Polarkoordinaten und Lineare Optimierung im Unterricht

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1 IFFB Fchdidktik Mthemtik Hellbunne Stße 3 A 500 Slzbug Polkoodinten und Linee Optimieung im Unteicht Schiftliche Abeit zu LV "Zhlenbeeiche und Viblen" im WS 007/008 eingeeicht von Pete Bine bei Univ.Ass. Mg. D. Hns-Stefn Sille m 6. Febu 008

2 Gliedeung Polkoodinten. Die Koodinten (/φ) ls Altentive zu (/y).. Mögliche Einstiege ins Them.. Tnsfomtion von Punkten..3 De Abstnd zwischen Punkten 5. Die Funktionsdstellung f(φ) ls Altentive zu y f() 6.. Tnsfomtion von Funktionen 8.. Die Steigung in einem Punkt eine Funktion in Poldstellung 0..3 Die Tngente in einem Punkt eine Funktion in Poldstellung.. Die geometische Bedeutung de Ableitung f () 3 Linee gnzzhlige Optimieung 6. Vobeeitung und Voussetzungen 6.. Linee Gleichungen in Viblen (Geden) 6.. Linee Ungleichungen in Viblen (Hlbebenen) 8. Gfisches Vefhen fü Optimieung in Viblen 9.. Didktische Aspekte und Hintegünde 0.3 Ein echneisches Vefhen: de Simple-Algoithmus Polkoodinten. Die Koodinten (/φ) ls Altentive zu (/y) Im Mthemtik-Unteicht beschänkt sich die Dstellung von Punkten und Funktionen in den meisten Fällen uf die Dstellung in ktesischen Koodinten und y. Die Möglichkeit de Dstellung in Polkoodinten bigt fü die Schüle mit Sicheheit eine Hoizonteweiteung fü den gesmten Themenbeeich de Koodintengeometie und fü die Behndlung von Funktionen und funktionlen Zusmmenhängen zwischen zwei Gößen bzw. Koodinten, die mn unbedingt nutzen sollte. In welchem Ausmß mn die folgenden Ausfühungen im Schulunteicht behndeln wid, ist eine Fge de vefügben Zeit; im Regelfll wid mn die Anwendungen de Diffeentilechnung wohl usklmmen.

3 Die Polkoodinten eines Punktes P sind: De Poldius, de den Abstnd des Punktes von einem gegebenen Koodintenuspung 0, dem sogennnten Pol ngibt, und de Polwinkel, de ds Bogenmß zwischen de Stecke OP und de Polchse ngibt. Die Polchse ist ein Sthl, de duch O hinduchgeht. De Polwinkel ist mthemtisch positiv, wenn e im Gegenuhzeigesinn von de Polchse us gemessen wid. Die folgende Abbildung soll dies venschulichen. P( / ) 0 (Pol) Polchse.. Mögliche Einstiege ins Them De motivieendste Einstieg in ein Them geschieht übe ein Beispiel us de Pis, ds genu zum neuen Stoffgebiet hinfüht. Beim Them Polkoodinten stieß ich in meinen Übelegungen und uch in meine Recheche übe folgende Einstiegsbeispiele: die "Wegbescheibung" und den "Rdschim". Die Wegbescheibungs-Aufgbe lutet: "Ansttt zu sgen, Gehen Sie 700m östlich und 700m nödlich, könnte mn uch sgen: Gehen Sie km nodöstlich. Sie wüden ungefäh n de selben Stelle nkommen. Kontolliee diese Aussge duch eine Zeichnung im Koodintensystem!" Im Moment, wo die Schüle die Länge de nodöstlichen Stecke in ihem Heft bmessen, hben sie mit dem Rdius und dem Winkel 5 Gd beide Polkoodinten kl im Geodeieck esichtlich und duch eigenes Tun uch in ihen Händen und Köpfen. Hie knn mn einhken, und beispielsweise fgen, ob de Punkt duch diese beiden Angben (Winkel und Rdius) genuso wohldefiniet ist wie duch die üblichen und y-koodinten. An die Bespechung und Diskussion des Beispiels fügt sich eibungslos die Definition de Polkoodinten, sowie die Umechnungsfomeln ls echneische Übepüfung de Lösung bzw. de Zeichengenuigkeit.

4 De Rdschim ist fü ds Them de Polkoodinten ein nheliegendes und vebeitetes Einfühungsbeispiel, ähnlich wie ds Themomete bei de Einfühung de negtiven Zhlen. Neben einigen Schulbüchen (u.. Reichel) wid es uch im Intenet oft n den Anfng dieses Kpitels gestellt (so z.b. hie im Geogeb-Aufgbenpool ). Des weiteen sind übigens Online-Umechne zwischen ktesischen und Polkoodinten vefügb, sowie nschuliche Koppelungen von Funktionen in Poldstellung und deen "Pendnt" in ktesischen Koodinten 3. Zwei Anmekungen möchte ich hie noch einfügen: Zum Einen sollte de Rdschim kein bloßes Beispiel bleiben, sonden uch in eine Aufgbenstellung vepckt weden. Anlog zu Wegbescheibungs-Aufgbe könnte mn z.b. fgen: "Welchen Kus (Winkel) muss ein Pilot meiden, wenn 8km westlich und km nödlich von ihm ein Hindenis liegt, und wie weit ist ds Hindenis von ihm entfent?" Ode, etws elitätsnhe, mn lässt die Schüle die Angben eines Rds zeichneisch n eine vogegebenen Skizze blesen: "Bestimme die Entfenung und den Kus (Winkel) de dei Hindenisse P, Q und R im Rdschim duch Abmessen uf de beiligenden Skizze! Messe dbei den Winkel, wie vogezeichnet, von de Wgechten us im Gegenuhzeigesinn, und gib ihn sowohl in Gd ls uch im Bogenmß n."

