4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen

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1 Ma th ef it 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen Tom und Sara werden jeden Tag von einem Schüler/innen-Lotsen über einen Zebrastreifen vor der Schule geleitet. Sara hat ihn beobachtet und ihr ist aufgefallen, dass er manchmal die Autos anhalten lässt, indem er ihnen ein Zeichen mit seinem Schild gibt und manchmal lässt er die Autos noch vorbeifahren und lässt dann erst die Schüler/innen die Straße überqueren. Da Sara nicht herausfinden konnte, wann er genau welche Vorgangsweise wählt, hat sie ihn einfach gefragt. Seine Antwort war sehr interessant: Ich habe als Schüler/innen-Lotse eine sehr verantwortungsvolle Aufgabe. Ich muss genau abschätzen können, wann ein Auto weit genug entfernt ist, um noch rechtzeitig anhalten zu können und wann ein Auto so nahe ist, dass ich nicht mehr für ein gefahrloses Überqueren der Straße sorgen kann. Das heißt, ich muss zuerst die Geschwindigkeit und dann daraus den Bremsweg abschätzen können. Ich nehme die Geschwindigkeit zum Quadrat und dividiere diese Zahl durch 100. Zusätzlich muss ich noch beobachten, ob der/die Autofahrer/in mich sieht, denn er/sie muss ja auch reagieren und auf die Bremse steigen. Die Polizei verwendet übrigens bei Unfällen die gleiche Regel wie ich, aber in die umgekehrte Richtung. Sie kann sich aus der Länge der Bremsspur ausrechnen, wie groß die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in km/h war. Dazu zieht man einfach die Wurzel aus der Länge der Bremsspur, also der Länge des Bremswegs und multipliziert sie mit 10. Sara ist beeindruckt, Schüler/innen-Lotsen müssen wirklich ganz schön clever sein. Der Lotse hat die Abschätzung des Anhaltewegs wahrscheinlich schon im Gefühl, zur Übung rechnet er aber vielleicht noch manchmal nach.

2 65 Ma th ef it 4.1 Quadratwurzeln In diesem Kapitel lernst du, 1. dass Wurzelziehen die Umkehrung zum Potenzieren ist, 2. wie man mit Wurzeln rechnet, 3. dass es Wurzeln mit besonderen Eigenschaften gibt, 4. was irrationale Zahlen sind und wie man sie darstellen kann 5. und welche Zahlen zur Menge der reellen Zahlen gehören. 4.1 Quadratwurzeln In der 3. Klasse (vgl. 3, Kapitel 8) hast du schon gelernt, dass die Umkehroperation zum Quadrieren das Ziehen der Quadratwurzel ist. Hier noch einmal zur Erinnerung: Quadratwurzel Die Umkehroperation zum Quadrieren ist das Ziehen der Quadratwurzel. Für die Quadratwurzel aus x schreibt man x. Man sagt: (Quadrat-)Wurzel aus x. Die Zahl x unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand und ist nur für positive Zahlen, also x 0 definiert. Es gilt: 36 = 6, da 62 = 36 Da das Produkt zweier gleicher Zahlen nicht negativ sein kann, sind Quadratwurzeln nie negativ. 187 Berechne folgende Quadratwurzeln im Kopf! a) 121 e) 0, Die Qua- b) 64 f ) 0, 0049 c ) 100 g) 0, 25 d) 625 h) 0, 81 x x2 x x2 x x2 x x2 drate der Zah len von 1 bis 20 solltest du auswendig kön nen, es erleichtert das Rech nen mit Wur zeln. Fülle die Tabelle sorgfältig aus und lerne die Zahlen auswendig! Dein Banknachbar/deine Banknachbarin kann dich dann prüfen. 187 a) 11 b) 8 c) 10 d) 25 e) 0,3 f) 0,07 g) 0,5 h) 0,9

3 66 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 189 Welche der unter A bis E aufgeschriebenen Zahlen vergrößert sich 189 B) ; 24; 85,3; beim Quadrieren um 500 %? 65,2; 0,058; A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) , Wurzeln kann man auch mit dem Taschenrechner berechnen. Finde 192 a) 5,2 cm heraus, mit welcher Taste oder Tastenfolge dein Taschenrechner die b) 9,7 cm Quadratwurzel errechnet! Bestimme anschließend die Ergebnisse für c) 12,3 cm 100, 576, 7276, 09, 4251, 04, 0, , 14825, 4976! d) 13,5 cm e) 14,3 cm 191 Überprüfe die Ergebnisse aus Aufgabe 190 durch Quadrieren mit f) 15 cm dem Taschenrechner! 193 Durch Anwenden des Lehrsatzes von Pythagoras d = a 2 + b 2 erhält man d = 30 cm. 194 a) 169 b) 0, 81 c) 0, 0196 d) 289 e) f) a) 54,77 km/h, 70,71 km/h, 100 km/h, 141,42 km/h b) Es wird der Bremsweg abgeschätzt mit s = v c) Ja, aber dafür braucht es sehr viel Routine. d) Geschwindigkeit, Straßenverhältnisse, Reifenprofil, Konzentration des/der Fahrers/Fahrerin, 192 Gegeben sind die Flächeninhalte verschiedener Quadrate. Berechne daraus jeweils die Seitenlänge a! Zeichne anschließend die Quadrate in dein Heft! a) A = 27,04 cm 2 b) A = 94,09 cm 2 c) A = 151,29 cm 2 d) A = 182,25 cm 2 e) A = 204,49 cm 2 f ) A = 225 cm Ein Rechteck hat die Seitenlängen a = 24 cm und b = 18 cm. Bestimme die Länge der Diagonalen dieses Rechtecks! Erkläre, wie du vorgegangen bist! 16 cm² a =? 194 Schreibe als Wurzel! a) 13 b) 0,9 c) 0,14 d) 17 e) 200 f ) Lies dir noch einmal die Eingangsgeschichte auf S. 64 durch! a) Die Polizei bestimmt aus der Länge der Bremsspur mit der Formel v = 10 s die Geschwindigkeit in km/h. Stelle eine Tabelle auf, die für die Bremsspurlängen s = 30 m, 50 m, 100 m, 200 m die dazugehörigen Geschwindigkeiten v enthält! Runde die Werte für v auf zwei Dezimalstellen! b) Überlege, wie der Satz Ich nehme die Geschwindigkeit zum Quadrat und dividiere diese Zahl durch 100. mit Hilfe eines mathematischen Terms ausgedrückt werden kann. Welche Größe wird damit ausgerechnet? c) Überlege zusammen mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin, ob es möglich ist Geschwindigkeiten genau abzuschätzen, so wie der Schüler/innen-Lotse es Sara erklärt hat! d) Welche Faktoren spielen beim Anhalteweg eines Autos eine Rolle? Diskutiert darüber in eurer Klasse!

