Die Erstellung einer Webseite zur Übung des Algebrastoffes der 7. Jahrgangsstufe

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1 St.-Anna-Gymnasium München Kollegstufe 08/10 FACHARBEIT im Leistungskurs Mathematik Die Erstellung einer Webseite zur Übung des Algebrastoffes der 7. Jahrgangsstufe Verfasser: Dominik Haug München im Februar 2010 Kursleiter: Hr. Wolfgang Aumann

2 Inhaltsverzeichnis I) Einführung II) Aufgabenstellung III) Entstehung der Matrainer-Übungsseite 1. Plattform und Programmiersprache 2. Entwicklung 2.1 Rundensystem 2.2 Login 2.3 Formeldarstellung 2.4 Fragenpräsentation 2.5 Auswertung von Termen 2.6 Bewertung 3. Fragen 4. Internetpräsentation IV) Ausblick und weitere Pflege V) Anhang 1. Literaturverzeichnis 2. Fragenkatalog

3 I) Einführung Der Computer spielt in der heutigen multimedialen Zeit eine wichtige Rolle und von vielen Seiten wird das Lehren von Medienkompetenz in der Schule gefordert. Dabei sind auch die Schülerinnen und Schüler (im folgenden werden beide Geschlechter unter dem Begriff Schüler zusammengefasst) der niedrigen Klassen bereits mit der Nutzung eines Computers vertraut und nutzen die Informationsvielfalt des Internets zur Bewältigung ihrer Hausaufgaben oder zur Vorbereitung von Referaten. Doch auch das Üben und Vertiefen des Schulstoffes, was aufgrund des straffen Lehrplans im achtjährigen Gymnasium ohnehin oft etwas kurz kommt, ist denkbar. Gerade im Fach Mathematik ist dieses Üben für viele Schüler wichtig, und erst durch die praktische Anwendung kann der theoretisch erlernte Stoff vollständig durchdrungen werden. Genau diese beiden Ziele, den Umgang mit einem Computer ermöglichen, was nebenbei die Motivation der Schüler erhöht, und das selbstständige Anwenden der Mathematik, werden durch das Ergebnis dieser Facharbeit verbunden. Die Arbeit ermöglicht ein Vertiefen des Algebrastoffes der 7. Jahrgangsstufe über das Internet. Der für das Projekt gewählte Name Matrainer wurde aus den Wörtern Mathematik und Trainer zusammengesetzt und ist eine kreative Neuschöpfung. II) Aufgabenstellung Die Aufgabe für diese Arbeit war es, einer 7. Klasse des Gymnasiums die Übung des Algebrastoffes im Mathematikunterricht am Computer zu ermöglichen. III) Entstehung der Matrainer-Übungsseite 1. Plattform und Programmiersprache Die vorläufige Aufgabenstellung im Frühjahr 2009 war nicht an eine Plattform oder gar eine Programmiersprache gebunden. Meine Fähigkeiten und Kenntnisse damals waren auf Microsoft Visual Basic beschränkt, wobei mir eine Umsetzung in dieser Sprache nicht erstrebenswert erschien. Vielmehr wollte ich eine möglichst plattformunabhängige und für den Schüler einfach zu -3-

4 benutzende Lösung anstreben, was zu der gewählten Umsetzung als Webseite führte. Hierbei ist das Betriebssystem des Nutzers nicht relevant und eine Installation ist nicht nötig, was die gewünschte Universalität bringt. Die Wahl der Programmiersprache war damit allerdings eingeschränkt und ich entschied mich für die Nutzung der populären Skriptsprache PHP 1 in Verbindung mit dem ebenfalls sehr häufig genutzten Datenbanksystem MySQL 2. Da PHP allerdings nur serverseitig ausgeführt werden kann, was einerseits die Kompatibilität steigert, aber andererseits keine dynamische Reaktion auf Benutzereingaben ohne ein Neuladen ermöglicht, kommt zusätzlich JavaScript als clientseitige Skriptsprache, die ich in Ansätzen bereits kennengelernt hatte und beherrschte, zum Einsatz. Zur Darstellung wird dann eine CSS-formatierte HTML-Seite ausgegeben. Die nötigen Kenntnisse in allen Sprachen konnte ich mir mit Hilfe des Internets und einiger Bücher (PHP/MySQL 3,4, HTML/Javascript 5 ) aneignen. 2. Entwicklung 2.1 Rundensystem Nach der Wahl der Programmiersprache musste eine Benutzeroberfläche mit entsprechendem Übungswert und einer Bewertungsmöglichkeit entworfen werden. Hierbei gefiel mir die Überlegung, eine rundenbasierte Lösung anzustreben, am besten, da dies ein kontinuierliches Arbeiten des Schülers über mehrere Aufgaben hinweg ermöglicht, ohne durch ständige Bewertung den Fluss zu stören. Weiterhin steht für die Einordnung der Leistung am Ende der Runde eine breite Grundlage über verschiedene Aufgabentypen zur Verfügung. Die Länge einer Runde wurde auf zehn Aufgaben festgesetzt, da mir dies als guter Mittelweg zwischen ständiger Belästigung und zu seltener Bestätigung durch eine Bewertung erschien. Der Schüler muss also zehn Aufgaben bewältigen und erhält dann eine Auswertung, bevor er sich in die nächste Runde begibt. 2.2 Login Die erste programmiertechnische Hürde, die ich zu bewältigen hatte, war es, ein Login-System zu schreiben, bei dem sich der Schüler mit seinem registrierten Benutzernamen und Passwort authentifizieren muss, bevor er -4-

