Operations Research II (Nichtlineare und dynamische Optimierung)

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1 Operations Research II (Nichtlineare und dynamische Optimierung) 5. April 007 Frank Köller,, Hans-Jörg von Mettenheim & Michael H. Breitner # Nichtlineare Optimierung: Überblick Allgemeine Form: Maximiere (oder minimiere) z = F(x) unter den Nebenbedingungen: g i (x) ) 0 für i =,,m (auch = oder möglich) Der Vektor x kann reell oder auch ganzzahlig sein Im Gegensatz zu linearen Problemen: nichtlineare Zielfunktion oder mind. eine nichtlineare Nebenbedingung Im allgemeinen positive, reellwertige Variablen Erinnerung: eine zu minimierende Zielfunktion F(x) ) kann durch eine zu maximierende Zielfunktion F( F(x) ) ersetzt werden. wird durch Multiplikation mit - zu. Eine Gleichung kann durch zwei Ungleichungen ersetzt werden #

2 Nichtlineare Optimierung: Überblick Zur Vereinfachung werden die bekannten Konstanten b i in die g i integriert. Aus f i (x) ) b i wird z. B. g i (x) ) := f i (x) b i 0. Daher verwenden wir folgende (vereinfachte) Form: Maximiere F(x) unter den Nebenbedingungen g i (x) ) 0 für i =,,m x j 0 für j =,,n Bei der linearen Optimierung werden eine lineare Zielfunktion F(x) ) und lineare Nebenbedingungen g i (x) ) vorausgesetzt. Dann ist der Simplex-Algorithmus anwendbar. Kein universelles Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimierungprobleme # 3 Beispiel : Produktionsprogrammplanung Ursprung: Maximiere die Summe der Deckungsbeiträge zweier Produkte unter Beachtung linearer Kapazitätsrestriktionen. Voraussetzung: Deckungsbeitrag d i = p i k i jedes Produktes i vorgegeben und von Absatzmenge x i unabhängig. Variante: Preis jedes Produktes ist Funktion seiner Absatzmenge, z. B. Angebotsmonopolist. Konstante variable Kosten k i = Preis-Absatz Absatz-Funktion für die Produkte i =, p i (x i ) = 7 x i Gesamtdeckungsbeitrag D(x i ) = p i (x i )*x i k i *x i = (7 x i )*x i x i = 5x i x i # 4

3 Beispiel : Produktionsprogrammplanung Zielfunktion: Maximiere F(x, x ) = 5x x + 5x x unter den Nebenbedingungen g (x) := x + x 8 0 g (x) := 3x + x 9 0 x, x # 5 Beispiel : Produktionsprogrammplanung Verallgemeinerung von Beispiel hinsichtlich Zielfunktion Bei substitutiven Gütern: Preise als Funktion beider Absatzmengen, z. B. p (x ) = 7 x und p (x, x ) = 7 x x Seien die variablen Kosten k = und k = 4. D(x ) = p (x, x )*x k *x = (7 x )*x *x = 7x x x = 5x x D(x ) = p (x, x )*x k *x = (7 x x )*x 4*x = 7x x x x 4x = 3x x x x # 6 3

4 Beispiel : Produktionsprogrammplanung Insgesamt Maximiere F(x, x ) = 5x x + 3x x x x # # 8 4

5 Beispiel 3: nichtlineare Nebenbedingungen Graphisch angenehmer zu lösen sind u. U. Probleme mit linearer Zielfunktion, wie z. B. Maximiere F(x, x ) = 6x + 4x unter den Nebenbedingungen 0.5x + 5x x + 00x 600 Graphisch lösbar durch Parallelverschiebung der Zielfunktionsgeraden. Weitere Beispiele: Transportprobleme mit nichtlinearen Kostenfunktionen Losgrößen- oder Bestellmengenprobleme unter Berücksichtigung von Kapazitätsrestriktionen im Fertigungs- oder Lagerbereich # 9 Typen nichtlinearer Optimierungsprobleme Kein universelles Verfahren, hingegen individuelle Verfahren für verschiedene Problemtypen Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen, ausschließlich durch Differentiation lösbarl Optimierungsprobleme mit einer bzw. mehreren Variablen ohne Nebenbedingungen, nicht ohne weiteres durch Differentiation lösbarl Allgemeine nichtlineare Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen (Stichwort: Kuhn-Tucker Tucker-Theorem) Theorem) Quadratische Optimierung: lineares Problem, nur Zielfunktion enthält quadratische Terme vom Typ x j oder x i x j Allgemeine konvexe Optimierungsprobleme Probleme, die stückweise linearisiert werden könnenk # 0 5