5 Zum Andeen hlte ich eine dynmische Päsenttion de Polkoodinten und ktesischen Koodinten in einem Koodintensystem wähend de Einfühung in de Schule ufgund de hohen diekten Anschulichkeit fü unumgänglich z.b. leicht elisieb in Geogeb:.. Tnsfomtion von Punkten Die Übefühung von ktesischen Koodinten in Polkoodinten und umgekeht knn zu Beginn ein gphisch geschehen. Die Umechnung zwischen beiden Koodintensystemen geschieht sodnn nhnd folgende Fomeln, die (mit Hilfe de Winkelfunktionen und des Stz des Pythgos) us de Skizze entnommen weden können. Dbei wid ngenommen, dss die -Achse und die Polchse eineseits, und beide Koodintenuspünge ndeeseits zusmmenfllen. y P ) ) 3) ) cos y sin + y y tn Polkoodinten zu ktesischen Kood. Ktesische Kood. zu Polkoodinten 0

6 De Punkt 3 π ht in einem ktesischen Koodintensystem nch ) und ) somit die Koodinten 3 cos π 3 sin π, lso ( ) 0. Die Polkoodinten des in ktesischen Koodinten gegebenen Punktes ( ) egeben sich nch 3) und ) wie folgt: + und Die Polkoodinten des Punktes sind lso π. tn π Achtung: In den meisten Fällen sind zu diesem Zeitpunkt im Schulunteicht die Winkelfunktionen nu im echtwinkligen Deieck definiet woden und nu fü spitze Winkel beknnt. Also ist fü die Beechnung des Polwinkels von Punkten im II. und III. Qudnten die obige Umechnungsfomel zunächst nicht nwendb. Eine Übelegung m Einheitskeis, welche Vozeichen die Winkelfunktionen in den jeweiligen Qudnten besitzen, liefet die sogennnten Reduktionsfomeln bzw. in diesem Fll mit de Fomel ( α) tn( α + π) tn die folgende Einsicht: D de Tschenechne bzw. ein CAS nu den eduzieten Winkel ls Egebnis liefet, muss mn bei Punkten im II. und III. Qudnten zum ehltenen Winkel noch π bzw. 80 ddieen. Eine Skizze zu Übepüfung de umgewndelten Koodinten ist in jedem Fll empfehlenswet. Weites ist ntülich im gesmten Kpitel duf zu chten, ob Winkel im Bogenmß ode in Gd ngegeben ode gewünscht sind...3 De Abstnd zwischen Punkten Ht mn die Polkoodinten zweie Punkte gegeben, so lässt sich mit Hilfe des Cosinusstzes de Abstnd d zwischen diesen Punkten beechnen. P ( / ) d P ( / ) 0 (Pol) Polchse 5

7 d ( ) + cos d + + cos ( ) Dbei spielt es keine Rolle, welchen de Punkte mn ls P bzw. ls P bezeichnet. Eineseits gelten im beechneten Ausduck fü die Poldien die Kommuttivgesetze bezüglich de Addition und de Multipliktion, und ndeeseits gilt bei den Polwinkeln cos( ) ( ) cos Komponente gleich bleibt: ( α) cos( π α) cos., d de Cosinus dbei ls wgechte. Die Funktionsdstellung f(φ) ls Altentive zu y f() Meistens beschänkt sich uch die Dstellung von Funktionen und Kuven im Unteicht uf ein ktesisches Koodintensystem. Eine mögliche Funktionsvoschift lutet dnn z.b. y ode y sin und diese Zusmmenhng zwischen den hoizontlen und vetiklen Anteilen wid punktweise mit Hilfe eine Wetetbelle gfisch dgestellt. Dss es eineseits nicht imme möglich ist, eine Abhängigkeit zwischen diesen beiden Gößen und y duch eine einzige Gleichung uszudücken, und dss mn ndeeseits uch ndes sinnvoll zusmmenhängende Gößen mit eine Funktionsvoschift veknüpfen knn, wid vielen Schüle zunächst estunlich und ungewöhnlich escheinen. Die este Einsicht füht zu Funktionsdstellung de Pmetefom, wo die Veknüpfung und Abhängigkeit zwischen den ktesischen Koodinten in zwei sepeten Gleichungen duch eine Hilfsvible (den Pmete) fomuliet wid, wie es z.b. bei zusmmengesetzten Bewegungen nötig sein knn. Die Polkoodinten gehöen zu zweiten Übelegung, wobei mn mit einfchen Funktionsvoschiften inteessnte Gphen bescheiben knn, die fü Schüle neu sind, und die in ktesischen Koodinten nu ungleich schwee zu fomulieen sind. Ds Loslösen vom gewohnten f ( ) y füht ußedem insofen zu einem tiefeen Veständnis von Funktionsvoschiften, ls dss die Schüle in ndeen Dstellungen die Bedeutung de jeweiligen Viblen wiede neu heusfinden und ekennen müssen. "Welche Vible wid welche Viblen zugeodnet? Welche entspingt dem Definitions-, welche dem Wetebeeich? Welche ist von de ndeen bhängig?" Wie ist nun eine Funktion in Polkoodinten ufgebut? Eine Zuodnungsvoschift f() gibt n, uf welche Weise jedem Winkel innehlb eines vogegebenen Definitionsbeeichs ein Rdius zugeodnet wid: 6

