= * 281 = : 25 = oder 7x (also 7*x) oder (2x + 3) *9 oder 2a + 7b (also 2*a+ 7*b)

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1 GLEICHUNGEN

2 Gleichungslehre Bisher haben Sie Aufgaben kennen gelernt, bei denen eine Rechenoperation vorgegeben war und Sie das Ergebnis berechnen sollten. Nach dem Gleichheitszeichen war dann das Ergebnis der Aufgabe abzulesen. Das Ganze wird als Gleichung bezeichnet, wobei sich der Wert der beiden Seiten des Gleichheitszeichens in nichts unterscheiden darf. Beispiele: = * 281 = : 25 = 49 Hier einige Grundbegriffe, die Ihnen begegnen werden: Ein Gebilde wie oder 7x (also 7*x) oder (2x + 3) *9 oder 2a + 7b (also 2*a+ 7*b) nennt man einen mathematischen Ausdruck oder Term. Ein darin vorkommender Platzhalter, in der Regel ein Buchstabe (x, y, z, a, b, t,...), nennt man Variable. (Variabel heißt veränderbar, also die Veränderbare ) Setzt man zwischen zwei Terme ein Gleichheitszeichen, wie bei = x = 7x = 7 entsteht eine Gleichung. Tritt in einer Gleichung keine Variable auf, entsteht immer eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Entscheiden Sie, welche Aussagen wahr und welche falsch sind! wahr falsch = = * 9 = = = Seite 2

3 (Mit falschen Gleichungen haben Sie schon Ihre Erfahrungen gemacht, wenn Sie =? rechnen sollten und dann als Ergebnis 5666 erhielten, dann sah es in Ihrem Heft so aus: = 5666 f (meist in Rot) und es gab einen entsprechenden Punkteabzug.) Enthält eine Gleichung eine Variable, so können Sie den Wahrheitsgehalt der Gleichung erst feststellen, wenn Sie für die Variable einen Wert einsetzen. Als Lösung einer Gleichung werden nur Werte akzeptiert, die zu einer wahren Aussage führen. Dazu muss für die Lösung ein Definitionsbereich festgelegt sein, d.h. eine Zahlenmenge, aus der die Variable entnommen werden darf. Im weiteren Verlauf der Qualifizierungseinheit soll der Definitionsbereich aber nicht eingeschränkt werden. Aufgabe Setzen Sie in das Beispiel nacheinander die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, und 8 ein und bestimmen Sie den Wahrheitsgehalt! x 1 = = 11 6 = 11 x 2 = = 11 7 = 11 x 3 = = 11 8 = 11 x 4 = = 11 9 = 11 x 5 = = = 11 x 6 = = = 11 x 7 = = = 11 x 8 = = = 11 x + 5 = 11 wahr falsch Welcher Wert ist Lösung der Gleichung? X =... Seite 3

4 Das Lösen einer Gleichung Die Verbindung verschiedener Terme mit einem Gleichheitszeichen nennt man Gleichung. Gleichungen können Sie sich als Waage im Gleichgewicht vorstellen. Wenn auf einer Seite etwas verändert wird, z. B eine Zahl wird addiert oder subtrahiert, muß diese Veränderung - wegen der Gleichheit - auch auf der anderen Seite vorgenommen werden, d.h. auch hier wird diese Zahl addiert oder subtrahiert. (Man spricht von linker und rechter Seite einer Gleichung. = x Also : Das Lösen einer Gleichung folgt dem strengen Gesetz der Gleichheit. D.h. Sie dürfen das Gleichgewicht zwischen der rechten und linken Seite nicht stören und auf beiden Seiten nur gleichwertige Veränderungen vornehmen. Was Sie rechts tun, müssen Sie auch links tun! Seite 4

5 Beispiel: Zu welcher Zahl muss man 45 addieren, um 87 zu bekommen? Diese Textgleichung kann wie folgt in eine mathematische Schreibweise übersetzt werden: Gesucht ist eine Zahl, die man x nennt. Dazu soll die Zahl 45 addiert werden. x + 45 Das Ergebnis soll 87 sein. Also lautet die Übersetzung : x + 45 = 87 x = Sie entfernen +45 von der rechten Seite, also auch von der linken! +45 X x = 42 Um x zu isolieren, muss die Zahl 45 auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert werden. Es bleibt: Anschließend setzen Sie für x den errechneten Wert ein, hier 42, um bei der Probe festzustellen, ob die Lösung richtig ist: = = 87 Das Ergebnis stimmt! Seite 5

