Übung 8: Querkraft und Torsion

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1 WS 008/09 SSB II Hörsaalübung Querkraft und Torsion Ü 6.1 Übung 8: Querkraft und Torsion 1 Aufgabenstellung Der unten dargestellte einstegige Plattenbalken-Quershnitt des Überbaus einer Wirtshaftswegüberführung wird durh Querkraft und Torsion beanspruht. Die folgenden Punkte sollen bearbeitet werden: 1. Ist für den Quershnitt unter der angegebenen kombinierten Belastung außer der Mindestbewehrung zusätzlihe Querkraft- und Torsionsbewehrung erforderlih?. Im Grenzzustand der Tragfähigkeit sind die Nahweise für Querkraft und Torsion zu führen. Dabei soll die minimale Drukstrebenneigung unter der kombinierten Beanspruhung ermittelt werden. 3. Der Interaktionsnahweis für Querkraft und Torsion ist zu führen. aus: Straßenbrüken in Massivbauweise nah DIN- Fahberiht, Bauer, Th., Müller, M., Berlin, 003 orgaben.1 Quershnitt Quershnittsflähe: A 3,89 m² Statishe Nutzhöhe: d 1,16 m. Shnittgrößen Querkraft: Torsion: Normalkraft: 1,751 MN T 1,988 MNm N -15,15 MN

2 WS 008/09 SSB II Hörsaalübung Querkraft und Torsion Ü 6..3 Baustoffe Beton: C40/50 Betonstahl: BSt Bewehrung Längsbewehrung: Bügelbewehrung: Betondekung: Längsbewehrung: Ø Asl 16 mm Ø Asw 1 mm nom 5,5 m A sl 34, m².5 Spannglieder Summe Hüllrohrdurhmesser: Σd h 0,41 m Hüllrohre sind verpresst (orspannung mit nahträglihem erbund).6 Hinweis Die Torsionssteifigkeit der Gurtplatten des Plattenbalkenquershnitts kann vernahlässigt werden.

3 WS 008/09 SSB II Hörsaalübung Querkraft und Torsion Ü Nahweise 3.1 Nahweis erforderlih? Für einen näherungsweise rehtekigen ollquershnitt ist außer der Mindestbewehrung keine Querkraft- und Torsionsbewehrung erforderlih, wenn die folgenden Bedingungen eingehalten sind: bw 1. Bedingung: T 4,5 4,5 T. Bedingung: 1+ bw Der Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit ( ) 13 Rd,t Rd,t 0,1 κ 100 ρ fk 0,1 σ d bw d wobei: γ für bewehrten Beton η 1 für Normalbeton κ ,4 d 1160 bw,0m Asl ρ l 0,0013 0,0 bw d N 15,15 σ d 3,89 MN/m A 3,89 Rd,t ergibt sih zu: 1 ( ) 3 Rd,t 0,1 1, , ,1 ( 3,89 ),0 1,16 1,819 MN

4 WS 008/09 SSB II Hörsaalübung Querkraft und Torsion Ü 6.4 Daraus folgt: bw 1. Bedingung: T 4,5 1,988 MNm > 0,856 MNm 1. Bedingung niht erfüllt! 4,5 T. Bedingung 1+ bw Rd,t 5,817 MN > 1,819 MN. Bedingung niht erfüllt! Beide Bedingungen sind niht erfüllt, es ist daher eine Shub- und Torsionsbewehrung statish erforderlih. Die Kontrolle der 1. Bedingung hätte hier gereiht. 3. Ermittlung der Drukstrebenneigung Für die Drukstrebenneigung sind folgende Bedingungen einzuhalten: σd 1, 1, 4 f d 0,58 ot θ Rd, 1,T +,T + ist dabei die kombinierte Shubbeanspruhung aus Querkraft und Torsion: T z t A b i,t+,i,t,i +,,i + k Die effektive Wanddike des Ersatzhohlkastens ist dabei: w 1 teff,i nom + ØBügel + ØAsl ( 5,5 + 1, + 0,5 1,6 ) 15 m Die Kernflähe des Ersatzhohlkastens beträgt: eff,i ( ) ( ) ( ) ( ) A h t b t 1,5 0,15,0 0,15,6 m k eff w eff Mit der Shubkraft infolge Torsion: ergibt sih: T z ( ) ( ) T h t 1,988 1,5 0,15 i eff,t,i Ak Ak,6 1, 751 0,15,T +,i 0,48+ 0,60MN,0 0,48MN

5 WS 008/09 SSB II Hörsaalübung Querkraft und Torsion Ü 6.5 Rd, Mit: berehnet sih nah folgender Gleihung: 1 σ 3 d Rd, j 0,48 fk 1+ 1, teff z. fd j f z d f k α γ,67mn/m ergibt sih damit: 1 3 3,89 Rd, 0, , 0,15 1,044 0,10MN,67. Für den Winkel der Drukstrebenneigung gilt dann: 3,89 1, 1, 4,67 0,58 ot θ 1,73 3,0 0,10 1 0,60 gewählt: θ 30 ot θ 1,73 tanθ 0,577

