4. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner
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1 4. Mathemati-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 100 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundompetenzen (Un-)Gleichungen und Gleichungsssteme: AG.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten önnen AG.5 Lineare Gleichungsssteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten önnen Vetoren: AG3.1 Vetoren als Zahlentupel erständig einsetzen und im Kontet deuten önnen AG3. Vetoren geometrisch (als Punte bzw. Pfeile) deuten und erständig einsetzen önnen AG3.3 Definition der Rechenoperationen mit Vetoren (Addition, Multipliation mit einem Salar, Salarmultipliation) ennen, Rechenoperationen erständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten önnen AG3.4 Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in angeben önnen; Geradengleichungen interpretieren önnen; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punt und Gerade) analsieren, Schnittpunte ermitteln önnen AG3.5 Normaletoren in aufstellen, erständig einsetzen und interpretieren önnen Trigonometrie: AG4.1 Definitionen on sin, cos, tan im rechtwineligen Dreiec ennen und zur Auflösung rechtwineliger Dreiece einsetzen önnen AG4. Definitionen on sin, cos für Winel größer als 90 ennen und einsetzen önnen Funtionsbegriff, reelle Funtionen, Darstellungsformen und Eigenschaften: FA1.4, FA1.6 Lineare Funtion [ f() = + d ] : FA.1 FA.6 z Potenzfuntion mit f () a b,(z = ) : FA3.1 FA3.4 Weitere Kompetenzen laut Lehrplan Sinus- und Cosinussatz herleiten und zur Auflösung on allgemeinen Dreiecen einsetzen önnen. Trigonometrische Flächenformel herleiten und für Flächenberechnungen in allgemeinen Vierecen einsetzen önnen.
2 I) Mathematische Grundompetenzen 1) Überprüfe rechnerisch, ob die Punte A = (-3 1), B = (7 6), C = ( 14) auf einer Geraden liegen! / P ) Ordne jeder Lösungsmenge L die entsprechende quadratische Gleichung zu! / P Gleichung Lösungsmenge ( + 4) = 0 A L = { } ( 4) = 5 B L = { 4; 4} ( 4) = 0 C L = {0; 4} = 16 D L = {4} 16 = 0 E = 0 F 3) In Salzburg führt eine Standseilbahn auf die Festung Hohensalzburg. Bei einer Weglänge on 198,5 m überwindet diese einen Höhenunterschied on 10 m. Berechne die durchschnittliche Steigung der Standseilbahn in Prozent! / P 4) Die Sonne erscheint on der Erde aus unter einem Sehwinel on 0,5. Die Entfernung der Erde om Mittelpunte der Sonne beträgt ca m. Berechne den Durchmesser der Sonne! / P 5) Löse das Gleichungssstem 8a 3b = 10 ; b = a 1! / P
3 6) Ein Betrieb produziert und erauft die Produte P 1,, P 5. Letzte Woche wurden i Stüc des Produtes P i produziert und i Stüc daon erauft. Das Produt P i wird zu einem Stücpreis i erauft und i sind die Herstellungsosten pro Stüc P i. Die Vetoren X, Y, V, K sind folgendermaßen festgelegt: X , Y , V 1 3, K 4 5 i) Interpretiere, welche Bedeutung der Ausdruc YV für den Betrieb besitzt! / P ii) Gib mit Hilfe der gegebenen Vetoren einen Term an, der für diesen Betrieb den Gewinn der letzten Woche beschreibt! 7) Es sind drei Gleichungsssteme gegeben, jede Gleichung beschreibt eine Gerade: a : 3 c : e : 3 b : d : 9 3 f : Gib jeweils an, welches Gleichungssstem die angegebene Lagebeziehung beschreibt! schneidend: identisch: parallel: 8) Gegeben ist folgendes Gleichungssstem mit den Unbeannten a und b: 5a 4b = 9 c. a + 8b = d Bestimme die Werte der Parameter c und d (alle Fälle!) so, dass das Gleichungssstem eine Lösung besitzt: / P 9) Gegeben sind zwei Vetoren a, b. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Der Vetor 3 a ist dreimal so lang wie der Vetor a. Das Produt ab ergibt einen Vetor. Die Vetoren a und 0,5 a besitzen unterschiedliche Richtungen. Die Vetoren a und a sind parallel. Wenn a und b einen rechten Winel einschließen, so ist deren Salarprodut größer als Null. / P 10) Gegeben sind ier Punte A, B, C, D sowie zwei Vetoren und w, dargestellt als Pfeile. i) Bestimme anhand der Abbildung die Komponenten der Vetoren und w! (Die Seitenlänge eines Kästchens beträgt 1 Einheit.) / P = w = ii) Ermittle geometrisch einen Pfeil mit Ausgangspunt C, der den Vetor 1 w darstellt!
