Gedankenlesen mit Termen und Gleichungen Rätsel lösen. Wolfgang Göbels, Bergisch Gladbach. Mit Termen und Gleichungen umgehen VORANSICHT

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Gedankenlesen mit Termen und Gleichungen Rätsel lösen. Wolfgang Göbels, Bergisch Gladbach. Mit Termen und Gleichungen umgehen VORANSICHT"

Eva Heidrich
vor 7 Jahren
Abrufe

1 S 1 Gedankenlesen mit Termen und Gleichungen Rätsel lösen Wolfgang Göbels, Bergisch Gladbach M 1 Mit Termen und Gleichungen umgehen Zur Erinnerung: Die wichtigsten Gesetze auf einen Blick Für alle rationalen Zahlen a, b, c und x (a, b, c und x q) gilt: Rechengesetz Addition Multiplikation Kommutativgesetz a + b = b + a a b = b a Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Distributivgesetze Binomische Formeln a (b + c) = a b + a c a (b c) = a b a c 1. binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. binomische Formel (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3. binomische Formel (a + b) (a b) = a 2 b 2 Umformungsregeln für Äquivalenzumformungen Du darfst auf den beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl x addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl x multiplizieren und durch dieselbe Zahl x 0 dividieren, ohne dass sich die Lösung der Gleichung dadurch ändert. : Welche Rechengesetze wurden angewandt, um die Gleichung zu lösen? Vervollständige die Tabelle. a) Ausgangszustand der Gleichung: 7x (5 4x) 2 (3x + 1) = 2x (1 14x) 56 Gleichung nach Umformung 35x 28x 2 6x 2 = 2x 28x 2 56 Was wurde gemacht? 35x 6x 2 = 2x 56 29x 2 = 2x 56 27x 2 = 56 27x = 54 x = 2 b) Löse die Gleichung: 3x (6x + 7) + 2 (3 9x 2 ) = 5 (2x + 1) + 23

2 S 2 M 2 Kannst du Gedanken lesen? Erst kopfrechnen, dann wahrsagen! So geht s Deine Partnerin oder dein Partner denkt sich jeweils eine rationale Zahl aus. Diese Zahl soll nicht allzu groß, aber auch nicht allzu klein sein. Gib ihr oder ihm die unten angegebenen Rechenanweisungen. Jede Anweisung bezieht sich dabei auf das (Zwischen-)Ergebnis des vorherigen Schritts. Stellt jeweils die zugehörige Gleichung auf. Vier Zahlenrätsel 1. Subtrahiere von der Zahl 5 das Doppelte deiner Verdreifache das Ergebnis. Addiere das Sechsfache deiner Dein Endergebnis ist die Zahl Verdopple deine gedachte Zahl. Addiere die Zahl Verkleinere deine gedachte Zahl um 2. Multipliziere dein Ergebnis mit der Zahl, die du erhältst, wenn du deine gedachte Zahl um 2 vergrößerst. Addiere die Zahl 4. Dein Endergebnis ist das Quadrat deiner Verdreifache das Ergebnis. Addiere die Zahl 2. Vervierfache das Ergebnis. Subtrahiere die Zahl 20. Dividiere durch 8. Dein Endergebnis ist das Dreifache deiner 4. Multipliziere das um 3 vergrößerte Doppelte deiner gedachten Zahl mit dem um 3 verkleinerten Doppelten deiner Addiere die Zahl 9. Halbiere das Ergebnis. Dein Endergebnis ist das doppelte Quadrat deiner Hier sind acht Gleichungen. Kannst du daraus Zahlenrätsel machen? Schreibe in dein Heft. a) 2 (3x + 6) 6x = 12 e) (2x + 1) 2 4x 2 = 4x + 1 b) 9 (2 3x) + 30x 18 = 3x f) (x 2) 2 x (x 4) = 4 c) 4 (50 6x) + 25 (x 8) = x g) (x 2 + 1) (x 1) 2 = 2x d) (3x + 1) (2x 1) + x + 1 = 6x 2 h) (x + 3) 2 (x + 2) 2 = 2x + 5