8 P( / ) P( / ) 0 f() Ebenso wie im ktesischen Koodintensystem geht mn uch beim Zeichnen von Kuven de Fom f() m Besten punktweise vo, ds heisst, mn wählt mit dem Geodeieck einen bestimmten Winkel, beechnet den dzugehöigen Rdius und zeichnet so ncheinnde veschiedene Punkte ein, duch die mn den Veluf des Gphen gut bschätzen knn. Este Aufgbenstellungen können wie folgt ussehen: Estelle fü die Funktion ( cos ) eine Wetetbelle, und zeichne und vebinde die gefundenen Punkte in ein Polkoodintensystem. Wähle die Wete de Polwinkel im Einheitsintevll [, π] Winkel teilst. ( cos ) 0 0 /8 π 0,5093 / π 0, /8 π,3633 / π 5/8 π, / π 3,356 7/8 π 3, π 9/8 π 3, / π 3,356 /8 π, / π 3/8 π,3633 7/ π 0, /8 π 0,5093 π z.b. indem du dieses in 6 gleich goße 7

9 .. Tnsfomtion von Funktionen Duch die Beziehungen ) bis ) lssen sich nicht nu Koodinten eines Punktes tnsfomieen, sonden uch funktionle Zuodnungsvoschiften. Zu Einneung: ) ) 3) ) cos y sin + y y tn Polkoodinten zu ktesische Kood. Ktesische Kood. zu Polkoodinten Dies soll nhnd zweie Beispiele eläutet weden. Beispiel von y f() zu f(φ): Eine in ktesischen Koodinten gegebene Funktion soll in die pole Dstellungsweise übegefüht weden. Gegeben sei die Pbel y. Diese Pbel steht in este Huptlge, sie ist lso symmetisch zu y-achse und veläuft nu im I. und II. Qudnten. Im Rechenmodus des Bogenmßes wid deshlb uf ds Intevll 0 π begenzt. Die Pbel soll nun in die Fom f() gebcht weden. Dzu geht mn folgendemßen vo: Zuest setzt mn die Funktionsgleichung y in 3) und ) fü y ein: Aus 3) folgt: + y + Aus ) egibt sich: tn Dnn dückt mn in eine de beiden Gleichungen eplizit us (hie in )) und setzt es in die ndee Gleichung ein, sodss din nu meh und vokommen: tn 0 ( tn ) 0 0 wid hie ls Lösung usgeklmmet, weil die Funktion in diesem Fll keine Pbel meh wäe, sonden nu die -Achse bescheiben wüde. tn 0 tn In 3) eingesetzt ehält mn: 8

10 sin sin tn + tn + cos cos sin (cos + sin ) sin cos cos sin cos cos + sin Die Umfomung des Wuzelziehens, eigentlich eine Velustumfomung, veändet in diesem Fll den Gehlt de Gleichung nicht, d 0 und 0 π. Die Funktionsvoschift lutet lso ( ) sin. cos Anmekung: Wüde mn beide Wuzeläste sin cos ± betchten, käme bei eweitetem Defitionsbeeich ufs Einheitsintevll eine zweite, m Pol bzw. de -Achse gespiegelte Pbel im Gph hinzu, ws nicht in unseem Sinne liegt. Beispiel von f(φ) zu y f(): Nun inteessiet uns die Umechnung eine in Polkoodinten gegebenen Funktion in ktesische Koodinten. De unten gezeichnete Keis ht in Polkoodinten die Dstellung sin(). Es wid nun eine Dstellung des Keises in de Fom f(,y) 0 gesucht. Auch hie wid wiede die Einschänkung 0 π getoffen, d de Keis wie die Pbel nu in den esten beiden Qudnten veläuft. Die Umechnungsmethode hängt von de jeweiligen Funktion b. Allgemein lässt sich sgen, dss die Funktionsgleichung f(φ) in ) und ) eingesetzt wid und die esultieenden Gleichungen so umgefomt weden, dss mn einen Ausduck mit Winkelfunktionen duch einen Ausduck mit ode y esetzen knn. Aus ) folgt: cos sin cos sin cos ( cos ) cos Aus ) folgt: y sin y cos cos y 9

