Zahlen. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

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1 GRUNDWISSEN MATHEMATIK Zahlen Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M R OHR

2 Die natürlichen Zahlen NI Menge der natürlichen Zahlen {, 2,,...} NI Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0,, 2,...} 0 Darstellungsmöglichkeiten: Zahlenstrahl: der Abstand zweier benachbarter natürlicher Zahlen ist gleich groß ( Einheit) Koordinatensystem: s. negative Zahlen Diagramme: Balken-, Säulen-, Kreisdiagramme Stellenwertsystem mit Hilfe von Ziffern: 254 = (Dezimalsystem) Zehnerpotenzen: = = =9 0 4 Zahlenwörter für große Zahlen: Tausender Millionen Milliarden Billionen Billiarden Trillionen Anzahl der Schüler Auto Bus Fahrrad Fußgänger Seite 2 von 29

3 Zahlenmengen: Menge der geraden Zahlen: {2,4,6,8,0, } Teilermenge T(8) = {,2,,6,9,8} Vielfachenmenge V(7) = {7,4,2,28,5, } Menge der Primzahlen: {2,,5,7,,,7,9,2,29,, } ( Zahlen mit genau zwei Teilern) Menge der Quadratzahlen: {,4,9,6,25,6,49, } 6 T(8) die Zahl 6 ist ein Element der Teilermenge von 8 9V(7) die Zahl 9 ist kein Element der Vielfachenmenge von 7 Rechnen mit natürlichen Zahlen Addition: Wert der Summe =. Summand + 2. Summand Subtraktion: Wert der Differenz = Minuend Subtrahend Multiplikation: Wert des Produktes =. Faktor 2. Faktor Division: Wert des Quotienten = Dividend : Divisor Kommutativgesetze: a+b = b+a a b = b a Assoziativgesetze: (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Distributivgesetze: (a ± b) c = a c ± b c Seite von 29

4 Weitere Rechenregeln: Klammern zuerst (von innen nach außen bzw. runde vor eckigen) Potenz vor Punkt vor Strich! Potenzen: = 4 heißt Basis, 4 heißt Exponent. Quadratzahlen sind Potenzen mit 2 als Exponent. z. B.: 2 = 9 Primfaktordarstellung: Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen ( Faktorisieren ). Bsp.:600 =2 5 2 Teilbarkeitsregeln: Quersummen: Eine Zahl ist durch (9) teilbar, wenn ihre Quersumme durch (9) teilbar ist. Endstellen: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie auf 0, 2, 4, 6, oder 8 endet. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. Eine Zahl ist durch 0 teilbar, wenn sie auf 0 endet. Seite 4 von 29

5 Terme Ein Term ist ein Rechenausdruck, der aus Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und gegebenenfalls aus Platzhaltern/Variablen besteht. Die zuletzt auszuführende Rechenart legt die Art des Terms fest. Bsp.: ) 54 + (62 8) ist eine Summe 2) Gliederungsbaum: ² 4 (2 + 5) Differenz Minuend Produkt Subtrahend Summe. Faktor 2. Faktor. Summand 2. Summand Potenz Basis Exponent 2 Seite 5 von 29

6 Ganze Zahlen Erweiterung durch die negativen Zahlen zur Zahlengeraden. a heißt Gegenzahl von a; Zahl und Gegenzahl haben vom Nullpunkt den gleichen Abstand. Die positiven und die negativen Zahlen bilden mit der Zahl 0 die Menge Z der ganzen Zahlen Koordinatensystem: Es besteht aus einer x-achse und einer y-achse. Ein Punkt P(x y) ist durch seine Koordinaten festgelegt. II. Quadrant I. Quadrant P( 2) X III. Quadrant X R(-2 -) IV. Quadrant X Q(2 -) Seite 6 von 29

7 Addition und Subtraktion ganzer Zahlen (+5) (+8) = 5 8 = (8 5 ) = ( 5) + ( 8) = 5 8 = (5 + 8) = ( 5) ( 8) = = 8 5 = Multiplikation und Division ganzer Zahlen ( 2) ( 4) = +8 ( 6) : ( 2) = Minus mal Minus ist Plus (+ ) ( 5) = 5 ( 8) : (+ 2) = 4 Plus mal Minus ist Minus Für alle x 0 gilt: 0 : x = 0 x : 0 ist nicht definiert (Durch 0 kann man nicht dividieren!!!) Betrag einer Zahl: Der Abstand einer Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden heißt Betrag von a: a ; -7 = 7; +2 = 2 Seite 7 von 29