5 Zugang zu den Fragen erhält. Hierbei konnte ich erste Praxiserfahrungen mit PHP sammeln und die Stärke des Zusammenwirkens mit JavaScript kennenlernen. Auch das Erstellen, Befüllen und Abfragen von MySQL- Datenbanken als Speicher für die Benutzerdaten konnte ich bereits ausprobieren und mir die entsprechende Syntax zurechtlegen. Ich machte weiterhin Erfahrungen im Abfangen von Benutzereingaben, die ich später bei der Überprüfung der Antworten nutzen konnte, und im Umgang mit Sonderzeichen, welche nicht nur in Namen und Passwörtern, sondern auch in mathematischen Termen auftreten können. Hauptsächlich jedoch machte ich mich mit dem Umgang der PHP-Session vertraut, die eine Identifikation und Verfolgung des eingeloggten Benutzers für eine Sitzung ermöglicht. Diese Funktion wird von mir genutzt, um auf jeder Seite die anfängliche Anmeldung zu überprüfen und jedem Benutzer seine persönlichen Statistiken bereitzustellen. Geht ein nicht angemeldeter Besucher auf eine Seite innerhalb des geschützten Bereichs, wird er dazu aufgefordert, sich anzumelden, ohne dabei die Daten der anderen Benutzer einsehen zu können. Nach erfolgreicher Anmeldung kann der Schüler dann eine oder mehrere Schwierigkeiten sowie die gewünschten Themen wählen und mit der Fragerunde beginnen. 2.3 Formeldarstellung Ein großes Problem stellte die Schreibweise von mathematischen Termen dar. So ist HTML nicht in der Lage, einen Bruch mit Zähler und Nenner ober- und unterhalb eines waagrechten Strichs darzustellen. Die Darstellung mit Klammern und einem Schrägstrich als Bruchstrich ist allerdings bei komplizierteren Termen selbst für Geübte recht unübersichtlich und somit keine gute, für Siebtklässler lesbare Alternative. Die Lösung dieses Problems mit Hilfe von Tricks in HTML, wie die Nutzung von Tabellen als Formatierungshilfe, ist sehr umständlich und im Resultat nicht überzeugend. Um diesem Problem in wissenschaftlichen Arbeiten zu begegnen, wird das Textsatzsystem TeX genutzt, welches nicht nur die Ausgabe aller möglicher mathematischer Zeichen (von griechischen Buchstaben über Mengensymbole mit Doppelstrich bis zu Summenzeichen und Matrizen), sondern auch die Formatierung in allen Schreibweisen (Brüche, Hoch- und Tiefstellung) ermöglicht. Die direkte -5-

6 Ausgabe eines TeX-formatierten Textes in HTML ist leider nicht möglich. Nach einiger Recherche wurde ich auf mimetex 6 aufmerksam, ein CGI-Script, welches serverseitig Bilder aus TeX-Anweisungen rendert und damit eine Repräsentation über die Einbindung dieser Bilder ermöglicht. Zur Installation auf dem eigenen Server sind einige Programmierkenntnisse nötig, nach einem Nachmittag herumprobieren konnte ich das Script dann aber doch zu einer Ausgabe bewegen. Das lauffähige Script war dennoch nur die halbe Lösung, denn ich musste noch einige PHP-Funktionen schreiben, die alle erdenklichen Formeln in TeX übersetzen, damit diese dann durch mimetex in ein Bild umgewandelt und als solches ausgegeben werden können. Hierbei konnte ich zwar auf Teile des bereits umgesetzten Termumwandlers (siehe Kapitel 2.5) zurückgreifen, es erwies sich aber als Herausforderung, die Computerschreibweise des Bruchstrichs als Schrägstrich in den entsprechenden TeX-Code zu überführen, der die Anweisung \frac {<Zähler>} {<Nenner>} erwartet. Nebenbei hatte ich mir aber die weitläufigen Möglichkeiten von TeX universell nutzbar gemacht, und kann damit nun nahezu jedes gewünschte Symbol (Faktorpunkt in der Mitte der Zeile) oder Zeichen (Mengensymbole mit Doppelstrich) ohne Mehraufwand darstellen. Dies vereinfacht die Nutzung und macht die Aufgabenstellung intuitiv lesbar. An dieser Stelle möchte ich auch dem Entwickler von mimetex John Forkosh Associates Inc. 7 dafür danken, dass er seine Software unter GPL-Lizenz 8 zur Verfügung stellt. 2.4 Fragenpräsentation Der nächste wichtige Schritt war die Klassifizierung und Präsentation der Fragen. Zunächst legte ich die Zahl der Schwierigkeitsgrade auf drei fest, die sich mit leicht, mittel und schwer bezeichnen lassen. Auch eine Unterscheidung nach Thematik ist möglich, so dass ein Schüler, der noch keine Gleichungen beherrscht, trotzdem das Anwenden und Vereinfachen von Termen üben kann. Hier konnte ich den Algebrastoff lehrplanmäßig in die Bereiche Terme und Gleichungen teilen. Aus dem ausgewählten Thema, bzw. den ausgewählten Themen, wird dann eine Aufgabe mit einem der gewählten Schwierigkeitsgrade zufällig herausgewählt und dem Schüler zur Beantwortung gestellt. Hierbei -6-