6 WS 008/09 SSB II Hörsaalübung Querkraft und Torsion Ü Querkraftnahweise Wie oben gezeigt, ist mit Rd,t 1,819 MN > 1,751 MN die vom Quershnitt ohne Shubbewehrung aufnehmbare Querkraft Rd,t zwar größer als die einwirkende Querkraft. Aufgrund der zusätzlihen Beanspruhung durh das einwirkende Torsionsmoment T ist jedoh eine Bügelbewehrung erforderlih (siehe Bedingung ). Die einwirkende Querkraft wird voll mit Bügelbewehrung abgedekt. Dabei wird das erfahren mit veränderliher Drukstrebenneigung angewendet Ermittlung der erforderlihen Querkraftbewehrung Die erforderlihe Querkraftbewehrung ergibt sih aus folgender Beziehung: wobei: A 0,9 d f ot θ f sw Rd,sy yd sw yd Damit ist: MN/m. 1,15 1, asw,erf 10,9m /m 0,9 d fyd otθ 1, ,73. Die Mindestshubbewehrung a sw,min beträgt: sw,min w,min w 4 a ρ b 0,0011,0 10 4,6 m /m >,9 m /m und ist somit maßgebend.

7 WS 008/09 SSB II Hörsaalübung Querkraft und Torsion Ü Nahweis der Drukstrebe Im Allgemeinen ist für den Fall < Rd,t der Nahweis der Drukstrebe mit dem erfahren mit veränderliher Drukstrebenneigung niht zu führen. Obwohl in diesem Beispiel < Rd,t ist, wird auf der siheren Seite liegend ebenfalls dieser Nahweis geführt. Wenn der Steg nebeneinander liegende verpresste Spannglieder mit einer Durhmessersumme bw Σ dh > 8 enthält, muss der Bemessungswert Querkrafttragfähigkeit Rd,max auf der Grundlage des Nennwerts der Quershnittsbreite berehnet werden. bw 0 Σ dh 41m> 7,5m 8 8 Die Drukstrebentragfähigkeit ist deshalb mit einer reduzierten Stegbreite zu berehnen. bw,nom bw 0,5 Σ dh,0 0,5 0,41,00m b 0,9 d α f Rd,max ot θ+ tanθ wobei: α 0,75 Damit ist: w,nom d,00 1,044 0,75,67 Rd,max 15,39MN> 1,751MN 1,73 + 0,577 Somit ist eine ausreihende Tragfähigkeit der Drukstrebe für Querkraft nahgewiesen. 3.4 Torsionsnahweise Das statishe Gleihgewiht des Tragwerks hängt von der Torsionstragfähigkeit ab. Damit ist eine Torsionsbemessung erforderlih. Die Torsionssteifigkeit eines Quershnitts wird unter der Annahme eines dünnwandigen, geshlossenen Quershnitts berehnet. ollquershnitte werden durh gleihwertige dünnwandige Quershnitte ersetzt. Bei diesem T-Quershnitt wird auf der siheren Seite liegend nur der Kernquershnitt b/h,0 m/1,5 m angesetzt Nahweis der Drukstrebe Das Bemessungstorsionsmoment T darf den Bemessungswert des durh die Betondrukstreben aufnehmbaren Torsionsmomentes T Rd,max niht übershreiten. T Rd,max α f A t ot θ+ tan θ,red d k eff mit: α,red 0,7 α mit α 0,75

8 WS 008/09 SSB II Hörsaalübung Querkraft und Torsion Ü 6.8 ergibt sih: 0,7 0,75,67,6 0,15 TRd,max 3,50 MNm > 1,988 MNm T 1,73 + 0,577 Damit ist eine ausreihende Betondrukstrebenkraft nahgewiesen Ermittlung der erforderlihen Torsionsbewehrung Erforderlihe Bügelbewehung zur Aufnahme des Torsionsmomentes: 4 T 1, asw,erf 5,84m /m Ak fyd ot θ, ,73 Die erforderlihe Längsbewehrung A sl,erf : mit: A T u k sl,erf Ak fyd tan θ ( ) ( ) u h t + b t 1,5 0,15 +, 0,15 6,3 m k eff,i w eff,i ergibt sih zu: 1, 988 6, Asl,erf 110,4 m, ,577 Asl,erf 110,4 asl,erf 17,5m /m u 6,30 k Nahweis der Betondrukstrebe unter kombinierter Belastung Bei kombinierter Wirkung von Querkraft und Torsion gilt für Kompaktquershnitte folgende quadratishe Interaktion: T T Rd,max Rd,max + 1 1, 988 1, ,34 1 3,50 15,39 Das aufzunehmende Torsionsmoment T und die aufzunehmende Querkraft erfüllen somit die Interaktionsbedingung. 3.6 Gewählte Bewehrung Zusätzlihe Längsbewehrung aus Torsion: A sl m 0,11 m /m > A sl,erf 17,5 m /m Bügelbewehrung aus Querkraft und Torsion: a sw,erf a sw,min + a sw,erf 4,6 + 5,84 36,8 m /m gew:: 1 6 m 37,7 m /m (zweishnittig)