4 11) Vom Parallelogramm ABCD ennt man die Ecpunte A = (- -1), B = (5 3) und D = (1 4). i) Berechne die Koordinaten des Ecpuntes C! / P ii) Berechne die Länge der Seite AD! 1) Im dargestellten Parallelogramm ABCD teilt der Punt F die Seite BC im Verhältnis 1:. Drüce den Vetor FD durch die Vetoren a AB und b BC aus! FD 13) Welche der gegebenen Vetoren schließen einen rechten Winel ein? a 3 b 3 c 3 3 d Kreuze die zutreffenden Paare an und begründe deine Auswahl! a und b a und c a und d a und e d und e 4 e 6 / P 14) Gib zwei Parameterdarstellungen der Gerade f : = 5 4 an! / P 15) Überprüfe rechnerisch, ob der Punt P = (6 -) auf der Gerade g: X 4 t 1 liegt! Zwischensumme: / 7 P
5 II) Vernetzung on Grundompetenzen und weiter Kompetenzen laut Lehrplan 1) a) Kreuze alle zutreffenden Aussagen an! / P Es gibt Winel mit sin < 1. 0 cos 1 für alle [0 ; 180 ]. Für alle Winel gilt: (sin ) + (cos ) = 1. Es gibt Winel mit tan > 1. Für alle (180 ; 70 ) besitzen sin und cos dasselbe Vorzeichen. b) Leite für das abgebildete Dreiec eine Variante des Sinussatzes her! / P ) Aufgrund eines Hindernisses ann die Entfernung zweier in einem ebenen Gelände liegenden Punte P und Q nicht diret gemessen werden. Von einem Punt auf einer Anhöhe 90 m über dem Gelände wird zum Punt P der Tiefenwinel = 18 und nach einer Drehung um den Horizontalwinel = 75 zum Punt Q der Tiefenwinel = 4 gemessen. Stelle die Aufgabenstellung in einer Sizze dar und berechne die Entfernung PQ! / 4 P
6 3) Die folgende Abbildung zeigt die Entfernung s (in m) zweier Züge X und Y om Bahnhof B in Abhängigeit on der Zeit t (in Stunden). Beide Züge fahren um 08:30 Uhr weg. i) Gib an, mit welcher Geschwindigeit der Zug Y fährt! ii) Gib die Funtionsgleichung für die Entfernung s X des Zuges X om Bahnhof B nach t Stunden an! iii)ermittle, um welche Uhrzeit die Züge X und Y einander begegnen! i) Bestimme die Entfernung der beiden Züge um 09:00 Uhr! ) Ergänze in obiger Abbildung den Graphen der Funtion s Z, die die Entfernung eines Zuges Z om Bahnhof B nach t Stunden beschreibt, wenn Z um 08:45 Uhr om selben Bahnhof wie X wegfährt und mit einer gleichbleibenden Geschwindigeit on 190 m/h fährt. Erreichte Punte: / 40 P Note: P: Sehr gut; P: Gut; 30-5 P: Befriedigend; 4-0 P: Genügend; 19-0 P: Nicht genügend
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