7 werden mathematische Ausdrücke, wie Terme und Gleichungen, mit Hilfe der in Kapitel 2.3 dargestellten Methoden schriftecht wiedergegeben. Zur Beantwortung steht ein Eingabefeld bereit, welches mit einer Zahl oder einem Term gefüllt werden kann. Hierbei müssen Terme mit den auf einer Tastatur zur Verfügung stehenden Zeichen eingegeben werden, eine Erklärung steht auf der Webseite bereit. Da jedoch vor allem bei längeren Brüchen eine Eingabe mit Schrägstrich als Bruchzeichen und Klammern, um Zähler und Nenner zu definieren, für einen Ungeübten oft nicht intuitiv ist, hilft eine Kontrollmöglichkeit, die jede Eingabe als formatierte Formel direkt wieder ausgibt, mögliche Eingabefehler zu erkennen und verbessern. Auch eine Plausibilitätskontrolle der Eingabe findet statt. Diese überprüft allerdings nicht die Sinnhaftigkeit oder Richtigkeit der Eingabe, sondern testet lediglich, ob nicht erlaubte Zeichen wie Großbuchstaben oder Leerzeichen in der Eingabe enthalten sind. Eine Überprüfung der Antwort findet erst am Ende einer Runde bei Ausgabe der Statistik statt. 2.5 Auswertung von Termen Eine weitere Schwierigkeit liegt in der Natur des Themas Terme, welches es mit sich bringt, dass der Schüler die Möglichkeit erhalten muss, einen Term als Antwort einzugeben. Während bei Zahlen die Überprüfung auf Richtigkeit, also Gleichheit, sehr einfach ist, können Terme nicht so leicht auf Gleichheit mit der Lösung geprüft werden. Ein einfacher Vergleich der Zeichenkette wird dem Kommutativgesetz zum Beispiel nicht gerecht. Daher habe ich mit einigem Aufwand eine Funktion zum Vergleich zweier Terme geschrieben. Diese ersetzt zunächst alle Variablen durch Zahlen mit festgelegtem krummem Wert und fügt alle weglassbaren Faktorzeichen (vor Klammern und Variablen) ein. Anschließend wird der Wert des variablenfreien Terms berechnet. Da für die mathematische Interpretation einer Zeichenkette als Term keine PHP-Funktion zur Verfügung steht, habe ich auch hierfür eine eigene Funktion entworfen. Diese zerlegt den Term nach allen Rechen- und Klammerregeln so weit, bis die einzelnen Zahlen übrig bleiben, die dann über die entsprechenden Rechenfunktionen miteinander verknüpft werden. Den entstandenen Wert des Terms kann ich mit dem Wert der Berechnung des Lösungsterms vergleichen -7-

8 und somit auf Äquivalenz prüfen. Da hier allerdings jeder Term mit dem passenden Wert als richtig akzeptiert würde, und damit bei einer Aufgabenstellung, die nur ein Vereinfachen eines Terms mit Hilfe von Äquivalenzumformungen erfordert, der Ausgangsterm auch als richtiges Ergebnis anerkannt würde, da er Wertgleich mit dem vereinfachten Lösungsterm ist, musste ich ein weiteres Verfahren zu Überprüfung auf Vereinfachung entwerfen. Hierbei speichere ich die in dem Term enthaltenen Zahlen und überprüfe, ob diese in Eingabe und Lösung auftreten, ohne dabei ihre Reihenfolge zu beachten. Diese beiden Überprüfungen ermöglichen zusammen eine genaue Erkennung von Termen, die zu dem Lösungsterm äquivalent und ebenso vollständig vereinfacht sind. 2.6 Bewertung Hat der Schüler seine Runde aus zehn Fragen absolviert, kommt er auf die Statistik- und Bewertungsseite. Hier werden alle Antworten mit den Lösungen der entsprechenden Fragen verglichen und jeweils festgestellt, ob die Antwort richtig oder falsch ist, bei Termen wird auch nicht vollständig vereinfacht als Möglichkeit ausgegeben. Der Schüler erhält zunächst einen Bewertungstext, der auf der Punktezahl, der Schwierigkeit und der Veränderung zur vorherigen Runde aufbaut. Die Veränderung wird hierbei in drei Werten (verbessert, gleich geblieben und verschlechtert) gemessen und aus der Punkte- und Schwierigkeitsdifferenz errechnet. Dazu wird die Punktedifferenz der 0 bis 15 Punkte mit der 7,5-fachen Schwierigkeitsdifferenz (Schwierigkeit gemessen in 1 für leicht bis 3 für schwer) addiert. Ist der Betrag des Wertes kleiner als zwei, wird keine Veränderung angenommen, ist er größer, und somit positiv, so hat sich der Schüler verbessert, bei kleinerem, negativem Wert verschlechtert. Die Punktezahl hängt von der Anzahl und Schwierigkeit der richtig gelösten Aufgaben im Verhältnis zu allen gestellten Aufgaben ab, die Bewertung des Quotienten erfolgt kollegstufenkonform. Nach der Bewertung mit Hilfe des Bewertungstextes kann der Schüler dann auf der Statistik- und Bewertungsseite die Attribute der aktuellen Runde (gelöste Aufgaben, davon richtig, gewählte Schwierigkeit und Themen) sowie seine Note (äquivalent zur Punktezahl) dieser und der letzten Runde ansehen. Des weiteren bekommt er eine -8-

