2.2.1 Lagemaße. Exkurs: Quantile. und n. p n

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1 Ekurs: Quatile Ausgagspukt : Geordete Urliste Jeder Wert p, mit 0 < p <, für de midestes kleier/gleich p ud midestes ei Ateil p heisst p Quatil. Es muss also gelte : ei Ateil p der Date größer/gleich ist, p Azahl ( - Werte p ) p ud Azahl ( - Werte p ) p. Damit gilt für das p Quatil : p = ([ p] + ), we p icht gazzahlig =, we p gazzahlig. p ( p) Dabei ist [ p] die zu p ächste kleiere gaze Zahl

2 Beispiel: Gegebe ist die geordete Urliste: Gesucht: 33%-Perzetil = 8 p = 0,33 p = 0,33 8 = [ p] + = = 2,64 Midestes 33% der beobachtete Werte sid kleier oder gleich 2. Hiweis: Für die Berechug der Quatile ist midestes Ordialskaleiveau otwedig.

3 Der Media ist das 50%-Quatil; er zerlegt die Gesamtheit i zwei Hälfte Die Quartile zerlege die Gesamtheit i vier Viertel, die Dezile i zeh Zehtel, die Perzetile i 00 Hudertstel etc. Uteres Quartil (. Quartil) = 25% - Quatil = Oberes Quartil (3. Quartil) = 75% - Quatil = Bei de Dezile ud Perzetile iteressiere i.d.r. ur die am Rad liegede Werte wie z.b. das 5. Perzetil, das die Gesamtheit i die Teile 5% : 95% zerlegt. Auf diese Weise werde weitere Iformatioe über die Lage ud Struktur der Verteilug gewoe. Die Ermittlug der Quatile erfolgt aalog zu de Berechuge für de Media; Details siehe beispielsweise i Assemacher (998), Deskriptive Statistik, 2. Auflage, S

4 Quatile lasse sich auch graphisch aus der empirische Verteilugsfuktio bestimme Fahrmeir (2003), S. 65: Nettomiete vo =26 kleie Wohuge

5 3. Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel charakterisiert de mittlere (=durchschittliche) Wert eier Reihe vo Beobachtugswerte. Das arithmetische Mittel ist für metrische Merkmale sivoll defiiert. Liege die Date als Urliste (alle Beobachtugswerte) vor, berechet ma das eifache arithmetische Mittel: = ( ) = i i =

6 Liege die Date i Form eier Häufigkeitstabelle vor, berechet ma das gewogee arithmetische Mittel: = k a j = j h( a j ) = k a j = j f ( a j ) Klassiertes arithmetisches Mittel Liege die Date ur als klassierte (gruppierte) Date vor, ka das arithmetische Mittel icht mehr eakt bestimmt werde; i diesem Fall werde die Klassemitte mit de relative Klassehäufigkeite gewichtet ud aufaddiert. Dadurch erhält ma eie Näherugswert für de tatsächliche Mittelwert.

7 Eigeschafte des arithmetische Mittels. Berechug der Merkmalssumme X = = i i = wobei X die Merkmalssumme (Summe der Beobachtugswerte) bezeichet 2. Schwerpukteigeschaft, ( i = i ) = 0 bzw. k ( a j j = i ) f ( a j ) = 0 d.h. die Summe der Abweichuge zw. ud verschwidet. Würde ma a die Stelle jeder Beobachtug eie Müze oder ei Eiheitsgewicht lege, so wäre die Zahlegerade geau am Pukt dem Schwerpukt, im Gleichgewicht.,

8 Das arithmetische Mittel vo 5, 5 ud 20 ist 0: die Stelle, die de Balke balaciert. aus: Krämer, W. (2003), Statistik verstehe, S. 27

9 3. Miimumeigeschaft 2 i i = i = ( M) > ( i ) 2 für alle M d.h. das arithmetische Mittel miimiert die Summe der quadrierte Abweichuge. 4. Lieartrasformatio Für Trasformatioe der Form gilt: y = a + b mit i =,..., ; a b R i i, y = a + b

10 5. Gesamt- ud Teilmittel Vereiigt ma mehrere verschiedee Messreihe mit de Umfäge, 2,..., r ud de arithmetische Teilmittel gemeisame Messreihe, die de Umfag = erhält ma als arithmetisches Gesamtmittel: r ges = i i i =, r i = 2 i,..., hat, r zu eier Das arithmetische Mittel eier Gesamtreihe ist gleich dem gewogee Mittel der arithmetische Teilmittel i der r Teilreihe; als Gewicht i fugiert die Azahl der statistische Eiheite i de Teilreihe. Nur we alle Teilreihe de gleiche Umfag habe ( =... = r ), ist gleich dem arithmetische Mittel der eizele Mittelwerte. ges

11 Das getrimmte arithmetische Mittel Das arithmetische Mittel reagiert empfidlich auf Ausreißer oder Etremwerte. Ei resisteteres Lagemaß ist das getrimmte arithmetische Mittel, bei dem ei Teil der Raddate, z.b. 0%, weggelasse ud da das arithmetische Mittel aus de restliche Date berechet wird.

12 4. Geometrisches Mittel Relevat bei Wachstums- oder Aufzisugsfaktore Zeitreihe vo Bestadsdate für die Periode 0,,,: B, B,..., B 0 0 B : Afagsbestad i-ter Wachstumsfaktor: i-te Wachstumsrate: Es gilt: r i = i = B B Bi B B i i i = i i B = B bzw. B / B0 =

13 Der durchschittliche Wachstumsfaktor ist derjeige Faktor geom, der über alle Periode kostat bleibt ud B 0 auf B awachse lässt. Es ist: B ) = B0 ( geom geom = B 0 = (... ) / B Fazit: Das geometrische Mittel zu de Faktore,..., ist = geom i i = Die durchschittliche Wachstumsrate ist da geom..

14 Beispiel aus Assemacher (998), S.77: Im Zeitraum 950 bis 965 etwickelte sich das reale Bruttosozialprodukt der Budesrepublik Deutschlad (i Preise vo 980) mit de folgede Wachstumsrate i Prozet: 9,5 8,9 8,2 7,4 2,0 7,3 5,7 3,7 7,3 9,2 4,4 4,7 2,8 6,6 5,4 Um die durchschittliche Wachstumsrate zu ermittel, müsse die Wachstumsrate i Wachstumsfaktore umgewadelt werde, z.b. =,095 etc. Als durchschittliche Wachstumsfaktor erhält ma geom =,0685. Die durchschittliche Wachstumsrate beträgt somit 6,85%.

15 Literaturhiweise zu Abschitt 2.2. Als Ergäzug ud Vertiefug köe beispielsweise folgede Bücher hizugezoge werde: Bourier (200), S Fahrmeir et al. (2003), S Schulze (2000), S Schwarze (200), S