Übung zu Grundbegriffe der Informatik. Simon Wacker. 15. November 2013

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1 Übung zu Grundbegriffe der Informatik Simon Wacker 15. November 2013

2 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

3 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

4 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

5 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

6 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

7 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

8 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

9 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

10 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

11 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Dann gilt w B : A w n N 0 w B n : A w. Um die Aussage zur Linken zu beweisen, können wir die Aussage zur Rechten per Induktion über n beweisen: Induktionsanfang: n = 0. Zeige, dass A ɛ wahr ist. Induktionsschritt: Es sei n N 0 beliebig aber fest und derart, dass gilt: w B n : A w (Induktionsvoraussetzung). Weiter sei w 1 B n+1 = B n B beliebig aber fest. Dann existieren w 2 B n und a B so, dass w 1 = w 2a. Nach Induktionsvoraussetzung gilt A w2. Zeige, dass A w1 = A w2 a wahr ist. Da w 1 beliebig in B n+1 gewählt war, folgt dann w B n+1 : A w. 1/16

12 Ein induktiver Beweis Für jeden Buchstaben a B definieren wir die Abbildung N a : B N 0 induktiv: N a (ɛ) = 0, { w B N a (w) + 1, falls a = b, b B : N a (wb) = N a (w), sonst. Fortan sei B = {x, y}. Zeige, dass gilt: w B : N x (w) + N y (w) = w. Beweis per vollständige Induktion über die Wortlänge wie eben skizziert. Induktionsanfang: N x (ɛ) + N y (ɛ) = = 0 = ɛ. Induktionsschritt: Für jedes Wort w B n der beliebigen aber festen Länge n N 0 gelte N x (w) + N y (w) = w. Es sei w 1 = w 2 a B n+1 beliebig aber fest. Im Falle a = x gilt N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = (N x (w 2 ) + 1) + N y (w 2 ) IV = w = w 1. Im Falle a = y folgt analog N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = w 1. 2/16

13 Ein induktiver Beweis Für jeden Buchstaben a B definieren wir die Abbildung N a : B N 0 induktiv: N a (ɛ) = 0, { w B N a (w) + 1, falls a = b, b B : N a (wb) = N a (w), sonst. Fortan sei B = {x, y}. Zeige, dass gilt: w B : N x (w) + N y (w) = w. Beweis per vollständige Induktion über die Wortlänge wie eben skizziert. Induktionsanfang: Nx (ɛ) + N y (ɛ) = = 0 = ɛ. Induktionsschritt: Für jedes Wort w B n der beliebigen aber festen Länge n N 0 gelte N x (w) + N y (w) = w. Es sei w 1 = w 2 a B n+1 beliebig aber fest. Im Falle a = x gilt N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = (N x (w 2 ) + 1) + N y (w 2 ) IV = w = w 1. Im Falle a = y folgt analog N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = w 1. 2/16

14 Ein induktiver Beweis Für jeden Buchstaben a B definieren wir die Abbildung N a : B N 0 induktiv: N a (ɛ) = 0, { w B N a (w) + 1, falls a = b, b B : N a (wb) = N a (w), sonst. Fortan sei B = {x, y}. Zeige, dass gilt: w B : N x (w) + N y (w) = w. Beweis per vollständige Induktion über die Wortlänge wie eben skizziert. Induktionsanfang: Nx (ɛ) + N y (ɛ) = = 0 = ɛ. Induktionsschritt: Für jedes Wort w B n der beliebigen aber festen Länge n N 0 gelte N x (w) + N y (w) = w. Es sei w 1 = w 2 a B n+1 beliebig aber fest. Im Falle a = x gilt N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = (N x (w 2 ) + 1) + N y (w 2 ) IV = w = w 1. Im Falle a = y folgt analog N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = w 1. 2/16

15 Ein induktiver Beweis Für jeden Buchstaben a B definieren wir die Abbildung N a : B N 0 induktiv: N a (ɛ) = 0, { w B N a (w) + 1, falls a = b, b B : N a (wb) = N a (w), sonst. Fortan sei B = {x, y}. Zeige, dass gilt: w B : N x (w) + N y (w) = w. Beweis per vollständige Induktion über die Wortlänge wie eben skizziert. Induktionsanfang: N x (ɛ) + N y (ɛ) = = 0 = ɛ. Induktionsschritt: Für jedes Wort w B n der beliebigen aber festen Länge n N 0 gelte N x (w) + N y (w) = w. Es sei w 1 = w 2 a B n+1 beliebig aber fest. Im Falle a = x gilt N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = (N x (w 2 ) + 1) + N y (w 2 ) IV = w = w 1. Im Falle a = y folgt analog N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = w 1. 2/16