4 4.2 Rechenregeln für Wurzeln 67 Der Anhalteweg eines Autos setzt sich prinzipiell aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammen. Der Reaktionsweg ist jene Strecke, die das Auto vom Zeitpunkt des Erkennens der Gefahr bis zum Betätigen der Bremse zurücklegt, also jene Strecke, die das Auto ungebremst durchfährt. Die Reaktionszeit beim Autofahren sollte nicht mehr als eine Sekunde sein. 196 Evi hat ein quadratisches Grundstück, auf dem ihr Haus steht. Da ihr das Schneeschaufeln im Winter zu anstrengend ist, der Gehsteig aber auf zwei Seiten dieses Grundstücks gereinigt werden muss, hat sie Tom gebeten diese Arbeit für sie zu übernehmen. Sie gibt ihm pro m gereinigtem Gehsteig 60 Cent. Wie viel Euro kann sich Tom pro Einsatz verdienen, wenn das Grundstück eine Fläche von 588 m 2 hat? Runde dabei geeignet! 197 Überlege zusammen mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin, warum die Wurzel nur für Zahlen 0 definiert ist! Schreibt eure Begründungen in Worten auf! 198 Vervollständige die Tabelle! x ,69 0, ,09 16/25 9/64 x ,3 0, ,3 4/5 3/8 199 Bestimme die Quadratwurzeln aus folgenden Zahlen: 5184, 7744, , , ! Finde selbst noch andere Beispiele oder probiere andere Zahlen! 4.2 Rechenregeln für Wurzeln 200 Vergleiche das Ergebnis der beiden Terme miteinander! Was fällt dir auf? a) (1) 49 4 (2) 49 4 b) (1) 16 9 (2) 16 9 c) (1) (2) d) (1) 25 4 (2) e , 88, 129, 800, Die Ergebnisse sind gleich. a) 14 b) 12 c) 48 d) Berechne und vergleiche die beiden Ergebnisse miteinander! Was fällt dir auf? a) (1) (2) 36 b) (1) (2) 16 9 c) (1) (2) 144 d) (1) (2) Die Ergebnisse sind gleich. a) 1,2 b) 4 3 c) 3 d) 2,5

5 68 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 202 Die Ergebnisse sind gleich. a) 1 3 b) 7 c) 2 d) 1 12 e) 2 13 f) a) 6 b) 24 c) 63 d) 85 e) 221 f) a) 10 b) 64 c) a) 5 b) 2 c) a) 12 b) 25 c) 30 d) 18 e) 35 f) a) falsche Aussage b) falsche Aussage c) Wurzelausdrücke dürfen nicht einfach zusammengefasst und addiert oder 202 (1) Ziehe aus dem Zähler und aus dem Nenner getrennt die Wurzel und dividiere dann! (2) Dividiere zuerst und ziehe dann die Wurzel! Vergleiche die beiden Ergebnisse! Beschreibe in einem Satz, was dir auffällt! a) 1 9 b) c) 36 9 d) e) f ) Rechenregeln für Wurzeln Bei einem Produkt ist es gleich, ob man zuerst multipliziert und dann die Wurzel zieht oder aus den Faktoren die Wurzel zieht und dann multipliziert. Z. B.: 25 4 = 100 = 10 bzw = 5 2 = 10 Allgemein: a b = a b (a 0; b 0) Auch bei einem Quotienten ist es gleich, ob man zuerst dividiert und dann die Wurzel zieht oder aus den Faktoren die Wurzel zieht und dann dividiert. Z. B.: 36 9 = 4 = 2 bzw. 36 = = 2 Allgemein: a b = a b (a 0; b 0) 203 Schreibe als Produkt von zwei Quadratwurzeln und berechne dann das Ergebnis (ohne Taschenrechner)! a) 4 9 = b) = c) = d) = e) = f ) = 204 Berechne zuerst das Produkt und ziehe dann die Wurzel! a) 50 2 = b) = c) = 205 Schreibe mit einer einzigen Wurzel und berechne das Ergebnis! a) 50 = b) 128 = c) 676 = Zerlege die Zahl unter dem Wurzelzeichen in zwei Faktoren und ziehe dann aus jedem der beiden Faktoren die Quadratwurzel! Überprüfe dein Ergebnis, indem du gleich die Wurzel aus der Zahl unter dem Wurzelzeichen ziehst! a) 144 b) 625 c) 900 d) 324 e) 1225 f ) Addieren und Subtrahieren von Wurzeln: Rechne nach und überprüfe, ob Paul und Paula Kuddelmuddel richtig gerechnet haben! a) Paul rechnet: = b) Paula rechnet: 36 4 = 36 4