8 Bruchteile und Bruchzahlen Grundbegriffe Brüche haben die Form n z ( Teile das Ganze in n gleiche Teile und nimm z von diesen Teilen ) z heißt der Zähler, n der Nenner des Bruches. Unechte Brüche (z > n) kann man in gemischte Zahlen umwandeln 7 Bsp.:. 4 4 Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche Bsp.: Der Bruchstrich ersetzt das Divisionszeichen z : n = n z. Seite 8 von 29

9 Erweitern und Kürzen Erweitern eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden mit derselben natürlichen Zahl multipliziert. z n z k, k IN Bsp.: n k 4 4 Kürzen eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler k dividiert. z:k 4 4:7,k IN Bsp.: z n n:k 2 2:7 Durch Kürzen und Erweitern wird der Wert des Bruches nicht verändert. Alle Brüche, die zum selben Punkt auf der Zahlengeraden gehören, haben denselben Wert, dieser heißt Bruchzahl. Die Bruchzahlen und ihre Gegenzahlen bilden (mit der Null) die Menge der rationalen Zahlen Anordnung der Bruchzahlen Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der größere, der den kleineren Nenner hat. Bsp.: Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der größere, der den größeren Zähler hat. Bsp.: Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man vor dem Vergleichen durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner. Addieren und Subtrahieren Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält. 5 7 Seite 9 von 29

10 Bsp.:, Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf einen gemeinsamen Nenner. Bsp.: 2 Multiplizieren und Dividieren Zähler Zähler Bruch Bruch Nenner Nenner Bsp.: (Vorher kürzen!) Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in Brüche verwandelt werden. Bruch : Bruch = Bruch Kehrbruch a c : b d a b d c Bsp.: : Bruchteile Das Wort von wird nach einem Bruch durch ersetzt. 2 2 Bsp.: von kg kg kg kg Seite 0 von 29

11 Dezimalzahlen Zahlen wie z.b.,56 heißen Dezimalbrüche. Dabei bedeutet die.(2.,.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,...).Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. Bsp.: 0,04 = 4 ;,24= Runden von Dezimalbrüchen Ist die erste wegzulassende Ziffer 0,, 2,, 4, so wird abgerundet, ist sie 5, 6, 7, 8, 9, so wird aufgerundet. Bsp.: Runden auf: Dez. 2 Dez. Dez.,4564,5,46,456 Addition und Subtraktion Addition (Subtraktion) der Stellen gleichen Wertes Bsp.:,76 + 4,25 = 8,085 Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen Verschieben des Kommas um so viele Stellen nach rechts (links), wie die Stufenzahl Nullen hat. Seite von 29

12 Bsp.: 2, = 2040; 4,7 : 00 = 0,47 Multiplikation von Dezimalbrüchen Die Kommas bleiben beim Multiplizieren zunächst unberücksichtigt. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haben. Bsp.: 9,2 0,02 0, 84 (rechne zunächst: 92 2 = 84) Division durch eine natürliche Zahl Vor dem Herabholen der. Ziffer hinter dem Komma wird im Ergebnis das Komma gesetzt. Bsp.: 9,2 : 8 =, Division durch einen Dezimalbruch Beim Dividenden und Divisor darf das Komma um gleich viele Stellen in die gleiche Richtung verschoben werden. Das Komma wird so weit verschoben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Bsp.: 2,56 :,6 = 25,6: 6 =,6 Umformen gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche z = z:n ergibt einen endlichen oder unendlichen periodischen n Dezimalbruch. Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode. Seite 2 von 29

13 Prozentrechnung Prozent Hundertstel 5 Bsp.: 5% = 00 0, % = 00 0,25 4 Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert Anteile werden häufig in Prozent angegeben. p% = 00 Es gilt: p% von GW = p GW = PW, also: PW 00 p% GW p% = Prozentsatz, GW = Grundwert, PW = Prozentwert Dem Grundwert entsprechen immer 00%. p a) Eine Ware kostet 50,00 und wird um 6% verteuert. 00% 50,00 % 50,00 : 00 = 0,5 6% 0,5 6 = 58,00 Die Ware kostet jetzt 58. b) Eine Ware kostet 58,00 und wird um 6% verbilligt. 00% 58,00 % 58,00 : 00 = 0,58 84% 0,58 84 = 48,72 Die Ware kostet jetzt 48,72. c) Eine Ware wird von 50 auf 58 verteuert. Seite von 29

14 50 00% 00% : 50 = 2% 8 2% 8 = 6% Die Preiserhöhung beträgt 6%. Oder mit Formel: PW 8 p% 0,6 6% GW 50 Schlussrechnung (Dreisatz) Bsp.: Benzinverbrauch Kosten Bsp.: 7 7,84 7,84 : 7 =, ,40 Bsp.: Anzahl der Arbeiter Arbeitszeit Bsp.: 7 A. 40 h A h = 280 h 5 A. 280 h : 5 = 56 h Seite 4 von 29