6 Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen wichtig, da häufig Teilproblem bei der Lösung komplexerer Probleme Grundsätzlich lösbar, wenn zweimal stetig differenzierbar, aber: Nicht in jedem Falle möglich oder einfach, die Nullstellen einer Ableitung zu berechnen (z. B. Polynome vom Grade 3) Häufig nicht differenzierbare Funktionen in ökonomischen Anwendungen Numerische Iterationsverfahren: sukzessive Berechnung von Punkten x unter gewissen Voraussetzungen Konvergenz gegen eine Maximal- oder Minimalstelle der Funktion F # Numerische Iterationsverfahren Verfahren, die bei der Suche keine Ableitungen bzw. Gradienten benutzen Methode des goldenen Schnitts Fibonacci-Verfahren Verfahren, die bei der Suche Ableitungen bzw. Gradienten verwenden und daher die Differenzierbarkeit der Zielfunktion F voraussetzen. binäres Suchverfahren Newton-Verfahren Sekanten-Verfahren # 6

7 Probleme mit einer Variablen: Methode des goldenen Schnitts Löse das nichtlineare Optimierungsproblem: Maximiere F(x), wobei x reell sei Gehe aus von einem Intervall [a, b ], in dem sich eine globale Maximalstelle ^x befinden muß Verkleinere das Intervall von Iteration zu Iteration Annäherung bis auf einen beliebig kleinen Abstand an die Maximalstelle der Funktion Von einem Ausgangsintervall der Länge L A wird stets ein (kleinerer) Teil a abgeschnitten, so daß sich a zum Rest (A-a) ebenso verhält wie (A-a) zum Gesamtintervall A: a : (A-a) = (A-a) : A Erfüllt für A-a A a = 0.68*A, bzw. a = 0.38*A # 3 Methode des goldenen Schnitts Wir benötigen: Eine konkave Funktion F, ein Anfangsintervall A = [a, b ] in dem die (oder eine) Maximalstelle von F liegt ein Parameter e>0 als Abbruchschranke a = 0.38 Start: Berechne l =a + a(b -a ) und m = a + (-a)(b -a ) sowie F(l ) und F(m ) # 4 7

8 Methode des goldenen Schnitts Iteration k (=,, ) Schritt : Falls b k a k < e, Abbruch des Verfahrens Schritt : Falls F(l k ) < F(m k ), setze a k+ = l k b k+ = b k l k+ = m k m k+ = a k+ + (-a)(b k+ a k+ ) F(l k+ ) = F(m k ) und berechne F(m k+ ) # 5 Methode des goldenen Schnitts Falls F(l k ) F(m k ), setze a k+ = a k b k+ = m k m k+ = l k l k+ = a k+ + a(b k+ a k+ F(l k+ ) = F(l k ) und berechne F(l k+ ) Gehe zur nächsten Iteration k+ ) Ergebnis: Die (bzw. eine) Maximalstelle ^x liegt im Intervall [a k, b k ]; der größte bekannte Wert aus dem Intervall kann als Näherung für das Maximum verwendet werden # 6 8

9 Mehrere Variablen Verwendung eines sog. Gradientenverfahrens oder Methode des steilsten Anstiegs Gradient: Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstiegs steigt grobe Struktur des Verfahrens für eine reelle konkave Funktion: Beginn mit einer zulässigen Lösung Bewegung in Richtung des steilsten Anstiegs um einen gewissen Betrag Falls Gradient kleiner als eine gewisse Fehlerschranke Abbruch des Verfahrens, sonst weiter (Ähnlich( wie im Fall einer Variablen) Alternative: Abbruch, wenn die Differenz zweier Punkte klein wird # 7 Dynamische Optimierung Lösungsmöglichkeiten für Entscheidungsprobleme, bei denen eine Folge voneinander abhängiger Entscheidungen getroffen werden kann Erzielung eines Optimums für f r das Gesamtproblem sequentielle Lösung L eines in mehrere Stufen aufgeteilten Entscheidungsprozesses betrachte auf jeder Stufe nur die dort existierenden Entscheidungsalternativen schwieriger als lineare Optimierung, da Modellierung meist komplex zu durchschauen kein genereller Algorithmus (ähnlich wie bei nichtlinearer Optimierung) # 8 9

