Lösungen zu den Zusatzübungen zur Physik für Ingenieure (Maschinenbau) (WS 13/14)

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1 Lösungen zu den Zusatzübungen zur hysik für Ingenieure (Maschinenbau) (WS 13/14) rof. W. Meyer Übungsgruppenleiter: A. Berlin & J. Herick (NB 2/28) Zusatzübung (Lösung) alle Angaben ohne Gewähr Zusatzaufgabe 1: Mischtemperatur a) Sie mischen 1 kg Wasser (c wasser = 4182 J /kg K) der Temperatur 80 mit 5 kg Methanol (c methanol = 2430 J /kg K) der Temperatur -10, welche Mischungstemperatur ergibt sich? Die Wärmemenge die das Wasser beim Abkühlen auf die gemeinsame Endtemperatur verliert muss vom Methanol aufgenommen werden. Die Gesamtwärmemenge ändert sich also nicht. Aus der Vorlesung ist folgende Formel bekannt: Somit ergibt sich: Q = c m T mit T = (T End T Anfang ) (1) Q Wasser + Q Methanol = 0 Q Wasser = Q Methanol c W m W T {{ W = c M m M T {{ M =T End T W =T End T M c W m W (T W T End ) = c M m M (T End T M ) c W m W T W c W m W T End = c M m M T End c M m M T M T End (c w m W + c M m M ) = c W m W T W + c M m M T M mit der Starttemperaturen T W und T M folgt: Die Mischtemperatur beträgt also 13. T End = c W m W T W + c M m M T M c w m W + c M m M T End = 286 K = 13 b) Zwecks eines Bades, wollen sie ihre 150 L-Gußeisen-Wanne (m Wanne = 100 kg, c Wanne = 500 J /( kg K), T Wanne = 20 ) mit 45 warmen Wasser füllen, wofür ihnen 16 kaltes und 70 heißes Wasser zur Verfügung. Wie viel heißes und kaltes Wasser müssen Sie in ihre Wanne einlaufen lassen, damit das System Wasser-Wanne die entsprechende Temperatur also 45 im thermischen Gleichgewicht erhält. Ebenso wie in Aufgabenteil a) ist auch hier die Gesamtwärmemenge konstant. Somit ergibt sich: Q h + Q k + Q Wanne = 0 c w (m h T h + m k T k ) + c Wanne m Wanne T Wanne = 0

2 Außerdem ist bekannt, dass die Gesamtmenge des Wassers auf 150 L ˆ 150 kg (da ρ Wasser 1 kg /L) begrenzt ist. Somit ist m k = 150 kg m h : c w (m h T h + (150 kg m h ) T k ) + c Wanne m Wanne T Wanne = 0 c w 150 kg T k + c Wanne m Wanne T Wanne = c w m h ( T k T h ) c w 150 kg T k + c Wanne m Wanne T Wanne c w ( T k T h ) = m h Bei der Berechnung des Ergebnisses ist noch darauf zu achten, dass T = T End T Anfang ist, also auch negative Werte annehmen kann. Als Ergebnis erhält man: m h 86, 1 kg und m k 63, 9 kg c) Sie legen in 50 kg Wasser der Temperatur 60 einen Metallklotz (m Klotz = 4 kg) der Temperatur 20. Sobald das thermische Gleichgewicht erreicht ist, bestimmen Sie die neue Wassertemperatur auf 55. Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität des Metalls? Hier soll nun die Wärmekapazität c k des Metallklotzes bestimmt werden. Q w + Q k = 0 c w m w T w + c k m k T m = 0 c w m w T w = c k m k T m c w m w T w = c k m k T m m k 7468 J /kg K Die theoretische spezifische Wärmekapazität des Metallklotzes liegt also bei etwa 7500 J /kg K. Es könnte sich also bei diesem Metall evtl. um Unobtainium handeln. d) Sie geben zu einem Liter kochenden Wasser 1,5 kg Eiswürfel (T = 0 und der Schmelzwärme L Schmelz. = 6010 J /mol) und warten bis sich das thermische Gleichgewicht eingestellt hat. Welche Endbedingungen ergeben sich bei dieser Mischung? Bei dieser Aufgabe ist zu beachten, dass ein Teil der Wärmemenge dazu benötigt wird, dass Eis zu schmelzen. Die benötigte Wärmemenge ist dabei durch Q s = m L schmelz. gegeben. Da L schmelz. hier zudem in J /mol angegeben ist, empfiehlt sich zunächst eine Umrechnung in J /kg. Da die molare Masse von Wasser M H2 O = 18 g /mol ist ergibt sich die Schmelzwärme zu: 6010 J /mol 18 g /mol = J /g ˆ 334 kj /kg Zunächst gehen wir nun bei unserer Berechnung davon aus, dass das gesamte Eis schmilzt und das Wasser eine gemeinsame Endtemperatur annimmt. c w m w T {{ w + c w m eis T {{ eis + m eis L {{ schmelz. = 0 Wärmemenge die das kochende Wärmemenge die das Wasser, welches Wärmemenge die benötigt wird Wasser aufnimmt/abgibt! ehemals Eis war aufnimmt/abgibt! um das Eis zu schmelzen! 2