6 Übung: An diesen Textgleichungen können Sie es jetzt selbst versuchen. a) Übersetzen Sie die Textgleichungen in eine mathematische Schreibweise. b) Knacken Sie die Aufgabe irgendwie durch Ausprobieren oder Raten. c.) Versuchen Sie sich am Umstellen. Wenn es nicht klappt bearbeiten Sie die Einheit weiter. Sie werden am Ende in der Lage sein, diese Aufgaben zu lösen! 1. Zu welcher Zahl muss man 27 addieren, um als Ergebnis 47 zu erhalten? 2. Zu welcher Zahl muss man 250 addieren, um als Ergebnis 400 zu erhalten? 3. Von welcher Zahl muss man 45 subtrahieren, um als Ergebnis 31 zu erhalten? 4. Von welcher Zahl muss man 250 subtrahieren, um als Ergebnis 712 zu erhalten? 5. Mit welcher Zahl muss man 12 multiplizieren, um als Ergebnis 72 zu erhalten? 6. Mit welcher Zahl muss man 5 multiplizieren, um als Ergebnis 600 zu erhalten? 7. Durch welche Zahl muss man 150 dividieren, um als Ergebnis 5 zu erhalten? 8. Durch welche Zahl muss man 288 dividieren, um als Ergebnis 8 zu erhalten? Haben Sie diese Aufgaben einfach durch Raten oder Ausprobieren lösen können? Diese Aufgaben lassen sich alle als Gleichungen mit einer Unbekannten schreiben. Als Unbekannte soll der Buchstabe x eingesetzt werden. Wichtig ist es, dass zum Schluss die Probe gemacht wird, d.h. der für x gefundene Wert wird, wie im obigen Beispiel, in die Ausgangsgleichung eingesetzt. Seite 6

7 Lernbrief: Gleichungslehre Bei den Gleichungen ist ein Wert in der Regel unbekannt und wird meist mit einem x gekennzeichnet. Beim Lösen der Gleichung soll der Wert für das x ermittelt werden. Gleichungen können außer dem x und dem zugehörigen Wert mehrere Terme auf beiden Seiten der Gleichung haben. Immer muss so lange umgeformt und ausgerechnet werden, bis das x isoliert ist. Beispiel: x + 32 = x = x = x = x = 260 Die Terme werden sortiert. Es wird ausgerechnet wird subtrahiert. Das Ergebnis ist 260. Probe: = 1025 Es wird ausgerechnet = 1025 Das Ergebnis stimmt. Seite 7

8 Lernbrief: Gleichungslehre Die Grundrechenarten in Gleichungen Die "Unbekannte", das "x", muss allein auf einer Seite stehen. Wenn außer dem x noch andere Terme in der Gleichung stehen, muss immer eine Umformung der Gleichung vorgenommen werden. Umformungen sind möglich durch Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation (aber auch durch Potenzieren oder Wurzelziehen). Wichtig ist, dass das Gleichheitszeichen als Gleichgewicht anerkannt wird und auf beiden Seiten dieselben Veränderungen vorgenommen werden müssen. Sie können sich auch noch folgende Tipps merken: Wenn zu x ein Term addiert ist, muss dieser subtrahiert werden, um auf die andere Seite der Gleichung gebracht zu werden. Wenn von x ein Term subtrahiert wird, muss dieser addiert werden, um auf die andere Seite der Gleichung gebracht zu werden. Wenn x mit einer Zahl multipliziert ist, muss durch diese dividiert werden, um auf die andere Seite der Gleichung gebracht zu werden. Wenn durch x dividiert ist, muss mit diesem x multipliziert werden, um auf die andere Seite der Gleichung gebracht zu werden. Ziel ist es immer, x auf einer Seite der Gleichung zu isolieren, alle anderen Terme müssen auf der anderen Seite zusammenstehen! Seite 8