16 Ein induktiver Beweis Für jeden Buchstaben a B definieren wir die Abbildung N a : B N 0 induktiv: N a (ɛ) = 0, { w B N a (w) + 1, falls a = b, b B : N a (wb) = N a (w), sonst. Fortan sei B = {x, y}. Zeige, dass gilt: w B : N x (w) + N y (w) = w. Beweis per vollständige Induktion über die Wortlänge wie eben skizziert. Induktionsanfang: N x (ɛ) + N y (ɛ) = = 0 = ɛ. Induktionsschritt: Für jedes Wort w B n der beliebigen aber festen Länge n N 0 gelte N x (w) + N y (w) = w. Es sei w 1 = w 2 a B n+1 beliebig aber fest. Im Falle a = x gilt N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = (N x (w 2 ) + 1) + N y (w 2 ) IV = w = w 1. Im Falle a = y folgt analog N x (w 1 ) + N y (w 1 ) = w 1. 2/16

17 Radler Wir haben ein Bierfass B und ein Limonadenfass L desselben Volumens. Wir möchten Radler. Dazu wiederholen wir endlich oder unendlich oft den folgenden Prozess: 1. Wir schöpfen eine Kelle von B in L und rühren das Gemisch in L um. 2. Wir schöpfen eine Kelle von L in B und rühren das Gemisch in B um. Wie ist am Ende das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L? 3/16

18 Radler Wir haben ein Bierfass B und ein Limonadenfass L desselben Volumens. Wir möchten Radler. Dazu wiederholen wir endlich oder unendlich oft den folgenden Prozess: 1. Wir schöpfen eine Kelle von B in L und rühren das Gemisch in L um. 2. Wir schöpfen eine Kelle von L in B und rühren das Gemisch in B um. Wie ist am Ende das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L? 3/16

19 Radler Wir haben ein Bierfass B und ein Limonadenfass L desselben Volumens. Wir möchten Radler. Dazu wiederholen wir endlich oder unendlich oft den folgenden Prozess: 1. Wir schöpfen eine Kelle von B in L und rühren das Gemisch in L um. 2. Wir schöpfen eine Kelle von L in B und rühren das Gemisch in B um. Wie ist am Ende das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L? 3/16

20 Radler Wir haben ein Bierfass B und ein Limonadenfass L desselben Volumens. Wir möchten Radler. Dazu wiederholen wir endlich oder unendlich oft den folgenden Prozess: 1. Wir schöpfen eine Kelle von B in L und rühren das Gemisch in L um. 2. Wir schöpfen eine Kelle von L in B und rühren das Gemisch in B um. Wie ist am Ende das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L? 3/16

21 Radler Wir haben ein Bierfass B und ein Limonadenfass L desselben Volumens. Wir möchten Radler. Dazu wiederholen wir endlich oder unendlich oft den folgenden Prozess: 1. Wir schöpfen eine Kelle von B in L und rühren das Gemisch in L um. 2. Wir schöpfen eine Kelle von L in B und rühren das Gemisch in B um. Wie ist am Ende das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L? 3/16

22 Radler Wir haben ein Bierfass B und ein Limonadenfass L desselben Volumens. Wir möchten Radler. Dazu wiederholen wir endlich oder unendlich oft den folgenden Prozess: 1. Wir schöpfen eine Kelle von B in L und rühren das Gemisch in L um. 2. Wir schöpfen eine Kelle von L in B und rühren das Gemisch in B um. Wie ist am Ende das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L? 3/16

23 Verhältnis (1) Zu Beginn und am Ende jeder Iteration enthält B dieselbe Flüssigkeitsmenge. In anderen Worten: Die Flüssigkeitsmenge in B bleibt invariant. Die gesamte Menge an Bier bleibt ebenfalls invariant; obschon verteilt auf beide Fässer. Ganz am Anfang enthält B genauso viel Bier wie L Limonade enthält. Zu Beginn und am Ende jeder Iteration gilt somit und folglich Biermenge in B + Limonadenmenge in B = Flüssigkeitsmenge in B = Gesamtmenge an Bier = Biermenge in B + Biermenge in L Limonadenmenge in B = Biermenge in L. 4/16

24 Verhältnis (1) Zu Beginn und am Ende jeder Iteration enthält B dieselbe Flüssigkeitsmenge. In anderen Worten: Die Flüssigkeitsmenge in B bleibt invariant. Die gesamte Menge an Bier bleibt ebenfalls invariant; obschon verteilt auf beide Fässer. Ganz am Anfang enthält B genauso viel Bier wie L Limonade enthält. Zu Beginn und am Ende jeder Iteration gilt somit und folglich Biermenge in B + Limonadenmenge in B = Flüssigkeitsmenge in B = Gesamtmenge an Bier = Biermenge in B + Biermenge in L Limonadenmenge in B = Biermenge in L. 4/16

