Lösungsvorschläge zum 14. Übungsblatt.

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1 Übung zur Analysis III WS / Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt. Aufgabe 54 Sei a R\{}. Ziel ist die Berechnung des Reihenwertes k a + k. Definiere dazu f : [ π, π] R, x coshax. Wir entwickeln f in eine reelle Fourierreihe: Da f eine gerade Funktion ist, gilt für die reellen Fourierkoeffizienten b k für alle k N, und a k π Damit folgt π coshax coskx dx für alle k N. a π π coshax dx aπ sinhaπ, und für alle k N gilt a k π a sinhax coskx π + k π sinhax sinkx dx a sinhaπ k coskπ + π a a a coshax sinkx π k a k also a k k a k a a k, π + k k a a a a k a + k a π sinhaπ k a + k. Damit ergibt sich die reelle Fourierreihe von f als a sinhaπ + aπ π sinhaπ k a + k cosk. k coshax coskx dx Da f stetig differenzierbar ist und f π cosh aπ coshaπ fπ, konvergiert diese Reihe nach Vorlesung gleichmäßig gegen f, also insbesondere auch punktweise, und es folgt coshaπ fπ aπ sinhaπ+a π sinhaπ k k a a coskπ + k π sinhaπ a + k Indem wir diese Identität nach dem gewünschten Reihenwert auflösen, erhalten wir k a + k π coshaπ a sinhaπ a π a e aπ + e aπ e aπ e aπ a. a + k. Aufgabe 55 a Wir berechnen die Fouriertransformierte von f : R R, x xe x. Definitionsgemäß gilt für alle ξ R: fξ fxe ixξ dx xe x e ixξ dx + xe x e ixξ dx.

2 Übung zur Analysis III WS / Allgemein gilt xe αx dx xeαx α also erhält man für R > und alle ξ R e αx xeαx dx α α eαx α für alle α C\{}, R xe x e ixξ dx R xe x+iξ dx Re R+iξ + iξ e R+iξ + iξ [ xe x+iξ + iξ e x+iξ + iξ + iξ ] xr x R + iξ, wobei wir verwenden, daß e R+iξ e R für alle R > ist. Für das zweite Integral ergibt sich mit der Substitution x y und dem soeben berechneten Ergebnis xe x iξ dx und damit folgt insgesamt fξ für alle ξ R. + iξ iξ ye y iξ dy iξ, iξ + iξ + ξ 4iξ + ξ Aufgabe 55 b Wir berechnen die Fouriertransformierte von f : R R, x max{, x }. Bei dieser Funktion gilt f fξ also insgesamt [ e ixξ iξ x e ixξ dx ] x x x dx, und für alle ξ R\{} gilt [ xe ixξ + e ixξ iξ ξ e ixξ + xe ixξ dx ] x [ xe ixξ x iξ e ixξ ξ xe ixξ dx ] x e iξ iξ eiξ iξ + ξ eiξ iξ + eiξ ξ e iξ iξ + e iξ ξ + ξ eiξ e iξ + ξ fξ 4 sin ξ/ ξ. cos ξ ξ, x Aufgabe 55 c Wir berechnen die Fouriertransformierte von { cosx falls π f : R R, x x π, sonst.

3 Übung zur Analysis III WS / Da allgemein e ixξ cosxξ i sinxξ für alle x, ξ R ist, erhalten wir fξ π/ π/ π/ π/ π/ cosx cosxξ i sinxξ dx cosx cosxξ dx i gerade Funktion cosx cosxξ dx. π/ Für ξ {, } folgt damit zunächst fξ cosx sinxξ π/ ungerade Funktion π/ dx cos x dx π. Sei nun ξ R\{, }. Nach den Additionstheoremen gilt allgemein cosa ± b cosa cosb ± sina sinb, also cosa cosb cosa + b + cosa b für alle a, b R, und damit folgt in diesem Fall fξ π/ cosx + xξ + cosx xξ dx [ sinx + xξ + ξ sin π + π ξ + ξ + sin π π ξ ξ cos π ξ + ξ + + cos π ξ ξ ] sinx xξ xπ/ ξ x cos π ξ ξ. Aufgabe 56 Voraussetzung. Seien f, g S, und sei A d eine orthogonale Matrix und r >. Behauptung. Für h : C, x frax gilt ebenfalls h S. Es gilt f g S. Beweis. Wir zeigen zunächst, daß h schnell fallend ist, dafür reicht es zu zeigen, daß für jedes N N gilt: sup x N hx < +. x Sei N N, dann gilt x N hx x N frax A orthogonal Ax N frax r rax N frax r sup y y N fy < +, da f S ist, also ist in der Tat h schnell fallend. Nun ist noch zu zeigen, daß auch alle partiellen Ableitungen von h schnell fallend sind. Sei zunächst j {,..., d}, dann gilt nach der Kettenregel j hx r gradfrax Ae j d r Ae j, e k k f rax :c k k für alle x. Da f S ist, sind auch die partiellen Ableitungen f k k f schnell fallend, und indem wir den ersten Teil auf die Funktionen c k f k anstelle von f anwenden, folgt, daß auch x c k f k rax schnell fallend ist. Damit ist schließlich auch j h schnell fallend als endlich Summe f k : 3