3 S 3 M 3 Da staunst du! Zahlenrätsel selbst gemacht Mit etwas Geschick kannst du ähnliche Zahlenrätsel auch selbst erinden. Schau dir dazu das Beispiel an. Der Anfang ist schon gemacht. Beispiel ((10x 5) (100x + 50)) : = (1000x x 500x 250) : = 4x = 4x 2 Dein zugehöriges Zahlenrätsel beginnt so: Denk dir eine Zahl x. Verzehnfache deine Zahl und subtrahiere 5. Multipliziere dein Ergebnis mit Um Zahlenrätsel zu erinden, gehst du umgekehrt vor: Du beginnst mit dem Ergebnis in der letzten Zeile (4x 2 ) und formst so lange um, bis deine Gleichung richtig kompliziert aussieht. Zum Beispiel kannst du erst einmal 1 abziehen und dann gleich wieder 1 hinzuzählen, weil du damit den Wert des Terms 4x 2 nicht veränderst. a) Vervollständige das obige Zahlenrätsel. Beschreibe in Worten, wie man umgeformt hat, um am Schluss das vierfache Quadrat der gedachten Zahl (den Term 4x 2 ) zu erhalten. Schreibe in dein Heft. b) Tüftele selbst solche oder ähnliche Zahlenrätsel aus. M 4 Der Termsalat kontrolliere dein Wissen! Beim Übersetzen des Terms ((6x 8) (4x + 6) : 4 (x 12)) : 6 = x 2 ist eine ganze Menge durcheinandergeraten. Schneide die Textteile aus und bringe sie in die richtige Reihenfolge. Dividiere Vierfachen deiner Multipliziere mit dem um 6 vergrößerten das Quadrat deiner Dividiere durch 4. das um 8 verkleinerte Sechsfache deiner gedachten Zahl deine um 12 verkleinerte gedachte Zahl. Wenn du richtig gerechnet hast, ist dein Endergebnis durch 6. Denk dir eine Zahl. Subtrahiere

4 S 4 Rund um das Einzelmaterial Klasse 8 Dauer 2 3 Stunden Inhalt Terme und Gleichungen, Äquivalenzumformungen, binomische Formeln Ihr Plus Rätsel mit Möglichkeit der Selbstkontrolle Didaktisch-methodische Hinweise Das Rechnen mit Termen und Gleichungen führt man in Klasse 7 ein. In den Folgeklassen bis hin bis zum Abitur vertieft und erweitert man diesen Stoff stetig. Die Schülerinnen und Schüler empinden diese Materie als abstrakt und mühsam, selbst wenn entsprechende n mit Anwendungsbezug dazu beitragen, mehr Abwechslung zu erzeugen. Aus diesem Grund liegt es nahe, die Schülerinnen und Schüler durch eine andere Methode zu motivieren, nämlich, indem man das Rechnen mit Termen und Gleichungen in Zahlenrätsel einkleidet. Das Lösen von Rätseln macht den Lernenden in der Regel Spaß. Gleichzeitig trainieren Sie dabei intensiv die Kopfrechenfertigkeiten Ihrer Schülerinnen und Schüler. Terme mit einer Variablen x, welche die gedachte Zahl repräsentiert, werden so umgeformt und vereinfacht, dass der Ausdruck im letzten Schritt sehr einfach ist (z. B. eine Zahl oder ein Vielfaches von x bzw. x 2 ). Die vorgenommenen Äquivalenzumformungen formulieren die Schülerinnen und Schüler als Zahlenrätsel, jeweils beginnend mit: Denke dir eine Zahl Solche Zahlenrätsel können die Schülerinnen und Schüler je nach erworbenen Fertigkeiten selbst erinden, sich gegenseitig stellen und dabei mathematische Sprechweisen einüben. Hier sind der Kreativität keine Grenzen gesetzt. Beim damit verbundenen Kopfrechnen sollte der Taschenrechner natürlich nicht benutzt werden. Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz Allg. mathematische Kompetenz Leitidee Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler K 2, K 4, K 5 L 1... trainieren anhand eines Beispiels Äquivalenzumformungen, wobei sie die zugehörigen Rechengesetze und Umformungsregeln anwenden, K 2, K 5, K 6 L 1... lösen Zahlenrätsel, indem sie die zugehörigen Gleichungen aufstellen, K 1, K 2, K 6 L 1... formulieren aus gegebenen Gleichungen Zahlenrätsel. Anforderungsbereich I, II II, III I III Abkürzungen Kompetenzen K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathematisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommunizieren) Leitideen L 1 (Zahl und Zahlenbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funktionaler Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall) Anforderungsbereiche I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren

5 S 5 Lösungen M 1 Mit Termen und Gleichungen umgehen a) Ausgangszustand der Gleichung: 7x (5 4x) 2 (3x + 1) = 2x (1 14x) 56 Gleichung nach Umformung Was wurde gemacht? 35x 28x 2 6x 2 = 2x 28x 2 56 Distributivgesetz angewandt 35x 6x 2 = 2x 56 Auf beiden Seiten 28x 2 addiert 29x 2 = 2x 56 Gleichartige Terme zusammengefasst 27x 2 = 56 Auf beiden Seiten 2x subtrahiert 27x = 54 x = 2 Auf beiden Seiten 2 addiert Auf beiden Seiten durch 27 dividiert b) Ausgangszustand der Gleichung: 3x (6x + 7) + 2 (3 9x 2 ) = 5 (2x + 1) + 23 Gleichung nach Umformung 18x x x 2 = 10x x + 6 = 10x x + 6 = 28 11x = 22 x = 2 Was wurde gemacht? Distributivgesetz angewandt Gleichartige Terme zusammengefasst Auf beiden Seiten 10x subtrahiert Auf beiden Seiten 6 subtrahiert Auf beiden Seiten durch 11 dividiert M 2 Kannst du Gedanken lesen? Erst kopfrechnen, dann wahrsagen! Rätsel 1: 3 (5 2x) + 6x = 15 6x + 6x = 15 Rätsel 2: Rätsel 3: Rätsel 4: (4 [3 (2x + 1) + 2] 20) : 8 = (4 [6x + 5] 20) : 8 = 24x : 8 = 3x (x 2) (x + 2) + 4 = x = x 2 (3. binomische Formel) [(2x + 3) (2x 3) + 9] : 2 = [4x ] : 2 = 4x 2 : 2 = 2x 2 (3. binom. Formel) a) Denke dir eine Zahl. Verdreifache sie. Addiere die Zahl 6. Verdopple das Ergebnis. Subtrahiere das Sechsfache deiner Dein Endergebnis ist die Zahl 12. b) Denke dir eine Zahl. Subtrahiere von der Zahl 2 das Dreifache deiner Verneunfache das Ergebnis. Addiere das Dreißigfache deiner Subtrahiere die Zahl 18. Dein Endergebnis ist das Dreifache deiner c) Denke dir eine Zahl. Subtrahiere von der Zahl 50 das Sechsfache deiner gedachten Zahl. Vervierfache das Ergebnis. Addiere das Fünfundzwanzigfache deiner um 8 verkleinerten Dein Endergebnis ist deine gedachte Zahl. d) Denke dir eine Zahl. Addiere zum Dreifachen deiner gedachten Zahl die Zahl 1. Multipliziere dein Ergebnis mit dem um 1 verminderten Doppelten deiner Addiere deine gedachte Zahl und erhöhe das Ergebnis um 1. Dein Endergebnis ist das sechsfache Quadrat deiner

6 S 6 e) Denk dir eine Zahl. Verdopple sie. Addiere die Zahl 1. Quadriere das Ergebnis. Subtrahiere das vierfache Quadrat deiner Dein Endergebnis ist das um 1 vergrößerte Vierfache deiner f) Denk dir eine Zahl. Subtrahiere die Zahl 2. Quadriere das Ergebnis. Subtrahiere das Produkt aus deiner gedachten Zahl und deiner um 4 verkleinerten Dein Endergebnis ist die Zahl 4. g) Denk dir eine Zahl. Quadriere sie. Addiere die Zahl 1. Subtrahiere das Quadrat deiner um 1 verkleinerten Dein Endergebnis ist das Doppelte deiner h) Denk dir eine Zahl. Addiere die Zahl 3. Quadriere das Ergebnis. Subtrahiere das Quadrat deiner um 2 vergrößerten Dein Endergebnis ist das um 5 vergrößerte Doppelte deiner M 3 Da staunst du! Zahlenrätsel selbst gemacht a) Denke dir eine Zahl. Verzehnfache deine Zahl und subtrahiere 5. Multipliziere dein Ergebnis mit dem um 50 vergrößerten Hundertfachen deiner Dividiere durch 250. Addiere die Zahl 1. Dein Endergebnis das vierfache Quadrat deiner M 4 Der Termsalat kontrolliere dein Wissen! Denke dir eine Zahl. Multipliziere das um 8 verkleinerte Sechsfache deiner gedachten Zahl mit dem um 6 vergrößerten Vierfachen deiner Dividiere durch 4. Subtrahiere deine um 12 verkleinerte gedachte Zahl. Dividiere durch 6. Wenn du richtig gerechnet hast, ist dein Endergebnis das Quadrat deiner

Ähnliche Dokumente

Primitiv? Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen. Dr. Heinrich Schneider, Wien. M 1 Grundlegende Zahlenmengen wiederhole dein Wissen!

S 1 Primitiv? Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen Dr. Heinrich Schneider, Wien M 1 Grundlegende Zahlenmengen wiederhole dein Wissen! Die natürlichen Zahlen n 1, 2, 3, 4, 5, heißen natürliche Zahlen.