25 Verhältnis (1) Zu Beginn und am Ende jeder Iteration enthält B dieselbe Flüssigkeitsmenge. In anderen Worten: Die Flüssigkeitsmenge in B bleibt invariant. Die gesamte Menge an Bier bleibt ebenfalls invariant; obschon verteilt auf beide Fässer. Ganz am Anfang enthält B genauso viel Bier wie L Limonade enthält. Zu Beginn und am Ende jeder Iteration gilt somit und folglich Biermenge in B + Limonadenmenge in B = Flüssigkeitsmenge in B = Gesamtmenge an Bier = Biermenge in B + Biermenge in L Limonadenmenge in B = Biermenge in L. 4/16

26 Verhältnis (1) Zu Beginn und am Ende jeder Iteration enthält B dieselbe Flüssigkeitsmenge. In anderen Worten: Die Flüssigkeitsmenge in B bleibt invariant. Die gesamte Menge an Bier bleibt ebenfalls invariant; obschon verteilt auf beide Fässer. Ganz am Anfang enthält B genauso viel Bier wie L Limonade enthält. Zu Beginn und am Ende jeder Iteration gilt somit und folglich Biermenge in B + Limonadenmenge in B = Flüssigkeitsmenge in B = Gesamtmenge an Bier = Biermenge in B + Biermenge in L Limonadenmenge in B = Biermenge in L. 4/16

27 Verhältnis (2) Zu Beginn und am Ende jeder Iteration gilt Limonadenmenge in B = Biermenge in L. Letzteres gilt insbesondere am Ende des gesamten Vorgangs, das heißt, das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L ist 1 zu 1. Bei unendlich vielen Iterationen haben wir übrigens eine perfekte 1 zu 1 Mischung von Limonade zu Bier in beiden Fässern. Radler darf seit 1993 nach Änderung des Biersteuergesetzes verkauft werden. Für den Limonadenanteil wird ebenfalls Biersteuer erhoben. (Quelle: Wikipedia) 5/16

28 Verhältnis (2) Zu Beginn und am Ende jeder Iteration gilt Limonadenmenge in B = Biermenge in L. Letzteres gilt insbesondere am Ende des gesamten Vorgangs, das heißt, das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L ist 1 zu 1. Bei unendlich vielen Iterationen haben wir übrigens eine perfekte 1 zu 1 Mischung von Limonade zu Bier in beiden Fässern. Radler darf seit 1993 nach Änderung des Biersteuergesetzes verkauft werden. Für den Limonadenanteil wird ebenfalls Biersteuer erhoben. (Quelle: Wikipedia) 5/16

29 Verhältnis (2) Zu Beginn und am Ende jeder Iteration gilt Limonadenmenge in B = Biermenge in L. Letzteres gilt insbesondere am Ende des gesamten Vorgangs, das heißt, das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L ist 1 zu 1. Bei unendlich vielen Iterationen haben wir übrigens eine perfekte 1 zu 1 Mischung von Limonade zu Bier in beiden Fässern. Radler darf seit 1993 nach Änderung des Biersteuergesetzes verkauft werden. Für den Limonadenanteil wird ebenfalls Biersteuer erhoben. (Quelle: Wikipedia) 5/16

30 Verhältnis (2) Zu Beginn und am Ende jeder Iteration gilt Limonadenmenge in B = Biermenge in L. Letzteres gilt insbesondere am Ende des gesamten Vorgangs, das heißt, das Verhältnis von Limonade in B zu Bier in L ist 1 zu 1. Bei unendlich vielen Iterationen haben wir übrigens eine perfekte 1 zu 1 Mischung von Limonade zu Bier in beiden Fässern. Radler darf seit 1993 nach Änderung des Biersteuergesetzes verkauft werden. Für den Limonadenanteil wird ebenfalls Biersteuer erhoben. (Quelle: Wikipedia) 5/16

31 Kugelspiel Wir haben eine Schale mit r roten, g grünen und b blauen Kugeln. Solange möglich ersetzen wir wiederholt zwei verschiedenfarbige Kugeln aus der Schale durch eine Kugel der dritten Farbe. Der Vogang endet, sobald nur noch Kugeln einer Farbe übrig sind. Dies tritt zwangsläufig ein, da in jedem Schritt die Kugeln in der Schale weniger werden. Ist die Farbe, welche die übrigen Kugeln haben, eindeutig anhand von r, g und b bestimmt? Falls ja, welche ist diese? 6/16

32 Kugelspiel Wir haben eine Schale mit r roten, g grünen und b blauen Kugeln. Solange möglich ersetzen wir wiederholt zwei verschiedenfarbige Kugeln aus der Schale durch eine Kugel der dritten Farbe. Der Vogang endet, sobald nur noch Kugeln einer Farbe übrig sind. Dies tritt zwangsläufig ein, da in jedem Schritt die Kugeln in der Schale weniger werden. Ist die Farbe, welche die übrigen Kugeln haben, eindeutig anhand von r, g und b bestimmt? Falls ja, welche ist diese? 6/16