15 Terme Terme mit Variablen Treten in einem Term (Rechenausdruck) verschiedene Variablen auf, dann dürfen diese mit verschiedenen oder mit gleichen Zahlen belegt werden. Tritt aber dieselbe Variable mehrmals in einem Term auf, so muss sie jeweils mit derselben Zahl belegt werden. Erst wenn man die Variablen in einem Term mit Zahlen belegt, erhält man den Wert des Terms. Beispiele: T(x) = x 2 - x T(-4) = (-4) 2 - (-4) = = 28 T(a;b) = 2b a² T(;2) = 2 2 ² = 4 9 = 5 Beachte: x = x x³ = x x x Termumformungen Umformungen sind nach den gültigen Rechengesetzen (Kommutativ- und Assoziativgesetze, Klammerregeln) möglich. Seite 5 von 29

16 Äquivalente Terme liefern beim Einsetzen gleicher Zahlen für die Variable gleiche Termwerte. Distributivgesetz: a(b±c) = ab ± ac Klammern auflösen: Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer ohne weiteres weglassen. Steht ein Minus vor der Klammer, lässt man die Klammer weg und kehrt gleichzeitig alle Rechenzeichen in der Klammer um. Beispiele: y + [x + (5x 2y)] = y + [x + 5x 2y] = y + x + 5x 2y x - (y 2-2x) + y 2 = x - y 2 + 2x + y 2 Termglieder zusammenfassen: Summen werden vereinfacht, indem man gleichartige Summanden zusammenfasst. Beispiel: x - y 2 + 2x + y 2 = x + 2x - y 2 + y 2 = x Bei einer Summe ungleichartiger Terme, etwa a + 4a 2, ist kein Zusammenfassen möglich. Bei einer Summe von Produkten werden zunächst die einzelnen Produkte vereinfacht. Dann werden die Summanden, in denen die Seite 6 von 29

17 gleichen Variablen mit jeweils derselben Potenz vorkommen, zusammengefasst. Beispiele: x² + (5x)² + x = x² + 25x² + x = 28x² + x x 4x + 2 x 5x = 2x² + 0x² = 22x² Multiplizieren von Summen: Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert (unter Berücksichtigung der Vorzeichen) und die Produkte addiert: (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd Beispiele: (2x + y)( - 4x) = 6x - 8x 2 + 9y - 2xy (x 2y)(4x 0)=2x² - 0x 8xy + 20y Faktorisieren: Durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren oder mit Hilfe der binomischen Formeln kann man bestimmte Summen faktorisieren. Beispiele: -4a + 4b = -4(a b) Seite 7 von 29

18 ac + bc ad bd = c(a + b) d (a + b) = (a + b) (c d) Lineare Gleichungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addiert (subtrahiert) oder auf beiden Seiten mit derselben von Null verschiedenen Zahl multipliziert (dividiert). Solche Umformungen sind Äquivalenzumformungen. Eine lineare Gleichung hat entweder genau eine Zahl oder keine Zahl (unerfüllbare Gleichung) 5 0,5x = + 0,75x + 0,5x 5 = +,25x - 2 =,25x :,25,6 = x L = {,6} falls G = L = { } falls G = 5 0,5x = 0,5x + 0,5x 5 = L = {} Seite 8 von 29

19 oder alle Zahlen der Grundmenge (allgemeingültige Gleichung) als Lösung. 0,5x = 0,5x + 0,5x = Lineare Gleichungssysteme L = G (I) 5x 9y 8 (II) 0x y 6 Graphische Lösung Gleichungen explizit nach y auflösen (Geradengleichungen) Geraden einzeichnen; der Schnittpunkt ergibt die Lösung. Additionsverfahren Falls nötig, erst mit geeignetem Faktor multiplizieren, damit Koeffizienten (vom Betrag) gleich, z.b. (I) mit 2 multiplizieren: (I) 0x 8y 6 (II) 0x y (I)+(II) : 0 5y 0 y y in (I) eingesetzt x, also: L={( )} Seite 9 von 29

20 Einsetzungsverfahren aus (I) 8 x 9 y 5 5 (also(i) nach x aufgelöst!) in (II) 0 8 ( 9 y 5 ) y 6 5 ausrechnen: 2 8y 6 y 6; y in (I) (oder (II)) 2 x also: L={( )} Anzahl der Lösungen Genau eine Lösung (Die Geraden schneiden sich) Keine Lösung (Die Geraden sind echt parallel) Unendlich viele Lösungen (Die Geraden sind identisch) Cramersche Regel Liegt ein LGS in folgender Form vor, lassen sich die Lösungen mit Hilfe der Determinanten berechnen: (I) ax + by = c (II) dx + ey = f D = ; D = ; D 2 = Lösungen des LGS: x = y = (D 0) Seite 20 von 29

