Formelsammlung Elektrodynamik

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1 Formelsammlung Elektrodynamik SS 2006 RWTH Aachen Prof. Kull Skript Simon Sawallich

2 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines Funktionen Trigonometrische Funktionen Hyperbelfunktionen Koordinaten Vektoranalysis Skalare, Vektoren, Tensoren Orthogonale Transformation Skalare Vektoren Tensoren Differentiation von Vektorfeldern Integralsätze Delta-Funktion Elektrostatik Feld einer Punktladung Feldgleichungen Kraftwirkung elekrostatischer Felder Energie elektrostatischer Felder Punktladung im elektrostatischen Feld Energie stetiger Ladungsverteilungen Feldenergie Zusammengesetze Systeme Die Felder einer Vollkugel Multipolfelder Dipol Mathematischer Dipol Multipolentwicklung Leiter Lösungsmethoden für Randwertprobleme Methode der Green-Funktion Separation in Kugelkoordinaten Dielektrika Polarisation Feldgleichungen Magnetostatik Stromdichte Feldgleichungen Magnetisches Dipolmoment Kraftwirkung von Magnetfeldern Magnetfelder in Materie

3 Elektrodynamik 3 1 Allgemeines 1.1 Funktionen Trigonometrische Funktionen e i x = cos(x) + i sin(x) sin(x) = 1 2i (e ix e ix) cos(x) = 1 2 (e ix + e ix) Hyperbelfunktionen sinh(x) = i sin(i x) = 1 2 (e x e x) cosh(x) = cos(i x) = 1 2 (e x + e x) 1.2 Koordinaten Ebene Polarkoordianten: r = ( r cos(ϕ) r sin(ϕ) J = r ) (1) Kugelkoordinaten: r = r sin ϑ cos(ϕ) r sin ϑ sin(ϕ) r cos ϑ (2) J = r 2 sin ϑ Zylinderkoordinaten: r = r cos(ϕ) r sin(ϕ) z (3) J = r 2 Vektoranalysis 2.1 Skalare, Vektoren, Tensoren Orthogonale Transformation x i = k α ik x k (4) Dabei sind α ik die Komponenten einer orthogonalen Matrix: α 1 = α T α α T = α T α = E (5) Skalare S (x i) = S(x j ) (6)

4 Elektrodynamik 4 Vektoren Tensoren a i = α ik a k (7) Ein Tensor n-ter Stufe ist eine n-fach indizierte Größe T ijk... mit dem Transformationsverhalten: 2.2 Differentiation von Vektorfeldern T ijk... = α il α jm α kl T lmn... (8) Gradient Divergenz f = i A = i e i f x i (9) A i x i (10) Rotation A = ijk ɛ ijk A j e k (11) x i Beziehung zwischen Levi-Civita-Tensor und Kronecker-Symbol: ɛ ijk ɛ imn = δ jm δ kn δ jn δ km (12) i Vektorprodukt-Regel (bac-cab) ( ) A B C = B ( ) A C C ( ) A B (13) 2.3 Integralsätze Satz von Gauß (Volumen Fläche) V dv A = S d S A (14) Satz von Stokes (Fläche Randkurve) ( ) ds A = 2.4 Delta-Funktion S Γ d r A (15) Delta-Funktion δ( r a) = 0 für r a und δ( r a) = für r = a (16) f( a) = dv f( r)δ( r a) (17)

5 Elektrodynamik 5 3 Elektrostatik 3.1 Feld einer Punktladung Feld wird durch eine Ladung q j am Ort r j erzeugt: E j ( r) = φ j ( r) = q r r j r r j 3 (18) φ j ( r) = q j r r j (19) Superposition: E ges = j E j φ ges = j φ j (20) 3.2 Feldgleichungen Differentielle Form: Das elektrostatische Feld ist ein wirbelfreies Vektorfeld, dessen Quelldichte durch die Ladungsdichte ϱ( r) bestimmt wird. Da E wirbelfrei ist, kann es aus einem Potential abgeleitet werden: E = 0 E = 4πϱ (21) E = φ φ = 4πϱ (22) Integrale Form der Feldgleichungen: dr E = ds E = 0 (23) Gauß sches Gesetz: Für das von der Oberfläche A eingeschlossenen Ladung Q in erzeugte elektrische Feld E gilt: ds E = dv E = 4π Q in Q in = dv ϱ (24) S V Integraldarstellung: Für eine vorgegebene Ladungsverteilung kann man E und φ bestimmen. Die Quelldichte ist dann s = 4πϱ und es gilt: φ( r) = d 3 r ϱ( r) r r (25) E( r) = φ = d 3 r ϱ( r) ( r r ) r r 3 (26) 3.3 Kraftwirkung elekrostatischer Felder Da das Eigenfeld keine resultierende Kraft auf die Ladung in V ausübt, gilt für die Gesamtkraft F auf die in V eingeschlossene Ladung: F = dv ϱ( r) E ext ( r) (27) V Gesamtdrehmoment um den Koordinatenursprung: N = dv r (ϱ( r) E ext ( r)) (28) V V