11 Und somit: ( ( y) ) ( y) y ( y) y y + y y 0 Die Umechnung ist hie bgeschlossen, de Keis liegt in de Fom f(,y) 0 vo. Um die Keisgleichung be in die spezielle Koodintenfom ( ) + ( y y ) zu bingen, in de sich sowohl de Rdius ls uch die Mittelpunktskoodinten einfch m m blesen lssen, wid y y ls Teil de binomischen Fomel ( ± b) ± b + b ngesehen. Wenn y entstpechen soll und y b, so muss b sein. D b fehlt, muss es uf de echten Seite hinzugefügt weden. Die Methode de qudtischen Egänzung wid so utomtisch themtisiet und mit den Schülen wiedeholt. Die gesuchte Keisgleichung ht lso die Fom de Mittelpunkt ist demnch ( 0 ) + y,. M und de Rdius.. Die Steigung in einem Punkt eine Funktion in Poldstellung Die Ableitung f ( ) lässt sich nicht ls die Steigung eine Kuve de Fom f() deuten, wie dies in einem ktesischen Koodintensystem de Fll ist, sonden muss uf ndeem Weg emittelt weden. Im ktesischen Koodintensystem ist die Steigung k in einem Punkt P( P y P )) eine Kuve f ( ) y folgendemßen definiet: k P f ( ) P d y d y lim 0 f lim 0 ( + ) f ( ) P P Wi wollen den Ausduck k y lim umwndeln in einen Ausduck ohne und y, 0 be dfü mit und, lso de Funktionsvoschift de Kuve und de Stelle, n de die Steigung usgeechnet weden soll. Dzu betchten wi die folgende Skizze: Nähet sich de Punkt P imme meh n P 0 n, geht lso gegen 0, so stebt uch gegen 0. 0

12 P(;) P0(0;0) f() Es ist lso möglich, fü k zu scheiben: y k lim 0 y lim 0 y lim 0 lim 0 De Limes gilt fü den gesmten Buch und knn deswegen uch in den Zähle und Nenne ufgesplten weden. y d y Es ist ußedem lim y und 0 d y lim, und dhe k. 0 und y, lso die Ableitungen von ) und ) egeben sich mit de Poduktegel: cos cos sin y sin y sin + cos und stehen hie fü die Funktionsvoschift bzw. deen Ableitung: ist lso ungleich 0. Bei de Funktion sin zum Beispiel wäe ( sin ) cos. Also ist die Steigung k in einem Punkt ( ) P gegeben duch: k sin + cos cos sin..3 Die Tngente in einem Punkt eine Funktion in Poldstellung In diesem Abschnitt soll eine Gleichung de Fom y k + d gefunden weden, die die Tngente in einem beliebigen Punkt ( ) P de Kuve f() bescheibt. Von den gesuchten Pmeten k und d kennen wi die Steigung k schon. Um d zu bekommen,

13 setzen wi die schon beknnten Fomeln ) und ) in die gesuchte Tngentengleichung ein, und fomen nch d um: ) cos ) y sin y k + d sin k cos + d d sin k cos Ds Einsetzen von d, und dnch ds Einsetzen von k in die Tngentengleichung egibt eine llgemeine Fom, in de nu noch die gegebenen Polkoodinten und ls Viblen vokommen. y k + sin k cos ( cos) + y k sin sin + cos y ( cos) + sin cos sin Beispiel : sin Die Kuve ist gegeben. Gesucht ist die Tngente n de Stelle α 63, 3. cos Den Rdius bekommt mn duch ds Einsetzen von α in die Funktionsgleichung: sin 63,3 ( cos 63,3 ) 0 Fü die Steigung wid ußedem benötigt, lso leiten wi die Funktionsgleichung mit Hilfe de Quotientenegel und de Poduktegel b und setzen α ein: ( α) sin α cos α cosα cos cos α + sin ( sin α) cos α sin α ( cosα cos α) α sin α cos α α cos Jetzt knn die Steigung beechnet weden: α ( ) sin α cosα cosα ( cos α + sin α) cos ( cos 63,3 ) + ( sin 63,3 ) 0, α sin + cos 0, sin 63,3 + k cos sin 0, cos 63,3 0 cos 63,3 0 sin 63,3

14 Um d zu ehlten, müssen usse de Steigung k uch und y in die gesuchte Tngentengleichung y k + d eingesetzt weden. Dzu benutzt mn ) und ), in die die Polkoodinten des Punktes ( 0 63,3 ) eingesetzt weden: cos y sin k 0 cos 63,3 0 sin 63,3 y k + d + d d Die gesuchte Tngentengleichung lutet lso y... Die geometische Bedeutung de Ableitung f () Wie gezeigt wude, gibt die Ableitung f () nicht die Steigung de Tngente n eine Kuve n, sonden muss ndes gedeutet weden. Um sich geometisch zu venschulichen, betchten wi in de folgenden Abbildung eine beliebige Funktion und die Tngente n einem Punkt de Funktion, und dübe hinus die Stecke, konstuiet übe die Nomle zu im Pol und die Nomle zu Tngente in P. f() S δ δ 0 α Polchse 3