9 Gesamtübersicht über die Anzahl der von ihm gelösten Aufgaben insgesamt und nach Schwierigkeitsgrad aufgeteilt, sowie jeweils die Anzahl und den Prozentsatz der korrekt beantworteten Fragen. Auf einer Detailseite für jede in dieser Runde gelösten Frage ist nochmals das Thema, die Schwierigkeit, die Frage, die Lösung, die Antwort des Schülers und die Bewertung zu sehen, so dass der Schüler seinen Fehler falls gewünscht analysieren kann. 3. Fragen Die Fragen, die dem Server zur zufälligen Auswahl zur Verfügung stehen, sind aus einigen Mathematik-Schulbüchern 9,10,11 entnommen. Die Aufgaben wurden zum Teil leicht verändert, um die Beantwortung als Term zu ermöglichen. Die Einstufung der Aufgaben in der Schwierigkeit wurde subjektiv vorgenommen und kann auf Wunsch oder Anregung der bearbeitenden Schüler geändert werden. Eine vollständige Liste der Fragen und ihrer Lösung sowie der Einstufung und des Themengebiets ist im Anhang angegeben. 4. Internetpräsentation Als die Entwicklung der Webseite in der Testumgebung auf meinem PC abgeschlossen war, musste ein Hoster für das Projekt gefunden werden. Aufgrund einer Empfehlung entschied ich mich für jweiland.net TYPO3 Agentur 12, welche mit sehr gutem Service und hoher Sicherheit aufwarten kann. Unter der Domain ist das Ergebnis dieser Facharbeit abrufbar. Hier kann sich der Schüler anmelden und üben. Weiterhin steht dort eine Kontaktseite zur Verfügung, auf der eventuelle Probleme oder Fehler an mich gemeldet werden können. IV) Ausblick und weitere Pflege Auf diesem Stand geht die Webseite an die Öffentlichkeit. Allerdings ist das Projekt damit noch nicht ausgeschöpft. Es sind noch viele weitere Funktionen denkbar und wenn die Seite sich herumspricht ist eine Erweiterung auf mehr Themen oder gar andere Jahrgangsstufen denkbar. Doch auch im täglichen Betrieb können womöglich Fehler auftreten oder neue Bugs entdeckt werden, mit deren Behebung ich mich beschäftigen werde. -9-

10 V) Anhang 1. Literaturverzeichnis 1. Also close this year was PHP. It gained 1.19% in 2009 and surpassed Visual Basic and C++ to become number 3 of the chart. von am MySQL ist die populärste Open-Source-Datenbank der Welt von am Theis, T., Einstieg in PHP 5.3 & MySQL 5.1, 5. Auflage, Bonn enthält eine vollständige Funktionsreferenz und ist damit wichtigstes Nachschlagewerk während der Entwicklung 5. Hess, U. und Karl, G., HTML4 inklusive JavaScript, 2. Auflage, o.o o.j 6. am am am Schätz, U. und Eisentraut, F., delta 7 Mathematik für Gymnasien, 2. Auflage, Bamberg Prof. Schmid, A. und Prof. Dr. Weidig, I., Lambacher Schweizer 7 Mathematik für Gymnasien, 1. Auflage, Stuttgart Feuerlein, R., Distel, B. u.a., Mathematik 7 Unterrichtswerk für das G8, 1. Auflage, München, Düsseldorf, Stuttgart http://jweiland.net am Fragenkatalog Auf den folgenden Seiten findet sich eine Auflistung der Fragen, geordnet nach Themengebiet und Schwierigkeit. In den Fragestellungen sind die Bereiche durch doppelte Dollarzeichen $$ abgegrenzt, welche durch mimetex (siehe Kapitel 2.3) dargestellt werden. Folgende TeX-Befehle kommen zum Einsatz: Unterstrich _ : Stellt das folgende Zeichen tief (Index); \mathbb{x}: Stellt das Zeichen in der Klammer als Mengensymbol mit doppeltem Strich dar. -10-

11 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort leicht Terme Klammere aus $$7a + 14b$$ möglichst viel aus! 7(a+2b) leicht Terme Vereinfache folgenden Term möglichst weit: $$x+5*(y-x)$$ -4x+5y leicht Terme Klammere aus folgendem Term 4 aus: $$4x-16y$$ 4(x-4y) leicht Terme Berechne T(-2) für $$T(x)=0,5x^2-4x$$ 10 leicht Terme Berechne $$T(x)=((3+x)^2)/5$$ für x=2. 5 leicht Terme Berechne T(0) mit $$T(x)=(x^2-20)/(x^2+4)$$ -5 leicht Terme Vereinfache folgenden Term: $$2xy*(-5x)*3y$$ -30x^2y^2 leicht Terme Vereinfache folgenden Term so weit wie möglich, klammere auch so viel wie 4(2y-x) möglich aus: $$5x+8y-9x$$ leicht Terme Stelle aus folgender Aussage einen Term auf: Subtrahiere 1 vom Quadrat von y^2-1 y. leicht Terme Vereinfache so weit wie möglich: $$(-3/4)*(-4a)$$ 3a leicht Terme Gib zu folgender Rechenvorschrift einen Term an: Addiere 23 zum x/18+23 achtzehnten Teil von x. leicht Terme Gib zu folgender Rechenvorschrift einen möglichst weit vereinfachten Term 6x an: Addiere x zum Produkt aus x und 5. leicht Terme Berechne T(2) für $$T(n)=(2n)^2+1$$ 17 leicht Terme Vereinfache so weit wie möglich: $$48*0,5a$$ 24a leicht Terme Klammere so viel wie möglich aus: $$abc+bcd$$ bc(a+d) leicht Terme Berechne $$T(n)=n^2-n+41$$ für n=1. 41 leicht Terme Berechne T(3) mit $$T(z)=2^z$$ 8 leicht Terme Klammere aus folgendem Term -4 aus: $$4x-16y$$ -4(4y-x) leicht Terme Klammere 1,2 aus: $$1,2a-2,4b$$ 1.2(a-2b) leicht Terme Vereinfache möglichst weit: $$x+(7-3x)$$ 7-2x mittel Terme Vereinfache folgenden Term möglichst weit: $$(a-b)(b-3a)+3a^2$$ b(4a-b) -11-