21 Bruchterme Kürzen durch Faktorisieren: Add./Sub.: Multiplikation: Division (mit Kehrbruch multiplizieren): Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Definitionen für n IN a n a a a... a n 0 a für a 0 n a (a 0) n Faktoren a 2 0, a, d.h. "hoch -" erzeugt den Kehrbruch! a Seite 2 von 29

22 Rechengesetze:. Potenzgesetz 2. Potenzgesetz. Potenzgesetz x y x y x x x a a a a b a b x x y x y a a x x x y x y a : a a a : b a : b (25) a ) ( a a Beachte die jeweiligen Definitionsmengen! Gleitkommadarstellung: =, ,02 =,2 0-2 Die Menge der reellen Zahlen ist die nicht-negative Lösung der Glei- Quadratwurzel Die Quadratwurzel chung x² = a, für a 0 a heißt Radikand Quadratwurzeln können rational ( ), oder irrational ( ), also nur als unendlich nicht-periodische Seite 22 von 29

23 Dezimalzahl darstellbar, sein. Die Menge der reellen Zahlen umfasst alle rationalen und irrationalen Zahlen. Rechnen mit Quadratwurzeln Teilweise radizieren: Unter die Wurzel ziehen: Nenner rational machen: Seite 2 von 29

24 Potenzen mit rationalen Exponeneten ist die nicht-negative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt (a 0), bzw. die Lösung der Gleichung: heißt n-te Wurzel von a. x 8 hat die eine Lösung x 2 8 (nicht 8 ) x hat zwei L. 4 x, Für positive Basis a definiert man: ( 8) Seite 24 von 29

25 Binomische Formeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (c 2 + 7) 2 = c 4 + 4c (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ( a 2 x) 2 = 2a 2 x + a 4 x 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 (2f g)(2f + g) = 4f 2 9g 2 Quadratische Gleichungen Eine Gleichung der Form ax 2 bx c 0; a 0 nennt man quadratische Gleichung. Für die Lösungen der quadratischen Gleichung gilt: 2 b b 4ac x,2 2a z.b.: 2x 2 x + = 0; a = 2, b =, c = L ={;,5} Der Ausdruck b 2 4ac wird als Diskriminante D bezeichnet. Die quadratische Gleichung hat für D > 0 genau zwei Lösungen für D = 0 genau eine Lösung für D < 0 keine Lösung Seite 25 von 29

26 Satz von Vieta: Sind x und x 2 Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form x 2 + px + q = 0, dann gilt: x + x 2 = - p und x x 2 = q x² - x 6 = 0 x = -2 und x 2 = ; damit gilt faktorisiert: x² - x 6 = (x + 2) (x - ) Biquadratische Gleichungen: Gleichungen der Form ax 4 bx ² c 0 heißen biquadratisch: x 4 + 2x 2 = 0 Substitution ( x² = u) liefert: u 2 + 2u = 0 u =, u 2 = - Resubstitution x² = und x² = - liefern: x =, x 2 = -, x, 4 ohne Wert Lineare Gleichungssysteme mit Unbekannten Ein LGS mit drei Gleichungen/Unbekannten kann man lösen, indem man es auf ein System mit zwei Gleichungen/Unbekannten zurückführt. I x + 2y + z = 6 II x - y + 2z = y = x + 2z - III -2x + y - z = - in I: 5x + 5z = 8 in III: -x z = -2 Seite 26 von 29

27 damit entsteht ein LGS mit zwei Gleichungen/Unbekannten, welches mit den bekannten Verfahren gelöst werden kann, um anschließend die dritte Unbekannte zu finden (hier L = {}) Logarithmus x a b Die Lösung der Exponentialgleichung, mit a IR \ heißt Logarithmus von b zur Basis a: ( log a b ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss um b zu erhalten. "a hoch wie viel ist b"?) x log a b log 2 8, denn 2 8 log , denn log 5, denn Seite 27 von 29

28 Rechenregeln für Logarithmen log (u v) log u log v a a a log (u : v) log u log v log u a a a a z z log u a (a,u,vir, a, r IR) Sonderfälle: log 0 a log a a x x Zehnerlogarithmus-Schreibweise: lg x : log0 x (Auf dem TR ist die Zehnerlogarithmus-Taste mit log beschriftet!) Seite 28 von 29

29 Exponentialgleichungen Anwendung des Logarithmus (hier lg) um die Variable aus dem Exponenten zu ziehen : lg logarithmieren Seite 29 von 29