15 Aus de Zeichnung entnimmt mn, dss Es gilt deswegen tn δ mit δ α, lso tn( α ). δ α, weil de Winkel δ bei S gleich dem Winkel δ beim betchteten Punkt ist, d die Schenkel wechselseitig ufeinnde senkecht stehen. Mit Hilfe des tigonometischen Additionstheoems fü tn( α ) gilt: tn α tn + tn α tn tn α lässt sich duch die Steigung k de Tngente esetzen: k tn. + k tn und mit de schon beknnten Fomel fü die Steigung k in einem Punkt folgt nun: sin + cos tn cos sin sin + cos + tn cos sin sin + cos tn ( cos sin ) cos sin cos sin + tn ( sin + cos ) cos sin Wi küzen die Nenne im Doppelbuch und multiplizieen us: sin + cos tn ( cos sin ) cos sin + tn ( sin + cos ) sin + cos sin + tn sin cos sin + tn sin + sin Je zwei Ausdücke heben sich gegenseitig uf, und lssen sich heusheben: cos + tn sin cos + tn sin ( cos + tn sin ) ( cos + tn sin ) Wie die Rechnung zeigt, gilt lso. Die Stecke ist im Polkoodintensystem die Polsubnomle eines Punktes, lso ist f () geometisch ls diese zu intepetieen. Betchtet mn dzu noch einml die Konstuktion von in de obigen Skizze, egibt sich folgende Ekenntnis: Ist 0, so steht de Poldius in diesem Punkt noml zu seine Tngente. Die folgende Seite könnte (in einem Whlpflichtfch Mthemtik ode fü ein Spezilgebiet bei de Mtu) ls Kopievolge (mit ode ohne Lösung) vewendet weden, sie übepüft in einem Beispiel genu den eben ebeiteten Zusmmenhng.

16 Beispiel : Von de dgestellten Funktion sin cos sollen diejenigen Punkte beechnet weden, uf deen Tngente de Poldius senkecht steht. Die Punkte sind duch die Bedingung 0 bestimmt: ( sin cos ) 0 Beim Ableiten wid die Poduktegel vewendet: ( sin ) cos + sin ( cos) cos cos + sin ( sin ) cos sin Mit dem Stzes sin α + cos α eduzieen wi die Anzhl de Winkelfunktionen: sin sin sin sin sin 0 Mit 0 π, lso keine Einschänkung de Gundmenge, d die Funktion in llen Qudnten veläuft, egeben sich fü die folgenden vie Lösungen: π 3 π 3 5 π Die Rdien egeben sich duch ds Einsetzen de Winkel in die Funktionsgleichung: sin π cos π 3 Die gesuchten Punkte sind somit: 7 π π P 3 π P3 5 π P P 7 π 5

17 Linee gnzzhlige Optimieung Andes ls ds Kennenlenen de Polkoodinten, im AHS-Lehpln fü die 5. Klsse vogesehen, ist die Linee Optimieung nicht im AHS-Lehpln venket, sonden nu die Auseinndesetzung mit Ungleichungen in de 6. Klsse. Jedoch fü den. Jhgng de HTL ist sie eplizit im Lehpln fü Angewndte Mthemtik enthlten. Auch in de AHS wüde ich dieses Gebiet jedoch bei de esten Möglichkeit ls Eweiteungsstoff im Unteicht behndeln wollen, d ich dessen eemplischen Modellchkte in Vebindung mit elen Fgestellungen seh schätze, genuso wie die Veschmelzung de geometischen und lgebischen Ebene sowohl im Modellieen ls uch im Poblemlösen, sowie ds Aufzeigen de "Genzen" de Mthemtik, nämlich dss es fü ds Lösen von Ungleichungssystemen im Allgemeinen keine tivilen Beechnungsmöglichkeiten gibt. Ausgehend von eine Einfühung in die Linee Optimieung, die ich 006 gestltet hbe (mit didktischem Komment online zu finden im Geogeb-Aufgbenpool ), möchte ich eineseits genue uf didktische Voussetzungen und besondee Aspekte de in de Schule gut elisieben gfischen Lösungsmethode eingehen, und ndeeseits eine übe den Schulstoff hinusgehende Eweiteung uf die echneische Lösungsmethode des Simple-Algoithmus usfühen.. Vobeeitung und Voussetzungen In vielen mthemtischen Gebieten scheiten Schüle im Schullltg oft nicht n neu elenten Inhlten dieses Gebiets, sonden m dfü notwendigen mthemtischen Vowissen zuvo behndelte Inhlte. Dzu gehöen im Fll de lineen Optimieung Inhlte us de elementen Algeb wie Tem- und Gleichungsumfomungen, Denken und Fomulieen von Schbeziehungen in Viblen, Ungleichungen, linee Funktionen und ihe Dstellung im ktesischen Koodintensystem... Linee Gleichungen in Viblen (Geden) Eine Wiedeholung de Gedengleichung in ihe epliziten Fom y k + d und in ihe Nomlfom + b y c ist unumgänglich und knn je nch Bedf meh ode bzw. 6

