Michael Körner. Grundwissen Wurzeln und Potenzen Klasse VORSCHAU. Bergedorfer Kopiervorlagen. zur Vollversion

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1 Michael Körner Grundwissen Wurzeln und Potenzen Klasse Bergedorfer Kopiervorlagen

2 Zu diesem Material Zu dieser Mappe Was sind Wurzeln? Wozu benötigt man Potenzen? Wieso gelten die Potenzgesetze für die Multiplikation aber nicht für die Addition? Zu diesen und anderen Fragen finden Ihre Schülerinnen und Schüler in der vorliegenden Mappe ausführliche Antworten und differenzierte Übungen zu allen Unterthemen. Die Arbeitsblätter sind so konzipiert, dass Ihre Schülerinnen und Schüler alle Potenz- und Wurzelgesetze eigenständig erarbeiten und in einer Vielzahl von praxiserprobten Aufgaben anwenden können. Dabei sind alle Aufgabenblätter sehr kleinschrittig aufgebaut und ermöglichen es jeder Schülerin und jedem Schüler, in ihren individuellen Lerntempi zu arbeiten. 011 Persen Verlag, Buxtehude AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Downloads und Kopien dieser Seiten sind nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Die Vervielfältigung, Bearbeitung, Verbreitung und jede Art der Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtes bedürfen der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Die AAP Lehrerfachverlage GmbH kann für die Inhalte externer Sites, die Sie mittels eines Links oder sonstiger Hinweise erreichen, keine Verantwortung übernehmen. Ferner haftet die AAP Lehrerfachverlage GmbH nicht für direkte oder indirekte Schäden (inkl. entgangener Gewinne), die auf Informationen zurückgeführt werden können, die auf diesen externen Websites stehen. Satz: Satzpunkt Ewert, Bayreuth ISBN

3 Inhaltsverzeichnis Grundwissen Wurzeln und Potenzen Wurzeln 1 Was sind Quadratwurzeln? Übungen zur Quadratwurzelberechnung (1) 3 Übungen zur Quadratwurzelberechnung () 4 Übungen zur Quadratwurzelberechnung (3) 5 Heron-Verfahren 6 Quadrieren einer Quadratwurzel (1) 7 Quadrieren einer Quadratwurzel () 8 Wurzelgesetz für die Multiplikation (1) 9 Wurzelgesetz für die Multiplikation () 10 Wurzelgesetz für die Division (1) 11 Wurzelgesetz für die Division () 1 Wurzelgesetz zum teilweisen Wurzelziehen (1) 13 Wurzelgesetz zum teilweisen Wurzelziehen () 14 Vermischte Übungen zu den Wurzelgesetzen (1) 15 Vermischte Übungen zu den Wurzelgesetzen () 16 Distributivgesetz und Wurzelterme (1) 17 Distributivgesetz und Wurzelterme () 18 Binomische Formeln und Wurzelterme (1) 19 Binomische Formeln und Wurzelterme () 0 Lernzielkontrolle (1) 1 Lernzielkontrolle () Wurzelmemory (1) 3 Wurzelmemory () Potenzen Allgemeines zu Potenzen 4 Was sind Potenzen? 5 Potenzen berechnen (1) 6 Potenzen berechnen () 7 Scientific Notation Wissenschaftliche Schreibweise von Potenzen mit natürlichen Potenzgesetze für natürliche 8 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis und natürlichen 9 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleicher Basis und natürlichen 30 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen natürlichen 31 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichen natürlichen 3 Potenzgesetz für das Potenzieren einer Potenz mit natürlichen 33 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen für Potenzen mit natürlichen Potenzgesetze für ganzzahlige 34 Definition von Potenzen mit ganzzahligen 35 Berechnung von Potenzen mit ganzzahligen 36 Scientific Notation Wissenschaftliche Schreibweise von Potenzen mit ganzzahligen 37 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis und ganzzahligen 38 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleicher Basis und ganzzahligen 39 Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen ganzzahligen 40 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichen ganzzahligen 41 Potenzgesetz für das Potenzieren einer Potenz mit ganzzahligen 4 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen für Potenzen mit ganzzahligen Potenzgesetze für rationale 43 Kubikwurzel bzw. 3. Wurzel 44 n-te Wurzel 45 Definition von Potenzen mit rationalen 46 Berechnung von Potenzen mit rationalen 47 Potenzgesetze für die Multiplikation und das Potenzieren von Potenzen mit rationalen 48 Potenzgesetze für die Division von Potenzen mit rationalen 49 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen (1) 50 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen () 51 Lernzielkontrolle (1) 5 Lernzielkontrolle () 53 Potenzmemory (1) 54 Potenzmemory () ab Seite 55 Lösungen