6 4.3 Teilweises Wurzelziehen 69 c) Versuche einen Merksatz für das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln zu formulieren! Beim Addieren und Subtrahieren von Wurzeln darf man die Ausdrücke nicht zusammenfassen und unter eine Wurzel bringen. Es gilt für a 0 und b 0 a + b a + b a b a b 208 Überprüfe, indem du die linke Seite und die rechte Seite getrennt rechnest und dann ein = oder ein Zeichen setzt! a) b) 4 25 = 4 25 c) 9 = d) Teilweises Wurzelziehen Bisher haben wir mit Wurzeln gerechnet, deren Radikand meist eine bekannte Quadratzahl war. Doch nicht immer sieht man sofort, um welche Quadratzahl es sich handelt. Daher verwendet man (zur besseren Übersicht) folgenden Trick : Teilweises (partielles) Wurzelziehen Manchmal können Zahlen unter einer Wurzel so in ein Produkt zerlegt werden, dass (zumindest) ein Faktor eine Quadratzahl ist. Dann kann mit Hilfe der Rechenregeln für Wurzeln teilweise (partiell) die Wurzel gezogen werden. Z. B. 98 = 49 2 = 49 2 = 7 2 Um die entstehende Zahl übersichtlicher darzustellen, schreibt man den Wurzelausdruck am Schluss. 209 Ziehe teilweise die Wurzel! a) 75 = b) 0, 18 = c) 392 = d) 363 = e) 1, 25 = f ) 128 = Tipp 4.1 Die Primfaktorenzerlegung kann dir beim partiellen Wurzelziehen helfen. Denn für jede natürliche Zahl gilt: Entweder ist sie eine Primzahl oder sie lässt sich in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen. 209 a) 5 3 b) 3 0, 02 c) 14 2 d) 11 3 e) 0, 5 5 f) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen! a) 150 = b) 405 = c) 200 = d) 216 = e) 0, 72 = f ) 1, 28 = g) 2, 88 = h) 4, 32 = 210 a) 5 6 b) 9 5 c) 10 2 d) 6 6 e) 0, 6 2 f) 0, 8 2 g) 1, 2 2 h) 1, 2 3

7 70 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 211 a) 3x b) 2y c) 6b d) 5ab e) 6a f) 2xy g) 7a h) 5xy a) x 2 b) xy c) b a d) 12 b Auch bei Ausdrücken mit Variablen kann man teilweises Wurzelziehen anwenden. Folgendes Musterbeispiel zeigt dir, wie es richtig geht. Wurzelziehen mit Variablen: Der Ausdruck 3x 2 stellt eigentlich ein Produkt dar und kann daher nach den Rechenregeln für Wurzeln in ein Produkt aus zwei Wurzeln zerlegt werden. 3x 2 = 3 x 2 Mit Variablen verfährt man dabei genauso wie beim Rechnen mit Zahlen. In diesem Ausdruck wird 3 nicht mehr vereinfacht und x 2 ist natürlich x. Das Ergebnis lautet also: 3x 2 = 3 x 2 = 3 x Erinnere dich: Zur besseren Übersicht wird der Wurzelausdruck am Schluss geschrieben: x Ziehe die Wurzel! a) 9x 2 b) 4y 2 c) 36b 2 d) 25a 2 b 2 e) 36a 2 f ) 4x 2 y 2 g) 49a 2 h) 25x 2 y Vereinfache durch partielles Wurzelziehen! a) 2 x 2 b) x y 2 c) b 2 a d) 144 b Auch die Umkehrung ist einfach. Damit ein Ausdruck unter eine Wurzel gebracht werden kann, muss man ihn quadrieren, denn die Umkehrung vom Quadrieren ist das Wurzelziehen. Unter die Wurzel bringen: Schreibe den Ausdruck 3x 2 x unter eine Wurzel! Dazu quadriert man die Faktoren außerhalb der Wurzel und bringt sie gleichzeitig unter die Wurzel, damit sich der Wert nicht ändert. Mit Zahlen verfährt man dabei genauso wie mit Variablen. 9x 4 x Anschließend werden gleiche Faktoren zusammengefasst: 9x 5 Erinnere dich: Zahlen zuerst, Variable später. 213 a) 10x 2 b) 245 c) 1183 d) 3a 2 e) 9x 5 f) 250y 2 g) 400x h) 213 Schreibe folgende Ausdrücke unter eine Wurzel! 324a a) 6x 2 2 b) 5y 2 2 a) x 10 b) 7 5 c) 13 7 d) a 3 e) 3x 2 x f ) 5y 10 g) 20 x h) 18a a 214 Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen! a) 12x 3 6x = b) 5y 3 10y = c) 8x 9 y 5 2x 5 y =

