssen mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden. Es können auftreten, die Tangentialbedingungen an die Gerade erfüllen. Alg.

44 für Alg. 2 2 = 4 3

45 Man braucht Zahlen von en, die Tangentialbedingungen erfüllen. Wähle dazu die Gerade {x = 0}. Eine Konik, die tangential an {x = 0} ist, hat nur einen Schnittpunkt mit {x = 0}. Die Amöbe hat also nur eine Tentakel nach links. Die e Kurve hat nur ein Ende nach links von Gewicht 2, ein dickes Ende. Alg.

46 Man braucht Zahlen von en, die Tangentialbedingungen erfüllen. Wähle dazu die Gerade {x = 0}. Eine Konik, die tangential an {x = 0} ist, hat nur einen Schnittpunkt mit {x = 0}. Die Amöbe hat also nur eine Tentakel nach links. Die e Kurve hat nur ein Ende nach links von Gewicht 2, ein dickes Ende. Alg.

47 Man braucht Zahlen von en, die Tangentialbedingungen erfüllen. Wähle dazu die Gerade {x = 0}. Eine Konik, die tangential an {x = 0} ist, hat nur einen Schnittpunkt mit {x = 0}. Die Amöbe hat also nur eine Tentakel nach links. Die e Kurve hat nur ein Ende nach links von Gewicht 2, ein dickes Ende. Alg.

48 Man braucht Zahlen von en, die Tangentialbedingungen erfüllen. Wähle dazu die Gerade {x = 0}. Eine Konik, die tangential an {x = 0} ist, hat nur einen Schnittpunkt mit {x = 0}. Die Amöbe hat also nur eine Tentakel nach links. Die e Kurve hat nur ein Ende nach links von Gewicht 2, ein dickes Ende. Alg.

49 Man braucht Zahlen von en, die Tangentialbedingungen erfüllen. Wähle dazu die Gerade {x = 0}. Eine Konik, die tangential an {x = 0} ist, hat nur einen Schnittpunkt mit {x = 0}. Die Amöbe hat also nur eine Tentakel nach links. Die e Kurve hat nur ein Ende nach links von Gewicht 2, ein dickes Ende. Alg.

50 für CH 3 Alg

51 Vergleich 3 Alg

52 2 Alg.