8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests

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1 8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012

2 Beispiel. Sie wollen den durchschnittlichen Fruchtsaftgehalt eines bestimmten Orangennektars ermitteln. Dazu bestimmen Sie den Fruchtsaftgehalt in 50 verschiedenen Packungen und ermitteln einen Durchschnittswert von 47% Fruchtsaftgehalt. 1. Was lässt sich über den Fruchtsaftgehalt in der Grundgesamtheit sagen? (Schätzproblem) 2. Der Hersteller behauptet, der durchschnittliche Fruchtsaftgehalt betrage 50%. Besteht Anlass, an der Behauptung des Herstellers zu zweifeln? (Testproblem) Wir betrachten zunächst das Schätzproblem.

3 Obwohl wir die einzelnen Stichproben eigentlich ohne Zurücklegen entnehmen, können wir näherungsweie die Unabhängigkeit der Beobachtungswerte X i voraussetzen, da die Grundgesamtheit viel größer als die Anzahl n = 50 der Einzelstichproben ist. Da n hinreichend groß ist und sich die zufälligen Fluktuationen in der Regel aus verschiedenen unabhängigen Effekten zusammensetzen, setzen wir eine Normalverteilung N(m, σ 2 ) für die einzelnen Beobachtungswerte X i voraus. Hierbei ist der Erwartungswert m der gesuchte durchschnittliche Fruchtsaftgehalt in der Grundgesamtheit, also ein unbekannter Parameter.

4 Wir betrachten zwei verschiedene Situationen: 1. σ bekannt Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz 2. σ unbekannt Schätzung des Erwartungswerts bei unbekannter Varianz Die zweite Situation ist natürlich deutlich realistischer und wird in der Mehrzahl der praktischen Anwendungen betrachet. Wir betrachten trotzdem zunächst die erste Situation, da die mathematische Analyse hier etwas einfacher ist.

5 8.1 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Wahl des statistischen Modells X 1,X 2,...,X n N(m, σ 2 ) unabhängige Stichproben (n = 50)

6 8.1 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Wahl des statistischen Modells X 1,X 2,...,X n N(m, σ 2 ) unabhängige Stichproben (n = 50) m R unbekannter Parameter

7 8.1 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Wahl des statistischen Modells X 1,X 2,...,X n N(m, σ 2 ) unabhängige Stichproben (n = 50) m R unbekannter Parameter σ > 0 bekannt, z.b. σ = 6

8 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Wahl eines Punktschätzers Wir wollen die unbekannte Größe m aus den Beobachtungswerten X 1,X 2,...,X n schätzen. Da m das arithmetische Mittel in der Grundgesamtheit ist, liegt es nahe, als Schätzwert für m das Stichprobenmittel X n = 1 n n X i i=1 zu verwenden. Wir nennen die Stichprobenfunktion X n auch einen Punktschätzer für den unbekannten Parameter m.

9 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Festlegung eines Signifikanzniveaus Wir legen ein Signifikanzniveau α bzw. das Konfidenzniveau 1 α fest, z.b. α = 0,05, 1 α = 95%: schwach signifikant α = 0,01, 1 α = 99%: signifikant α = 0,001, 1 α = 99,9%: stark signifikant α = 0,0001, 1 α = 99,99%: äußerst signifikant Das Signifikanzniveau gibt die maximale Wahrscheinlichkeit für bestimmte Fehlschlüsse an. Man sollte vor Durchführung der Untersuchung festlegen, welches Signifikanzniveau man fordert. Bei α = 0,05 wird zum Beispiel in etwa einer von 20 Untersuchungen ein Fehlschluß auftreten. Im unserem Beispiel wählen wir α = 0,01, also 1 α = 99%.

10 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Wahl einer Prüfgröße Wir wählen nun eine Prüfgröße, die von den Beobachtungswerten X 1,X 2,...,X n abhängt und die angibt, wie stark der Schätzwert X n vom wahren Parameter m abweicht. Die Verteilung dieser Prüfgröße sollten wir explizit, oder zumindest näherungsweise, kennen. In unserem Fall bietet es sich an, das standardisierte Stichprobenmittel Z n = X n m σ/ n zu verwenden, denn: (= X n E [ ]) X n σ ( X n ) 1. Z n ist proportional zum Schätzfehler X n m. 2. Wir wissen, daß Z n standardnormalverteilt ist.