8 4.4 Besondere Wurzeln Wurzeln mit unendlich vielen Kommastellen Besondere Wurzeln Wurzeln mit unendlich vielen Kommastellen 215 a) Ziehe mit Hilfe des Taschenrechners die Wurzel und schreibe das Ergebnis genau auf! (1) 10 (2) 8 (3) 444 (4) 32 b) Tippe nun die Ergebnisse aus 1) 4) in den Taschenrechner ein und quadriere! Was fällt dir auf? Tom und Sara wundern sich über die Resultate aus Aufgabe 215. Sara meint, dass sie sich vertippt hat, aber Tom hat eine Idee: Wahrscheinlich rechnet der Taschenrechner intern weiter und zeigt nicht alle Nachkommastellen an, weil das Display zu klein ist. Das Mathebuch hilft ihnen wie so oft auch an dieser Stelle weiter: Irrationale Zahlen Es gibt Dezimalzahlen, die eine unendliche, nicht periodische Anzahl von Nachkommastellen haben, sie werden irrationale Zahlen genannt. 0, und 2 sind z. B. solche Zahlen Sie können nicht, wie endliche oder periodische Dezimalzahlen, als Brüche dargestellt werden, man kann ihren Wert immer nur näherungsweise angeben. Sara und Tom wissen nun, dass es bei manchen Zahlen gar nicht möglich ist alle Kommastellen anzugeben, weil es eben unendlich viele davon gibt und sie nicht periodisch sind. Sie kennen auch noch eine weitere Zahl, die diese Eigenschaften hat: Es handelt sich um die geheimnisvolle Zahl π, von der sie schon so manches gehört haben. (Du wirst über π im Kapitel 11 mehr erfahren.) 215 a) 3, b) 2, c) 21, d) 5, e) Das Ergebnis ist nicht genau jene Zahl aus der vorher die Wurzel gezogen wurde , ist eine irrationale Zahl, weil ihre Nachkommastellen nicht periodisch sind und sie unendlich fortgeführt werden kann. Finde zusammen mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin ähnliche Zahlen, die auch irrational sind! 216 z. B. 0,

9 72 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 217 A, B, D und E sind irrational 218 a) 7 Q b) 7,071 irrational c) 20 Q d) 25 Q e) 19,494 irrational f) 6,325 irrational 220 a) 3;4 b) 2;3 c) 5;6 d) 19;20 Irrationale Zahlen kann man aber auch noch anders finden. Es gilt Folgendes: Quadratwurzeln und irrationale Zahlen Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl n ist nur dann wieder eine natürliche Zahl, wenn n eine Quadratzahl ist. Z. B. 9 N, 9 = 3 und 3 ist eine natürliche Zahl. Alle anderen Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational, z. B Welche der folgenden Zahlen sind irrational? Erkläre, wie du zu deiner Einschätzung gekommen bist! A) 90 B) 3 C) 169 D) 200 E) 442 F) Berechne die Wurzel und gib an, ob es sich um eine rationale oder eine irrationale Zahl handelt! a) 49 b) 50 c) 400 d) 625 e) 380 f ) 40 Tipp 4.2 Beachte: Wenn du in den Taschenrechner z. B. 8 eintippst und gleich wieder auf x 2 drückst, wird am Display wieder die Zahl 8 angezeigt. Der Taschenrechner merkt sich das Ergebnis der Berechnung und rundet intern wieder auf Überprüfe obigen Tipp anhand folgender Zahlen: a) 45 b) 19 c) 65 d) Immer genauer, aber nicht ganz genau Näherungswerte für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen können aufgrund ihrer Bauart nie ganz genau angegeben werden. Es gibt aber die Möglichkeit mehr oder weniger genaue Näherungswerte für irrationale Zahlen anzugeben. Finden von benachbarten natürlichen Zahlen: 13 < 180 < 14, weil 13 2 = 169 < 180 und 14 2 = 196 > 180. Die benachbarten natürlichen Zahlen von 180 sind also 13 und Bestimme die jeweils benachbarten natürlichen Zahlen! a) 10 b) 7 c) 30 d) 370 e) 500

10 4.5 Immer genauer, aber nicht ganz genau Näherungswerte für irrationale Zahlen73 Suchen von Schranken Das abgebildete quadratische Grundstück hat eine Fläche von 860 m 2. Auf einer Seite soll eine Wand als Blickschutz aufgestellt werden, wie lange muss diese sein? Die Lösung muss irgendwo zwischen den Zahlen 29 und 30 liegen, denn 29 2 = 841 und 30 2 = 900. Um die Zahl weiter einzugrenzen, nimmt man die erste Nachkommastelle dazu: 29,1 2 = 846,81 29,2 2 = 852,64 29,3 2 = 858,49 29,4 2 = 864,36 An diesen Ergebnissen kann man schon erkennen, dass die Zahl zwischen 29,3 und 29,4 liegen muss, da 29, 3 2 < 860 < 29, 4 2. Dasselbe Verfahren wird nun mit zwei Nachkommastellen angewendet: 29,31 2 = 859, ,32 2 = 859, ,33 2 = 860,2489 Die gesuchte Zahl muss also zwischen 29,32 und 29,33 liegen, denn 29,32 2 < 860 < 29,33 2. Dieses Verfahren kann nun beliebig lange fortgeführt werden. In diesem Fall reichen aber zwei Nachkommastellen. Kannst du erklären warum? 221 Suche für die folgenden Zahlen Schranken auf zwei Nachkommastellen genau! a) 10 b) 24 c) 360 d) Gib für die angegebene Wurzel die beiden benachbarten natürlichen Zahlen an! a) 13 b) 40 c) 66 d) 99 e) 170 f ) a) 3,16;3,17 b) 4,89;4,9 c) 18,97; 18,98 d) 25,69; 25,7 222 a) 3<3,61<4 b) 6<6,32<7 c) 8<8,12<9 d) 9<9,95<10 e) 13<13,04<14 f) 21<21,91< a) 6,32; 7,07; 7,75; 8,37 b) 6,32<7,07< 7,75<8,37; je größer der Flächeninhalt desto größer die Seitenlänge 223 Du siehst vier Quadrate mit unterschiedlichen Flächeninhalten. a) Gib die Seitenlängen aller vier Quadrate auf zwei Nachkommastellen genau an! b) Ordne die Seitenlängen der Größe nach mit einer Ungleichungskette! Was fällt dir auf?