18 wenige usfühlich n de Tfel ode dynmisch und intektiv uch m Compute geschehen. Besondees Augenmek vedient in jedem Fll de Steigungsbegiff und, dmit uch zusmmenhängend, die diekte Vekettung von Gleichung und Gph de Geden. Fgen wie "Wo knn ich ds d blesen?", "Wie zeichne ich die Steigung ein?" und "Wie funktioniet ds Steigungsdeieck bei eine Steigung in Buchfom?" sollten vo Beginn des Kpitels lle bentwotet weden und in Fleisch und Blut de Schüle übegegngen sein. Fü die Begündung de Bentwotung letztee Fge knn beispielsweise die folgende Skizze vewendet weden, die eine geeignete Steckung des Steigungsdeiecks dstellt, sodss die beiden Ktheten gnzzhlig weden: k b k b b b b b Als Mekhilfe knn dienen: Bei eine Steigung k b wid de Zähle (oben im Buch) ls vetikle Komponente im Steigungsdeieck (flls positiv lso uch nch oben) eingezeichnet, de Nenne ls hoizontle Komponente. Ebenflls Bechtung velngt ds Umfomen von Gedengleichungen von ihe Huptfom uf die eplizite Fom zum einfcheen Zeichnen. Die dbei vewendeten Umfomungen sind die Addition bzw. Subtktion, einfche Temumfomung sowie eine Division duch eine Zhl ungleich 0. Ds heißt, lle Umfomungen sind echte Äquivlenzumfomungen, die in keine Weise den Gehlt de Gleichung veänden: + b y c b y c b y + c y b + y k + d c b beidseitige Subtktion von ( ) Kommuttivgesetz de Addition echts beidseitige Division duch b Genuso poblemlos geschieht ds Umwndeln bei Ungleichungen, wobei bei eine Division duch eine negtive Zhl sich ds Reltionszeichen umkeht, ws in de Schule n diese Stelle ntülich behndelt bzw. wiedeholt weden muss. 7

19 .. Linee Ungleichungen in Viblen (Hlbebenen) Wichtig fü die linee Optimieung wid die geometische Intepettion und Lösung von lineen Ungleichungen in Viblen ls Hlbebenen sein. Liegt so eine Ungleichung vo, fomt mn sie uf die eplizite Fom y < k + d bzw. y > k + d um. Die Lösung beinhltet nun lle Punktepe ( y), deen y-wete kleine bzw. göße sind ls Rndgeden k + d, ds sind lle Punktepe untehlb bzw. obehlb de y k + d. Bei den Reltionszeichen und sind die Punkte uf de Rndgeden ebenflls Teil de Lösungsmenge. Beim Lösen von Systemen solche Ungleichungen ist die Lösungsmenge de Duchschnitt lle Lösungsmengen de einzelnen Ungleichungen. Einfühende Aufgbenstellungen wie die folgenden sind in jedem Fll empfehlenswet, ltentiv ode egänzend dzu wüde sich ein intektives Zuodnungs-Quiz zwischen gezeichneten Hlbebenen und dzugehöigen Ungleichungen nbieten. Beispiel: Bestimme die Lösungsmenge de folgenden Ungleichung in ktesischen Koodintensystem d: 3 5y < 0 und stelle sie im 3 5y < 0 5y < 0 3 5y < 3 0 y > y > obee Hlbebene y {( ) L y 3 y > + } : 5 untee Hlbebene Ist ein Schüle unsiche, ob seine Umfomungen stimmen und ob die obee ode die untee Hlbebene die Lösungsmenge ist, knn e einfch einen Testpunkt in die Ungleichung einsetzen (z.b. den Punkt ( 0 0), sofen diese nicht uf de Rndgeden liegt): Seine Koodinten weden die Ungleichung genu dnn efüllen, wenn e in de Lösungsmenge liegt. 8

20 Hie egibt ds Einsetzen des in de unteen Hlbebene liegenden Punktes ( 0 0) eine flsche Aussge: > 0 0 > 0, lso ist die obee Hlbebene die Lösungsmenge. Beispiel: Stelle die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems gfisch in ZZ d: I : II : III : IV : y y 5 y < 3 + y y.3 y y 7.5 obehlb von y.3 obehlb von y untehlb und uf y 3 obehlb von y 7.5 L ( ),( 3 ),( ),( ), ( 0 ),( ),( 3 ), ( ), ( ), ( 0 ), ( ), ( 0),( 0),( 0 0), ( 0 ). Gfisches Vefhen fü Optimieung in Viblen Aufgbenstellungen de lineen Optimieung in Viblen velngen eine Optimieung (eine Mimieung ode Minimieung) eine lineen Zielfunktion unte gewissen Voussetzungen, sogennnten Nebenbedingungen, die in Fom eines Ungleichungs-Systems fomuliet sind. Ein einfühendes Beispiel, ds eemplisch die llgemeine Vogehensweise zum gfischen Auffinden dieses Optimums vedeutlicht, ist in de ewähnten Online- 9