6 Elektrodynamik Energie elektrostatischer Felder Punktladung im elektrostatischen Feld Die potentielle Energie einer Ladung q im elektrischen Feldstärkepotential φ ist gegeben durch das Kraftpotential U = q φ: E = φ F = q E = U (29) Bringt man eine Ladung aus dem Unendlichen nach r und wählt das Potential im Unendlichen gleich Null, so verrichtet man die Arbeit: W = r d r F ( r ) = r Energie stetiger Ladungsverteilungen d r U( r ) = U( r) U( ) = U( r) = q φ( r) (30) Die Energie einer Ladungsverteilung im externen Feld ist U = dv ϱφ ext (31) Die Energie einer Ladungserteilung im eigenen Feld ist U = 1 d 3 r ϱ( r)φ( r) (32) 2 Feldenergie Die Energie einer Ladungsverteilungin ihrem eigenen Feld kann auch über eine elektrische Energiedichte u( r) ausgedrückt werden, die durch das gesamte elektrische Feld am Ort r bestimmt wird: U = dv u( r) u( r) = 1 8π E( r)2 (33) Zusammengesetze Systeme Für zusammengesetzte Systeme mit der Ladungsdichte ϱ = ϱ 1 +ϱ 2 und dem elektrischen Feld E = E 1 + E 2 kann man die Feldenergie U ges aufteilen in die Energien U 1,2 der Teilsysteme und die Wechselwirkungsenergie U 12, die als Aufladungsarbeit des Systems interpretiert werden kann: U ges = U 1 + U 2 + U 12 (34) mit und U ges = U 12 = U 21 = dv 1 8π E2 U 1,2 = dv 1 E 4π 1 E 2 = dv ϱ 1 φ 2 = dv 1 8π E2 1,2 (35) dv ϱ 2 φ 1 (36) Die Felder einer Vollkugel Ladungsverteilung: Potential: φ(r) = ϱ = 3 Q Θ(R r) (37) 4πR3 ( ) Q 3 R r2 R 2 Q r r < R r R (38)

7 Elektrodynamik 7 Elektrisches Feld: E(r) = Q r R 3 Q r r 3 r < R r R (39) 3.5 Multipolfelder Dipol Dipolmoment: p = q d d = r 1 r 2 (40) Mathematischer Dipol Ladungsdichte: Potential: Elektrisches Feld: Energie: Kraft: Drehmoment: ϱ = p δ(r) (41) φ = p 1 r = p r r 3 (42) E = p r r 3 = (p r)r r2 p r 5 (43) U = p φ ext = p E ext (44) F = p E ext = U (45) N = p (r E ext ) = p E ext + r F (46) Multipolentwicklung Multipolentwicklung in kartesischen Koordinaten: φ = Q r + i p i x i r i,j Q ij x i x j r 5 ( ) 1 + O r 4 (47) Dabei sind das Monopolmoment, die Dipolmomente und der Quadrupoltensor definiert wie folgt: Q = dv ϱ(r) (48) Q ij = p i = dv ϱ(r) x i (49) dv ϱ(r) (3x i x j r 2 δ ij ) (50) Im allgemeinen hängen die Multipolmomente von der Wahl des Koordinatenursprungs ab. Das unterste nicht-verschwindende Multipolmoment ist jedoch immer ursprungsunabhängig.

8 Elektrodynamik Leiter Mit der elektrischen Leitfähigkeit σ L gilt für die Stromdichte: Im Inneren von Leitern gilt: Oberflächenladungsdichte: j = σ L E (51) j = 0 E = 0 E = φ φ = const. E = 4πϱ ϱ = 0 σ = dq ds = 1 4π φ n R (53) An der Oberfläche gelten die Randbedingungen: Für die Kraft auf ein Oberflächenelement ds = n ds des Leiters gilt: (52) E t = 0 E n = 4π σ (54) df = 1 8π E2 nds (55) Energie eines Systems von N Leitern mit Ladungen Q i und Potentialen φ i : U = 1 2 dv ϱ φ = Lösungsmethoden für Randwertprobleme 3.8 Methode der Green-Funktion N φ i Q i Q i = i=1 N C ij φ j (56) Integraldarstellung der Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für die Greenfunktion G: φ(r) = 4π d 3 r ϱ(r ) G(r, r ) + φ i ds i n G(r, r ) (57) i i=1 Green-Funktion für einen Raum, der durch eine ebene Platte bei z = 0 begrenzt ist: G(r, r) = 1 ( ) 1 4π ρ + ze z r 1 ρ ze z r Green-Funktion für den Außenraum einer leitenden Kugel mit Radius R: G(r, r) = 1 1 4π (59) 3.9 Separation in Kugelkoordinaten Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten: φ = 1 r 2 ( r r2 r + 1 sin θ 1 r r R r r R2 r 2 r θ sin θ θ + 1 sin 2 θ Allgemeine zylindersymmetrische Lösung der Laplace-Gleichung: ( φ(r, θ) = a l r l + l=0 b l r l+1 (58) 2 ) ϕ 2 = 0 (60) ) P l (cos θ) (61)