33 Kugelspiel Wir haben eine Schale mit r roten, g grünen und b blauen Kugeln. Solange möglich ersetzen wir wiederholt zwei verschiedenfarbige Kugeln aus der Schale durch eine Kugel der dritten Farbe. Der Vogang endet, sobald nur noch Kugeln einer Farbe übrig sind. Dies tritt zwangsläufig ein, da in jedem Schritt die Kugeln in der Schale weniger werden. Ist die Farbe, welche die übrigen Kugeln haben, eindeutig anhand von r, g und b bestimmt? Falls ja, welche ist diese? 6/16

34 Kugelspiel Wir haben eine Schale mit r roten, g grünen und b blauen Kugeln. Solange möglich ersetzen wir wiederholt zwei verschiedenfarbige Kugeln aus der Schale durch eine Kugel der dritten Farbe. Der Vogang endet, sobald nur noch Kugeln einer Farbe übrig sind. Dies tritt zwangsläufig ein, da in jedem Schritt die Kugeln in der Schale weniger werden. Ist die Farbe, welche die übrigen Kugeln haben, eindeutig anhand von r, g und b bestimmt? Falls ja, welche ist diese? 6/16

35 Eindeutigkeit Die Farbe ist wegen der Symmetrie des Vorgangs nicht eindeutig bestimmt. Zum Beispiel: Unsere Schale enthalte jeweils eine rote, grüne und blaue Kugel. Jetzt können wir entweder eine rote und eine grüne durch eine blaue ersetzen, oder eine rote und eine blaue durch eine grüne, oder eine grüne und eine blaue durch eine rote. In jedem der drei Fälle endet der Vorgang nach dem ersten Schritt mit zwei blauen, grünen beziehungsweise roten Kugeln. Unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen ist die Farbe eindeutig bestimmt? 7/16

36 Eindeutigkeit Die Farbe ist wegen der Symmetrie des Vorgangs nicht eindeutig bestimmt. Zum Beispiel: Unsere Schale enthalte jeweils eine rote, grüne und blaue Kugel. Jetzt können wir entweder eine rote und eine grüne durch eine blaue ersetzen, oder eine rote und eine blaue durch eine grüne, oder eine grüne und eine blaue durch eine rote. In jedem der drei Fälle endet der Vorgang nach dem ersten Schritt mit zwei blauen, grünen beziehungsweise roten Kugeln. Unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen ist die Farbe eindeutig bestimmt? 7/16

37 Eindeutigkeit Die Farbe ist wegen der Symmetrie des Vorgangs nicht eindeutig bestimmt. Zum Beispiel: Unsere Schale enthalte jeweils eine rote, grüne und blaue Kugel. Jetzt können wir entweder eine rote und eine grüne durch eine blaue ersetzen, oder eine rote und eine blaue durch eine grüne, oder eine grüne und eine blaue durch eine rote. In jedem der drei Fälle endet der Vorgang nach dem ersten Schritt mit zwei blauen, grünen beziehungsweise roten Kugeln. Unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen ist die Farbe eindeutig bestimmt? 7/16

38 Eindeutigkeit Die Farbe ist wegen der Symmetrie des Vorgangs nicht eindeutig bestimmt. Zum Beispiel: Unsere Schale enthalte jeweils eine rote, grüne und blaue Kugel. Jetzt können wir entweder eine rote und eine grüne durch eine blaue ersetzen, oder eine rote und eine blaue durch eine grüne, oder eine grüne und eine blaue durch eine rote. In jedem der drei Fälle endet der Vorgang nach dem ersten Schritt mit zwei blauen, grünen beziehungsweise roten Kugeln. Unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen ist die Farbe eindeutig bestimmt? 7/16

39 Eindeutigkeit Die Farbe ist wegen der Symmetrie des Vorgangs nicht eindeutig bestimmt. Zum Beispiel: Unsere Schale enthalte jeweils eine rote, grüne und blaue Kugel. Jetzt können wir entweder eine rote und eine grüne durch eine blaue ersetzen, oder eine rote und eine blaue durch eine grüne, oder eine grüne und eine blaue durch eine rote. In jedem der drei Fälle endet der Vorgang nach dem ersten Schritt mit zwei blauen, grünen beziehungsweise roten Kugeln. Unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen ist die Farbe eindeutig bestimmt? 7/16

