METALLGUMMI. Berechnungsgrundlagen
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- Til Meyer
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1 METLLGUMMI Berechnungsgrundlagen Formelzeichen Die verwendeten Formelzeichen entsprechen der DIN Dort nicht aufgeführte Formelzeichen sind in diesem Programm mit den üblichen Buchstaben bezeichnet. Die Einheiten entsprechen dem internationalen Einheitensystem. Häufig gebrauchte Indizes Index D S V Kard e err stat dyn st ges zul x y z Erläuterung Druck Schub Verdrehung Kardanisch Eigen Erreger statisch dynamisch Stoß, Schock gesamt zulässig Längsrichtung Querrichtung Hochrichtung Zeichen Einheit Erläuterung F N, kn Kraft m kg Masse a m/s Beschleunigung g 9,81 m/s Erdbeschleunigung G N, kn Gewichtskraft f Hz = 1/s Frequenz n 1/min Drehzahl c N/m, N/mm Federrate c v Nm/Grad Verdrehfederrate η 1 Frequenzverhältnis i % Isolationsgrad s mm, m Federweg φ Grad Verdrehwinkel γ Grad Schubwinkel δ Grad Verlustwinkel M Nm, Nmm Moment W J = Nm = Ws rbeitsaufnahme E J = Nm = Ws Energie P W Leistung p Ns = Kgm /s Impuls ε % Druckverformung mm, cm Fläche v m/s Geschwindigkeit Grad nstellwinkel D 1 Dämpfungsmaß D db Körperschall-Dämmwert Festlegung der Belastungsrichtung von MEGI -Federelementen In den meisten Fällen ist eine Lagerung mit unterschiedlichen Federraten in den verschiedenen Belastungsrichtungen erforderlich. Um die Richtungen der angreifenden Kräfte und Verformungen eindeutig festzulegen, werden diese mit x, y und z bezeichnet. Dementsprechend werden die Federraten für die jeweiligen Richtungen mit c x, c y und c z bezeichnet. x z y 81
2 Berechnungsgrundlagen Bestimmung der Federrate aus einem Federdiagramm Wirkt eine Kraft F oder ein Moment M auf ein MEGI-Federelement, dann verformt dieses sich um einen Federweg s bzw. einen Verdrehwinkel φ. Je nach Gestaltung des MEGI-Elementes ist zwischen progressivem, linearem oder degressivem Verlauf der Federkurve zu unterscheiden. Nur bei linearem Kurvenverlauf ist die Federrate c oder bei Verdrehung c v über den gesamten Federungsbereich konstant. In den beiden anderen Fällen ist die Federrate c vom Grad der Verformung abhängig. Die Ermittlung der jeweiligen Federrate ergibt sich aus der Zusammenstellung (Bild 1). Durch nlegen der Tangente im Punkt bei der angenommenen Belastung F bzw. des Drehmoments M erhält man die Strecke S sub bzw. φsub. Der Quotient aus Belastung und dieser so ermittelten Strecke ergibt die Federrate in diesem Punkt. Federrate df c = ds dm c v = dφ F c = s M c v = φ Federrate im rbeitspunkt F c = s sub M c φ = φ sub F c = S M c φ = φ F,(M) Federdiagramm F,(M) F, M F, M S (φ) progressiv S sub (φsub ) s,(φ) linear s,(φ) degressiv df c = ds F c = S sub F,(M) F, M dm c v = dφ M c φ = φ sub nordnungsmöglichkeiten von MEGI -Elementen Bild 1 S sub (φsub ) s,(φ) Parallelschaltung: Hintereinanderschaltung: ngestellt: Federweg: F F s = = c ges c 1 + c + c 3 + c 4 Federweg: F F F F F s = = c ges c 1 c c 3 c 4 Federweg: F Z s = cz Federrate: c ges = c 1 + c + c 3 + c 4 Federrate: = c ges c 1 c c 3 c 4 Federrate: c Z = (c D cos² + cs sin² ) F c D F Z c Z cd c 1 c c 3 c 4 F c S c S c 4 c 3 c c 1 Verwendet man vier bzw. sechs Federn, dann ändert sich in der Formel der Faktor in 4 bzw. 6. 8