9 Lernbrief: Gleichungslehre 1. Gleichungen zur Addition Beispiel: 27 + x = 130 Textform: Welche Zahl muss man zu 27 addieren, um 130 zu erhalten? Allgemeine Form: a + x = b Sie werden erkannt haben, dass x = 103 ist, aber ein schrittweises Lösen auch der einfachen Gleichungen erleichtert später den Umgang mit komplizierteren Aufgaben. Es ist günstig, die einzelnen Rechen- oder Umformungsschritte zu notieren, man schreibt hierzu die Rechenoperation hinter die Aufgabe. Zurück zu unserem Beispiel: Um zu errechnen, welchen Wert x hat, muss x isoliert werden, d.h. alle Terme außer x müssen auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden. Dabei muss auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe getan werden, da sonst die Waage nicht mehr im Gleichgewicht ist! Lösung: 27 + x x = 130 / x = auf beiden Seiten wird27 subtrahiert x = = 130 Probe 130 = 130 Das Ergebnis stimmt! Um das Ergebnis auf Richtigkeit zu prüfen, muss die Probe gemacht werden, d.h. der Wert für x wird in die Ursprungsaufgabe eingesetzt. Hier noch einmal die allgemeine Form der Gleichung: Addition Allgemeine Form Lösungshinweis x + a = b x = b - a a + x = b x = b - a Seite 9

10 Lernbrief: Gleichungslehre Als Ergebnis können außer ganzen positiven Zahlen auch negative Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche errechnet werden. Berechnen Sie in den folgenden Aufgaben den Wert für x. Führen Sie anschließend immer die Probe durch! Aufgabe 1 a) x +27 = 36 b) x + 89 = 114 c) x + 12 = 1344 d) x + 95 = 230 e) x = 234 f) x = 783 g) x = 910 h) x = 1871 Aufgabe 2 a) 64 + x = 984 b) 19 + x = 1200 c) 25 + x = 765 d) x = 201 e) x = 2341 f) x = 2500 Aufgabe 3 a) x + 7,5 = 14,3 b) x + 100,5 = 200 c) x + 34,87 = 100 d) x + 25,6 = 37 e) x + 67,8 = 90 f) x + 23,991 = 55 Aufgabe 4 a) 21,3 + x = 45 b) 15,23 + x = 113 c) 15,6 + x = 28,3 d) 34,1 + x = 167,88 e) 127,8 + x = 216 f) 256,99 + x = 305 Seite 10

11 Aufgabe 5 a) 12,5 + x = 89,3 b) 23,9 + x = 157,89 c) 99,4 + x = 150,71 d) 7,982 + x = 120,5 e) 110,34 + x = 235,77 f) 87,62 + x = 136,91 Seite 11

12 2. Gleichungen zur Subtraktion Beispiel: x - 45 = 23 Textform: Von welcher Zahl muss man 45 subtrahieren, um 23 zu erhalten? Allgemeine Form: x - a = b Lösung: x - 45 = 23 / +45, 45 x = wird auf beiden Seiten addiert x = = 23 Probe 23 = 23 Das Ergebnis stimmt! Zweite Variante: Beispiel: 76 - x = 29 Textform: Welche Zahl muss man von 76 subtrahieren, um 29 zu erhalten? Allgemeine Form: a - x = b Lösung: 76 - x = 29 / + x, auf beiden Seiten wird x addiert 76 - x + x = 29 + x (damit ein positives x entsteht) 76 = 29 + x / -29, 29 wird auf beiden Seiten subtrahiert = 29- +x Diese Form kennen Sie! = x Das ist das Ergebnis, die Seiten können vertauscht werden! = 29 Probe 29 = 29 Das Ergebnis stimmt! Es gibt auch eine andere Lösungsmöglichkeit! 76 - x = 29 / -76, auf beiden Seiten wird 76 subtrahiert x = x = - 47 wenn - x = - 47 ist, dann ist x = 47 mathematisch ausgedrückt wird auf beiden Seiten mit - 1 multipliziert. x = 47 Das ist das Ergebnis! Seite 12

13 Subtraktion Allgemeine Form Lösungshinweis x - a = b x = b + a a - x = b x = a - b Aufgabe 1 a) x - 18 = 90 b) x - 45 = 93 c) x- 126 = 421 d) x = 200 e) x - 16 = 134 f) x = 347 Aufgabe 2 a) x- 29 = 48 b) x - 88 = 24 c) x = 1328 d) x - 57 = 198 e) x - 21 = 2117 f) x = 1448 Aufgabe 3 a) 47 - x = 31 b) x = 210 c) x = 623 d) 89 - x = 71 e) 67 - x = 12 f) x = 449 g) x = 1810 h) x = 98 i) x = 311 j) x = 203 k) x = 560 l) x = 2113 Aufgabe 4 a) x - 7,5 = 13 b) x - 4,3 = 17 c) x - 52,436 = 44 d) x - 119,35 = 263 e) x - 2,3 = 7 f) x - 19,1 = 36 g) x - 21,05 = 67 h) x - 78 = 471 Seite 13