4 Übung zur Analysis III WS / von schnell fallenden Funktionen. Die Aussage, daß für beliebige Multiindizes β N d die partielle Ableitung β h schnell fallend ist, läßt sich in gleicher Art und Weise mit Induktion über β beweisen, was wir an dieser Stelle nicht im Detail ausführen wollen. Alternativ kann man geeignete konkrete Darstellungen der höheren Ableitungen von h nutzen - dies wird jedoch eher technisch und ist für den Beweis auch nicht notwendig, da wir nicht die genau Gestalt der Ableitungen kennen müssen. Sei zunächst β N n. Wegen f, g, β f S L L folgt mit den bekannten Eigenschaften der Faltung, daß f g C ist, und es gilt β f g β f g, also β f g β f g β f g. Es reicht daher zu zeigen, daß x + x N f gx für alle N N beschränkt ist, denn hieraus folgt, daß f g schneller als jedes Polynom fällt, und für die Ableitungen β f g β f g folgt dies entsprechend, wenn man f durch β f ersetzt. Sei also N N. Wir stellen zunächst fest, daß allgemein für alle x, y gilt + x + x y + y + x y + y + x y + y + x y y + x y + y. Wegen f, g S findet man zu jedem k N eine Konstante C k > so, daß für alle z gilt + z k fz C k, und + z k gz C k. Damit folgt mit und der Hölderschen Ungleichung + x R N fx ygy dy Ck + x N + x y k + y k dy d R d Ck + x y N k + y N k dy R d Hölder / / Ck + x y N k dy + y N k dy R d / / Ck + y N k dy + y N k dy Ck + y N k dy. Da die Funktion y + y α genau dann auf integrierbar ist, wenn α < d ist vgl.. Übung, wählen wir k N so groß, daß N k < d ist, also k > N + d. Dann folgt + x N f gx Ck + y N k dy : c N <, also ist auch sup x + x N f gx c N <, was zu zeigen war. Aufgabe 57 Voraussetzung. Es sei A a jk d j,k Rd d so, daß es eine symmetrische Matrix Q d gibt mit detq und A Q. Für jedes t > definiere k t : R, x 4πt d/ deta / exp A x x. 4t 4

5 Übung zur Analysis III WS / Anmerkung: Die Voraussetzung an A ist äquivalent dazu, daß A positiv definit ist, also für alle ξ \{} gilt Aξ, ξ d j,k a jk ξ j ξ k >. Man kann in diesem Fall Q : A / wählen, vgl. Lineare Algebra. Behauptung. a Es gilt k t ξ e taξ ξ für alle ξ. b k t t> ist eine Dirac-Familie, das heißt, für jede Nullfolge t n n N, N ist k tn n N eine Dirac-Folge. Beweis. a Wir betrachten zunächst den Fall A I d, t /. In diesem Fall ist ψx : k / x π d/ exp x x π d/ exp d j x j d exp x j π :φx j für alle x, und hieraus folgt mit dam Satz von Fubini dies sollte in der Vorlesung vorgerechnet worden sein, daher hier ohne Zwischenschritte ψξ d φξ j j d j e ξ j / exp ξ für alle ξ. Wir betrachten nun den allgemeinen Fall. Sei t > fest. Für alle x gilt zunächst A x x Q x, x Q x, Q x Q x, da mit Q auch Q symmetrisch ist. Außerdem gilt deta detq detq >, also auch deta detq detq, und damit k t x detq π d/ t d/ j exp t / Q x für alle x. Sei ξ fest. Wir führen die Substitution y t / Q x, dy detq dx durch und t d/ erhalten kt ξ π d/ π d/ exp t / Q x e ix ξ detq t d/ dx exp y e i tqy ξ dy ψ tqξ exp exp t Qξ, Qξ exp t Q ξ, ξ exp taξ ξ. b Für alle t > gilt k t und k t x dx k t a. tqξ 3 5

6 Übung zur Analysis III WS / Es ist daher nur noch zu zeigen, daß für jedes δ > gilt: k t x dx für t. 4 B,δ Sei dazu δ >. Wir nehmen wieder die Transformation y t / Q x, dy detq dx t d/ wie in Teil a vor. k t x dx B,δ π d/ exp t / Q x detq x <δ t d/ dx π d/ exp y dy ψy dy. Für jedes r > und y R gilt tqy <δ y < r Qy Q y < r Q, δ Qy <t / δ mit r t : t / Q folgt daher B, r t {y Qy < t / δ} für alle t >. Wegen r t für t folgt mit dem Satz von Lebesgue k t x dx ψy dy χ B,rtyψy dy ψy dy ψ B,δ Qy <t / δ für t, und damit ist 4 bewiesen. 6