3 METLLGUMMI Berechnungsgrundlagen Berechnungsanleitung für die gleichmäßige Belastung von MEGI -Elementen Eine elastische Lagerung soll so ausgeführt werden, dass sich gleiche Einfederungen einstellen. Bei einem verwindungssteifen System wird diese Voraussetzung erfüllt, wenn die Summe der Produkte aus Federwert und dem dazugehörigen Schwerpunktabstand auf beiden Seiten des Schwerpunktes gleich ist. Berechnung der Verteilung der MEGI-Elemente x, y [mm] G, F, F B, F C, F D [N] Y X L X R C Y R G X Y L B D Bild uflagerkräfte F, F B, F C, F D Berechnung der Punktlasten bei gegebenen Befestigungspunkten und unsymmetrischer Schwerpunktlage y L G x R G x R y R F = F x R + x L y R + y B = L x R + x L y R + y L G x L y L G x L y R F C = F x R + x L y R + y D = L x R + x L y R + y L 83
4 Berechnungsgrundlagen Schwingungsisolation periodischer Erregung nzahl der Lagerpunkte Lagerabstände vom Schwerpunkt Gewicht G Masse m Erregerfrequenz f err Drehzahl n err uflagerkräfte nach Seite 1 Megi-Federelement F zul F uflager Federrate C Eigenfrequenz 1 c fe = π m Frequenzverhältnis f η = err fe statische Einfederung F s stat = C maximaler Schwingungsausschlag s stat ŝ = 1- η² Isolationsgrad η²- i = 100% η²-1 maximale Beschleunigung aus Bild Schwingungsisolation Isolationsgrad i 3000 Erregerfrequenz nerr (1/min) Resonanzgerade (Eigenfrequenzen) keine Schwingungsisolation i(%) db , , , , 0,4 0,6 0, stat. Durchsenkung s (mm) Bild 3 84
5 METLLGUMMI Berechnungsgrundlagen Schock- und Stoßisolierung Reaktion einer elastischen Lagerung mit einem Freiheitsgrad und linearer Charakteristik auf einen Rechteckstoß. Eingangsdaten: Erdbeschleunigung g >= 9,81 m/s Masse m (kg); Beschleunigung a e [m/s ]; Stoßzeit t st [s] oder Schockklasse nach BM Bau z.b. RK 0,63/6,3 Kinetische Energie der nregung: Energieaufname des MEGI-Elementes 1 E kin = mv [Nm] 4 F zul E [Nm] oder aus Federkurve ausplanimetrieren c dyn Festigkeitsnachweis c dyn E kin E kin E oder F zul [N] 4 uswahl des MEGI -Elementes F zul c dyn MEGI-Element rtikelgeometrie Dynamische Federrate: c dyn 1, c [N/m] Statische Einfederung: m g s stat = [m] c Eigenfrequenz: 1 g s stat f e = [Hz] π a e t st Restbeschleunigung: a r = [m/s ] s stat g Schwingwegamplitude: a r ŝ = [m] (πf e ) Statische Einfederung bei vorgegebener Restbeschleunigung: a e s stat = g ( t st) [m] a r 8
6 Berechnungsgrundlagen Bild 4 bhängigkeit zwischen mplitude, Frequenz und Beschleunigung Schwingweg-mplitude s ˆ [mm] Erregerfrequenz f err [Hz] [ Beschleunigung a[g] 10 9,81m S² ] bhängigkeit zwischen mplitude, Frequenz und Beschleunigung Bild bhängigkeit des Vergrößerungsverhältnisses ŝ/s stat für den Schwingungsausschlag vom Frequenzverhältnis n err /n e bei verschiedenen Dämpfungen D. ŝ größter Schwingungsausschlag s stat statische Durchfederung n err Erregerdrehzahl n e Eigenschwingungszahl ŝ 1 = s stat (1-η ) + 4 D η Für D = 0: ŝ 1 = s stat 1-η Vergrößerungsverhältnis s/sstat ˆ 4, 4,0 3, 3,0,,0 1, 1,0 0,3 0, 0,1 D=0 0, D =1 0 0, 1,0 1,,0, 3,0 3, 4,0 Frequenzverhältnis n err /n e = η 86