14 Aufgabe 5 a) x - 24,5 = 36,8 b) x - 17,03 = 28,49 c) x - 64,45 = 245,39 d) x - 11,3 = 19,7 e) x - 56,3 = 191,8 f) x - 198,5 = 461,7 Aufgabe 6 a) 21,3 - x = 17 b) 69,87 - x = 12,41 c) 124,18 - x = 71,99 d) 96,4 - x = 36,4 e) 36,8 - x =12,1 f) 125,8 - x = 19,6 g) 266,4 - x =151,8 h) 22,8 - x =17,8 i) 112,743 - x =88,743 j) 8,9 - x = 5 Seite 14

15 Gleichungen zur Multiplikation Beispiel: 7x = 49 Zur Erinnerung: 7x = 7 * x = x * 7 Textgleichung: Mit welcher Zahl muss ich 7 multiplizieren, um 49 zu erhalten? Allgemeine Form: ax = b Lösung: 7x = 49 / : 7 7x : 7 = 49 : 7 Beide Seiten müssen durch 7 dividiert werden! x = 7 7 * 7 = 49 Probe 49 = 49 Das Ergebnis stimmt! Multiplikation Allgemeine Form Lösungshinweis ax = b x = b : a Aufgabe 1 a) 2x = 38 b) 4x = 144 c) 3x = 366 d) 5x = 75 e) 5x = 126 f) 9x = 729 g) 5x = 67 h) 4x = 150 i) 12x = 42 j) 8x = 100 k) 2x = 89 l) 25x = 93 Seite 15

16 Aufgabe 2 a) 14,5x = 29 b) 18,3x = 36,6 c) 16,5x = 49,5 d) 7,2x = 28,8 e) 8,1x = 40,5 f) 5,5x = 33 g) 2,5x = 15 h) 23,3x = 46,6 i) 7,6x = 22,8 j) 9,4x = 37,6 Gleichungen mit Multiplikation und Addition Bevor diese Aufgaben nach dem herkömmlichen Muster gelöst werden können, muss der Term, der addiert wird, zunächst subtrahiert werden, dann hat die Gleichung wieder die bekannte Form. Beispiel: 5x + 13 = 73 Textgleichung: Zu dem 5fachen welcher Zahl muss man 13 addieren, um 73 zu erhalten? Allgemeine Form: ax + b = c Punktrechenarten binden stärker als Strichrechenarten, daher müssen Sie zuerst die Strichrechenart vom x lösen! Lösung: 5x + 13 = 73 / -13, auf beiden Seiten muss 13 subtrahiert werden 5x = x = 60 / : 5, beide Seiten müssen durch 5 dividiert werden 5x : 5 = 60 : 5 x = 12 5 * = 73 Probe = = 73 Das Ergebnis stimmt! Multiplikation und Addition Allgemeine Form ax + b = c Lösungshinweis ax = c - b x = (c - b): a Seite 16

17 Aufgabe 3 a) 2x + 14 = 98 b) 12x + 20 = 164 c) 9x + 45 = 144 d) 5x + 81 = 241 e) 8x + 12 = 300 f) 4x = 298 g) 12x + 27 = 51 h) x + 48 = 90 i) 7x + 50 = 99 j) 33x =405 k) 25x + 67 = 192 l) 36x = 502 Aufgabe 4 a) 8x + 24,3 = 48,3 b) 6x + 25,7 = 79,7 c) 2x + 14,62 = 24,62 d) 3x + 45,1 = 57,1 e) 9x + 2,51 = 65,51 f) 11x + 17,3 = 50,3 g) 6x + 126,75 = 138,75 h) 7x + 65,25 = 107,25 i) 24x + 25,88 = 97,88 j) 16x + 133,93 = 285,93 k) 18x + 16,4 = 88,4 l) 15x + 21,675 = 156,675 Seite 17