40 Farbe: Eine Invariante (1) Betrachten wir einen Schritt i N 0 : Wir wählen zwei verschiedene Farben α und β und je eine Kugel der jeweiligen Farbe und ersetzen letztere durch eine Kugel der Farbe γ, wobei γ α und γ β. Bezeichne mit x die Anzahl Kugeln der Farbe α vor dem Schritt, mit y jene der Farbe β und mit z jene der Farbe γ. Nach dem Schritt befinden sich x 1 Kugeln der Farbe α in der Schale, y 1 Kugeln der Farbe β und z + 1 Kugeln der Farbe γ. Für die Differenzen der jeweiligen Anzahlen gilt: (x 1) (y 1) = x y, (x 1) (z + 1) = x z 2, (y 1) (z + 1) = y z 2. Diese bleiben also gleich modulo 2, das heißt, geteilt durch 2 haben sie denselben Rest. 8/16

41 Farbe: Eine Invariante (1) Betrachten wir einen Schritt i N 0 : Wir wählen zwei verschiedene Farben α und β und je eine Kugel der jeweiligen Farbe und ersetzen letztere durch eine Kugel der Farbe γ, wobei γ α und γ β. Bezeichne mit x die Anzahl Kugeln der Farbe α vor dem Schritt, mit y jene der Farbe β und mit z jene der Farbe γ. Nach dem Schritt befinden sich x 1 Kugeln der Farbe α in der Schale, y 1 Kugeln der Farbe β und z + 1 Kugeln der Farbe γ. Für die Differenzen der jeweiligen Anzahlen gilt: (x 1) (y 1) = x y, (x 1) (z + 1) = x z 2, (y 1) (z + 1) = y z 2. Diese bleiben also gleich modulo 2, das heißt, geteilt durch 2 haben sie denselben Rest. 8/16

42 Farbe: Eine Invariante (1) Betrachten wir einen Schritt i N 0 : Wir wählen zwei verschiedene Farben α und β und je eine Kugel der jeweiligen Farbe und ersetzen letztere durch eine Kugel der Farbe γ, wobei γ α und γ β. Bezeichne mit x die Anzahl Kugeln der Farbe α vor dem Schritt, mit y jene der Farbe β und mit z jene der Farbe γ. Nach dem Schritt befinden sich x 1 Kugeln der Farbe α in der Schale, y 1 Kugeln der Farbe β und z + 1 Kugeln der Farbe γ. Für die Differenzen der jeweiligen Anzahlen gilt: (x 1) (y 1) = x y, (x 1) (z + 1) = x z 2, (y 1) (z + 1) = y z 2. Diese bleiben also gleich modulo 2, das heißt, geteilt durch 2 haben sie denselben Rest. 8/16

43 Farbe: Eine Invariante (1) Betrachten wir einen Schritt i N 0 : Wir wählen zwei verschiedene Farben α und β und je eine Kugel der jeweiligen Farbe und ersetzen letztere durch eine Kugel der Farbe γ, wobei γ α und γ β. Bezeichne mit x die Anzahl Kugeln der Farbe α vor dem Schritt, mit y jene der Farbe β und mit z jene der Farbe γ. Nach dem Schritt befinden sich x 1 Kugeln der Farbe α in der Schale, y 1 Kugeln der Farbe β und z + 1 Kugeln der Farbe γ. Für die Differenzen der jeweiligen Anzahlen gilt: (x 1) (y 1) = x y, (x 1) (z + 1) = x z 2, (y 1) (z + 1) = y z 2. Diese bleiben also gleich modulo 2, das heißt, geteilt durch 2 haben sie denselben Rest. 8/16

44 Farbe: Eine Invariante (2) Haben wir also zu Beginn des Schritts r i rote, g i grüne und b i blaue Kugeln in der Schale und am Ende des Schritts r i+1 rote, g i+1 grüne und b i+1 blaue Kugeln, so gilt r i+1 g i+1 mod 2 = r i g i mod 2, r i+1 b i+1 mod 2 = r i b i mod 2, b i+1 g i+1 mod 2 = b i g i mod 2. Dies ist unsere Invariante! 9/16

45 Farbe (1) Unser Vorgang ende nach dem n-ten Schritt. Aufgrund der obigen Invariante wissen wir, dass gilt: r g mod 2 = r 0 g 0 mod 2 = r 1 g 1 mod 2 =... = r n+1 g n+1 mod 2. Und analog r b mod 2 = r n+1 b n+1 mod 2, b g mod 2 = b n+1 g n+1 mod 2. 10/16

46 Farbe (1) Unser Vorgang ende nach dem n-ten Schritt. Aufgrund der obigen Invariante wissen wir, dass gilt: r g mod 2 = r 0 g 0 mod 2 = r 1 g 1 mod 2 =... = r n+1 g n+1 mod 2. Und analog r b mod 2 = r n+1 b n+1 mod 2, b g mod 2 = b n+1 g n+1 mod 2. 10/16