10 Wichtige Begriffe n: Anzahl der Stufen bzw. Perioden, in die der Entscheidungsprozeß zerlegt werden kann z k : Zustandsvariable zur Wiedergabe des Zustands, in dem sich das betrachtete Problem oder System in Stufe/Periode k befindet Z k : Zustandsmenge oder bereich: Menge aller Zustände, in den sich das Problem oder System in Stufe/Periode k befinden kann z 0 : vorgegebener Anfangszustand z n : vorgegebener Endzustand x k : Entscheidungsvariable des Modells; Entscheidung in Stufe/Periode k X k (z k- ) Entscheidungsmenge oder bereich: Menge aller Entscheidungen, aus denen in Stufe/Periode k gewählt wird # 9 Beispiel: Bestellmengenmodell Einteilung des Problems in Stufen Einkaufsabteilung eines Unternehmens muß für vier aufeinander folgende Perioden eine stets gleiche Menge eines Rohstoffes bereitstellen Einkaufspreise des Rohstoffes unterliegen Saisonschwankungen, sind aber für jede Periode bekannt: Periode k Preis q k Bedarf b k 7 9 Lieferant kann je Periode maximal den Bedarf für zwei Perioden liefern Lagerkapazität beschränkt auf zwei Perioden # 0 0

11 Beispiel: Bestellmengenmodell Beginn der Periode : Lager ist leer (z 0 = 0) Ende der Periode 4: Bestand auf 0 abgesunken (z 4 = 0) Keine Lagerkosten Frage: Welche Mengen sind zu den verschiedenen Zeitpunkten einzukaufen, so daß möglichst geringe Beschaffungskosten entstehen? # Beispiel: Bestellmengenmodell z k Lagerbestand am Ende der Periode k Z k Menge möglicher Lagerzustände (Lagermengen) am Ende von Periode k. Die Nebenbedingungen führen zu folgender Beschränkung der Zustandsmengen: Z 0 = {0}, Z ={0,}, Z ={0,,}, Z 3 ={0,}, Z 4 ={0} x k Zu Beginn von Periode k einzukaufende (und zum selben Zeitpunkt bereits verfügbare) ME des Rohstoffes. Deckung des Bedarfs b k ebenfalls zu Beginn der Periode unmittelbar aus der eintreffenden Lieferung x k oder vom Lagerbestand. X k (z k- ) Mögliche Bestellmengen für Periode k. Z. B. X ={0,,}. periodenabhängige Kostenfunktionen: f k =q k *x k Transformationsfunktionen: z k = z k- + x k b k b k wird auch als Störgröße bezeichnet #

12 Beispiel: Bestellmengenmodell Minimiere F(x,,x 4 ) = q k *x k (k=,...,4) unter den Nebenbedingungen: z k =z k- + x k b k z 0 = 0 z k aus {0,,} für f r k =,,3 z 4 = 0 x k aus {0,,} für f r k =,,4, # 3 Klassifizierung dynamischer Optimierungsmodelle Zeitabstände der Perioden (Stufen) diskretes Modell: Entscheidungen bzw. Zustandsänderungen nderungen erfolgen zu diskreten Zeitpunkten. kontinuierliches Modell: Zustandsänderungen nderungen sind durch fortwährendes Entscheiden (Steuern) möglich. m Stichwort: Kontrolltheorie Informationsgrad über die Störgr rgrößen b k deterministisches Modell: Störgr rgröße b k kann nur genau einen Wert annehmen stochastisches Modell: Störgr rgröße e ist Zufallsvariable und kann daher verschiedene Werte mit bekannten Wahrscheinlichkeiten annehmen # 4