12 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort mittel Terme Übersetze folgende Rechenvorschrift in einen Term: Vom Dreifachen der Zahl 3b-7 b wird 7 abgezogen. mittel Terme Stelle einen Term auf, der den Umfang eines Rechtecks mit den Kantenlängen 2(x+y) x und y berechnet. Klammere anschließend so viel wie möglich aus. mittel Terme Monika, Norbert, Paula und Quirin teilen einen Betrag von 1000 so auf, dass 5(200-m) Monika und Norbert jeweils doppelt so viel wie Paula erhalten. Der Betrag den Paula bekommt, soll durch die Variable m dargestellt werden. Gib einen möglichst weit vereinfachten und ausgeklammerten Term an, der Quirins Anteil beschreibt. mittel Terme Vereinfache so weit wie möglich: $$(-3/4y)+(-77/4y)-(+30y)$$ -50y mittel Terme Schreibe zunächst als Term und vereinfache dann so weit wie möglich: 14y Addiere die Summe aus x und 7y zu der Summe aus 7y und -x. mittel Terme Berechne $$F(x)=(x^2-x)/(x-1)$$ für x= mittel Terme Um die zerstörerische Wirkung eines Unfalls zu zeigen, werden Autos von 10.4 einem Kran aus einer bestimmten Höhe fallen gelassen. Die Höhe ist durch folgenden Term gegeben: $$H(v)=1/260x^2$$ wobei x die Aufprallgeschwindigkeit in km/h darstellt. Berechne die Höhe, wenn das Auto mit 52 km/h auf den Boden schlagen soll. mittel Terme Ein aus n übereinander gestapelten Würfeln zusammengeklebter Turm soll mit 2(2n+1) Farbe gestrichen werden. Die Anzahl der zu streichenden Würfelflächen hängt dabei von der Anzahl der Würfel ab. Stelle einen möglichst weit vereinfachten und ausgeklammerten Term zur Berechnung der anzustreichenden Würfelflächen (auch die Bodenfläche soll gestrichen werden) auf. mittel Terme Vereinfache so weit wie möglich: $$(s+3s-9s+15s)/5$$ 2s mittel Terme Vereinfache möglichst weit: $$4+(2,5-1,9y)*5$$ y mittel Terme Vereinfache so weit wie möglich und klammere so viel wie möglich aus: $ $4*(3x+7y)+12y$$ 4(3x+10y) -12-

13 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort mittel Terme Vereinfache folgenden Term möglichst weitgehend und klammere aus: $$8x- 2(10x-9y) 6(3y-2x)$$ mittel Terme Stelle einen Term für das Volumen eines Quaders mit Breite 5, Tiefe 4 und 20x Höhe x auf. mittel Terme Berechne T(2;3) mit $$T(x;y)=x^2+y^2$$ 13 mittel Terme Berechne T(-2;3), wenn gilt: $$T(x;y)=3(x+2y)$$ 12 mittel Terme Schreibe als Term und vereinfache so weit wie möglich: Multipliziere die 11x-12y Differenz aus 2x und 4y mit 3 und addiere dazu 5x. mittel Terme Fasse so weit wie möglich zusammen: $$(x+2)*(-3)+5(3-x)$$ -8x+9 mittel Terme Herr Konz tauscht einen quadratischen Bauplatz gegen einen rechteckigen, 4 der zwar 2 Meter breiter, aber auch 2 Meter kürzer ist. Wie viel Quadratmeter Fläche hat er dadurch verloren? mittel Terme Stelle einen möglichst weit vereinfachten und ausgeklammerten Term auf: 4(z+1) Addiere das Dreifache einer Zahl z zu der um vier erhöhten Zahl. schwer Terme Berechne für folgenden Term den Termwert für x=3: $$T(x)=(x-1)^3+x^3+ 99 (x+1)^3$$ schwer Terme Um ein dreieckiges Grundstück mit lauter gleich langen Seiten soll ein Zaun 3(n-1) errichtet werden, bei dem in jeder Ecke ein Pfosten und an jeder Grundstücksseite jeweils gleich viele Pfosten stehen. Die Anzahl der Pfosten pro Seite ist mit n bezeichnet. Finde einen Term für die Gesamtzahl aller Pfosten. Klammere vor der Eingabe so viel wie möglich aus. schwer Terme Stelle zunächst als Term dar und vereinfach diesen dann so weit wie möglich: 4a-21b Subtrahiere von der Differenz von$$(10a-2/5b)$$und$$(2,6b+5a)$$die Summe aus$$(-3a+25b)$$und$$(4a-7b)$$ schwer Terme Vereinfache folgenden Term möglichst weitgehend (klammere dabei so weit wie möglich aus): $$[(-3y)^2+3]-42y^2$$ 3(1-11y^2) -13-