9 Elektrodynamik 9 Einige Eigenschaften der Legendre-Polynome: 3.10 Dielektrika Polarisation P l (1) = P l (cos 0) = 1 (62) P 0 (cos θ) = 1 (63) P 1 (cos θ) = cos θ (64) Der Polarisationsvektor P gibt an, wieviel Ladung in welche Richtung verschoben wird, wenn ein Dielektrikum in ein elektrisches Feld kommt. Oberflächenpolarisation: Die gesamte Polarisationsladung an der Oberfläche eines Dielektrikums berechnet sich zu: Q p = dq dq = ds P (65) S Volumenpolarisation In jedem Volumenelement erhält man die Polarisationsladungsdichte: ϱ p = P (66) Bei konstanter (homogener) Polarisation befinden sich alle Ladungen an der Oberfläche und es gilt P = 0. Feldgleichungen Im Material muss die Polarisationsladungsdichte zur externen Ladungsdichte addiert werden. Man definiert die dielektrische Verschiebung: Damit lauten die Feldgleichungen in Materie: D = E + 4π P (67) D = 4π ϱ E = 0 (68) Der Betrag der dielektrischen Verschiebung ist in Dielektrikum und Vakkum gleich, während sich das elektrische Feld ändert: D = ɛ E (69) 4 Magnetostatik 4.1 Stromdichte Die Stromdichte j zeigt in Stromrichtung und gibt den Strom pro Flächeneinheit durch ein zur Stromrichtung senkrechtes Flächenelement an: di = j ds (70) Die lokale Form der Ladungserhaltung wird durch die Kontinuitätsgleichung dargestellt: Da in der Statik die Dichte zeitunabhängig ist, gilt: t ϱ(r, t) + j = 0 (71) j = 0 (72)

10 Elektrodynamik 10 Mikroskopische Definition: Für ein System von Punktladungen gilt für die Stromdichte: j = i q i v i δ(r r i ) (73) Für eine beliebige Funktion h(r) erhält man damit ein Formel, mit der man Summen über Ladungen durch Volumenintegrale ersetzen kann: dv j h(r) = q i v i h(r i ) (74) i Für dünne Leiter ist die Stromdichte parallel zu Linienelement dl = dl n, wobei n der Normalenvektor auf der Querschnittsfläche ist: dv j h(r) = dsdl j n h(r) = I dl h(l) (75) 4.2 Feldgleichungen Grundgleichungen der Magnetostatik: B = 0 (76) B = 4π c j (77) Aus der inhomogenen Feldgleichung erhält man das Ampèresche Gesetz: dr B = 4π c I I = ds j (78) Γ Vektorpotential: Magnetfelder sind quellenfrei und können somit aus einem Vektorpotential abgeleitet werden: B = A (79) S A = 4π c j A = 0 (80) Integraldarstellung: Für eine lokalisierte Stromdichte im unendlichen Raum erhält man: A = 1 c B = 1 c d 3 r j(r ) r r d 3 r j(r ) (r r ) r r Für dünner Leiter erhält man aus der Integraldarstellung für B zusammen mit (75) das Biot-Savart- Gesetz: B = I dl (r l) c r l 3 (83) 4.3 Magnetisches Dipolmoment Da es keine magnetischen Monopole gibt, beginnt die Multipolentwicklung mit dem magnetischen Dipolmoment: m = 1 2c d 3 r r j(r) (84) (81) (82)

11 Elektrodynamik 11 Für das Dipolfeld gilt dann: A = m r r 3 B = A = 3r (r m) r2 m r 5 (85) Auf ein magnetisches Dipolmoment wirkt in konstanten Magnetfeldern ein Drehmoment: In inhomogenen Magnetfeldern wirkt eine Kraft: 4.4 Kraftwirkung von Magnetfeldern Lorentzkraft auf ein System von Punktladungen: T = m B (86) F = U U = m B (87) F = 1 c q i v i B(r i ) (88) i Daraus erhält mit (74) die Kraft auf eine Stromdichte: F = dv f f = 1 c j B (89) Für dünne Leiter bzw. Linienelemente erhält man mit (75) df = I c dl B F = df (90) 4.5 Magnetfelder in Materie In einem Material sei n die Dichte der Dipole mit magnetischem Moment m, dann ist die Magnetisierung: M = n m (91) Diese Magnetisierungsstromdichte muss zur externen Stromdichte addiert werden, dann erhält man die magnetische Erregung: H = B 4π M (92) Damit lauten die Feldgleichungen in Materie: H = 4π c j B = 0 (93) Meist gilt ein linearer Zusammenhang: H = 1 µ B (94)