3 c w (m w T w + m eis T eis ) + m eis L schmelz. = 0 c w (m w T w + m eis T eis ) = m eis L schmelz. c w (m w (T end T w ) + m eis (T end T eis )) = m eis L schmelz. c w (m w + m eis ) T end = c w (m w T w + m eis T eis ) m eis L schmelz. T end = c w (m w T w + m eis T eis ) m eis L schmelz. c w (m w + m eis ) Berechnet man nun die Endtemperatur so ergibt sich diese zu etwa T end = 7, 9. Diese würde in dem Fall vorliegen, wenn das komplette Eis geschmolzen ist und dabei seine Schmelzwärme komplett an das Wasser abgibt. Da jedoch ein Wasser-Eis-Gemisch stets 0 hat, bleibt als einzige Erklärung, dass die Wärmemenge des kochenden Wassers nicht ausreichte das komplette Eis zu schmelzen und ein Teil immer noch übrig bleibt. Nachdem unsere Überlegungen soweit fortgeschritten sind, können wir uns nun Gedanken darüber machen, wie viel Eis das kochende Wasser schmelzen konnte. Da wir wissen, dass die Endtemperatur in jedem Fall 0 ist ergibt sich: c w m w T {{ w +m eis L schmelz. = 0 = 100 K Der Term, welcher in unserer vorherigen Überlegung, die aufgenommene Wärmemenge des geschmolzenen Wassers beschreibt ist nun überflüssig da wir wissen, dass dieser Teil seine Temperatur nicht ändert. c w m w T w L schmelz. m eis 1, 25 kg = m eis Es bleiben also etwa 250 g Eis im 0 -kaltem Eiswasser erhalten. Zusatzaufgabe 2: latente Wärme Sie betrachten einen Eisblock (T=-22 ) von der Masse m=1 kg, den Sie in ein 250 W-Heizgefäß (angenommener Wirkungsgrad 100%) geben. Während des Erwärmens befindet sich das Eis, bzw. das Wasser dabei durchgängig im thermischen Gleichgewicht. a) Nach 3 Minuten im Heizgefäß stellen Sie fest, das der Eisblock 0 erreicht hat. Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität c Eis von Eis? Auch hier gilt die schon aus Aufgabe 1 bekannte Gleichung für die Wärmemenge: Q = c m T Die aufgenommene Wärmemenge wird hier durch die Heizungleistung und die benötigte Zeit bestimmt. Q = t Somit folgt: Q = t = c eis m eis T t m eis T = c eis 2045 J /kg K 3

4 Die spezifische Wärmekapazität von Eis ist also etwa 2 kj /(kg K) und beträgt damit etwa nur die Hälfte der von Wasser. b) Wie lange dauert es nun, bis der komplette Eisblock (Schmelzwärme L Schmelz. = 6010 J /mol) geschmolzen ist? Wie bereits in der Aufgabe 1d) muss hier zunächst die Schmelzwärme in J /kg bestimmt werden. L schmelz. in J /mol 0, 018 kg /mol = 334 kj /kg Die eigentliche Frage ist nun, wie lange es dauert, bis die Heizung die entsprechende Wärmemenge geliefert hat. m L schmelz., J/kg = t m L schmelz., J/kg = t 1336 s Das Schmelzen des komplette Eisblocks dauert also ungefähr 22 min. c) Als das Wasser 4 erreicht (c wasser = 4182 J /(kg K)) stellen Sie fest, dass das Volumen genau einen Liter beträgt. Anschließend verlassen Sie den Raum und stellen bei Wiedereintritt fest, dass das Volumen um 10 ml (β = 0, K 1 ) angewachsen ist. Wie lange haben Sie den Raum verlassen? Diese roblemstellung lässt sich sich in drei Unterprobleme zerlegen. 1. Wie hoch muss der Temperaturanstieg sein, damit sich das Wasser soweit ausdehnt? Der Temperaturanstieg lässt sich leicht mit Hilfe des Volumenausdehnungskoeffizienten berechnen. Es gilt: V = β V T V = T 49, 3 K V β Die Temperatur ist in Ihrer Abwesenheit also etwa auf 53,3 gestiegen. 2. Welche Wärmemenge ist nötig um den Temperaturanstieg zu gewährleisten? Q = c m T = c m V V β 206kJ Es werden also in etwa 206kJ für diese Temperatursteigerung benötig. 4

5 3. Wie lange dauert es bis die Heizung die erforderliche Wärmemenge abgegeben hat? Die Zeit ergibt sich schließlich genau wie in Aufgabenteil b): Q = t Q = t = c m T = c m V β V 824 s Sie haben also etwa für 14 min den Raum verlassen. d) Wie hoch müsste die Heizleistung sein, um das kochende Wasser in der gleichen Zeit komplett zu verdampfen, die es in Anspruch genommen hat, den Eisblock mit der 250 W-Heizung (Verdampfungswärme L verdampf. = J /mol) von -22 auf 100 zu überführen. Während der Eisblock von -22 auf 100 überführt wird, kann man drei Abschnitte unterscheiden. Während des Ersten wird der Eisblock auf 0 erwärmt, im Zweiten schmilzt der Eisblock komplett, während im Dritten das Wasser dann auf 100 erhitzt wird. Die Dauer der ersten beiden Abschnitte sind bereits bekannt, wohingegen die des Dritten noch kurz berechnet werden muss. Hier gilt wie bereits zuvor (mit T = 100 K): t = Q = c m T 1673 s Die Gesamtdauer ergibt sich also durch die Addition der Dauer der drei Abschnitte: ( t) gesamt = ( t) ( t) schmelz. + ( t) ( t) gesamt = ( t) m L schmelz., J/kg + Q = c m T 3188 s Die Umrechnung der Verdampfungswärme L verdampf. von J /mol in J /kg erfolgt analog zu der Schmelzwärme: L verdampf. in J /mol 0, 018 kg /mol = L verdampf. in J /kg 2, 46 MJ /kg Somit ergibt sich die gesuchte Heizungsleistung zu: = L verdampf., J/kg m ( t) gesamt 770 W Die Heizung müsste also eine Heizwert von 770 W haben. 5

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