14 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort schwer Terme Berechne T(2,5) wenn $$T(x)=8x-[4:(12-5x)]^3$$ gilt. 532 schwer Terme Schreibe folgende Anweisung als möglichst weit vereinfachter Term: x^2+y^2 Multipliziere die Summe zweier Zahlen x und y mit sich selbst und subtrahiere vom Ergebnis das doppelte Produkt der beiden Zahlen. schwer Terme Aus 20cm Draht sollen unterschiedliche Rechtecke gebogen werden. 10a-a^2 Bezeichne eine Seite mit a und stelle einen Term zu Berechnung des Flächeninhalts auf. Vereinfache und klammere so weit wie möglich aus. schwer Terme In den USA wird die Temperatur in Grad Fahrenheit $$(T_F)$$gemessen, bei uns in Grad Celsius$$(T_C)$$. Die Umrechnungsformel lautet: $ $T_F=9/5*T_C+32$$. Berechne die amerikanische Angabe für 67 C. schwer Terme Max baut einen Turm aus 1,93mm dicken 10-ct-Münzen. Jan baut seinen 25 Turm aus 1,67mm dicken 1-ct-Münzen auf einer 6,5mm dicken Unterlage. Sie legen gleichzeitig jeder eine Münze auf ihren Turm. Ab dem wievielten Spielzug ist Maxs Turm mindestens so hoch wie der von Jan? schwer Terme Gib das 100. Glied folgender Kette an: $$2; 6; 12; 20; 30; 42$$ schwer Terme Fasse so weit wie möglich zusammen (und klammere aus): $$2yz^2- -yz(11z+1) 5z^2*y+3y*z-4z*y-y*z^2*2^3$$ schwer Terme Vereinfache so weit wie möglich: $$30%-d*1,4c+2,7-2,6d*2c+5cd$$ 3-1.6cd schwer Terme Fasse soweit wie möglich zusammen: $$15a-12b-2(a-3b)-(9a-6b)$$ 4a schwer Terme Vereinfache so weit wie möglich (mit ausklammern): $$6v^2-(4u^2-3v^2+2uv)- 3(3v^2-2u^2) (u*2u-v*2u)$$ schwer Terme Fasse so weit wie möglich zusammen: $$(2b-3)(2+b)-(b+1)*b$$ b^2-6 schwer Terme Stelle zu folgendem Zahlenrätsel einen vereinfachten Term auf. Die gedachte Zahl wird mit x bezeichnet. Subtrahiere von einer gedachten Zahl 100, addiere das Quadrat von 11, addiere das Dreifache deiner gedachten Zahl, addiere 3, subtrahiere das Produkt aus 6 und 8, subtrahiere das Dreifache deiner gedachten Zahl und addiere 14. x

15 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort schwer Terme Um welchen Faktor ändert sich das Volumen eines Quaders, wenn man die 2 Länge halbiert, die Breite drittelt und die Höhe verzwölffacht? schwer Terme Herr Herbst besitzt ein rechteckiges Grundstück. Wegen eines 19 Straßenneubaus soll die Länge seines Grundstücks um 10% kleiner werden. Außerdem muss die Breite des Grundstücks ebenfalls um 10% verringert werden. Um wie viel Prozent ist das Grundstück kleiner geworden? (Angabe ohne Prozentzeichen, also für 10% gib 10 ein!) schwer Terme Stelle einen möglichst weit vereinfachten Term zu folgendem Zahlenrätsel auf: 17x^2y^2 Addiere zum Produkt aus $$2x$$ und der Differenz aus $$5,25xy^2$$ und $ $1/4xy^2$$ den Quotienten aus $$7x^3y^2$$ und $$x$$ schwer Terme Berechne den Termwert des folgenden Terms für x= -2: $$-(-x^2+x)+x*20%+ 3.6 ((x^5)/(x^3))-1,5x^2$$ leicht Gleichungen Ermittle die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: $$x+2(101-2x)=-x$$ 101 leicht Gleichungen Gib die Lösungsmenge zu folgender Gleichung an: $$5x-7=6x-3$$ -4 leicht Gleichungen Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung über der Grundmenge$$\mathbb{N} 12 $$: $$5x+6=66$$ leicht Gleichungen Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichung über der Grundmenge$ 10 $\mathbb{g}=\{2;4;6;8;10;12;14}$$an: $$x*x=10x$$ leicht Gleichungen Sophie sagt zu Laura: "Eine Theaterkarte für Erwachsene war fünfmal so teuer 7 wie eine Kinderkarte. Die beiden Karten für meine Mutter und mich haben zusammen 42 gekostet." Wieviel Euro hat Sophies Karte gekostet? leicht Gleichungen Löse die folgende Gleichung: $$x-5/7x=28$$ 98 leicht Gleichungen Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung über $$\mathbb{g}=\mathbb{n}$$: 33 $$2x-27=39$$ leicht Gleichungen Finde die beschriebene Zahl: Subtrahiert man vom Neunfachen einer natürlichen Zahl die Zahl 52, so erhält man

