Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Serie 10

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1 Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Mathematik Prof. A. Griewak Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jase Übugsaufgabe zur Vorlesug ANALYSIS I (WS 2/3) Serie 0 Musterlösug S. Eulert Aufgabe 0. I dieser Aufgabe wolle wir die Kovergezradie R folgeder Potezreihe der Form f(x) = a k(x x 0 ) k mit x, x 0, a k R k N bestimme, dazu stehe us prizipiell zwei Methode zur Verfügug Cauchy-Hadamard Euler R = L R = q mit L := lim sup a mit q := lim a + a a) Es sei folgede Potezreihe gegebe f(x) = k= k (x )k f(z) = Wir utze das Kriterium ach Euler ud erhalte q = lim Nu resubstituiere wir ud erhalte + = lim k= k zk, z = (x ) + = = R f z R f = x x [0, 2] Somit kovergiert die Reihe absolut für x (0, 2), wobei der Rad, x {0, 2}, separat utersucht werde muß. Geerell gilt dies auch für die folgede Kovergezradie ud etsprechede Kovergezverhalte. b) Nu habe wir g(x) = k= ( ) k x k, N sei fest gewählt

2 Wir utze das Kriterium ach Euler ud erhalte ( k+ ) (k + )! (k )!! q = lim ( k k = lim k (k + )!! k! ) = lim k k + k + = N Also gilt wieder R g = q = c) Wir betrachte die Potezreihe h(x) = k! 2 k ud wieder wolle wir das Euler-Kriterium utze ud erhalte (k+)! 2 k+ (k+) q = lim k+ k = q = lim 2 k k k (k + ) k = 2 e k! 2 k k k Somit gilt für de Kovergezradius R k= k k x k R h = q = e 2 d) Für die folgede Reihe wolle wir zusätzlich zum Kovergezradius och die zugehörige Grezfuktio bestimme, wir habe v(x) = x 2 ( + x 2 ) k = x2 ( + x 2 ) k um daraus eie Potezreihe gemäß userer Defiitio zu erhalte substituiere wir hier ud erhalte mit z = + x 2, v (z) = z k wobei wir de Vorfaktor x 2 zuächst weggelasse habe, da dieser für das Kovergezverhalte der Potezreihe zuächst och keie Rolle spielt. Bei v (z) hadelt es sich um die geometrische Reihe, die ach dem Cauchy-Hadamard/Euler- Kriterium sofort de Kovergezradius R v = hat {die Koeffizietefolge ist kostat }, die Reihe kovergiert also absolut für z < + x 2 < x 0 ud diesem Fall kee wir bereits die Grezfuktio für v (z) v (z) = z k = z = +x 2 = + x 2 2

3 Die Grezfuktio für v(x), x 0 ist demach x 2 ( + x 2 ) k = x2 ( + x 2 ) = + x2 Für de Fall x = 0 kovergiert die Reihe x zwar icht, allerdigs ist 2 = 0 (+x 2 ) k (+x 2 ) k ud somit gilt v(0) = 0, isgesamt habe wir Damit sid wir fertig. Aufgabe 0.2 { v(x) = 0 für x = 0 + x 2 für x 0 Es gilt die Potezreihe f k (x) für k N auf ihre Kovergezradius hi zu utersuche f k (x) := Wir utze das Euler-Kriterium ud erhalte q = lim = (+) k k = x k = k N Also habe wir für k N R fk =, also absolute Kovergez für x (, ), für x {, } habe wir f k () = k ud f k( ) = ( ) k Für k = divergiert f () (harmoische Reihe), aber f ( ) kovergiert (alterariede harmoische Reihe). Für k N 2 kovergiere dagege sowohl f k () als auch f k ( ) ud somit gilt = k = f (x) = = x existiert für x [, ) k k N 2 f k (x) = Aufgabe 0.3 Wir betrachte ereut eie Potezreihe g(x) = = x existiert für x [, ] k x = = ( + ) x =0 3

4 ud iteressiere us zuächst für das größtmögliche Kovergezitervall I R, sodaß g(x) für x I existiert. Mit dem Euler-Kriterium erhalte wir sofort q = lim + 2 = = R + Somit ist I = (, ) user gesuchtes Kovergezitervall ud damit auch gleichzeitig das größte, für alle x wäre ämlich usere Koeffizietefolge keie Nullfolge mehr. Als ächstes zeige wir die Existez eier gazratioale Fuktio f mit f : I x R, sodaß f I (x) = g(x) Wir wolle dafür die geometrische Reihe ud das Cauchy-Produkt utze, also versuche wir es doch eifach eimal x (, ) h(x) = x k = x ist die bekate geometrische Reihe Wir multipliziere sie mit sich selbst ud utze das Cauchy-Produkt h(x) 2 = [ ] 2 [ ] 2 = x k Cauchy- = x Produkt [ k ] x j x k j j=0! = [ k ] x k = j=0 (k + ) x k Das ist geau die Eigeschaft, die wir gefordert habe, also ist die gesuchte gazratioale Fuktio f [ ] 2 f(x) = = x 2 auf I = (, ) ( x) ud wir sid fertig. Aufgabe 0.4 Als ächstes beschäftige wir us mit der - wie wir später beweise werde - eideutige Darstellug reeller Zahle i verschiede Basissysteme a) So sieht die Zahl 53 im Dezimalsystem im Petasystem wie folgt aus ud im Dualsystem 53 0 = = = =

5 b) Die ratioale Zahl 0 sieht im Dualsystem wie folgt aus - dabei stelle wir 0. 0 = a k 2 k = 0.a a 2... dar, a k {0, } k= ud bekomme da 0 = 0. 0 = Also isbesodere eie icht-abbrechede Etwicklug. c) Jetzt wolle wir die Eideutigkeit der b-adische Darstellug für atürliche Zahle beweise (b ), dazu wähle wir zwei Darstelluge q N; a k, c k {0,,... b }, q = Nu sei obda m >, da gilt m m q q = c k b k a k b k = 0 a k b k ud q = c k b k (c k a k )b k = Wir wolle zeige, daß dies jedoch icht geht, also eie Widerspruch ergibt ud damit sofort m = folgt, dazu sehe wir für m > ud weiter gilt m j= m a k b k = b j=0 a +j b j b m j= a k b k (c k a k )b k (b ) b k = (b ) b b = b < b wir habe also usere Widerspruch, umöglich ka die Gleichug gößer ud gleichzeitig kleier sei, eie äquivalete Aussage (symmetrisch) bekomme wir auch sofort für > m, es gilt also = m, wir müsse also och zeige (c k a k )b k = 0 c k = a k mit c k, a k {0,,..., b } Sei dafür j der größte Idex, bis zu welchem sich die Koeffiziete uterscheide (diese gibt es, asoste wäre wir scho fertig), da gilt (wir schätze de Fehler) j j (c k a k )b k = 0 (c k a k )b k + (c j a j )b j j = 0 (c k a k )b k (cj = a j )b j 5

6 Wir wisse aber bereits (siehe obe!), daß gilt j (c k a k )b k b j ud weiter (c j a j )b j b j was us zu userer Zufriedeheit eie Widerspruch liefert, es folgt sofort a k = c k ud die Eideutigkeit ist gezeigt ud zusamme mit Existezaussage eier solche Zerlegug habe wir ei Existez- ud Eideutigkeitssatz für die g-adische Darstellug atürlicher Zahle. Eie weitere, sehr elegate Möglichkeit die obere Aussage zu beweise, folgt dem sogeate Euklidische-Algorythmus. Wir sid fertig. 6