4 Was sind Quadratwurzeln? 1 Das abgebildete quadratförmige Grundstück hat einen Flächeninhalt von 89 m. Wie lang ist eine Seitenlänge x? Erinnere dich an die Flächeninhaltsformel für das Quadrat und löse die Aufgabe durch Probieren. 89 m x x Info In der obigen Aufgabe muss aus 89 cm die Quadratwurzel gezogen werden. Abkürzend schreibt man dafür: 89 cm. Was genau ist eine Quadratwurzel? Unter der Quadratwurzel aus einer Zahl a versteht man diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Also a = a. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen wir als Radikand bezeichnet. Das Ermitteln der Quadratwurzel heißt Wurzelziehen. Bestimme die Quadratwurzeln. a) 4 = b) 5 = c) 100 = d) 64 = e) 0 = f) 5 = g) 400 = h) 1 = Schreibe als Wurzel. a) 6 = b) 9 = c) 1 = d) 1 = e) 65 = f) 4 = g) 11 = h) 5 =

5 Übungen zur Quadratwurzelberechnung (1) Ziehe die Wurzeln ohne Taschenrechner. a) 5 = b) 11 = c) 34 = d) 196 = e) 1600 = f) 3600 = g) 65 = h) = i) = Bestimme die gesuchte Zahl. a) Wenn ich meine ausgedachte Zahl quadriere, erhalte ich Wie heißt meine Zahl? b) Wenn ich meine ausgedachte Zahl quadriere, erhalte ich 576. Wie heißt meine Zahl? Ziehe die Wurzeln ohne Taschenrechner. a) d) 4 9 = b) = c) = 5 = e) 0,16 = f) 0, 81 = 56 g) 0, 09 = h) 1,44 = i), 89 = j) 0, 0036 = k) 0, 0004 = l) m) = = n) = o) = p) 0, 056 = q) 4, 84 = r) 6,5 = s) 0, 01 = t) 0, 0001 = u) 0, =

6 Übungen zur Quadratwurzelberechnung () 3 Bestimme die einzelnen Seitenlängen der Quadrate im Heft. a) b) c) d) A 1 = 1600 m A =,56 m A 3 = 676 m A 4 = 900 m Löse die Gleichung im Heft. Achte darauf, dass hier manchmal zwei Lösungen vorkommen (siehe Beispiel). a) x = 16 b) x = 144 c) x = 1,69 d) x = 0 e) x = 4 9 f) x = 0,0004 Welche Rechnungen sind falsch? Löse ohne Taschenrechner. Tipp: Schaue auf die letzte Ziffer der jeweiligen Zahlen. a) 6,35 = 40,34 b) 69 = 4761 c) 3,8 = 14,44 d) 174 = 3075 Beispiel: x = 4 x 1 = und x = Aufgabe 4 Welche Zahlen sind gleich? Markiere diese mit der gleichen Farbe Aufgabe 5 Ein Würfel hat eine Oberfläche von 150 cm. Berechne sein Volumen.