18 Gleichungen mit Multiplikation und Subtraktion Punktrechenarten binden stärker als Strichrechenarten, daher müssen Sie zuerst die Strichrechenart vom x lösen! Bevor diese Aufgaben nach dem herkömmlichen Muster gelöst werden können, muss der Term, der subtrahiert wird, zunächst addiert werden, dann hat die Gleichung wieder die bekannte Form. Beispiel 1: 3x - 15 = 12 Textgleichung: Vom 3fachen welcher Zahl muss man 15 subtrahieren, um 12 zu erhalten? Allgemeine Form: ax - b = c 3x - 15 = 12 / -15, auf beiden Seiten muss 15 addiert werden 3x = x = 27 / : 3, beide Seiten müssen durch 3 dividiert werden 3x : 3 = 27 : 3 x = 9 3 * 9-15 = 12 Probe = = 12 Das Ergebnis stimmt! Beispiel 2: 78-4x = 50 Textgleichung: Mit welcher Zahl muss ich 4 multiplizieren und dann von 78 subtrahieren, um 50 zu erhalten? Allgemeine Form: b - ax = c Punktrechenarten binden stärker als Strichrechenarten, daher müssen Sie zuerst die Strichrechenart vom x lösen! 78-4x = 50 / +4 x, auf beiden Seiten muss 4x addiert werden 78-4x + 4x = x 78 = x / - 50, beiden Seiten müsses 50 subtrahiert werden = 4x 28 = 4x / : 4, beide Seiten müssen durch 4 dividiert werden 28 : 4 = 4x : 4 7 = x 78-4 * 7 = 50 Probe = = 50 Das Ergebnis stimmt! Seite 18

19 Multiplikation und Subtraktion Allgemeine Form ax - b = c b - ax = c Lösungshinweis ax = c + b x = (c +b): a b = c + ax b - c = ax (b - c): a = x Aufgabe 5 a) 6 x - 23 = 25 b) 7x - 88 = 87 c) 13 x - 19 = 33 d) 24 x - 78 = 18 e) 7x - 31 = 25 f) 21x = 129 g) 41x = 198 h) 25x = 89 Aufgabe 6 a) 7x - 17,9 = 10,1 b) 9x - 47,5 = 24,5 c) 4x - 34,1 = 25,9 d) 8x - 15,7 = 32,3 e) 11x - 43,8 = 22,2 f) 15x - 9,8 = 140,2 g) 15x - 67,54 = 7,46 h) 27x - 165,9 = 374,1 Aufgabe 7 a) 225-4x = 177 b) 198-3x = 102 c) 71-5x = 36 d) 89-6x = 47 e) x = 194 f) x = 261 g) x = 471 h) x = 123 Seite 19

20 Gleichungen zur Division Beispiel 1: x : 6 = 4 Textgleichung: Welche Zahl muss man durch 6 dividieren, um 4 zu erhalten? Allgemeine Form: x : a = b x : 6 = 4 / *6, beide Seiten müssen mit 6 multipliziert werden x : 6 * 6 = 4 * 6 x = : 6 = 4 Probe 4 = 4 Das Ergebnis stimmt! Beispiel 2: 64 : x = 4 Voraussetzung x ungleich 0! Textgleichung: Durch welche Zahl muss man 64 dividieren, um 4 zu erhalten? Allgemeine Form: a : x = b Lösung: 64 : x / *x, beide Seiten müssen mit x multipliziert werden 64 : x * x = 4 * x 64 = 4x / : 4, beide Seiten müssen durch 4 dividiert werden 64 : 4 = 4x : 4 16 = x 64 : 16 = 4 Probe 4 = 4 Das Ergebnis stimmt! Division Allgemeine Form Lösungshinweis x : a = b x = b * a a : x = b x = a : b Seite 20

21 Aufgabe 1 a) x : 2 = 5 b) x : 4 = 12 c) x : 7 = 9 d) x :19 = 11 e) x : 8 = 14 f) x : 25 = 9 g) x : 137 = 9 h) x : 1245 = 3 Aufgabe 2 a) 20 : x = 2 b) 45 : x = 9 c) 39 : x = 3 d) 56 : x = 8 e) 120 : x = 6 f) 144 : x = 16 g) 255 : x = 5 h) 288 : x = 8 Aufgabe 3 a) x : 0,5 = 2 b) x : 0,75 = 9 c) x : 1,2 = 7 d) x : 1,3 = 21 e) x : 2,6 = 9 f) x : 7,4 = 11 g) x : 25,63 = 15 h) x : 33,78 = 19 Aufgabe 4 a) 7,5 : x = 5 b) 18,9 : x = 9 c) 24,6 : x = 6 d) 14,4 : x = 12 e) 16,44 : x = 4 f) 25,75 : x = 5 g) 125,75 : x = 25 h) 72,9 : x = 9 Seite 21