11 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Konfidenzintervall (Intervallschätzer, Bereichsschätzer) Wir wollen nun ein Intervall um den Punktschätzer X n angeben, so daß der tatsächliche Parameter m stets (d.h. für alle möglichen Werte des tatsächlichen Parameters) mit Wahrscheinlichkeit 1 α in dem Intervall liegt. Ein solches Intervall nennen wir ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 α (z.b. 1 α = 99% ).

12 Da die Prüfgröße Z n standardnormalverteilt ist, gilt: P m,σ [ Z n z (1 α/2) ] = 1 α In unserem Beispiel ist α = 0,01, also z (1 α/2) = z (0,995) = 2,58 das 99,5%-Quantil der Standardnormalverteilung.

13 Wegen erhalten wir: Z n = X n m σ/ n [ ] 0,99 = P m,σ Z n z (0,995) [ = P m,σ X n m z (0,995) σ/ ] n. Das gesuchte 99%-Konfidenzintervall ist also X n ±z (0,995) σ/ n Speziell für σ = 6 und n = 50 ergibt sich z (0,995) σ/ n = 2,58 6/ 50 = 2,2.

14 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Konfidenzintervall Fazit: In unserem Beispiel ist X n ±2,2 = 47±2,2 ein 99%-Konfidenzintervall für den wahren Fruchtsaftgehalt m. Warnung: Dies bedeutet nicht, daß der tatsächliche Fruchtsaftgehalt mit Wahrscheinlichkeit 99% zwischen 44,8 und 49,2 liegt, sondern... Richtige Interpretation: Wenn wir dieselbe Untersuchung sehr oft wiederholen würden, dann würde der tatsächliche Fruchtsaftgehalt in 99% der Fälle in dem von uns ermittelten Intervall liegen. Dieses Intervall ist aber für jede Untersuchung ein anderes, da es aus den jeweiligen Beobachtungswerten berechnet wird!

15 Schätzung des Erwartungswerts bei bekannter Varianz Konfidenzintervall Fazit: In unserem Beispiel ist X n ±2,2 = 47±2,2 ein 99%-Konfidenzintervall für den wahren Fruchtsaftgehalt m. Warnung: Dies bedeutet nicht, daß der tatsächliche Fruchtsaftgehalt mit Wahrscheinlichkeit 99% zwischen 44,8 und 49,2 liegt, sondern... Richtige Interpretation: Wenn wir dieselbe Untersuchung sehr oft wiederholen würden, dann würde der tatsächliche Fruchtsaftgehalt in 99% der Fälle in dem von uns ermittelten Intervall liegen. Dieses Intervall ist aber für jede Untersuchung ein anderes, da es aus den jeweiligen Beobachtungswerten berechnet wird! Allgemein erhalten wir bei bekanntem σ mit völlig analoger Rechnung das Konfidenzintervall X n ±z (1 α/2) σ/ n zum Konfidenzniveau 1 α für den Erwartungswert m.

16 8.2 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Formulierung einer Nullhypothese und Alternative Der Hersteller behauptet, der durchschnittliche Fruchtsaftgehalt betrage 50%. Besteht Anlass, an der Behauptung des Herstellers zu zweifeln? (Testproblem) Zuerst formulieren wir eine Nullhypothese H 0 und eine Alternative H 1 : Die Nullhypothese beschreibt den zu erwartenden Normalfall/Regelfall. In unserem Beipiel: Dies ist ein beidseitiges Testproblem. Alternativ könnten wir auch das einseitige Testproblem H 0 : m 50 gegen H 1 : m < 50 betrachten.

17 8.2 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Formulierung einer Nullhypothese und Alternative Der Hersteller behauptet, der durchschnittliche Fruchtsaftgehalt betrage 50%. Besteht Anlass, an der Behauptung des Herstellers zu zweifeln? (Testproblem) Zuerst formulieren wir eine Nullhypothese H 0 und eine Alternative H 1 : Die Nullhypothese beschreibt den zu erwartenden Normalfall/Regelfall. Die Alternative beschreibt eine Abweichung vom Normalfall oder einen in einem Experiment zu beobachtenden Effekt. In unserem Beipiel: Dies ist ein beidseitiges Testproblem. Alternativ könnten wir auch das einseitige Testproblem H 0 : m 50 gegen H 1 : m < 50 betrachten.