11 74 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 4.6 Die Menge der reellen Zahlen Tom meint, dass sie im Mathematikunterricht seit der ersten Klasse immer wieder neue Zahlenmengen kennengelernt haben. Er überlegt: Zuerst haben wir die natürlichen Zahlen behandelt und als wir nicht mehr weiterrechnen konnten die ganzen Zahlen. Außerdem gibt es dann noch die Dezimalzahlen und die Bruchzahlen. Aber das ist doch das Gleiche, meint Sara, Dezimalzahlen kann man als Brüche darstellen und umgekehrt! Stimmt nicht, entgegnet Tom, irrationale Zahlen sind auch Dezimalzahlen und können nicht als Bruch dargestellt werden, weil ihre Nachkommastellen unendlich und nicht periodisch sind. Wer hat Recht? Und zu welcher Zahlenmenge gehören dann die irrationalen Zahlen? 224 a) Wiederholt in Gruppen zu drei bis vier Personen die Zahlenmengen, über die ihr bis jetzt schon etwas gelernt habt (N, Z, Q)! b) Überlegt euch, welche Eigenschaften die Zahlen jeder dieser Zahlenmengen haben müssen, damit sie zur Menge gehören. c) Welche Rechenoperationen lassen sich in den verschiedenen Zahlenmengen ausführen, welche nicht? e) Gestaltet ein Plakat, auf dem ihr übersichtlich die verschiedenen Zahlenmengen und ihre Eigenschaften darstellt! Die Menge der reellen Zahlen Rationale und irrationale Zahlen zusammen ergeben eine neue Zahlenmenge, die reellen Zahlen R. Dazu gehören alle Dezimalzahlen, die sich als Bruch darstellen lassen (rationale Zahlen) und jene, die sich nicht als Bruch darstellen lassen (irrationale Zahlen). Das heißt: Alle Dezimalzahlen gehören zu den reellen Zahlen, egal ob die Nachkommastellen endlich oder periodisch oder unendlich, nichtperiodisch sind. Für die reellen Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für die rationalen Zahlen. Grafische Darstellung der Zahlenmengen: Nebenstehende Darstellung veranschaulicht, wie die Zahlenmengen miteinander zusammenhängen: N ist eine Teilmenge von Z, diese wieder eine Teilmenge von Q und diese eine Teilmenge von R. Du N Z Q kannst dir das wie eine russische Puppe (siehe S. 64) vorstellen. R

12 4.6 Die Menge der reellen Zahlen Zum Aufwärmen 1: Stelle folgende Brüche als Dezimalzahlen dar! 4 a) 100 b) 1 33 c) 3 5 d) 9 4 e) 3 16 f ) Nun überlegen Tom und Sara weiter: Das heißt bei rationalen und irrationalen Zahlen geht es letztendlich darum, ob ich eine Zahl als Bruch darstellen kann oder nicht, meint Tom. Sara meint dazu: Ich kann mich noch erinnern, dass jede rationale Zahl, also jede Bruchzahl, entweder eine endliche Dezimalzahl wie z. B. 0,34, eine rein periodische Dezimalzahl wie z. B. 0, oder eine gemischt periodische Dezimalzahl wie z. B. 0, liefert. Zwar hilft Tom und Sara diese Überlegung schon ein bisschen weiter, aber ganz zufrieden sind sie noch nicht. Kannst du ihnen helfen? 226 a) Stelle Sara und Toms Überlegungen aus der obigen Geschichte übersichtlich dar! Überlege dabei, was eigentlich bei der Division von zwei Zahlen a b passieren kann! b) Suche für jeden der Fälle ein Zahlenbeispiel! Ha, und jetzt weiß ich auch, dass ich zuerst Recht hatte, meint Tom. Irrationale Zahlen sind auch Dezimalzahlen, nur eben welche mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen und sie können nicht als Bruch dargestellt werden. Also können nicht alle Dezimalzahlen als Bruch dargestellt werden und ich hatte Recht und du nicht, denn ich bin der Beste! Jaja, meint Sara, ist ok, diesmal hattest du Recht, aber überlegt haben wir schon gemeinsam! 227 Zum Aufwärmen 2: Stelle folgende Dezimalzahlen als Brüche dar! Kürze so weit wie möglich! a) 0,2 b) 2,5 c) -1,4 d) 0, e) 0,25 f ) -0,85 g) 0,15 h) 0, Welche der folgenden Zahlen sind rational, welche irrational? Begründe deine Antwort! a) 25 b) 2 c) 3,2 d) 3, e) 3, 2 f ) a) 0,04 b) 0, c) 0,6 d) 2,25 e) 0,1875 f) 0, a) a b ergibt entweder eine ganze Zahl, eine endliche Dezimalzahl, eine rein periodische (unendliche) oder eine gemischt periodische (unendliche) Dezimalzahl. b) 227 a) 1 5 b) 5 2 c) d) 8 9 e) 1 4 f) g) Nur eine der beiden Aussagen ist richtig: (1) Jede Bruchzahl kann als Dezimalzahl dargestellt werden. (2) Jede Dezimalzahl kann als Bruchzahl dargestellt werden. Begründe deine Antwort! h) a), c), e) rational, b), d) f) irrational 229 (1) ist richtig, (2) nicht, da irrationale Zahlen nicht als Bruch dargestellt werden können.