22 Aufgabe 5 a) x : 0,4 = 5 b) x : 0,25 = 10 c) x : 2,5 = 8 d) x : 3,2 = 5 e) x : 1,63 = 2 f) x : 9,55 = 4 g) x : 25,9 = 3 h) x : 91,5 = 2 Aufgabe 6 a) 6,25 : x = 2,5 b) 12,8 : x = 0,4 c) 1,89 : x = 0,9 d) 24,8 : x = 0,8 e) 19,8 : x = 3,3 f) 297,77 : x = 1,1 g) 187,5 : x = 12,5 h) 36,369 : x = 0,4 Seite 22

23 Gleichungen mit Division und Addition Beispiel 1: x : = 18 Textgleichung: Welche Zahl muss man durch 9 dividieren und dann 13 addieren, um 18 zu erhalten? Allgemeine Form: x : a + b = c Punktrechenarten binden stärker als Strichrechenarten, daher müssen Sie zuerst die Strichrechenart vom x lösen! Lösung: x : = 18 / -13, auf beiden Seiten muss 13 subtrahiert werden x : = x : 9 = 5 / *9, beide Seiten müssen mit 9 multipliziert werden x : 9 * 9 = 5 * 9 x = : = 18 Probe = = 18 Das Ergebnis stimmt! Division und Addition Allgemeine Form Lösungshinweis x: a + b = c x : a = c - b x = (c - b) * a a : x + b = c a : x = c - b x = a : (c-b) Aufgabe 7 a) x : = 32 b) x : = 150 c) x : = 26 d) x : = 144 e) x : = 323 f) x : = 79 g) x : = 418 h) x : = 3461 Seite 23

24 Aufgabe 8 a) 25 : x + 16 = 21 b) 36 : x + 9 = 21 c) 34 : x + 61 = 63 d) 72 : x + 78 = 81 e) 145 : x + 77 = 106 f) 248 : x + 93 = 124 g) 275 : x = 209 h) 549 : x = 382 Aufgabe 9 a) x : 9-34 = 6 b) x : = 143 c) x : = 18 d) x : = 101 e) x : = 11 f) x : = 178 g) x : = 4 h) x : = 5 Aufgabe 10 a) 88 : x - 5 = 17 b) 175 : x - 21 = 14 c) 144 : x - 9 = 3 d) 225 : x - 11 = 4 e) 360 : x - 89 = 151 f) 459 : x - 37 = 14 g) 765 : x = 122 h) 1683 : x = 122 Aufgabe 11 a) x : 2, = 107 b) x : 1, = 47 c) x : 1, = 51 d) x : 3, = 109 e) x : 1, = 56 f) x : 4, = 130 g) x : 3, = 252 h) x : 7, = 72 Seite 24

25 Aufgabe 12 a) 91 : x + 25 = 38 b) 27 : x + 18 = 21 c) 75 : x +49 = 64 d) 110 : x = 200 e) 68 : x + 22 = 39 f) 143 : x + 37 = 48 g) 186 : x = 174 h) 250 : x + 99 = 109 i) 480 : x = 256 j) 720 : x = 400 k) 729 : +67 = 148 l) 999 : x + 31 = 142 Fazit : Versuchen Sie grundsätzlich alle Zahlen, die nicht - durch eine Punktrechnung - fest an das x angebunden sind, auf die entgegengesetzte Seite zu bringen. Seite 25