18 8.2 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Formulierung einer Nullhypothese und Alternative Der Hersteller behauptet, der durchschnittliche Fruchtsaftgehalt betrage 50%. Besteht Anlass, an der Behauptung des Herstellers zu zweifeln? (Testproblem) Zuerst formulieren wir eine Nullhypothese H 0 und eine Alternative H 1 : Die Nullhypothese beschreibt den zu erwartenden Normalfall/Regelfall. Die Alternative beschreibt eine Abweichung vom Normalfall oder einen in einem Experiment zu beobachtenden Effekt. In unserem Beipiel: H 0 : m = 50 Dies ist ein beidseitiges Testproblem. Alternativ könnten wir auch das einseitige Testproblem H 0 : m 50 gegen H 1 : m < 50 betrachten.

19 8.2 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Formulierung einer Nullhypothese und Alternative Der Hersteller behauptet, der durchschnittliche Fruchtsaftgehalt betrage 50%. Besteht Anlass, an der Behauptung des Herstellers zu zweifeln? (Testproblem) Zuerst formulieren wir eine Nullhypothese H 0 und eine Alternative H 1 : Die Nullhypothese beschreibt den zu erwartenden Normalfall/Regelfall. Die Alternative beschreibt eine Abweichung vom Normalfall oder einen in einem Experiment zu beobachtenden Effekt. In unserem Beipiel: H 0 : m = 50 H 1 : m = 50 Dies ist ein beidseitiges Testproblem. Alternativ könnten wir auch das einseitige Testproblem H 0 : m 50 gegen H 1 : m < 50 betrachten.

20 Die Nullhypothese beschreibt den zu erwartenden Normalfall/Regelfall. Die Alternative beschreibt eine Abweichung vom Normalfall, oder einen in einem Experiment zu beobachtenden Effekt. Die Nullhypothese und Alternative sind nicht gleichwertig:

21 Die Nullhypothese beschreibt den zu erwartenden Normalfall/Regelfall. Die Alternative beschreibt eine Abweichung vom Normalfall, oder einen in einem Experiment zu beobachtenden Effekt. Die Nullhypothese und Alternative sind nicht gleichwertig: Wir wollen in erster Linie vermeiden, daß wir die Nullhypothese verwerfen, obwohl sie wahr ist (Fehler 1. Art).

22 Die Nullhypothese beschreibt den zu erwartenden Normalfall/Regelfall. Die Alternative beschreibt eine Abweichung vom Normalfall, oder einen in einem Experiment zu beobachtenden Effekt. Die Nullhypothese und Alternative sind nicht gleichwertig: Wir wollen in erster Linie vermeiden, daß wir die Nullhypothese verwerfen, obwohl sie wahr ist (Fehler 1. Art). Wenn unsere Untersuchung nicht genau genug ist (z.b. aufgrund einer zu geringen Stichprobengröße), kann es aber durchaus passieren, daß wir einen vorhandenen Effekt nicht entdecken, also die Nullhypothese belassen, obwohl sie falsch ist (Fehler 2. Art).

23 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Hypothesentest Ein Hypothesentest für eine Nullhypothese H 0 gegen eine Alternative H 1 basierend auf den Beobachtungswerten x 1,x 2,...,x n besteht nun aus der Angabe eines kritischen Bereichs K (Verwerfungsbereich) zusammen mit der Entscheidungsregel: Verwerfe die Nullhypothese, falls die Beobachtungswerte im kritischen Bereich liegen.

24 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Hypothesentest Ein Hypothesentest für eine Nullhypothese H 0 gegen eine Alternative H 1 basierend auf den Beobachtungswerten x 1,x 2,...,x n besteht nun aus der Angabe eines kritischen Bereichs K (Verwerfungsbereich) zusammen mit der Entscheidungsregel: Verwerfe die Nullhypothese, falls die Beobachtungswerte im kritischen Bereich liegen. Belasse die Nullhypothese, falls nicht.