7 Übungen zur Quadratwurzelberechnung (3) 4 Aufgabe Löse das Kreuzzahlrätsel mit dem Taschenrechner Waagrecht: Senkrecht:

8 Heron-Verfahren 5 Ziehe die Wurzel durch Einschachteln wie im Beispiel bis auf 5 Stellen hinter dem Komma. a) 5 b) 11 c) 19 d) 00 Ziehe die Wurzel mit dem Heron-Verfahren bis auf 3 Stellen nach dem Komma. a) 6 b) 10 c) 3 d) 111 e) 987 Beispiel Bestimmen von 7 durch Einschachteln. Näherungszahl x x Vergleich Folgerung > 7 7 < 3,6 6,76 6,76 < 7,6 < 7 < 3,7 7,9 7,9 > 7,6 < 7 <,7,65 7,05 7,05 > 7,6 < 7 <,65,64 6,9696 6,9696 < 7,64 < 7 <,65 Beispiel Bestimmen von 8 mit dem Heron-Verfahren. Wert 1 Wert Vergleich Neuer Wert 1 8 : = 4 < 8 < 4 ( + 4) = : 3,67,67 < 8 < 3 (3 +, 67) =,835,835 8 :,835,8,8 < 8 <,835 (, 835 +, 8) =,885,885 Mit jedem Schritt kommt man 8,8847 näher. Berechne die Wurzeln der Primzahlen zwischen 30 und 70 bis auf drei Stellen nach dem Komma. Benutze dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm und das Heron-Verfahren. Lege eine Tabelle an wie im Beispiel. Primzahlen: 31 67

9 Quadrieren einer Quadratwurzel (1) 6 Führe die angegebenen Rechenanweisungen durch. a) Quadriere ( ) die Zahlen und ziehe dann aus dem Ergebnis die Wurzel ( ). 4 5 b) Ziehe jeweils die Wurzel aus den Zahlen und quadriere dann das Ergebnis. 4 5 c) Beschreibe, was dir bei den Aufgaben auffällt. d) Formuliere für a) und b) jeweils eine Regel: a) b) Führe die angegebenen Rechenanweisungen durch. a) Quadriere jeweils die Zahlen und ziehe dann aus dem Ergebnis die Wurzel. 1 Beispiel: 9 = = 9 1, b) Ziehe jeweils die Wurzel aus den Zahlen und quadriere dann das Ergebnis. 1 Beispiel: 9 = 3 3 = 9 1, c) Beschreibe, was dir bei diesen Aufgaben zusätzlich zu noch auffällt. d) Gib den Zahlenbereich an, für den die Regeln aus gelten. a) Die Regel gilt für folgenden Zahlenbereich: b) Die Regel gilt für folgenden Zahlenbereich:

10 Quadrieren einer Quadratwurzel () 7 Fülle die Lücken aus, sofern es möglich ist. a) 4 b) 4 c) 5 d) 7 Berechne die lösbaren Wurzelterme und vergleiche die Ergebnisse. a) ( 9) = 9 = ( 9) = b) ( 0, 36) = 0, 36 = ( 0, 36) = c) = Beim Vergleich der Ergebnisse fällt auf: Berechne ohne Taschenrechner. = a) ( 5) = b) 0, 4 = c) ( 6) = 81 d) 16 = e) 56 = f) ( 7 ) = g) 0,5 = h) ( 3) = i) ( 5 9) = Aufgabe 4 Gib die einschränkende Bedingung an. = Beachte: Beispiel: a = 4; ( ) = 4 8a = 16a = 4a Einschränkende Bedingung: x 5 muss größer oder gleich 0 sein, also x 5 0 x 5 a) 4 + x b) 4 x c) x+ 6