7 METLLGUMMI Berechnungs-Beispiel Ein Maschinenaggregat mit einem Gesamtgewicht von 30 kn und einer Erregerdrehzahl von n err = 140 1/min, verursacht durch ein rotierendes Teil, soll schwingungsisoliert aufgestellt werden. Vorgesehen sind 4 Lagerpunkte. Die Schwerpunktslage ist nicht symmetrisch. Rahmenskizze: Gegeben: Gewicht G = 30 kn, Erregerdrehzahl n err = 140 1/min, nzahl der Lagerpunkte: 4 bstand der Lagerpunkte vom Schwerpunkt: Skizze Y C Gesucht: uflagerkräfte, Megi-Federelement, Federrate, statische Einfederung, Eigenfrequenz, Frequenzverhältnis, Isolationsgrad, Körperschall- Dämmwert, maximaler Schwingungsausschlag, maximale Beschleunigung der Maschine B G D X Lösung 1. uflagerkräfte: F, F B, F C, F D Die uflagerkräfte werden nach der Berechnungsanleitung für die gleichmäßige Belastung von MEGI-Elementen (Seite 1) bestimmt. 30 kn F = F B = = 6 kn kn F C = F D = = 9 kn MEGI-Federelement us den Federdiagrammen bzw. aus den Tabellen wird der MEGI-Maschinenfuß in der Qualität hart (für die rechte Lagerebene) und in der Qualität mittel (für die linke Lagerebene) ausgesucht. Dieser rtikel hat in der Qualität mittel bei einer Belastung von 6 kn und in der Qualität hart bei einer Belastung von 9 kn eine Einfederung von 3 mm. 3. Federrate: c Die Federrate ist für den MEGI-Maschinenfuß F 6000 N mittel c = = 10 6 N/m = c,b und s stat 0,003 m F C 9000 N hart c = = N/m = c C,D s stat 0,003 m 87
8 Berechnungs-Beispiel 4. Statische Einfederung: s stat. Eigenfrequenz: f e 6. Frequenzverhältnis: η 7. Isolationsgrad: i 8. Körperschall-Dämmwert: D 9. Maximaler Schwingungsausschlag: ŝ 9. Maximale Beschleunigung: a max Die Federelemente sind parallel geschaltet. Demnach ist die Gesamtfederrate c ges = c,b + c C,D = 10 6 N/m = N/m. Die statische Gesamteinfederung wird somit G N s stat = = = 0,003 m c ges N/m Die Eigenfrequenz der elastisch gelagerten Maschine errechnet sich mit der Formel 1 c ges G f e = [Hz] wobei die Masse m = [kg] ist. π m g Damit wird die Eigenfrequenz 1 9, f e = = 9,1 Hz π Das Frequenzverhältnis η ist f err n err η =, wobei f err = Hz ist. f e 60 In diesem Beispiel ist das Frequenzverhältnis 140 η = =, ,1 Der Isolationsgrad i kann aus Bild 3 mit der Erregerdrehzahl n err und der statischen Einfederung s stat abgelesen oder mit der Formel η -,66 - i = 100% = 100% = 83,4% η -1, errechnet werden. Daraus ist ersichtlich, daß nur noch ca. 16,% der Erregerstörkräfte, die von der Maschine ausgehen, in das Fundament geleitet werden. Der Körperschall-Dämmwert kann genau wie der Isolationsgrad direkt aus Bild 3 abgelesen werden, oder er wird mit der Formel 1 1 D = 0 lg = 0 lg = 1,67 db 1- i 1-0,834 berechnet. In dieser Formel wird der Isolationsgrad i nicht in % eingesetzt. Der maximale Schwingungsausschlag kann aus Bild bestimmt werden oder wird mit der Formel s stat 0,003 ŝ = = = 0,00049 m 1-η 1-,66 berechnet. Die maximale Beschleunigung kann aus Bild 4 bestimmt werden oder wird mit der Formel 140 a max = ŝ (π f err ) = 0,00049 (π ) = 11,3 m/s 60 berechnet. D.h., die Maschine wird mit maximal 1,1g beschleunigt. 88
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