25 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Hypothesentest Ein Hypothesentest für eine Nullhypothese H 0 gegen eine Alternative H 1 basierend auf den Beobachtungswerten x 1,x 2,...,x n besteht nun aus der Angabe eines kritischen Bereichs K (Verwerfungsbereich) zusammen mit der Entscheidungsregel: Verwerfe die Nullhypothese, falls die Beobachtungswerte im kritischen Bereich liegen. Belasse die Nullhypothese, falls nicht. Ein statistischer Nachweis/Beweis gelingt bloß dann, wenn die Nullhypothese verworfen wird. Belassen der Nullhypothese bedeutet dagegen nicht, daß H 0 damit statistisch bewiesen wäre!

26 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Signifikanzniveau Wie oben legen wir ein Signifikanzniveau α fest, z.b. α = 0,05, 1 α = 95%: schwach signifikant α = 0,01, 1 α = 99%: signifikant α = 0,001, 1 α = 99,9%: stark signifikant α = 0,0001, 1 α = 99,99%: äußerst signifikant Bei einem Hypothesentest beschreibt das Signifikanzniveau die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (Verwerfen der Nullhypothese, obwohl diese wahr ist). Es gilt also: P H0 [(X 1,X 2,...,X n ) liegt im Verwerfungsbereich] α Im unserem Beispiel wählen wir wieder α = 0,01, also 1 α = 99%.

27 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der z-test Ein Hypothesentest für die Nullhypothese H 0 : m = m 0 (in unserem Beispiel ist m 0 = 50) gegen die Alternative H 1 : m = m 0 basierend auf den Beobachtungswerten X 1,X 2,...,X n besteht aus der Angabe eines kritischen Bereichs K (Verwerfungsbereich) zusammen mit der Entscheidungsregel: Verwerfe die Nullhypothese, falls die Beobachtungswerte im kritischen Bereich liegen.

28 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der z-test Ein Hypothesentest für die Nullhypothese H 0 : m = m 0 (in unserem Beispiel ist m 0 = 50) gegen die Alternative H 1 : m = m 0 basierend auf den Beobachtungswerten X 1,X 2,...,X n besteht aus der Angabe eines kritischen Bereichs K (Verwerfungsbereich) zusammen mit der Entscheidungsregel: Verwerfe die Nullhypothese, falls die Beobachtungswerte im kritischen Bereich liegen. Belasse die Nullhypothese, falls nicht.

29 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der z-test Ein Hypothesentest für die Nullhypothese H 0 : m = m 0 (in unserem Beispiel ist m 0 = 50) gegen die Alternative H 1 : m = m 0 basierend auf den Beobachtungswerten X 1,X 2,...,X n besteht aus der Angabe eines kritischen Bereichs K (Verwerfungsbereich) zusammen mit der Entscheidungsregel: Verwerfe die Nullhypothese, falls die Beobachtungswerte im kritischen Bereich liegen. Belasse die Nullhypothese, falls nicht. Um im konkreten Fall einen Hypothesentest zu konstruieren, betrachten wir die Prüfgröße Z n = X n m 0 σ/ n

30 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der z-test Da die Prüfgröße Z n = X n m 0 σ/ n unter der Nullhypothese standardnormalverteilt ist, erhalten wir [ ] 0,99 = P H0 Z n z (0,995) [ = P H0 X n m 0 z (0,995) σ/ ] n. Wir verwerfen daher die Nullhypothese m = m 0, falls X n m 0 > z (0,995) σ/ n gilt - die Verwerfungswahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese beträgt dann gerade 1%.

31 In unserem Beipiel ist m 0 = 50 und z (0,995) σ/ n = 2,2. Wir verwerfen also die Nullhypothese m = 50 genau dann, wenn Xn 50 > 2,2 gilt, also wenn das Stichprobenmittel X n nicht in dem Intervall [47,8, 52,2] liegt. Beobachtet wurde X n = 47, so daß wir die Nullhypothese also in diesem Fall tatsächlich verwerfen können. Weil wir das Signifikanzniveau α = 1% gewählt haben, ist unser Testergebnis im Sinne der Notation von oben signifikant (d.h. ein Fehler 1. Art tritt nur bei einer von 100 Untersuchungen auf). Hätte unsere Untersuchung hingegen nur auf n = 25 Einzelstichproben basiert, dann wäre z (0,995) σ/ n = 3,1, und wir würden nur verwerfen, wenn X n 50 > 3,1 gilt. In diesem Fall könnten wir die Nullhypothese also bei einem Signifikanzniveau α = 1% nicht verwerfen.