13 76 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 230 (1), (3), (6), (7) richtig 231 Nur D ist richtig A B C D 232 d = = 2 ergibt sich aus dem Satz von Pythagoras 230 Paul und Paula Kuddelmuddel haben sich wieder einmal über Mathematik unterhalten, diesmal über die reellen Zahlen. Markiere, ob richtig oder falsch und stelle falsche Aussagen richtig! (1) Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl. (2) Jede reelle Zahl kann als Bruch dargestellt werden. (3) Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen und aus den irrationalen Zahlen. (4) Jede reelle Zahl ist eine negative ganze Zahl. (5) Es gibt eine größte reelle Zahl. (6) Es gibt keine kleinste reelle Zahl. (7) Jede nicht periodische Dezimalzahl ist eine reelle Zahl. 231 Irrationale Zahlen: Britta erzählt ihrer Freundin: 2 ist keine rationale, sondern eine irrationale Zahl. Ihre Freundin möchte nun wissen, warum 2 keine rationale Zahl ist. Welche der folgenden Argumente Brittas sind zutreffend, welche nicht? trifft zu trifft nicht zu 2 ist keine rationale Zahl, weil die Wurzel einer Zahl nie rational ist. 2 ist keine rationale Zahl, weil man 2 nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen darstellen kann. 2 ist keine rationale Zahl, weil man 2 nicht am Zahlenstrahl darstellen kann. 2 ist keine rationale Zahl, weil 2 in Dezimalschreibweise unendlich, aber nicht periodisch ist. 232 Überlege: Wie lange ist die Diagonale eines Quadrates mit der Kantenlänge von 1 cm? Erkläre, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist! Erinnere dich an die 3. Klasse: Jede rationale Zahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden. Dasselbe gilt auch für irrationale (also unendliche nicht periodische) Zahlen, auch sie können auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Darstellen von irrationalen Zahlen auf der Zahlengeraden Irrationale Zahlen können auf der Zahlengeraden folgendermaßen dargestellt werden: z. B. d = = 2 Die Länge der Diagonale ergibt sich aus dem Satz von Pythagoras. Sie wird auf die Zahlengerade abgeschlagen.

14 4.6 Die Menge der reellen Zahlen Stelle die angegebenen Wurzeln als Punkte auf einer Zahlengeraden dar! Überlege dazu zuerst, wie lange die Seiten des Quadrates sein müssen, zeichne dann das Quadrat auf eine Zahlengerade und schlage die Diagonale ab! a) 8 b) 18 c) 32 Im obigen Beispiel hast du irrationale Zahlen dargestellt, deren Wert der Länge der Diagonale eines Quadrates entspricht. Andere irrationale Zahlen wie z. B. 10 lassen sich auch mit Hilfe des Satzes von Pythagoras darstellen. Dabei muss man ein Rechteck finden, dessen Diagonale die Summe zweier Quadratzahlen ist. 10 ist die Summe zweier Quadratzahlen, nämlich ergibt d sich dann unter Anwendung des Satzes von Pythagoras und kann so auf der Zahlengeraden dargestellt werden = = Konstruiere 13 und 5 indem du jeweils ein Rechteck findest, in dem die Summe der Quadratzahlen von Länge und Breite 13 bzw. 5 ergibt. 235 Stelle folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden durch Konstruktion dar. Miss anschließend die Abstände vom Nullpunkt und überprüfe mit dem Taschenrechner, ob du richtig konstruiert hast. a) 32 b) 8 c) 50 d) 37 e) 2 18 f ) 3 10 Tipp 4.3 Beachte: Negative Zahlen liegen links vom Nullpunkt, du musst also bei der Konstruktion von negativen irrationalen Zahlen das Rechteck nach links zeichnen! 234 Rechteck 1: a=3, b=2, Rechteck 2: a=1, b=2 235 Angaben auf 2 Dezimalstellen gerundet: a) 5,66 b) 2,83 c) 7,07 d) 6,08 e) 8,49 f) 9, Finde mindestens drei weitere Beispiele wie in Aufgabe 235 und stelle sie auf einer Zahlengeraden dar! Mit den oben beschriebenen Methoden können jedoch nicht alle irrationalen Zahlen dargestellt werden. Kann man die Zahl in eine Differenz von Quadratzahlen zerlegen, so kannst du den Thaleskreis (siehe 2, S. 149) zu Hilfe nehmen:

15 78 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 237 a) 7 = 16 9 b) 21 = 25 4 c) 35 = 36 1 d) 40 = Tipp kann als Differenz zweier Quadratzahlen angeschrieben werden: 16 4 = = 12 Mit Hilfe des Thaleskreises kann das Dreieck konstruiert werden. 237 Stelle folgende Zahlen mit Hilfe eines rechtwinkligen Dreiecks dar! a) 7 b) 21 c) 35 d) Finde mindestens drei weitere Beispiele für irrationale Zahlen und stelle sie mit Hilfe des Thaleskreises auf einer Zahlengeraden dar! Zwei weitere Möglichkeiten zur Konstruktion von irrationalen Zahlen findest du in Kap auf S Kubikwurzeln Tom überlegt: Wenn ich weiß, dass dieser Würfel ein Volumen von 8 cm 3 hat. Wie weiß ich dann, wie lange eine Seite ist? Sara hat schnell eine Antwort parat: Du misst einfach die Seitenlängen ab und schon weißt du es. Das erscheint Tom leicht, aber wie soll er vorgehen, wenn er einen Würfel basteln a müsste, der ein bestimmtes Volumen haben muss? Wie kann er dann die Seitenlänge bestimmen? Tom muss eine Zahl finden, deren dritte Potenz das verlangte Volumen hat, also x 3 = 8. Dazu kann man sich Folgendes überlegen: Kubikwurzeln Die dritte Wurzel einer Zahl x ist jene Zahl, deren dritte Potenz wieder die Zahl x ergibt: Sie wird Kubikwurzel genannt. z. B = 3, denn 3 3 = 27 Das Ziehen der dritten Wurzel ist die Umkehrung des Potenzierens mit 3. 3 Allgemein: x 3 = x a a

16 4.8 Rückblick, Ausblick und Exercises a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Ziehen der Wurzel und dem Potenzieren? b) Wiederhole die Rechenregeln für Potenzen aus der dritten Klasse (3 kann dir dabei helfen)! Gib jeweils ein Musterbeispiel dafür an! Berechne 64 im Kopf! Überlege: 3 64 = 4, denn 4 3 = = Berechne im Kopf! a) 3 8 = b) = c) = d) = e) = f ) = 241 Finde heraus, mit welcher Tastenfolge dein Taschenrechner die Kubikwurzel berechnet und ermittle dann die Werte! a) 3 0, 001 = b) 3 0, 008 = c) 3 0, 216 = d) 3 0, = e) 3 0, = f ) 3 0, = 242 Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Kubikwurzel? a) 3 21 b) 3 50 c) 3 75 d) e) f ) Welche Zahl x steht unter der Kubikwurzel? a) 3 x = 6 b) 3 x = 14 c) 3 x = 19 d) 3 x = 0, 24 e) 3 x = 0, 01 f ) 3 x = 0, Löse folgende Gleichungen! a) x = 8 b) 8 = x c) 3 x = 8 d) 3 8 = x 245 Ermittle die Kantenlängen der Würfel mit dem jeweils angegebenen Volumen! a) V = 250,047 cm 3 b) V = 157,464 cm 3 c) V = 753,571 cm Das Volumen ist gegeben, wie lange ist jeweils die Kantenlänge des Würfels? a) ,33 cm 3 b) 2 571,353 cm 3 c) 704,969 cm 3 d) 4 173,281 cm a) Potenzieren und Wurzelziehen sind Umkehroperationen b) 240 a) 2 b) 5 c) 6 d) 10 e) 20 f) a) 0,1 b) 0,2 c) 0,6 d) 0,11 e) 0,12 f) 0, a) 2 und 3 b) 3 und 4 c) 4 und 5 d) 7 und 8 e) 21 und 22 f) 27 und a) 216 b) 2744 c) 6859 d) 0, e) 0, f) 0, a) 64 b) 2 2 c) 512 d) ,3 cm; 5,4 cm; 9,1 cm 247 Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen! a) = b) = c) = d) = 246 a) 56,2 cm b) 13,7 cm c) 8,9 cm d) 16,1 cm 247 a) 8,17

17 80 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 248 b), f), g) und h) sind irrational. 4.8 Rückblick, Ausblick und Exercises Rückblick Aus diesem Kapitel sollst du dir merken: 1. dass das Wurzelziehen die Umkehrung zum Potenzieren ist, 2. aus welchen Zahlen die Menge der reellen Zahlen besteht, 3. wie man irrationale Zahlen definiert und wodurch sie sich von rationalen unterscheiden, 4. wie man irrationale Zahlen auf einer Zahlengeraden darstellen kann, 5. wie man mit Quadrat- und Kubikwurzeln rechnet. 249 a) Eine Zahl, die nicht als Anhand der folgenden Beispiele kannst du dein Wissen überprüfen. Bruchzahl darstellbar ist. 248 Gib an, ob es sich um eine rationale oder irrationale Zahl handelt! b) z. B. Begründe jeweils deine Antwort! 0, a) b) 2 5 c) 3,6 2 d) 4 41 c) nein d) die e) 0, f ) 6, g) 8, reellen Zahlen h) Die Summe der Zahlen in e) und f) i ) Die Summe der Zahlen 0, und 4, a) 400, b) 25, 249 Beantworte folgende Fragen! c) 49, a) Was ist eine irrationale Zahl? d) 0, 04, b) Nenne Beispiele für diesen Zahlentyp! 3 0, 008 c) Kann man diesen Zahlentyp auf einem Taschenrechner darstellen? e) 0, 09, d) Welche Zahlenmenge erhält man, wenn man rationale und irrationale 3 0, 027 Zahlen zusammenfasst? f) 0, , 3 0, Schreibe als (1) Quadratwurzel (2) Kubikwurzel! a) 20 b) 5 c) a) 9,8 cm d) 0,2 e) 0,3 f ) 0,012 b) 7,6 cm c) 13,2 cm 251 Berechne die Seitenlängen der folgenden Quadrate! d) 15,7 cm a) A = 96,04 cm 2 b) A = 57,76 cm a) 13 b) 29 c) 0,19 d) 0,11 c) A = 174,24 cm 2 d) A = 246,49 cm Berechne die Wurzel! a) b) 841 c) 0, 0361 d) 3 0, Trage folgende Werte auf einer Zahlengeraden ein: 3; 5,4; 3 2; 6