47 Farbe (2) Es bleibe eine einzige Kugel übrig. Ist diese rot, so gilt r n+1 = 1, g n+1 = 0 und b n+1 = 0 und demnach r g mod 2 = r n+1 g n+1 mod 2 = 1, r b mod 2 = r n+1 b n+1 mod 2 = 1, b g mod 2 = b n+1 g n+1 mod 2 = 0. Für die anderen Fälle gilt analoges. Bleibt eine Kugel übrig, so ist deren Farbe eindeutig bestimmt. Deren Farbe ist nämlich genau jene, die in den beiden Differenzen modulo 2 vorkommt, welche zu 1 auswerten. Oder, äquivalent, genau jene, die in der einen Differenz modulo 2, welche zu 0 auswertet, nicht vorkommt. Unsere unbefriedigende hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit der Farbe ist also, dass eine einzige Kugel übrig bleibt. 11/16

48 Farbe (2) Es bleibe eine einzige Kugel übrig. Ist diese rot, so gilt r n+1 = 1, g n+1 = 0 und b n+1 = 0 und demnach r g mod 2 = r n+1 g n+1 mod 2 = 1, r b mod 2 = r n+1 b n+1 mod 2 = 1, b g mod 2 = b n+1 g n+1 mod 2 = 0. Für die anderen Fälle gilt analoges. Bleibt eine Kugel übrig, so ist deren Farbe eindeutig bestimmt. Deren Farbe ist nämlich genau jene, die in den beiden Differenzen modulo 2 vorkommt, welche zu 1 auswerten. Oder, äquivalent, genau jene, die in der einen Differenz modulo 2, welche zu 0 auswertet, nicht vorkommt. Unsere unbefriedigende hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit der Farbe ist also, dass eine einzige Kugel übrig bleibt. 11/16

49 Farbe (2) Es bleibe eine einzige Kugel übrig. Ist diese rot, so gilt r n+1 = 1, g n+1 = 0 und b n+1 = 0 und demnach r g mod 2 = r n+1 g n+1 mod 2 = 1, r b mod 2 = r n+1 b n+1 mod 2 = 1, b g mod 2 = b n+1 g n+1 mod 2 = 0. Für die anderen Fälle gilt analoges. Bleibt eine Kugel übrig, so ist deren Farbe eindeutig bestimmt. Deren Farbe ist nämlich genau jene, die in den beiden Differenzen modulo 2 vorkommt, welche zu 1 auswerten. Oder, äquivalent, genau jene, die in der einen Differenz modulo 2, welche zu 0 auswertet, nicht vorkommt. Unsere unbefriedigende hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit der Farbe ist also, dass eine einzige Kugel übrig bleibt. 11/16

50 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (1) Es seien π 0 und π 1 Programmfragmente und B ein boolescher Ausdruck derart, dass ein gültiges Programm π ist. π 0 ; while(b) {π 1 } Der Ausdruck B heißt Bedingung der Schleife und das Programmfragment π 1 heißt Rumpf der Schleife. Bei der Ausführung des Programms π wird zunächst π 0 abgearbeitet und anschließend wiederholt π 1 falls und solange B wahr ist. Möchte man zeigen, dass nach Ausführung von π, sofern dieses terminiert, eine Aussage A gilt, so nutzt man oft Schleifeninvarianten. 12/16

51 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (1) Es seien π 0 und π 1 Programmfragmente und B ein boolescher Ausdruck derart, dass ein gültiges Programm π ist. π 0 ; while(b) {π 1 } Der Ausdruck B heißt Bedingung der Schleife und das Programmfragment π 1 heißt Rumpf der Schleife. Bei der Ausführung des Programms π wird zunächst π 0 abgearbeitet und anschließend wiederholt π 1 falls und solange B wahr ist. Möchte man zeigen, dass nach Ausführung von π, sofern dieses terminiert, eine Aussage A gilt, so nutzt man oft Schleifeninvarianten. 12/16

52 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (1) Es seien π 0 und π 1 Programmfragmente und B ein boolescher Ausdruck derart, dass ein gültiges Programm π ist. π 0 ; while(b) {π 1 } Der Ausdruck B heißt Bedingung der Schleife und das Programmfragment π 1 heißt Rumpf der Schleife. Bei der Ausführung des Programms π wird zunächst π 0 abgearbeitet und anschließend wiederholt π 1 falls und solange B wahr ist. Möchte man zeigen, dass nach Ausführung von π, sofern dieses terminiert, eine Aussage A gilt, so nutzt man oft Schleifeninvarianten. 12/16

53 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (1) Es seien π 0 und π 1 Programmfragmente und B ein boolescher Ausdruck derart, dass ein gültiges Programm π ist. π 0 ; while(b) {π 1 } Der Ausdruck B heißt Bedingung der Schleife und das Programmfragment π 1 heißt Rumpf der Schleife. Bei der Ausführung des Programms π wird zunächst π 0 abgearbeitet und anschließend wiederholt π 1 falls und solange B wahr ist. Möchte man zeigen, dass nach Ausführung von π, sofern dieses terminiert, eine Aussage A gilt, so nutzt man oft Schleifeninvarianten. 12/16