11 Wurzelgesetz für die Multiplikation (1) 8 Berechne und vergleiche die Ergebnisse. a) 9 5 = = 9 5 = = 9 16 = = 9 16 = = b) = + = = = + = = = Beim Vergleich der Aufgaben fällt auf: Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen von eine Regel für die Multiplikation von Wurzeln. Berechne ohne Taschenrechner im Heft. a) 3 1 b) 5 0 c) 8 18 d) e), f) 0, 8 3, g), 4 60 h) 0,5 4,5 i) Beispiel: 0 45 = 0 45 = 900 = 30 Aufgabe 4 Berechne ohne Taschenrechner im Heft. Beispiel : = = = 143 a) b) c) 0, 04 1, 44 d),5 6,5

12 Wurzelgesetz für die Multiplikation () 9 Fülle die Lücken aus. a) 48 =1 b) 9 =15 c) 3 =18 d) 50 = 30 e) 64 = 40 f) 15 =100 Berechne die Wurzel, indem du die Zahlen zuerst in ein Produkt aus kleineren Quadratzahlen zerlegst. a) 576 = b) 676 = c) 196 = d) 05 = Vereinfache. a) 16a = b) 5x 4 = c) 64x z = d) p q 4 r 6 = e) 0, 49z 4 = Aufgabe 4 Vereinfache. Gib auch die einschränkende Bedingung an. a) b b 3 = b) 3x 7x 3 = c) 5ac 45a 3 = d) 0, 0u 0,5u 5 = Beispiel: 34 = 4 81 = 4 81 = 9 = 18 Beispiel: a 8a = 16a = 4a Einschränkende Bedingung: a muss größer oder gleich 0 sein, also a 0 und 8a 0 a 0

13 Wurzelgesetz für die Division (1) 10 Berechne und vergleiche die Ergebnisse. a) 144 : 9 = : = 144 : 9 = = 100 : 5 = : = 100 : 5 = = b) = = = = = = Beim Vergleich der Aufgaben a) und b) fällt auf: Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen von eine Regel für die Division von Wurzeln. Berechne ohne Taschenrechner. a) 15 : 5 = b) 147 : 3 = c) 640 : 10 = d) 80 : 5 = e) 0, 8 : 0, = f) 48 : 3 = Aufgabe 4 Berechne. Beispiel: 4 9 = 4 9 = 3 a) d) 9 49 = b) = c) 1 36 = 4 81 = e) = f) =

14 Wurzelgesetz für die Division () 11 Fülle die Lücken aus. a) 5 : = 5 b) : 16 = 9 c) 64 : = 4 d) : 144 = e) 00 : = 10 f) : 6 = 6 Vereinfache. Notiere jeweils auch die Zwischenschritte. a) a 3 : a = b) b 5 : b 3 = c) c : c 3 = d) x : x = e) x 3 y 5 : xy = f) 36p 3 : 5p = g) i) a b : b = h) a b : b a = 64a 169b = j) 7p 8 q 10 = 8p 4 q 6 Vereinfache soweit wie möglich. Gib auch die einschränkende Bedingung an. a) c) 4 b 3 = b) d 3 9 = Beispiel: x 4 : x = x 4 :x = x = x a b = d) c d 5 d = 3 e) 16x 3 : x = f) g) 180x 3 y 3 : 5xy = h) 16p q 4 5r 4 s 6 = 4a 4 b 6 7ab 3 =

15 Wurzelgesetz zum teilweisen Wurzelziehen (1) 1 Ziehe teilweise die Wurzel. a) 0 = b) 1 = c) 150 = d) 3 = e) 300 = f) 43 = g) 30 = h) 700 = i) 0, 03 = j) 4,5 = Vereinfache die Wurzelterme. a) 4a = b) 5a = c) x y = d) 7b 3 = e) Bringe den Faktor unter das Wurzelzeichen = f) 13 = x a) 3 = b) 3 5 = c) 4 6 = d) 5 7 = e) 0,5 = f), 4 = g) = h) 5 7 = i) 1 1, 1 = Beispiel: 8 = 4 = 4 = Beispiel: 3 = 9 = 18 Aufgabe 4 Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen. Gib auch die einschränkende Bedingung an. a) 49b = b) 7ab = c) 9x 5 =