21 Einfühung zu finden. Ds Ungleichungs-System stellt, wie oben schon beschieben, eine Menge lle möglichen Lösungen d, den sogennnten zulässigen Beeich. Din efüllen lle Punkte die gefodeten Nebenbedingungen. De mimle bzw. minimle Punkt dus wid duch Pllelveschieben de Zielfunktions-Geden n den beteffenden Rnd des zulässigen Beeichs gefunden. Die Lösung liegt nch dem Huptstz de Lineen Optimieung stets m Rnddes zulässigen Beeichs, und ist im Allgemeinen eindeutig und liegt in einem Eckpunkt. Ds bedeutet, wenn wi die Lösung in eine Ecke gfisch emittelt hben, können wi sie zu Pobe ode zu Vebesseung bei ungenuen Zeichnungen ode Messungen echneisch emitteln, indem wi die beiden Geden miteinnde schneiden, die die beteffende Ecke bilden. Jedoch gibt es bezüglich de Eindeutigkeit de Lösung uch Sondefälle bei lineen Optimieungsufgben: Ist de zulässige Beeich lee, gibt es keine Lösung. Ist de zulässige Beeich nch oben nicht beschänkt und wid ein Mimum gesucht,gibt es ebenflls keine Lösung. Dzu ein Beispiel: Zielfunktion + y m, Nebenbedingung + y 3 mit 0, y 0. Ht die Zielfunktion dieselbe Steigung wie die obee Begenzung des zulässigen Beeichs bei eine Mimumsufgbe (bzw. die untee Begenzung bei eine Minimumsufgbe), so gibt es in ZZ mehee bzw. in unendlich viele Lösungen. Ein Beispiel uch dzu: Zielfunktion 3 + 3y m, Nebenbedingungen + y y 36 y mit 0, y 0.. Didktische Aspekte und Hintegünde Die gfische Vogehensweise bei de Optimieung wid den Schülen vemutlich wenige Pobleme beeiten ls ds nfängliche Aufstellen de Zielfunktionsgleichung und de Ungleichungen. Ds "Übesetzen"-Lenen eine Tetufgbe in die Spche de Mthemtik ist somit von goße Bedeutung. Hiebei kommt es stk uf eine gleichbleibende Stuktu und Reihenfolge beim Übesetzen n, sowie uf Detils beim Anscheiben de jeweiligen Teme. 0

22 Zu Beginn de "Übesetzung" muss mn die Viblen de Spche definieen, in die mn übesetzen möchte: Wofü sollen im jeweils voliegenden Beispiel die Viblen und y stehen? Nchdem die optimlen Wete fü und y die Lösung de Aufgbe sein weden, benennt mn lso gede die gesuchten Gößen im Beispiel dmit. Zu Beginn de Ausfühungen sollte lso, nun Bezug nehmend uf ds Zeltkuf-Beispiel im Online- Einfühungskus, stehen:... Anzhl de 0-Pesonenzelte, die gekuft weden y... Anzhl de 5-Pesonenzelte, die gekuft weden Weites soll sichegestellt sein, dss jede Schüle ds Fomulieen de Ungleichungen vollends nchvollziehen knn. Dfü knn mn nfngs die einzelnen Teme z.b. wie folgt ufbuen: "Fü jedes 0-Pesonenzelt zhle ich 00 Euo" "Anzhl de 0- Pesonenzelte ml 00 Euo" 00. Nchdem de Tem fü die 00 Euo teuen 5- Pesonenzelte nlog entwickelt wude, knn mn den Gesmtpeis ls Summe nscheiben: Die Gesmtkosten sind sodnn 00 + y 00. Est hie wid ds Kommuttivgesetz ngewndt und die Bedingung fomuliet, dss mn höchstens 900 Euo usgeben knn. Es wid unte Umständen sog nötig sein, ds "höchstens" zu ekläen: "höchstens" "nicht meh ls" "gleich viel ode wenige ls" " ": Also lutet diese Bedingung: y 900. Den Aspekt de Modellbildung, den ich nfngs in de lineen Optimieung so positiv vewiklicht sh, muss ich zumindest fü die bishe gezeigte Optimieung in Viblen etws eltivieen. Beim Sichten veschiedenste Aufgbenstellungen und Übungsbeispiele knn mn mit de gezeigten gfischen Lösungsmethode den Keis von de elen Poblemstellung übe ds ele und mthemtische Modell, die Beechnung und ds Rückfühen des Egebnisses zw bescheiten, jedoch gelngt mn oft uch duch bloßes Übelegen bzw. logisches Denken uf die mnchml seh vohesehbe Lösung. Solche Beispiele kommen nicht selten vo und sind insofen nicht elitätsnh, ls sie mnchml wenige, mnchml viel meh konstuiet sind und g nicht de elenten

23 Lösungsmethode bedüfen. Beispielsweise findet sich in einem HTL-Schulbuch folgende Aufgbe: "Eine Fim bestellt zu Webezwecken bei eine Duckeei Boschüen in eine guten Qulität A zum Stückpeis von, und in eine einfcheen Qulität zum Stückpeis von 0,. Sie bucht mindestens 600 Stück von A und mindestens 00 Stück von B. Die Mindestmenge, b de die Duckeei den Auftg nnimmt, ist 00 Stück. Wie viele Boschüen von Qulität A und von Qulität B soll die Fim bestellen, um die nfllenden Kosten zu minimieen?" Die hie mit Geogeb visulisiete Lösungsmethode und Lösung 5 (600 Stück von A, 800 Stück von B) knn ltentiv uch duch zweimliges Lesen de Angbe, einfchem Denken und de Subtktion ohne Stift und Ppie gefunden weden..3 Ein echneisches Vefhen: de Simple-Algoithmus Jedes linee Optimieungspoblem mit n Viblen lässt sich in eine äquivlente "Nomlfom de Lineen Optimieung" übefühen. Dbei soll die Zielfunktion f() minimiet weden (bei gesuchtem m(f()) betchte min(-f()). Außedem wid us dem Ungleichungssystem de Nebenbedingungen ein Gleichungssystem, indem jede Ungleichung mit Hilfe eine neuen Schlupfviblen in eine Gleichung übegefüht wid. Übe mögliche Lösungen eines lineen Optimieungspoblems knn mn nch 5 Die dynmische Geogeb-Dtei ist unte bufb.