16 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort leicht Gleichungen Laura erzählt: "Meine Tante hat drei Kinder, die jeweils im Abstand von drei 9 Jahren zur Welt gekommen sind. In diesem Jahr ist das älteste doppelt so alt, wie das jüngste." Wie alt ist das mittlere Kind? leicht Gleichungen Löse folgende Gleichung möglichst einfach: $$27(x+3)=27$$ -2 leicht Gleichungen In einer Klasse gibt es x Mädchen. Wie viele sind das, wenn es insgesamt Schüler sind und doppelt so viele Jungen wie Mädchen zur Klasse gehören? leicht Gleichungen In einer Klasse gibt es x Mädchen. Wie viele sind das, wenn es insgesamt Schüler sind und die Anzahl der Mädchen um 4 kleiner als die der Jungen ist? leicht Gleichungen Löse folgende Gleichung: $$-17y=34$$ -2 leicht Gleichungen Löse folgende Gleichung: $$-6x-x=-77$$ 11 leicht Gleichungen 80% des Obstes vom Vortag sind verdorben. Zusammen mit der neuen 1800 Lieferung von 840kg hat der Obsthändler 1,2t Obst in seinem Lager. Wie viel Obst (in kg) hatte er am Vortag? leicht Gleichungen Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist 102. Wie heißt 34 die mittlere der Zahlen? leicht Gleichungen Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist 119. Die eine ist 6-mal so groß wie 17 die andere. Wie groß ist die kleinere? leicht Gleichungen Im Buchladen von Frau Michaelis werden vormittags nur halb so viele Bücher 36 verkauft wie nachmittags. Letztes Jahr wurden vormittags durchschnittlich 12 Bücher verkauft. Wie viele verkaufte Bücher ergeben sich daraus pro Tag? leicht Gleichungen Die Mutter ist viermal so alt wie ihre Tochter. Der Altersunterschied beträgt 27 9 Jahre. Wie alt ist die Tochter? leicht Gleichungen Löse folgende Gleichung: $$38x=24x+98$$ 7 mittel Gleichungen Löse folgende Gleichung, schau dabei, ob du einen möglichst einfachen Weg 2 findest: $$4x-x(2x+1)=8-x(2x+1)$$ mittel Gleichungen Löse folgende Gleichung: $$13(a-5)-a(a-1)+a^2=5$$ 5-16-

17 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort mittel Gleichungen Beim gemischten Fußballturnier der 7. Klassen der fünf Gymnasien unserer 3 Stadt wurden insgesmt 30 Tore geschossen. Von unserer Schule erzielten Gregor, Anna und Tobias zusammen ein Drittel aller Tore. Tobias schoss ein Tor weniger als Anna, Gregor erzielte zwei Tore mehr als Anna. Wie viele Tore konnte Anna erziehlen? mittel Gleichungen Gregor fragte seine Tante nach ihrem Alter und erfuhr: "Wenn du die Ziffern 61 der Zahl, die mein Alter in Jahren angibt, vertauschst, dann machst du mich um 45 Jahre jünger." Wie alt ist Gregors Tante? mittel Gleichungen Sophie sagt: "Unsere Nachbarn haben fünf Kinder; sie haben jedes Jahr ein 4 Kind bekommen. Dieses Jahr ist das älteste fünfmal so alt wie das jüngste." Wie alt ist das zweitälteste? mittel Gleichungen Welche Zahl ist um 162 größer als das Achtfache ihrer Gegenzahl? 18 mittel Gleichungen Ermittle die Lösungsmenge folgender Gleichung über$$\mathbb{q}$$: $ -40 $y(y+1)-y(y-1)=-80$$ mittel Gleichungen Die Einerziffer einer gesuchten dreistelligen natürlichen Zahl ist doppelt so 624 groß, die Hunderterziffer dreimal so groß wie ihre Zehnerziffer. Vertauscht man die Einer- mit der Hunderterziffer und behält die Zehnerziffer bei, so ist die neue Zahl um 198 kleiner als die ursprüngliche Zahl. Finde die gesuchte Zahl. mittel Gleichungen Ermittle mit Hilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung der folgenden -2 Gleichung: $$(x^2-x+1)*(x+1)=x^3+x+3$$ mittel Gleichungen Ermittle die Lösung der folgenden Gleichung als Dezimalzahl: $$(1/5+3/ /20)*x=27/80$$ mittel Gleichungen Ben und Tom teilen sich 735. Ben bekommt viermal so viel wie Tom. Wie viel 588 bekommt Ben? mittel Gleichungen Die drei Innenwinkel eines Dreiecks haben die Größen 72, x und 2x. Wie groß ist x?

18 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort mittel Gleichungen Annika bezahlt als Einsatz eines gemeinsamen Lottotipps doppelt so viel wie 3240 Ben; Ben zahlt dreimal so viel wie Chris. Ein Lottogewinn von 5400 soll dem Einsatz entsprechend aufgeteilt werden. Wie viel Euro erhält Annika? mittel Gleichungen Löse folgende Gleichung: $$3,5-0,5(6x-2,2)=5x-0,4(5x-4)$$ 0.5 mittel Gleichungen Von einer 80cm langen Rolle Heftpflaster sind bereits 65% verbraucht. Vom 6 Rest wird nochmals ein 4,5cm und ein 5,5cm langes Stück abgeschnitten. Das übrige Pflaster wird in drei gleich lange Teile zerschnitten. Wie lang ist eines dieser Teile? mittel Gleichungen Ein Jäger sagt: "Die Fasane und Hasen in meinem Revier haben zusammen Köpfe und 92 Füße." Wie viele Hasen gibt es im Revier? mittel Gleichungen Eric hat viermal so viele Bonbons wie Arne. Er gibt Arne 12 Bonbons. Nun 8 haben beide gleich viele. Wie viele Bonbons hatte Arne anfangs? mittel Gleichungen Mutter und Tochter sind zusammen 52 Jahre alt. Die Mutter ist dreimal so alt 13 wie die Tochter. Wie alt ist die Tochter? mittel Gleichungen Anton prahlt: "Hätte ich heute Morgen viermal so viele Toastbrote gegessen, 20 dann wären es genau so viele über 50, wie es tatsächlich unter 50 sind." Wie viele Toastbrote hat Anton gegessen? mittel Gleichungen Ein neugieriger Herr fragt die Schwestern Carolin und Claudia nach ihrem 18 Alter. Carolin antwortet: "Claudia ist 6 Jahrejünger als ich. Vor 12 Jahren war ich doppelt so alt wie Claudia." Wie alt ist Claudia jetzt? schwer Gleichungen Gib die Lösungsmenge zu folgender Gleichung an: $$1/2x+1/4x+1/6x+8=10-2 1/12x$$ schwer Gleichungen Ein rechteckiger Garten hat eine Fläche von 98m². Er ist doppelt so lang wie 42 breit. Wie lang ist der Umfang des Gartens? schwer Gleichungen Ermittle die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: $$x/2+x/7-x/14=36$$ 63 schwer Gleichungen Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung: $$(3y-2)(2-3y)+(4y+1)(4y-1)=7y(y- 2)-239$$