32 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der z-test Allgemein erhalten wir auf analoge Weise folgenden Test: Voraussetzung: Gaußmodell mit bekannter Varianz σ 2. Verwerfungsbereich: Die Nullhypothese m = m 0 wird verworfen, falls Z n > z (1 α/2) bzw. X n m 0 > z (1 α/2) σ/ n

33 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der z-test Allgemein erhalten wir auf analoge Weise folgenden Test: Voraussetzung: Gaußmodell mit bekannter Varianz σ 2. Nullhypothese: m = m 0, Alternative: m = m 0 Verwerfungsbereich: Die Nullhypothese m = m 0 wird verworfen, falls Z n > z (1 α/2) bzw. X n m 0 > z (1 α/2) σ/ n

34 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der z-test Allgemein erhalten wir auf analoge Weise folgenden Test: Voraussetzung: Gaußmodell mit bekannter Varianz σ 2. Nullhypothese: m = m 0, Alternative: m = m 0 Signifikanzniveau: α Verwerfungsbereich: Die Nullhypothese m = m 0 wird verworfen, falls Z n > z (1 α/2) bzw. X n m 0 > z (1 α/2) σ/ n

35 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der z-test Allgemein erhalten wir auf analoge Weise folgenden Test: Voraussetzung: Gaußmodell mit bekannter Varianz σ 2. Nullhypothese: m = m 0, Alternative: m = m 0 Signifikanzniveau: α Prüfgröße: Z n = X n m 0 σ/ n N(0,1) Verwerfungsbereich: Die Nullhypothese m = m 0 wird verworfen, falls Z n > z (1 α/2) bzw. X n m 0 > z (1 α/2) σ/ n

36 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der p-wert Unser Testergebnis sagt uns nur, ob wir bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau die Nullhypothese verwerfen oder nicht. Wenn wir das Signifikanzniveau ändern, müssen wir den Verwerfungsbereich wieder neu berechnen.

37 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der p-wert Unser Testergebnis sagt uns nur, ob wir bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau die Nullhypothese verwerfen oder nicht. Wenn wir das Signifikanzniveau ändern, müssen wir den Verwerfungsbereich wieder neu berechnen. Um zu messen, wie eindeutig eine Nullhypothese verworfen wird (oder nicht verworfen wird), können wir zu gegebenen Beobachtungswerten dasjenige Signifikanzniveau p berechnen, bei dem H 0 gerade noch nicht verworfen wird:

38 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der p-wert Unser Testergebnis sagt uns nur, ob wir bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau die Nullhypothese verwerfen oder nicht. Wenn wir das Signifikanzniveau ändern, müssen wir den Verwerfungsbereich wieder neu berechnen. Um zu messen, wie eindeutig eine Nullhypothese verworfen wird (oder nicht verworfen wird), können wir zu gegebenen Beobachtungswerten dasjenige Signifikanzniveau p berechnen, bei dem H 0 gerade noch nicht verworfen wird: Definition Der p-wert eines Hypothesentests ist das größte Signifikanzniveau α, bei dem die Nullhypothese nicht verworfen wird.

39 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der p-wert Unser Testergebnis sagt uns nur, ob wir bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau die Nullhypothese verwerfen oder nicht. Wenn wir das Signifikanzniveau ändern, müssen wir den Verwerfungsbereich wieder neu berechnen. Um zu messen, wie eindeutig eine Nullhypothese verworfen wird (oder nicht verworfen wird), können wir zu gegebenen Beobachtungswerten dasjenige Signifikanzniveau p berechnen, bei dem H 0 gerade noch nicht verworfen wird: Definition Der p-wert eines Hypothesentests ist das größte Signifikanzniveau α, bei dem die Nullhypothese nicht verworfen wird. Wenn wir den p-wert kennen, sieht unsere Testentscheidung bei vorgegebenem Signifikanzniveau α so aus:

40 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der p-wert Unser Testergebnis sagt uns nur, ob wir bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau die Nullhypothese verwerfen oder nicht. Wenn wir das Signifikanzniveau ändern, müssen wir den Verwerfungsbereich wieder neu berechnen. Um zu messen, wie eindeutig eine Nullhypothese verworfen wird (oder nicht verworfen wird), können wir zu gegebenen Beobachtungswerten dasjenige Signifikanzniveau p berechnen, bei dem H 0 gerade noch nicht verworfen wird: Definition Der p-wert eines Hypothesentests ist das größte Signifikanzniveau α, bei dem die Nullhypothese nicht verworfen wird. Wenn wir den p-wert kennen, sieht unsere Testentscheidung bei vorgegebenem Signifikanzniveau α so aus: Verwerfe H 0, falls p < α Belasse H 0, falls p α.

41 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Der p-wert beim z-test Der z-test basiert auf der Prüfgröße Z n = X n m 0 σ/ n N(0,1) Wir verwerfen, wenn der Betrag des beobachteten Wertes z n = x n m 0 σ/ n der Prüfgröße hinreichend groß ist. Theorem Der p-wert beim z-test mit Beobachtungswert z n ist p = P H0 [ Z n z n ] = P H0 [ X n m 0 x n m 0 ].

42 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Berechnung des p-werts p = P H0 [ Z n z n ] = P H0 [ X n m 0 x n m 0 ]. Der p-wert gibt also an, mit welcher Wahrscheinlichkeit unter H 0 das Stichprobenmittel mindestens so weit entfernt von m 0 entfernt ist, wie tatsächlich beobachtet wurde.

43 Berechnung des p-werts im z-test: p = P H0 [ Z n z n ] = 2 P H0 [Z n z n ] = 2 (1 Φ( z n ))

44 Berechnung des p-werts im z-test: p = P H0 [ Z n z n ] = 2 P H0 [Z n z n ] = 2 (1 Φ( z n )) In unserem Beispiel ist z n = x n m 0 σ/ n = / 50 = 3,53

45 Berechnung des p-werts im z-test: p = P H0 [ Z n z n ] = 2 P H0 [Z n z n ] = 2 (1 Φ( z n )) In unserem Beispiel ist z n = x n m 0 σ/ n = / 50 = 3,53 Wir erhalten also p = 2 (1 Φ(3,53)) 0,0004 = 0,04%

46 Berechnung des p-werts im z-test: p = P H0 [ Z n z n ] = 2 P H0 [Z n z n ] = 2 (1 Φ( z n )) In unserem Beispiel ist z n = x n m 0 σ/ n = / 50 = 3,53 Wir erhalten also p = 2 (1 Φ(3,53)) 0,0004 = 0,04% Wir würden die Nullhypothese also sogar beim Signifikanzniveau α = 0,1% verwerfen, d.h. das Testergebnis ist sogar stark signifikant.

47 Berechnung des p-werts im z-test: p = P H0 [ Z n z n ] = 2 P H0 [Z n z n ] = 2 (1 Φ( z n )) In unserem Beispiel ist z n = x n m 0 σ/ n = / 50 = 3,53 Wir erhalten also p = 2 (1 Φ(3,53)) 0,0004 = 0,04% Wir würden die Nullhypothese also sogar beim Signifikanzniveau α = 0,1% verwerfen, d.h. das Testergebnis ist sogar stark signifikant. Beim Signifikanzniveau α = 0,01% könnten wir H 0 dagegen nicht verwerfen - das Ergebnis ist also nicht äußerst signifikant.

48 Test betreffend den Erwartungswert bei bekannter Varianz Die Gütefunktion Bisher haben wir nur den Fehler 1. Art beachtet und den Test so konstruiert, das dessen Wahrscheinlichkeit unter dem Signifikanzniveau liegt. Um die Qualität verschiedener Tests zu demselben Signifikanzniveau zu vergleichen, untersucht man, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Tests die Nullhypothese verwerfen, wenn m = m 0 gilt. Definition Die Gütefunktion (Macht, power) des z-tests ist g(m) = P m,σ [H 0 wird verworfen]

49 Die Gütefunktion (Macht, power) des z-tests ist g(m) = P m,σ [H 0 wird verworfen] Die Gütefunktion des z-tests kann man explizit berechnen. Die folgenden Grafiken zeigen Gütefunktionen für zwei verschiedene Stichprobengrößen:

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