13 Klassifizierung dynamischer Optimierungsmodelle Zustands- und Entscheidungsvariablen können Vektoren sein, z. B. Bestellmengenmodelle mit mehreren Produkten Die Mengen Z k und X k möglicher Zustände bzw. Entscheidungen können endlich sein oder unendlich Vorliegendes Bestellmengenbeispiel: diskretes, deterministisches dynamisches Optimierungsmodell mit endlichen Zustands- und Entscheidungsmengen. Darstellung solcher Modelle durch Graphen. Erinnerung an die OR I: Aufgabe zum Tischtennisball Geschäft Je restriktiver die Zustands- und Entscheidungsmengen Z k bzw. X k im Modell angegeben werden können, desto geringer der spätere Rechenaufwand. Umgekehrt gilt aber auch: das Bestimmen dieser Mengen kann aufwendig sein # 5 Knapsack-Problem deterministisch, diskretes Problem Beispiel: Maximiere F(x) ) = 3x + 4x + x 3 + 3x 4 unter den Nebenbedingungen 3x + x + 4x 3 + x 4 9 x k aus {0,} für f r k=,,4,4 x k sind Entscheidungsvariablen des Modells n=4 Stufen. Auf Stufe k wird über die Variable x k entschieden. x k = bzw. 0 entspricht dem Mitnehmen bzw. Nichtmitnehmen des Gutes k. X k ist also höchstens h {0,} # 6 3

14 Knapsack-Problem Die jeweils noch verfügbaren Gewichtseinheiten des Rucksacks stellen einen Zustand dar. Also z. B. Z = {6,9}, falls x = bzw. 0 gewählt wird Z = {4,6,7,9} Z 3 = {0,,3,4,5,6,7,9} Z 4 = {0,,9},9} Das Ermitteln der Zustandsmengen kann beliebig aufwendig werden. Hier z. B. durch Betrachtung aller Kombinationsmöglichkeiten von x bis x 4. Häufig Beschränkung auf Obermengen möglich, m z. B. Z ={6,,9},,9}, Z ={4,,9},,9}, Z 3 =Z 4 ={0,,9},9} auf jeden Fall noch verfügbare Mengen # 7 Investitionsentscheidung deterministisch, diskret, aber mit unendlichen Zustands- und Entscheidungsmengen. Unternehmer verfügt über 000 GE Möglichkeit des Kredits K über 500 GE, 8% Zinsen Möglichkeit des Kredits K über 000 GE, 0% Zinsen Zwei Investitionsmöglichkeiten mit folgenden Gewinnen abhängig vom eingesetzten Kapital y und y g (y ) = 0.y 50 falls y >0 (0 sonst) g (y ) = *sqrt(y ) Problem: Wieviel Eigenkapital sollte der Unternehmer einsetzen und wieviel Fremdkapital aufnehmen, um den größtmöglichen Gewinn zu erzielen? Negativer Kassenbestand ist nicht erlaubt # 8 4

15 Investitionsentscheidung Unterscheiden von n=4 Stufen. Auf jeder Stufe entscheiden über genau eine Investitionsmöglichkeit ; Interpretation einer Kreditaufnahme als Investitionsmöglichkeit mit negativer Auszahlung und negativem Ertrag (Zinszahlung) Stufe : Entscheidung über Kredit ; x gibt Höhe des aufgenommen Kredits an Stufe : Entscheidung über Kredit ; x entsprechend Stufe 3: Entscheidung über Investition in Höhe von x 3 GE Stufe 4: Entscheidung über Investition in Höhe von x 4 GE Zustandsbereiche Z,,Z 4 geben mögliche Kassenbestände einzelner Stufen nach Ausführung einer Entscheidung an. Z 0 ={z 0 =000} # 9 Investitionsentscheidung Begrenzung der Entscheidungsbereiche X k (z k- ) durch Kassenbestand sowie durch die Kreditschranken Transformationsfunktionen z k = z k- x k Stufenbezogene Zielfunktionen: f (z 0,x ) = 0.08x f (z,x ) = 0.x f 3 (z,x 3 ) = 0.x 3 50 falls x 3 >0 (0 sonst) f 4 (z 3,x 4 ) = *sqrt(x 4 ) # 30 5

16 Investitionsentscheidung Modell: Maximiere die Summe aller Zielfunktionen unter den Nebenbedingungen: z k = z k- x k ; z k 0 für k=,,4 z 0 = 000; x aus X =[-500,0] x aus X = [-000,0][ x 3 aus X 3 = [0,z ] x 4 aus X 4 = [0,z 3 ] Lösung über eine sog. Rückwärtsrekursion mit x = -500, x = -000 z = 500; x 3 = 475, x 4 = 5 Gewinn 35 GE # 3 Bestellmengenmodell (stochastisch) stochastisch diskretes Problem Periode k 3 Preis q k 7 9 Bedarf b k Wahr- scheinlichkeit Berechnung des Kostenerwartungswerts z. B. über Graph lösbar # 3 6