18 4.8 Rückblick, Ausblick und Exercises Es sind die Seitenlängen verschiedener Rechtecke gegeben. Bestimme jeweils die Diagonale und erkläre, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist! a) a = 6, b = 8 b) a = 15, b = 8 c) l = 7, b = Welche Wurzel ist größer: 40 oder 50? Begründe folgende Aussagen: a) Wenn a größer wird, dann wird a auch größer. Wenn a kleiner wird, dann wird auch a kleiner. b) Wenn a größer wird, dann wird auch a größer. Wenn a kleiner wird, dann wird auch a kleiner. 256 Paul Kuddelmuddel hat überlegt: a) Positive Zahlen kann man quadrieren. b) Negative Zahlen kann man quadrieren. c) 0 2 ergibt 1 d) Aus positiven Zahlen kann man die Wurzel ziehen. e) Aus negativen Zahlen kann man die Wurzel ziehen. Stelle fest, ob es sich um richtige oder falsche Aussagen handelt! 257 Aus der Länge des Bremsweges schließt die Polizei auf die Höhe der Geschwindigkeit in km/h. Kannst du die Formel dafür angeben? (Tipp: Wenn du nicht mehr sicher bist, dann schau noch einmal ganz am Anfang des Kapitels nach!) Berechne die entsprechenden Geschwindigkeiten für folgende Bremswege s=5 m, 30 m, 60 m und 100 m 258 Bremsweg berechnen: Berechne die Länge des Bremsweges, wenn die Geschwindigkeit folgende Werte hat! a) 40 km/h b) 60 km/h c) 90 km/h d) 130 km/h Ausblick In diesem Kapitel hast du wieder neue mehr oder weniger geheimnisvolle Zahlenmengen kennengelernt. Zahlen, die eine unendliche Anzahl von Kommastellen haben und die zusammen mit den rationalen Zahlen eine neue Zahlenmenge bilden. Die Zahl π gehört auch zu dieser Zahlenmenge, in Kapitel 11 wirst du noch mehr über sie erfahren. 254 a) 10 b) 17 c) 8,6 255 Erklärung z. B. über die Flächeninhalte eines Quadrates 256 a) ja b) ja c) nein 0 d) ja e) nein 257 v = 10 s 22,4 km/h, 54,8 km/h, 77,5 km/h, 100 km/h 258 a) 16 m b) 36 m c) 81 m d) 169 m Außerdem gibt es das hast du dir wahrscheinlich schon gedacht noch weitere Zahlenmengen. So z. B. jene der komplexen Zahlen, das Symbol für diese Zahlenmenge ist ein C. Dabei wird eine neue Zahl

19 82 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge Die reellen Zahlen 259 0,25; 0,7; 0,8; 0, , 5, 4 7, 15 2 eingeführt, die imaginäre Zahl i. Sie ist dadurch bestimmt, dass i 2 = 1 ergibt. Die Einführung dieser neuen Zahl i trat zum ersten Mal im 16. Jh. im Zusammenhang mit dem Lösen von Gleichungen wie z. B. x = 0 auf. Dabei lieferten die Lösungsformeln einerseits reelle Ergebnisse und andererseits Lösungen, die keine Bedeutung hatten, so z. B. Wurzeln aus negativen Zahlen. Diese Ergebnisse wurden imaginär genannt. Lässt man auch solche Zahlen zu, dann ist die Antwort bei Aufg. 256 f) richtig. Komplexe Zahlen stellen heute in Physik und Technik eine wichtige Rechenhilfe dar. Sie finden unter anderem Anwendung in der digitalen Signalverarbeitung, also im Bereich der Nachrichtentechnik. Mathematik hat also immer etwas Neues auf Lager und hört irgendwie nie auf. Das ist doch spannend, oder? Exercises vocabulary arrange ordnen perimeter Durchmesser equilateral triangle gleichseitiges Dreieck 259 Arrange the numbers in size from smallest to largest! 0,9; 0,5 2 ; ; 0, The area of a square is 12 square centimeters. Find its perimeter! 261 Simplify each expression , 50 2, 16 49, , 3, 2, 262 Find x, y, z, u in the illustration standing beside 1 5 it! x Find the area of an equilateral triangle in which each side is 48! 264 Choose negative values for a and b. z u 264 Give a counterexample to show that a b a b is not always true! y 1 1 1