54 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (2) Eine Schleifeninvariante I für π 1 ist eine boolesche Aussage, die, sofern sie vor einem Schleifendurchlauf gilt, auch nach diesem gilt: B I = [π 1 ]I. (1) Obiges ist notiert in einer dynamischen Logik, welche ihr in Formale Systeme 2 kennenlernen werdet. Sie spielt eine bedeutende Rolle bei der Verifikation von Software. Gilt eine Schleifeninvariante also vor Eintritt in die Schleife, so gilt sie auch dann noch, wenn die Schleife terminiert: I = [while(b) {π 1 }]I. Möchten wir zeigen, dass nach Ausführung von π die Aussage A gilt, so genügt es also eine Schleifeninvariante I für π 1 zu finden, für welche gilt: Nach Ausführung von π 0 gilt I ; Aus I und B folgt A. 13/16

55 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (2) Eine Schleifeninvariante I für π 1 ist eine boolesche Aussage, die, sofern sie vor einem Schleifendurchlauf gilt, auch nach diesem gilt: B I = [π 1 ]I. (1) Obiges ist notiert in einer dynamischen Logik, welche ihr in Formale Systeme 2 kennenlernen werdet. Sie spielt eine bedeutende Rolle bei der Verifikation von Software. Gilt eine Schleifeninvariante also vor Eintritt in die Schleife, so gilt sie auch dann noch, wenn die Schleife terminiert: I = [while(b) {π 1 }]I. Möchten wir zeigen, dass nach Ausführung von π die Aussage A gilt, so genügt es also eine Schleifeninvariante I für π 1 zu finden, für welche gilt: Nach Ausführung von π 0 gilt I ; Aus I und B folgt A. 13/16

56 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (2) Eine Schleifeninvariante I für π 1 ist eine boolesche Aussage, die, sofern sie vor einem Schleifendurchlauf gilt, auch nach diesem gilt: B I = [π 1 ]I. (1) Obiges ist notiert in einer dynamischen Logik, welche ihr in Formale Systeme 2 kennenlernen werdet. Sie spielt eine bedeutende Rolle bei der Verifikation von Software. Gilt eine Schleifeninvariante also vor Eintritt in die Schleife, so gilt sie auch dann noch, wenn die Schleife terminiert: I = [while(b) {π 1 }]I. Möchten wir zeigen, dass nach Ausführung von π die Aussage A gilt, so genügt es also eine Schleifeninvariante I für π 1 zu finden, für welche gilt: Nach Ausführung von π 0 gilt I ; Aus I und B folgt A. 13/16

57 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (2) Eine Schleifeninvariante I für π 1 ist eine boolesche Aussage, die, sofern sie vor einem Schleifendurchlauf gilt, auch nach diesem gilt: B I = [π 1 ]I. (1) Obiges ist notiert in einer dynamischen Logik, welche ihr in Formale Systeme 2 kennenlernen werdet. Sie spielt eine bedeutende Rolle bei der Verifikation von Software. Gilt eine Schleifeninvariante also vor Eintritt in die Schleife, so gilt sie auch dann noch, wenn die Schleife terminiert: I = [while(b) {π 1 }]I. Möchten wir zeigen, dass nach Ausführung von π die Aussage A gilt, so genügt es also eine Schleifeninvariante I für π 1 zu finden, für welche gilt: Nach Ausführung von π 0 gilt I ; Aus I und B folgt A. 13/16

58 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (2) Eine Schleifeninvariante I für π 1 ist eine boolesche Aussage, die, sofern sie vor einem Schleifendurchlauf gilt, auch nach diesem gilt: B I = [π 1 ]I. (1) Obiges ist notiert in einer dynamischen Logik, welche ihr in Formale Systeme 2 kennenlernen werdet. Sie spielt eine bedeutende Rolle bei der Verifikation von Software. Gilt eine Schleifeninvariante also vor Eintritt in die Schleife, so gilt sie auch dann noch, wenn die Schleife terminiert: I = [while(b) {π 1 }]I. Möchten wir zeigen, dass nach Ausführung von π die Aussage A gilt, so genügt es also eine Schleifeninvariante I für π 1 zu finden, für welche gilt: Nach Ausführung von π 0 gilt I ; Aus I und B folgt A. 13/16