26 Übungen zu allen Grundrechenarten Tipp: Egal wie viele Terme in der Gleichung stehen, Ziel ist es, dass x allein steht. Manchmal müssen Sie Terme erst ausrechnen. Denken Sie daran, dass Punktrechenarten stärker binden als Strichrechenarten, daher müssen Sie zuerst die Strichrechenarten vom x lösen, danach erst die Punktrechenarten! Beispiel: 25x + 7* 15 = 4,6 * 50 25x + 7 * 15 = 4,6 * 50 ausrechnen 25x = 230 / x = x = 125 / : 25 x = 5 25 * * 15 = 4,6 * 50 Probe = = 230 Das Ergebnis stimmt! Das Ergebnis einer Gleichung kann auch gleich 0 sein. Beispiel: 27x - 9 * 9 = 0 27x - 9 * 9 = 0 27x - 81 = 0 / x = x = 81 / : 27 x = 3 27 * 3-9 * 9 = 0 Probe = 0 0 = 0 Das Ergebnis stimmt! Aufgabe 1 a) x + 13 = 27 b) x = 235 c) 14,5 + x = 36,7 d) 3,6 + x = 35,5 e) x - 16 = 3 f) x - 2,25 = 0 g) x - 18,5 = 0,7 h) 25 - x = 7 i) x = 0 j) 64 : 16 : x = 1 Seite 26

27 Aufgabe 2 a) 8,5 + x - 3,8 = 10,3-3,1 b) 0,5 + 0,75 + x = 23,6-7,25 c) 5,7 + x - 3,2 = 24,8 + 15,2 d) 6,9-2,11 + x = 10,45-7,35 e) 5x = 62,5 f) 6x = g) 9x = 81: 4,5 h) 25 x = 3,75 * 7 i) 6x + 58 = 3 * * 5 j) * 75 = 22 x Aufgabe 3 a) 66x = 660 b) 25x = 3,75 c) 12x - 44 = 100 d) 28x = 49 e) 15x - 14 = 31 f) 46-5x = x g) x = 161 h) x = 867 Aufgabe 4 a) 5 + 3x - 35 = 2x x b) x = 15x x c) 4x x = 70-18x d) x = 74x + 34 Seite 27

28 Gleichungen mit Brüchen Aufgabe 1 a) x = 9 b) x = 20 c) x =50 d) x * = 66 e) x +9 = f) x = g) x = h) x = Aufgabe 2 a) x = b) x + 9 ½ = c) x = d) x = e) x = f) x + 9 ½ = g) x = h) x = Aufgabe 3 a) 5 12 x = 5 18 b) x 19 = 6 c) x 43 = 102 d) 3 4 = x 16 Seite 28

29 Name: Vorname: Klasse/Kurs: Datum: Kontrollbogen Aufgabe 1 Übersetzen Sie die Aufgaben in eine Gleichung und lösen Sie die Gleichung: 1. Zu welcher Zahl muss man 2150 addieren, um als Ergebnis 4000 zu erhalten? 2. Von welcher Zahl muss man 67 subtrahieren, um als Ergebnis 31 zu erhalten? 3. Von welcher Zahl muss man 266 subtrahieren, um als Ergebnis 712 zu erhalten? 4. Mit welcher Zahl muss man 12 multiplizieren, um als Ergebnis 156 zu erhalten? 5. Mit welcher Zahl muss man 5 multiplizieren, um als Ergebnis 655 zu erhalten? 6. Durch welche Zahl muss man 150 dividieren, um als Ergebnis 50 zu erhalten? Aufgabe 2 a) x = 984 b) x = 1206 c) x + 1,4 = 76,5 d) x + 5 = 201 e) x - 12 = 2341 f) x - 4,3 = 60,3 Aufgabe 3 a) 21,3 - x = 17,7 b) 69,87 - x = 22,41 c) 124,18 - x = 41,89 d) 4 - x + 12 = 36,4 e) 36 - x - 2,4 =12,1 + 5,1 f) 125,8 - x = 19,6 Seite 29

30 Aufgabe 4 a) 14,5x = 290 b) 18,3x = 36,6 c) 16,5x = 495 d) 72x = 28,8 e) 81x - 5= 35,5 f) 5,5x + 10= Aufgabe 5 a) x : 4 = 55 b) 34 : x = 10 c) x : 2,5 = 51 d) 16 : x = 5 e) 3 + x : 3 = 4 f) 45 : x - 28 = 2 Aufgabe 6 a) 3x + 4x - 34 = x + 2 b) 25x + 7 * 15 = 4,6 * 50 c) 27x - 9 * 3,6 = 0 Aufgabe 7 a) 5 + 3x - 35 = 2x x b) x = 15x + 7,3-3x c) 4x x = 70-18x d) x = 74x + 34 Seite 30

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