24 einigen Übelegungen zu konveen Mengen, Polyeden und lineen Funktionen im Allgemeinen folgendes sgen: Mn muss die Zielfunktion nu in den Ecken des zulässigen Beeichs untesuchen. De zulässige Beeich ht höchstens endlich viele Ecken. De zulässige Beeich, sofen nicht lee, besitzt stets Ecken. De Simple-Algoithmus (G.D. Dntzig, 97) duchsucht ncheinnde die Ecken des zulässigen Beeichs, und zw in de Reihenfolge fllende Wete de Zielfunktion. D die Zielfunktion j minimiet weden soll, ist diese Eigenschft des Algoithmus von goßem Voteil. Ausgehend von eine Tbellendstellung des Gleichungssystems und de Zielfunktion wid in jedem nächsten Beechnungsschitt eine neue Tbelle estellt, woin bgelesen weden knn, ob die optimle Lösung schon ehlten woden ist ode noch nicht. Ich vezichte hie uf die llgemeine und pisfene Bescheibung des Vefhens in Viblen zugunsten eines usfühlich ekläten konketen Beispiels, n dem de Algoithmus meine Meinung nch veständliche wid. Beispiel - Ein linees Optimieungspoblem in 5 Viblen: Die Zielfunktion lutet f ( ) 3 min Die Nebenbedingungen luten: z 3 wobei , 0 und weden mit Hilfsviblen in ein Gleichungssystem übegefüht: wobei , 0, 3 0, 0, 5 0 Die nun insgesmt 5 Viblen sowie die echte Seite de Gleichung sind die Splten de Simple-Tbelle, die neu gewonnen Schlupfviblen 3,, 5 sowie die Zielfunktion z sind zu Beginn die Zeilen. Eingetgen weden jeweils die Koeffizienten des Gleichungssystems, bei de Zielfunktion die negtiven (!) Koeffizienten (die Zeile lutet dnn ): 3

25 3 5 echts z In de echten Splte knn mn nhnd de 3 Koeffizienten die jeweilige untesuchte Ecke mit ihem Funktionswet de Zielfunktion blesen, hie noch die Sttecke (0,0,6,,36) mit Funktionswet 0. Nun sucht mn in de z-zeile die gößte positive Zhl. Flls lle Zhlen negtiv sind, ist ds Vefhen beendet und eine optimle Lösung gefunden, wie wi späte sehen weden. Diese Zhl ist hie die in de Splte, wi nennen diese die "beste Splte". Dnn sucht mn unte llen Zeilen uße de z-zeile die "beste Zeile", nämlich diejenige mit dem kleinsten Quotient de Division "echte Splte" duch "beste Splte". Ds ist 36 hie die Zeile 5, denn 3 <, und 0 nicht def. 3 5 echts z Im Schnittpunkt de "besten Splte" und de "besten Zeile" finden wi so die "beste Zhl", hie die 3. Sie gibt n, dss in de nächsten Tbelle 5 mit getuscht wid, us de Zeile 5 wid lso Zeile. Außedem beechnet mn dmit nun folgendeweise die nächste Tbelle: Dividiee lle Zhlen de besten Zeile duch die beste Zhl. Ds heißt, dss diese selbst wid. Die neue ditte Zeile wid lso luten: Die neuen Zellen lle übigen Zeilen uße de Besten, weden nun wie folgt beechnet: neu ib bj ij : ij, bb wobei die unten ngefühte Tbelle lle Zellen zeigt, mit den Zeilenindizes bis bzw. b fü die beste Zeile, und den Spltenindizes -6 bzw. b fü die beste Splte:

26 b b bb b b3 b b5 b6 b So gilt z.b. 36. neu b b6 6 : 6, ngewndt in unseem Beispiel 6 bb 3 Beechnet mn lle übigen Zellen uf diese Weise, ehält mn so die zweite Tbelle: z Die hie untesuchte Ecke lutet (,0,,,0) und ht den Funktionswet -8. Wiede suchen wi mit gleichem Vogehen die beste Splte (bei 35 ) und die beste Zeile (bei 6 ), und kommen so uf die beste Zhl 3 : z Es wid fü den nächsten Schitt 3 mit getuscht. Die ditte Tbelle wid ebenso uf gleiche Weise beechnet: die Zellen de besten Zeile weden duch 3 dividiet, fü lle ndeen Zellen die obige Fomel benutzt. Viele Beechnungen dbei sind einfch und mit etws Übung fällt z.b. uf, dss lle Zellen gleich bleiben, in deen Splte ode Zeile eine gue Null vokommt z Die nun untesuchte Ecke lutet (0,6,0,6,0) mit Funktionswet -58, und ist zudem die optimle Lösung, denn in de z-zeile gibt es keine positiven Koeffizienten meh. De Simple-Algoithmus ist lso nch Schitten in de ditten Tbelle beendet und liefet fü ds uspüngliche Optimieungspoblem die Lösung 0 und 6. 5