59 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (3) Möchte man zeigen, dass eine Schleife terminiert, so nutzt man oft Schleifenvarianten. Eine Schleifenvariante V für π 1 ist ein ganzzahliger Ausdruck, der stets nicht-negativ ist und in jedem Schleifendurchlauf kleiner wird. Um zu beweisen, dass π terminiert, genügt es also eine Schleifenvariante V für π 1 zu finden, welche nach Ausführung von π 0 nicht-negativ ist. Die Schleife wird dann höchstens n-mal durchlaufen, wobei n der Wert von V nach Ausführung von π 0 ist. 14/16

60 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (3) Möchte man zeigen, dass eine Schleife terminiert, so nutzt man oft Schleifenvarianten. Eine Schleifenvariante V für π 1 ist ein ganzzahliger Ausdruck, der stets nicht-negativ ist und in jedem Schleifendurchlauf kleiner wird. Um zu beweisen, dass π terminiert, genügt es also eine Schleifenvariante V für π 1 zu finden, welche nach Ausführung von π 0 nicht-negativ ist. Die Schleife wird dann höchstens n-mal durchlaufen, wobei n der Wert von V nach Ausführung von π 0 ist. 14/16

61 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (3) Möchte man zeigen, dass eine Schleife terminiert, so nutzt man oft Schleifenvarianten. Eine Schleifenvariante V für π 1 ist ein ganzzahliger Ausdruck, der stets nicht-negativ ist und in jedem Schleifendurchlauf kleiner wird. Um zu beweisen, dass π terminiert, genügt es also eine Schleifenvariante V für π 1 zu finden, welche nach Ausführung von π 0 nicht-negativ ist. Die Schleife wird dann höchstens n-mal durchlaufen, wobei n der Wert von V nach Ausführung von π 0 ist. 14/16

62 Schleifeninvarianten und -varianten: Ein Ausblick (3) Möchte man zeigen, dass eine Schleife terminiert, so nutzt man oft Schleifenvarianten. Eine Schleifenvariante V für π 1 ist ein ganzzahliger Ausdruck, der stets nicht-negativ ist und in jedem Schleifendurchlauf kleiner wird. Um zu beweisen, dass π terminiert, genügt es also eine Schleifenvariante V für π 1 zu finden, welche nach Ausführung von π 0 nicht-negativ ist. Die Schleife wird dann höchstens n-mal durchlaufen, wobei n der Wert von V nach Ausführung von π 0 ist. 14/16

63 Formalismen Notwendig um Sachverhalte präzise und prägnant zu notieren und maschinell zu verarbeiten. Je ausdrucksmächtiger ein Formalismus jedoch ist, um so schwerer ist er meist maschinell zu verarbeiten oder sogar unmöglich maschinell zu verarbeiten. Deswegen suchen wir stets Formalismen die gerade so mächtig sind, dass wir alles für einen bestimmten Zweck notwendige damit ausdrücken können. In eurem weiteren Studium werdet ihr deswegen beispielsweise eine ganze Skala von Sprachen und Automaten unterschiedlicher Mächtigkeit kennenlernen. 15/16

64 Formalismen Notwendig um Sachverhalte präzise und prägnant zu notieren und maschinell zu verarbeiten. Je ausdrucksmächtiger ein Formalismus jedoch ist, um so schwerer ist er meist maschinell zu verarbeiten oder sogar unmöglich maschinell zu verarbeiten. Deswegen suchen wir stets Formalismen die gerade so mächtig sind, dass wir alles für einen bestimmten Zweck notwendige damit ausdrücken können. In eurem weiteren Studium werdet ihr deswegen beispielsweise eine ganze Skala von Sprachen und Automaten unterschiedlicher Mächtigkeit kennenlernen. 15/16

65 Formalismen Notwendig um Sachverhalte präzise und prägnant zu notieren und maschinell zu verarbeiten. Je ausdrucksmächtiger ein Formalismus jedoch ist, um so schwerer ist er meist maschinell zu verarbeiten oder sogar unmöglich maschinell zu verarbeiten. Deswegen suchen wir stets Formalismen die gerade so mächtig sind, dass wir alles für einen bestimmten Zweck notwendige damit ausdrücken können. In eurem weiteren Studium werdet ihr deswegen beispielsweise eine ganze Skala von Sprachen und Automaten unterschiedlicher Mächtigkeit kennenlernen. 15/16

66 Formalismen Notwendig um Sachverhalte präzise und prägnant zu notieren und maschinell zu verarbeiten. Je ausdrucksmächtiger ein Formalismus jedoch ist, um so schwerer ist er meist maschinell zu verarbeiten oder sogar unmöglich maschinell zu verarbeiten. Deswegen suchen wir stets Formalismen die gerade so mächtig sind, dass wir alles für einen bestimmten Zweck notwendige damit ausdrücken können. In eurem weiteren Studium werdet ihr deswegen beispielsweise eine ganze Skala von Sprachen und Automaten unterschiedlicher Mächtigkeit kennenlernen. 15/16

67 Schönes Wochenende! 16/16