19 Antwort Schwierigkeit Themengebiet Frage schwer Gleichungen Tom sagt zu seinem Sohn Ron: "In diesem Jahr bin ich fünfmal so alt wie du." Ron fragt zurück: "Wievielmal so alt wie ich bist du, wenn ich doppelt so alt bin wie jetzt?" Ermittle die Antwort auf Rons Frage. schwer Gleichungen Karins Mutter ist dreimal so alt wie ihre Tochter. Vor fünf Jahren war sie viermal so alt. Wie alt ist Karins Mutter heute? schwer Gleichungen Ines ist 5 Jahre älter als Tine. In zwei Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Tine dann ist. Wie alt ist Tine jetzt? schwer Gleichungen Die Einerstelle einer zweistelligen Zahl ist um 3 größer als die Zehnerstelle. Die Zahl ist viermal so groß wie ihre Quersumme. Gib die Quersumme an. schwer Gleichungen Löse folgende Gleichung (gib das Ergebnis als Dezimalzahl an): $$(5b+2):3- (3-2b):2=(b+b)*3$$ schwer Gleichungen Stelle zu folgedem Zahlenrätsel eine Gleichung an und gib ihre Lösungsmenge als Dezimalzahl an: Das Vierfache einer Zahl ist um 18 kleiner als die Summe des 1,5fachen der gleichen Zahl und der Zahl 4. schwer Gleichungen Ein Jäger sagt: "Die beobachteten Fasane und Hasen hatten zusammen 15 Köpfe. Hätten wir anstatt jedes Fasans einen Hasen und anstatt jedes Hasen einen Fasan gesehen, so hätten diese Tiere 6 Füße mehr als die wirklich beobachteten." Wie viele Hasen hat der Jäger beobachtet? schwer Gleichungen Eine neugiereige Dame fragt die beiden Brüder Carl und Curt nach ihrem Alter. Carl antwortet: "Curt ist jetzt doppelt so alt wie ich. Vor 5 Jahren war er allerdings noch dreimal so alt wie ich." Wie alt ist Curt jetzt? schwer Gleichungen In den USA breitete sich in den Jahre 1923/24 die folgende Aufgabe wie ein Lauffeuer aus. Sie fesselte die Amerikaner so sehr, dass sich Bekannte sogar mit der Frage der Aufgabe "Hello, how old is Anne?" begrüßten. Die Aufgabe lautete: Mary ist 24 Jahre alt. Sie ist doppelt so alt, wie Anne war, als Mary so alt war, wie Anne jetzt ist. "How old is Anne?" -19-

20 Schwierigkeit Themengebiet Frage Antwort schwer Gleichungen Familie Fuchs ist zusammen 100 Jahre alt. Sohn Felix ist zwei Jahre älter als 6 Julia und halb so alt wie Annika. Ihre Mutter bekam das älteste Kind mit 25 Jahren und ist 4 Jahre jünger als der Vater. Bezeichen das Alter von Felix mit x und berechne es mit Hilfe einer Gleichung. schwer Gleichungen Löse folgende Gleichung: $$x-[6(3-2x)-3(5-x)]=-17-3(7-x)$$ -5 schwer Gleichungen Ein Fußballstadion hat insgesamt Plätze. Bei einem Fußballspiel wurden die Karten für alle Sitzplätze zum Einheitspreis von jeweils 25, die Karten für alle Stehplätze zum Einheitspreis von jeweils 15 verkauft. Die Gesamteinnahmen waren bei ausverkauftem Haus 1,3 Millionen. Wie viele Sitzplätze hat das Stadion? schwer Gleichungen Bei einem Test mit 50 Aufgaben ergibt jede richtige Antwort 10 Punkte; für 10 jede unbeantwortete oder fehlerhafte Lösung gibt es 15 Punkte Abzug. Gregor erreichte 250 Punkte. Wie viele Fragen konnte er nicht richtig beantworten? schwer Gleichungen Bei einem Test mit 50 Aufgaben ergibt jede richtige Antwort 10 Punkte; für 30 jede unbeantwortete oder fehlerhafte Lösung gibt es 15 Punkte Abzug. Lucas bekam 0 Punkte. Wie viele Fragen hatte er richtig lösen können? schwer Gleichungen Die Summe zweier natürlicher Zahlen hat den Wert 74. Dividiert man die eine 36 durch 6, so erhält man das gleiche Ergebnis, wie wenn man die andere mit 6 multipliziert. Teile die größere der beiden Zahlen durch die kleinere und gib das Ergebnis an. schwer Gleichungen Ramon und Anna spielen um Bonbons. Am Anfang hatten beide zusammen 48 Bonbons. Im ersten Spiel gewinnt Ramon fünf Bonbons von Anna. Anschließend isst er sechs Bonbons. Im zweiten Spiel verliert er sieben Bonbons an Anna, die nun doppelt so viele Bonbons wie Ramon hat. Wie viele Bonbons gehörten anfangs Anna?

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